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第十七章 勾股定理
（满分120分）
一、单选题（共6小题；共48分）
1. 满足下列条件的 中，不是直角三角形的是
A.
B.
C.
D. 一个外角等于和它相邻的一个内角
2. 下列命题的逆命题为真命题的是
A. 如果 ，那么 B. 无理数是无限小数
C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补
3. 如图，在 中，．若 ，则正方形 和正方形 的面积和为
A. B. C. D. 无法计算
4. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何 ”这道题讲的是有一块三角形沙田，三边长分别为 里， 里， 里，问这块沙田面积有多大 题中的“里”是我国市制长度单位， 里 ，则该沙田的面积为
A. B. C. D.
5. 如图，在 中，，以点 为圆心，以 长为半径作弧交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，若 ，，连接 ，则 的面积为
A. B. C. D.
6. 如图，在正方形 中，， 是 边上的一点，．将 沿 对折至 ，连接 ，则 的长是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共48分）
7. 在 中，，若 ，，则 的长是 ．
8. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题 ，逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
9. 如图所示的一块地，已知 ，，，，，则这块地的面积为 ．
10. 在 中，，， 边上的中线 ，则 ．
11. 若一个三角形的三边长为 ，，，当 时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为 ．
12. 把多块大小不同的含 角的直角三角板按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 的一条直角边与 轴重合且点 的坐标为 ，；第二块三角板的斜边 与第一块三角板的斜边 垂直且交 轴于点 ；第三块三角板的斜边 与第二块三角板的斜边 垂直且交 轴于点 ；第四块三角板的斜边 与第三块三角板的斜边 垂直且交 轴于点 ； 按此规律继续下去，则点 的坐标为 ．
三、解答题（共5小题；共54分）
13. 已知 的三边长 ，，．
（1）求证： 是直角三角形；
（2）利用（）题的结论，写出两组 ， 的值，要求三角形的边长均为整数．
14. 写出下列定理的逆命题，并指出哪些互为逆定理．
（1）两直线平行，同位角相等．
（2）全等三角形的对应角相等．
（3）角平分线上的点到角的两边的距离相等．
（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 ．
15. 如图，在 中， 于点 ，，，，求 的面积．
16. 如图，在 中，，， 是 边上的一点．求证：．
17. 阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图 ）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”
这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为 和 ，那么斜边的长为 ．”
上述记载表明了：在 中，如果 ，，，，那么 ，， 三者之间的数量关系是 ．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图 ，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：，， ，且 ，
，
整理得 ，
．
（3）如图 ，把矩形 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，如果 ，，求 的长．
答案
一 单选题
1. C
2. D
3. C
4. A
5. C
6. D
【解析】连接 交 于点 ，作 于点 ．如图：
，，
，．
四边形 是正方形，
．
根据折叠性质，，，．
，
．
．
，
．
．
．
．
．
．
二 填空题
7.
8. 同旁内角互补，两直线平行，真
【解析】命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题同旁内角互补，两直线平行．它是真命题．
9.
10.
11.
12.
【解析】因为点 的坐标为 ，所以 ，
在 中，，所以 ．
由勾股定理，得 ．
在 中，，所以 ，
由勾股定理，得 ．
在 中，，所以 ，
由勾股定理，得 ．
在 中，，所以 ，
由勾股定理，得 ．
同理，；；；
所以 ．
易知点 的位置每四次循环一次，
因为 ，
所以点 与 一样，同在 轴负半轴上，
所以 ．
三 解答题
13. （1） ，，，
是直角三角形．
（2） （答案不唯一）当 ， 时，三角形的三边长为 ，，；
当 ， 时，三角形的三边长为 ，，．
14. （1） 逆命题：同位角相等，两直线平行．是真命题，
与原定理互为逆定理．
（2） 逆命题：三个内角对应相等的两个三角形全等．是假命题．
反例：如图所示，
和 中，
，
，
，
，，，
显然 和 不全等．
（3） 逆命题：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．是真命题，
与原定理互为逆定理．
（4） 逆命题：在直角三角形中，如果一个锐角为 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．是真命题，
与原定理互为逆定理．
15. ．
16. 提示：方法一：如图 ，过点 作 ，垂足为 ，
，，，
，．
【解析】方法二：如图 ，过点 作 的垂线，并截取 ，连接 ，，
可证 ，进而证明 ，
在 中，，
所以 ．
17. （1）
（2） ；；；
（3） 矩形 折叠后点 与点 重合，
．
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ，
．
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