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第18章 平行四边形
一、单选题（共9小题；共36分）
1. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 的坐标为 ，顶点 ， 在第一象限，且点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为
A. B. C. D.
2. 添加下列一个条件，能使平行四边形 成为矩形的是
A. B. C. D.
3. 四边形 的对角线相交于点 ，且 是 的中点，若 ，，，则四边形 的面积为
A. B. C. D.
4. 已知四边形 中 ，，， 的度数之比，能判定四边形是平行四边形的是
A. B. C. D.
5. 下列条件中，能判定平行四边形 是菱形的是
A. B. C. D.
6. 如图，为了确定一条河的宽度 ，可以在点 一侧的岸边选择一点 ，使得 ，并量得 米，测得 ，那么河的宽度 是 ．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7. 如图，在四边形 中，，，，连接 ， 的角平分线交 ， 分别于点 ，，若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
8. 要使四边形 是平行四边形，则 可能为
A. B. C. D.
9. 如图，菱形 的边 ，， 是 上一点，， 是 边上一动点，将梯形 沿直线 折叠， 的对应点为 ．当 的长度最小时， 的长为
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题；共32分）
10. 如图，已知四边形 的对角线 ， 互相垂直且互相平分，，则四边形 的周长为 ．
11. 如图，平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，请添加一个条件 ，使其成为矩形．（填一个即可）
12. 两组对角 的四边形是平行四边形．
13. 若平行四边形 的对角线 ，且 ，则 ．
14. 一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 恰好放在等腰直角三角板的斜边 上， 与 交于点 ，如果 ，那么 为 度．
15. 如图，将两张长为 ，宽为 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 ，那么菱形周长的最大值是 ．
16. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ，，，则平行四边形 是 形，理由是 ．
17. 如图，在菱形 中，，， 为 的中点， 为对角线 上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．
三、解答题（共6小题；18-22题每题各8分，23题12分，共52分）
18. 已知菱形的周长为 ，一个内角为 ．求这个菱形的面积．
19. 蚂蚁沿图中的折线从 点爬到 点，一共爬了多少厘米 （小方格的边长为 厘米）
20. 如图，在梯形 中，，， 是 的三等分点，， 是 的三等分点，，如果 ，，求 和 的长．
21. 如图，在 中，，，．将 沿射线 方向平移 ，得到 ，，， 的对应点分别是 ，，，连接 ．求证：四边形 是菱形．
22. 如图，菱形 的边长为 ，，， 分别是 ， 边上的两个动点（， 与 ， 不重合），且满足 ．
（1）求证：；
（2）判断 的形状，并说明理由
（3）设 的面积为 ，求 的取值范围．
23. 已知 是三角形的三边长， （ 为大于 的自然数），试说明 为直角三角形．
答案
一 单选题
1. D
2. C
【解析】 有一个角是直角的平行四边形是矩形，
当 ，平行四边形 是矩形，
故选：C．
3. B
4. D
【解析】由题意得： 与 是对角， 与 是对角，
当 ， 时，四边形 是平行四边形，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
5. D
【解析】 四边形 是平行四边形，
当 时，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，可判定四边形 是菱形．
6. A
7. D
8. D
【解析】根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知只有D正确．
9. B
【解析】连接 ，，作 于 ，如图，
四边形 是菱形，，
为等边三角形，
结合 易得 ，，
，
，
在 中，，
梯形 沿直线 折叠， 的对应点为 ，
点 在以 点为圆心， 长为半径的圆上，
易知当点 在 上时， 的长度最小，此时 ，
，
，
，
．
故选B．
二 填空题
10.
11. 或
12. 分别相等
13.
14.
【解析】因为 ，，
所以 ，
所以 ．
15.
【解析】当矩形的对角线互相重合时菱形的周长最大.
此时设菱形的边长为 ，则可满足如下关系 .
解得 .
菱形的周长为 .
16. 菱，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
17.
【解析】如图，作点 关于 的对称点 ，易得点 在 上，连接 ，则 的长就是 的最小值，连接 ，
在菱形 中，， 为 的中点，，
，， 为 的中点，
是等边三角形，
，，
．
三 解答题
18. 由题意知菱形的一条对角线将菱形分为两个边长为 的等边三角形，
所以这个菱形的面积为 ．
19. 分别求 ，，．
，
，
．
所以蚂蚁一共爬了 ．
20. 如图：
因为 ，，
又因为 ，
所以 ，，
所以 ．
21. ，，，
．
由平移变换的性质得 ，，
．
四边形 是菱形．
22. （1） 略．
（2） 是等边三角形，证明略；
（3） ，
．
．
23. 因为 ，
.
所以
所以 为直角三角形．
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