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中小学教育资源及组卷应用平台
【提优小专题】 一元一次不等式的应用
题型1 工程问题
1．一个工程原定在10天内至少要挖土；在前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，以后6天平均每天至少要挖土（ ）
A．56 B．60 C．72 D．80
2．某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建 米．
3．某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？
题型2 行程问题
4．小明周末参加同学聚会，原计划15分钟内到达聚会地点，打车出发5分钟后发生了交通堵塞，于是小明准备下车跑步前往．已知出租车的行驶速度为45千米/小时，从家距离聚会点共6千米，若小明想要按时到达聚会地点，则他的跑步速度至少是（ ）
A．225米/分钟 B．200米/分钟 C．12千米/小时 D．10千米/小时
5．为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ．
6．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？
题型3 盈不足问题
7．把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（　　）
A．5（x+8）＜11x B．5x+8＜11x
C．8x+5＜11x D．8（x﹣1）+5＜11x
8．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有 　 　学生．
9．把一些书分给若干同学，若每人分10本，则余8本；若每人分13本，则不够．则至少有 　 　名同学．
题型4 和差倍分问题
10．某环保活动中，要求每人每天回收废旧电池不少于5节．若小明一周（7天）回收的电池总数超过35节，则他平均每天至少回收的电池数为（ ）
A．5节 B．6节 C．7节 D．8节
11．有人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共，每捆材料重，电梯载重不能超过，则该电梯在此人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．
12．十七中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）学校决定购买这两种地球仪共30个，总费用不超过1000元，那么学校最多可以购买多少个大地球仪？
题型5 销售问题
13．某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2600元，标价为3640元，如果厂商要以轻答利润不低于5%的售价打折出售，最低可打几折（　　）
A．7.5折 B．8折 C．8.5折 D．9折
14．某水果超市用每千克元的价格购进千克苹果，经调查在运输和销售过程中质量会损失，假设不计超市其他费用，如果超市想要获得及以上的利润，那么这批苹果每千克的售价在进价的基础上应至少提高 元．
15．抖音直播带货成为当下网络销售的主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款羽绒服开展促销活动，该款羽绒服进价为300元，原售价为400元，优惠活动如下：
活动一：所购羽绒服一律打九折；
活动二：所购羽绒服超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折．
（1）购买四件该款羽绒服的客户参与哪个活动更划算？
（2）购买多少件时，这两种优惠活动的付款金额一样？
（3）活动结束后，平台商家将剩余的该款羽绒服按原价的九五折销售，若这些羽绒服每周获利不低于3200元，求这些羽绒服每周至少需卖出多少件？
题型6 图表信息题
16．某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下：
租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元）
标准租赁 1.5 15 0.2
学生会员租赁 1.5 30 0.1
包日畅骑 10 不限时长 /
以上资费有以下补充说明：
①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠．
②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数．
出发前有8人请假，现只有32人参加此次活动，班级计划部分同学打车（每车36元，每辆车坐满4人），其余同学骑行包日畅骑．恰逢节假日，包日畅骑基础费用打4折．若总交通预算为200元，最多允许几个人打车（ ）
A．8人 B．12人 C．16人 D．20人
17．某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
类型价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 30 45
B型 50 70
(1)若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
(2)将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场需要至多购进多少盏A型台灯？
18．酥梨酥脆爽口，山竹酸甜可口，广受顾客喜爱，某水果商店计划购进山竹和酥梨共200千克，已知山竹和酥梨的进价和售价如表所示．若要此次山竹和酥梨全部售完的利润不低于1000元，则最多购进酥梨 千克．
进价（元/千克） 售价（元/千克）
山竹 12 20
酥梨 4 7
题型7 几何问题
19．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．

20．如图，数轴上，点，表示的数分别为，，点为负半轴上任意一点，它表示的数为．
计算的值；
在中，其中一个数是另两个数的平均数，求的值；
嘉琪认为：当时，，则以的长为边长不能构成三角形．若以的长为边长能构成三角形，请直接写出的取值范围．
21．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且．
(1)求m的值；
(2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值．
题型8 计费问题
22．从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3min收费2.4元，超过3min后每分加收1元．本题中通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min计费．若小江有10元钱，则他打一次电话最多可以通话的时间是（　　）
A．9min B．10min C．11min D．12min
23．小明家每月水费都不少于26元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费3元，小明家每月用水量至少是 立方米．
24．某市出租车的收费标准如下：
里程 收费标准元
千米以下（含千米）
千米以上的部分，每增加千米
此外，每辆出租车均加收元燃油附加费．
今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？
题型9 积分问题
25．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（ ）
A．场 B．场 C．场 D．场
26．某次体育测试共有100名同学参与，在测试（满分20分．分值为整数）中，有5名学生申请免考（得分16分）．要使得平均分达到19.5，至少需要 名学生满分．
27．环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分．
(1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题；
(2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？
题型10 方案问题
28．市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
29．某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗．
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
30．污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买两种型号污水处理设备共台，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．A、B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如下表：
型 B型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月） 220 180
(1)求的值．
(2)经预算，市治污公司购买污水处理设备的资金不超过万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于吨，为了节约资金，请直接为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
题型11 其他问题
31．如图为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打羽毛球6小时，经服务生计算后，告诉他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场？（ ）
包场计费方案 包场每场每小时90元 每人须付入场费10元 人数计费方案 每人打球3小时54元 接着续打每人每小时8元
A．6 B．7 C．8 D．9
32．小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的．
33．“五一”假期即将来临，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出了赴某地旅游的团体（多于4人）优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的七五折优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人600元．
(1)若团体人数为6人，选择哪家旅行社更优惠；
(2)设团体有人，随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
34．某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　）
A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12
C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x≥12
35．某工厂的一条流水线匀速生产产品，在有一些产品积压的情况下，经过实验，若安排9人包装，则需要可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要才能包装完所有产品．假设每个人包装速度一样．现要在内完成产品包装任务，则至少需要安排的人数是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．20
36．将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（ ）
A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个
C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个
37．水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，应至少（　　）折出售．
A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折
38．某公司开发了一个模型，用于实时视频分析．模型的推理时间T（单位：毫秒）与输入数据的大小（单位：）的关系表达式为：，为了保证实时性，公司希望模型的推理时间不超过100毫秒．以下哪个选项正确描述了输入数据大小的取值范围，使得推理时间不超过100毫秒？（ ）
A． B． C． D．
39．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速60km/h的路段上，当距离下一路口800m时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为64s，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口．则小车当前行驶速度x km/h的取值范围是 　 　．
40．凤中初一某班有若干名学生参加研学活动，分住若干个宿舍，若每间宿舍住6人，则还余10人无房间可住；若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，该班参加研学的学生共有 人．
41．小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是 本．
42．李明去医院体检，看到甲、乙两窗口前面排队办理登记的人一样多（设为人，），就站在甲窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现甲窗口每分钟有4人登记完离开队伍，乙窗口每分钟有8人登记完离开队伍，且乙窗口队伍后面每分钟增加6人．李明迅速从甲窗口队伍转移到乙窗口队伍后面重新排队．则：
（1）此时李明到达乙窗口所需时间为 （用含的式子表示）；
（2）若李明到达乙窗口所花的时间比继续在甲窗口排队到达甲窗口所花的时间少，不考虑其他因素，则的最小值为 ．
43．为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
44．甲、乙两地相距，小李要从甲地到乙地办事．若他以的速度骑自行车前往可按时到达，现在小李走了后因有事停留了，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？
45．为配合城市“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．
（Ⅰ）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？
（Ⅱ）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．如果黄老伯培育这些花木总利润不少于18000元，培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，那么黄老伯至少培育甲种花木多少株？
46．某水果店销售两种规格的水果礼盒，A水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价为每盒60元．若该店购进两种水果礼盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得总利润至少为3000元，且两种水果礼盒全部售完．最多购进A水果礼盒多少盒？
47．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下：
(1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案．
48．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元，
一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过千瓦时
超过千瓦时但不超过千瓦时的部分
超过千瓦时的部分
(1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元；
(2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费；
(3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？
49．为鼓励同学们积极参加体育锻炼，学校计划拿出不超过2400元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为5：1，单价和为90元．
（Ⅰ）篮球和排球的单价分别是多少元？
（Ⅱ）若要求购买的篮球和排球共40个，且购买的篮球数量多于28个，有哪几种购买方案？如果你是校长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由．
50．2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动．现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少1辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆大客车上至少要有1名教师．甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表：
甲种型号大客车 乙种型号大客车
载客量/（人/辆） 40 55
租金（元/辆） 500 600
(1)共需租______辆大客车；
(2)最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
51．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
52．用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒．
（1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张．
（2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒．
53．为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案．
甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费；
乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费．
若某顾客准备购买标价为元的商品．
(1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示）
(2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围．
54．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
55．任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些笔记本用于摘抄“好词好句”．
驱动任务：购买笔记本的最省钱方案．
数据信息
信息一 购进A、B两种型号的笔记本．
信息二 已知A型号笔记本12元/个，B型号笔记本8元/个．
问题解决
任务一 我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔记本多少个
任务二 在满足任务一的条件下，要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，我班购进笔记本的方案有哪几种？哪种方案最省钱？
56．在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元．
（1）求商品和商品的售价分别是多少元？
（2）在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值．
57．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板．
（1）制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张．
（2）若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
（3）如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
（4）如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个．
58．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
（1）若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
（2）若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
（3）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
59．如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
60．2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品．
（1）当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元．
（2）顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
（3）B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围中小学教育资源及组卷应用平台
【提优小专题】 一元一次不等式的应用
题型1 工程问题
1．一个工程原定在10天内至少要挖土；在前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，以后6天平均每天至少要挖土（ ）
A．56 B．60 C．72 D．80
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设后6天平均每天要挖土，根据题意可得不等式，解不等式即可．
【详解】解：设后6天平均每天要挖土，
则，
解得：，
∴平均每天至少要挖土，
故选：D．
2．某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建 米．
【答案】72
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，乙工程队平均每天至少要修建x米，根据“14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程”，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：乙工程队平均每天至少要修建x米，根据题意得
，
解得．
即乙工程队平均每天至少要修建72米．
故答案为：72 ．
3．某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？
【答案】60个
【解析】
【分析】根据题意，列出一元一次不等式，解出答案即可．本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等量关系是解决本题的关键．
【详解】解：设后面的时间每小时加工个零件，
根据题意，得，
解得．
答：后面的时间每小时他至少要加工60个零件．
题型2 行程问题
4．小明周末参加同学聚会，原计划15分钟内到达聚会地点，打车出发5分钟后发生了交通堵塞，于是小明准备下车跑步前往．已知出租车的行驶速度为45千米/小时，从家距离聚会点共6千米，若小明想要按时到达聚会地点，则他的跑步速度至少是（ ）
A．225米/分钟 B．200米/分钟 C．12千米/小时 D．10千米/小时
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意正确列出一元一次不等式，即可完成求解．
【详解】设他的跑步速度是x千米/分钟，45千米/小时千米/分钟，
∵原计划15分钟内到达聚会地点，打车出发5分钟后发生了交通堵塞，
∴若小明想要按时到达聚会地点，应在分钟内到达聚会地点．
∵已知出租车的行驶速度为45千米/小时，即千米/分钟，从家距离聚会点共6千米，
∴，
解得：，
∴他的跑步速度至少是千米/分钟，即225米/分钟．
故选：A．
5．为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于分钟列出不等式即可．
【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为
，
故答案为：．
6．甲、乙两车从相距210千米的A、B两地相向而行，且均保持匀速行驶，甲的行驶速度为60千米/时，乙的行驶速度为30千米/时．若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，原地检修用了30分钟后继续按原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/时？
【答案】乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，，利用路程=速度×时间，结合乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】解：设乙车比原来的行驶速度提高m千米/时，
根据题意得：，
解得，
的最小值为15．
答：乙车要比原来的行驶速度至少提高15千米/时．
题型3 盈不足问题
7．把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（　　）
A．5（x+8）＜11x B．5x+8＜11x
C．8x+5＜11x D．8（x﹣1）+5＜11x
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【详解】解：根据题意可得：5（x+8）＜11x，
故选：A．
8．有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有 　 　学生．
【答案】28
【解析】
【分析】设这个班共有x位学生，根据“班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球”求出x的取值范围，再根据x、、、都是正整数，即可求出x的值．
【详解】解：设该班共有x名学生，根据题意可列不等式为：
x6．
解不等式得：x＜56．
因为x是正整数且是2、4、7的公倍数．
所以 x＝28．
即：这个班至少有 28名学生．
故答案为：28．
9．把一些书分给若干同学，若每人分10本，则余8本；若每人分13本，则不够．则至少有 　 　名同学．
【答案】3
【解析】
【分析】依据题意，设有x名同学，从而可得10x+8＜13x，解不等式后结合x取正整数可以判断得解．
【详解】解：由题意，设有x名同学，
∴10x+8＜13x．
∴x＞2．
又x为正整数，
∴至少有3名同学．
故答案为：3．
题型4 和差倍分问题
10．某环保活动中，要求每人每天回收废旧电池不少于5节．若小明一周（7天）回收的电池总数超过35节，则他平均每天至少回收的电池数为（ ）
A．5节 B．6节 C．7节 D．8节
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设他平均每天回收的电池数为x节，根据小明一周（7天）回收的电池总数超过35节建立不等式求解即可．
【详解】解：设他平均每天回收的电池数为x节，
由题意得，，
解得，
∵x为正整数，
∴x的最小值为6，
∴他平均每天至少回收的电池数为6节，
故选：B．
11．有人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共，每捆材料重，电梯载重不能超过，则该电梯在此人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设还能搭载捆材料，根据电梯最大负荷为，列出不等式，然后求解即可，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
【详解】解：设还能搭载捆材料，
根据题意得，，
解得：，
∴最多还能搭载捆材料，
故答案为：．
12．十七中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）学校决定购买这两种地球仪共30个，总费用不超过1000元，那么学校最多可以购买多少个大地球仪？
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）根据购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元，可以列出相应的不等式组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和题目中的数据，可以写出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，
由题意可得，
解得，
答：大地球仪 52元，小地球仪28元．
（2）设学校购买m个大地球仪，
根据题意得52m+28（30﹣m）≤1000，
解得m≤6，
∴m最大的整数值为6．
答：学校最多可买6个．
题型5 销售问题
13．某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2600元，标价为3640元，如果厂商要以轻答利润不低于5%的售价打折出售，最低可打几折（　　）
A．7.5折 B．8折 C．8.5折 D．9折
【答案】A
【解析】
【详解】解：设该平板打x折销售，
根据题意得：3640×﹣2600≥2600×5%，
解得：x≥7.5，
∴x的最小值为7.5，
即最低可打7.5折．
故选：A．
14．某水果超市用每千克元的价格购进千克苹果，经调查在运输和销售过程中质量会损失，假设不计超市其他费用，如果超市想要获得及以上的利润，那么这批苹果每千克的售价在进价的基础上应至少提高 元．
【答案】
【解析】
【分析】根据：利润＝销售收入－成本，结合超市想要获得及以上的利润，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设这批苹果每千克的售价在进价的基础上提高元，
由题意，得：，
解得：，
∴这批苹果每千克的售价在进价的基础上应至少提高元，
故答案为：．
15．抖音直播带货成为当下网络销售的主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款羽绒服开展促销活动，该款羽绒服进价为300元，原售价为400元，优惠活动如下：
活动一：所购羽绒服一律打九折；
活动二：所购羽绒服超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折．
（1）购买四件该款羽绒服的客户参与哪个活动更划算？
（2）购买多少件时，这两种优惠活动的付款金额一样？
（3）活动结束后，平台商家将剩余的该款羽绒服按原价的九五折销售，若这些羽绒服每周获利不低于3200元，求这些羽绒服每周至少需卖出多少件？
【答案】（1）购买四件该款羽绒服的客户参与活动一更划算；
（2）购买9件时，这两种优惠活动的付款金额一样；
（3）这些羽绒服每周至少需卖出40件．
【解析】
【详解】解：（1）按活动一付款为：400×4×0.9＝1440（元），
按活动二付款为：400×3+400×（4﹣3）×0.85＝1540（元），
∵1440＜1540，
∴购买四件该款羽绒服的客户参与活动一更划算；
（2）设购买x件时，这两种优惠活动的付款金额一样，
由题意可得：400x×0.9＝400×3+400（x﹣3）×0.85，
解得x＝9，
答：购买9件时，这两种优惠活动的付款金额一样；
（3）设这些羽绒服每周需卖出a件，
由题意可得：（400×0.95﹣300）a≥3200，
解得a≥40，
答：这些羽绒服每周至少需卖出40件．
题型6 图表信息题
16．某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下：
租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元）
标准租赁 1.5 15 0.2
学生会员租赁 1.5 30 0.1
包日畅骑 10 不限时长 /
以上资费有以下补充说明：
①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠．
②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数．
出发前有8人请假，现只有32人参加此次活动，班级计划部分同学打车（每车36元，每辆车坐满4人），其余同学骑行包日畅骑．恰逢节假日，包日畅骑基础费用打4折．若总交通预算为200元，最多允许几个人打车（ ）
A．8人 B．12人 C．16人 D．20人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设最多允许x个人打车，则有人骑行包日畅骑，根据总交通预算为200元，列出不等式求解即可．
【详解】解：设允许x个人打车，则有人骑行包日畅骑，
根据题意：，为4的倍数且为正整数，
整理得：，
解得：，
则最多允许个人打车，
故选：B．
17．某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
类型价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 30 45
B型 50 70
(1)若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
(2)将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场需要至多购进多少盏A型台灯？
【答案】(1)购进型台灯55盏，型台灯25盏．
(2)20盏
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的的应用：
（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，根据购进两种新型台灯共80盏，预计进货款为2900元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进A型台灯a盏，根据总利润不低于1500元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，
根据题意得，
解得，
答：购进A型台灯55盏，B型台灯25盏；
（2）解：设购进A型台灯a盏，则B型台灯盏，
根据题意得：，
解得，
答：该商场最多购进20盏A型台灯．
18．酥梨酥脆爽口，山竹酸甜可口，广受顾客喜爱，某水果商店计划购进山竹和酥梨共200千克，已知山竹和酥梨的进价和售价如表所示．若要此次山竹和酥梨全部售完的利润不低于1000元，则最多购进酥梨 千克．
进价（元/千克） 售价（元/千克）
山竹 12 20
酥梨 4 7
【答案】120
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设购进酥梨x千克，则购进山竹千克，根据总利润不低于1000列出不等式求解即可．
【详解】解：设购进酥梨x千克，则购进山竹千克，
由题意得，，
解得，
∴最多购进酥梨120千克，
故答案为：120．
题型7 几何问题
19．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．

【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
∵
∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：；
第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
∴的值为：或．
故答案为：或．
20．如图，数轴上，点，表示的数分别为，，点为负半轴上任意一点，它表示的数为．
计算的值；
在中，其中一个数是另两个数的平均数，求的值；
嘉琪认为：当时，，则以的长为边长不能构成三角形．若以的长为边长能构成三角形，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）1；（2），；（3）
【解析】
【分析】将，的值代入即可得到答案；
分三种情况讨论，将不合题意的舍去即可；
由题意得，，，分情况讨论，再根据三角形的三边关系即可得出答案．
【详解】解：，
．
①当a为平均数时，得
解得；
②当x为平均数时，得
解得；
③当b为平均数时，得
，解得（不合题意，舍去）．
．
由题意得，，
①当时
令，解得；
所以当时能构成三角形；
②当时能构成三角形．
综上．
21．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且．
(1)求m的值；
(2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值．
【答案】(1)m的值为8
(2)19
【解析】
【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用．
（1）根据题意，结合数轴得；
（2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值．
【详解】（1）解：，点B在点A的右侧，
，
即m的值为8；
（2）解：由题意，得，
解得，
的最小整数值为19．
题型8 计费问题
22．从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3min收费2.4元，超过3min后每分加收1元．本题中通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min计费．若小江有10元钱，则他打一次电话最多可以通话的时间是（　　）
A．9min B．10min C．11min D．12min
【答案】B
【解析】
【分析】设他打一次电话可以通话的时间是x min，利用通话费用＝2.4+1×超过3min的时间，结合通话费用不超过10元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】解：设他打一次电话可以通话的时间是x min，
根据题意得：2.4+（x﹣3）≤10，
解得：x≤10.6，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为10．
故选：B．
23．小明家每月水费都不少于26元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费3元，小明家每月用水量至少是 立方米．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明家每月用水量为立方米，根据收费标准，以及小明家每月水费都不少于26元，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴小明家每月用水量超过5立方米，
设小明家每月用水量为立方米，由题意，得：
，
解得：；
∴小明家每月用水量至少是9立方米；
故答案为：9．
24．某市出租车的收费标准如下：
里程 收费标准元
千米以下（含千米）
千米以上的部分，每增加千米
此外，每辆出租车均加收元燃油附加费．
今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，并根据题意列出不等式是解题关键．直接利用表格设小华家到学校，判断当时满足题意；当时，表示出所需费用进而得出不等式求出答案．
【详解】解：设小华家到学校，
当时，
因为，
故满足题意；
当时，
根据题意可得：，
解得：，
答：小华家到学校最多．
题型9 积分问题
25．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（ ）
A．场 B．场 C．场 D．场
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设该校足球队获胜了场，则平了场，根据最后的积分不少于分可列不等式，解不等式可得获胜的场次最少是多少．
【详解】解：设该校足球队获胜了场，则平了场，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
的最小值为．
故应选：B．
26．某次体育测试共有100名同学参与，在测试（满分20分．分值为整数）中，有5名学生申请免考（得分16分）．要使得平均分达到19.5，至少需要 名学生满分．
【答案】65
【解析】
【分析】设至少需要名学生满分，为使满分人数最少，则其他人测试成绩应为19分，根据题意，列不等式，求解即可．
【详解】解：设至少需要名学生满分，
为使满分人数最少，则其他人测试成绩应为19分，
根据题意，可得 ，
解得 ，
所以，至少需要65名学生满分．
故答案为：65．
27．环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分．
(1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题；
(2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？
【答案】(1)小明答对了17道题
(2)他至少需要答对24道题
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．
（1）设小明答对x道题，根据题意列方程求解即可；
（2）设他需要答对道题，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设小明答对x道题，
由题意得：，
解得：，
答：小明答对了17道题．
（2）解：设他需要答对道题，
，解得：，
为正整数，
，
答：他至少需要答对24道题．
题型10 方案问题
28．市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的应用，设购买甲种卡车x辆，则购买乙种卡车辆，根据车队需要一次运输沙石165吨以上列不等式求解即可．
【详解】解：设购买甲种卡车x辆，则购买乙种卡车辆．
依题意得：，
解得．
根据题意，x为非负整数，所以，，．
所以车队有3种购买方案：
方案一：不购买甲种卡车，购买乙种卡车6辆；
方案二：购买甲种卡车1辆，购买乙种卡车5辆；
方案三：甲种卡车2辆，购买乙种卡车4辆．
故选：C．
29．某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗．
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
【答案】(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元
(2)250棵
(3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键．
（1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可；
（2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可；
（3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可．
【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，
根据题意，得，解得：
答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元．
（2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．
由题意可得：，解得．
答：至少购买“女贞”树苗250棵．
（3）解：由题意：可列不等式，解得：．
由（2）可知，
．
为整数，
的取值可以是250，251，252，
有三种购买方案，
方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）；
方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）；
方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）．
，
方案一最省钱．
答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵．
30．污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买两种型号污水处理设备共台，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．A、B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如下表：
型 B型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月） 220 180
(1)求的值．
(2)经预算，市治污公司购买污水处理设备的资金不超过万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于吨，为了节约资金，请直接为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【答案】(1)
(2)购买A型设备台，则购买B型设备台；购买A型设备台，则购买B型设备台；购买A型设备台，则购买B型设备台；购买A型设备台，则购买B型设备台；
(3)应购买A型设备台，则购买B型设备台；
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）由题意得，即可求解；
（2）设购买A型设备台，则购买B型设备台，由题意得，即可求解；
（3）由题意得，结合即可求解
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：
（2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台，
由题意得：，
解得：
∴有四种购买方案
购买A型设备台，则购买B型设备台；
购买A型设备台，则购买B型设备台；
购买A型设备台，则购买B型设备台；
购买A型设备台，则购买B型设备台；
（3）解：由题意得：，
解得：
∵
∴
∴或
当时，购买设备的资金为：（万元）；
当时，购买设备的资金为：（万元）；
∴应购买A型设备台，则购买B型设备台，最省钱
题型11 其他问题
31．如图为某羽毛球场馆的两种计费方案说明，若王老板和朋友们打算在此羽毛球场馆里连续打羽毛球6小时，经服务生计算后，告诉他们选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们至少有多少人参与包场？（ ）
包场计费方案 包场每场每小时90元 每人须付入场费10元 人数计费方案 每人打球3小时54元 接着续打每人每小时8元
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据选择包场计费方案会比人数计费方案便宜，列出不等式，解不等式求得最小整数解，即可求解．
【详解】解：设有人参与包场，根据题意得，
解得：
∴的最小整数解为
故选：C．
32．小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少 岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查列不等式的应用．设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可．
【详解】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，
根据题意，得
，
解得，
答：小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的．
故答案为：17．
33．“五一”假期即将来临，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出了赴某地旅游的团体（多于4人）优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的七五折优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人600元．
(1)若团体人数为6人，选择哪家旅行社更优惠；
(2)设团体有人，随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
【答案】(1)选择乙旅行社更优惠；
(2)当时，乙旅行社收费更优惠；当时，两家旅行社一样优惠；当时，甲旅行社更优惠．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确用含x的代数式表示出两个旅行社的费用是解题的关键．
（1）根据优惠办法求出选择甲、乙两家旅行社的费用即可判断；
（2）含x的代数式表示出两个旅行社的费用，然后建立方程和不等式求解即可．
【详解】（1）解：甲旅行社的费用为：元，
乙旅行社的费用为：元，
∵，
∴选择乙旅行社更优惠；
（2）解：甲旅行社的费用为：元，
乙旅行社的费用为：元，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴当时，乙旅行社收费更优惠；当时，两家旅行社一样优惠；当时，甲旅行社更优惠．
34．某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　）
A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12
C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x≥12
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意表示出胜与负所得总分数大于等于12，进而得出不等关系．
【详解】解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是：2x+（8﹣x）≥12．
故选：A．
35．某工厂的一条流水线匀速生产产品，在有一些产品积压的情况下，经过实验，若安排9人包装，则需要可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要才能包装完所有产品．假设每个人包装速度一样．现要在内完成产品包装任务，则至少需要安排的人数是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，设每个人的包装速度为件/小时，每小时流水线生产产品件，原有产品件，根据“若安排9人包装，则需要可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要才能包装完所有产品”列出方程组，解方程组得出，设需要人在内完成产品包装任务，根据“现要在内完成产品包装任务”列出不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：设每个人的包装速度为件/小时，每小时流水线生产产品件，原有产品件，
由题意得：，
解得：，
设需要人在内完成产品包装任务，
由题意得：，即，
解得：，
∴至少需要安排的人数是18，
故选：C．
36．将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（ ）
A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个
C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，根据不等式表示的意义解答即可求解，理解题意和不等式是解题的关键．
【详解】解：由不等式可得：将一包糖果分给学生，若每人分4个，则还剩7个，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．
∴横线的信息是每人分4个，则还剩7个，
故选：．
37．水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，应至少（　　）折出售．
A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折
【答案】D
【解析】
【分析】设余下水果可按原定价打x折出售，分别表示出打折前后的利润，进而得出不等式求出即可．
【详解】解：设余下水果可按原定价打x折出售，根据题意可得：
，
解得：x≥9，
即应至少九折出售余下水果．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的应用，正确列出不等式是解题关键．
38．某公司开发了一个模型，用于实时视频分析．模型的推理时间T（单位：毫秒）与输入数据的大小（单位：）的关系表达式为：，为了保证实时性，公司希望模型的推理时间不超过100毫秒．以下哪个选项正确描述了输入数据大小的取值范围，使得推理时间不超过100毫秒？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据推理时间不超过100毫秒列出不等式求解即可．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
∴输入数据大小的取值范围为：．
故选B．
39．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速60km/h的路段上，当距离下一路口800m时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为64s，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口．则小车当前行驶速度x km/h的取值范围是 　 　．
【答案】45≤x≤60
【解析】
【分析】分别将800m和64s换算成以km和h为单位的数值，根据“时间＝路程÷速度”列关于x的不等式并求解即可．
【详解】解：800m＝0.8km，64sh，
根据题意，得4x≥0.8×225，
∴x≥45，
∵x≤60，
∴45≤x≤60．
故答案为：45≤x≤60．
40．凤中初一某班有若干名学生参加研学活动，分住若干个宿舍，若每间宿舍住6人，则还余10人无房间可住；若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，该班参加研学的学生共有 人．
【答案】
【解析】
【分析】设有间宿舍，则学生有人，若每间住8人，则有一间超过4人但不足8人，说明学生住满间，还剩的人数大于4小于8，可列出不等式求解即可得出答案．
【详解】解：设有间宿舍，则学生有人
由题意，得
解得
宿舍间数只能是整数
该班参加研学的学生共有人
故答案为：．
41．小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是 本．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，根据小滨买笔记本和水笔的钱数最多为元，可列不等式，不等式的解集为，因为笔记本的数量只能为正整数，所以的值应在解集中取最大整数．
【详解】解：设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，
根据题意可得：，
解得：，
为正整数，
，
答：小滨最多能买的笔记本数是本．
故答案为： ．
42．李明去医院体检，看到甲、乙两窗口前面排队办理登记的人一样多（设为人，），就站在甲窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现甲窗口每分钟有4人登记完离开队伍，乙窗口每分钟有8人登记完离开队伍，且乙窗口队伍后面每分钟增加6人．李明迅速从甲窗口队伍转移到乙窗口队伍后面重新排队．则：
（1）此时李明到达乙窗口所需时间为 （用含的式子表示）；
（2）若李明到达乙窗口所花的时间比继续在甲窗口排队到达甲窗口所花的时间少，不考虑其他因素，则的最小值为 ．
【答案】 13
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
【详解】解：（1）由题意可得：，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：，
∵为正整数，
的最小值为13，
故答案为：13．
43．为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米．
【解析】
【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，
由题意得：，
解得，
则（千米），（千米），
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；
（2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米），
乙工程队每天对其施工的长度（千米），
设甲工程队后期每天施工千米，
则，
解得，
即，
答：甲工程队后期每天至少施工千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．
44．甲、乙两地相距，小李要从甲地到乙地办事．若他以的速度骑自行车前往可按时到达，现在小李走了后因有事停留了，为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？
【答案】为了不迟到，小李后来的速度至少是
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设小李后来的速度为．根据甲、乙两地相距，以的速度骑自行车可按时到达，走了后因有事停留了，得，再解出，即可作答．
【详解】解：设小李后来的速度为．
由题意，得，
即．
不等式两边都减去45，得．
不等式两边都除以2.5，得．
故为了不迟到，小李后来的速度至少是．
45．为配合城市“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．
（Ⅰ）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？
（Ⅱ）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．如果黄老伯培育这些花木总利润不少于18000元，培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，那么黄老伯至少培育甲种花木多少株？
【答案】见解析
【解析】
【分析】（I）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元，根据“如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（II）设黄老伯培育甲种花木m株，则培育乙种花木（3m﹣10）株，利用总利润＝每株的利润×培育数量，结合黄老伯培育这些花木总利润不少于18000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】解：（Ⅰ）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种花木每株的培育成本为200元，乙种花木每株的培育成本为300元．
（Ⅱ）设黄老伯培育甲种花木m株，则培育乙种花木（3m﹣10）株，
依题意得：（300﹣200）m+（500﹣300）（3m﹣10）≥18000，
解得：．
∵m为正整数，
∴m≥29．
答：黄老伯至少培育甲种花木29株．
46．某水果店销售两种规格的水果礼盒，A水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价为每盒60元．若该店购进两种水果礼盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得总利润至少为3000元，且两种水果礼盒全部售完．最多购进A水果礼盒多少盒？
【答案】最多购进A水果礼盒48盒
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程，整理得到，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可．
【详解】解：设购进A种水果礼盒m盒，则购进B种水果礼盒n盒．由题意，得
，
整理，得．
由题意，得，
整理，得．
把代入，得，
解得．
因为均为非负整数，
所以当时，．
故最多购进A水果礼盒48盒．
47．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下：
(1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案．
【答案】(1)应选用A种食品4包，B种食品2包
(2)应选用A种食品3包，B种食品4包
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用：
（1）设选用A种食品x包，种食品y包，根据“恰好摄入热量和蛋白质”列方程组，即可求解；
（2）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设选用A种食品x包，种食品y包，
由题意可知，，
解得．
答：应选用A种食品4包，B种食品2包．
（2）解：设应选用A种食品a包，B种食品包，
由题意可知，．
解得：．
当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为，
脂肪含量随a的增大而减小．
∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少．
B种食品:（包）．
答：应选用A种食品3包，B种食品4包．
48．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元，
一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过千瓦时
超过千瓦时但不超过千瓦时的部分
超过千瓦时的部分
(1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元；
(2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费；
(3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？
【答案】(1)
(2)元
(3)不超过千瓦时
【解析】
【分析】（）根据用电量不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦列式计算即可；
（）据题意列出方程求出的值，再列代数式表示即可；
（）设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元，根据电费的阶梯价格列不等式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴交电费元，
故答案为；
（2）解：由题意得，，
解得，
即超过千瓦时候不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦时，
∴当一户居民某月用电量超过千瓦时，这户居民应交的电费为元；
（3）解：设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元，
当时，由题意可知，其当月的平均电价每千瓦时均不超过元；
当时，由题意得，，
解得，
∴居民一月用电不超过千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元．
49．为鼓励同学们积极参加体育锻炼，学校计划拿出不超过2400元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为5：1，单价和为90元．
（Ⅰ）篮球和排球的单价分别是多少元？
（Ⅱ）若要求购买的篮球和排球共40个，且购买的篮球数量多于28个，有哪几种购买方案？如果你是校长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）设排球单价为x元，则篮球单价为5x元，然后根据单价和为90元列方程即可求解；
（2）根据购买的篮球数量多于28个，且总费用不超过2400元即可列不等式组求解．
【详解】解：（1）设排球单价为x元，则篮球单价为5x元，
则依题意得x+5x＝90，
解得：x＝15，
∴5x＝75，
∴篮球和排球单价分别为75元和15元；
（2）设篮球为m个，则排球为（40﹣m）个，
依题意得，
解得：28＜m≤30，
因为m为非负整数，
所以m值为29，30
∴方案有两种：
方案①篮球购买29个，排球购买11个，
所需资金为：75×29+15×11＝2340（元）；
方案②篮球购买30个，排球购买10个，
所需资金为：75×30+15×10＝2400（元），
∵2340＜2400，
∴从节约资金的角度，应该选方案①：购进篮球29个，排球11个．
50．2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动．现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少1辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆大客车上至少要有1名教师．甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表：
甲种型号大客车 乙种型号大客车
载客量/（人/辆） 40 55
租金（元/辆） 500 600
(1)共需租______辆大客车；
(2)最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
【答案】(1)11
(2)最多可以租用3辆甲种型号大客车
(3)见解析
【解析】
【分析】根据题意找出不等关系，列出不等式即可求解
【详解】（1）11
（2）设租用辆甲种型号大客车，则租用辆乙种型号大客车，
依题意，得，解得．
∵为正整数，∴可以取的 最大值为3．
答：最多可以租用3辆甲种型号大客车．
（3）∵，且为正整数，∴或2或3，∴有3种租车方案．
方案1：租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；
方案2：租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；
方案3：租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车．
选择方案1所需租车费用为（元）；
选择方案2所需租车费用为（元）；
选择方案3所需租车费用为（元）．
∵，∴租车方案3最节省钱．
51．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值．
【详解】∵a=3，b+c=5，
∴p=；
=4（bc-4）==9，
当且仅当b=c=2.5时取等号，
∴,
∴这个三角形的面积的最大值是3．
故选：B．
52．用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒．
（1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张．
（2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解．
（1）直接列式计算即可．
（2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板；
故答案为：
（2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个．
由题意得
解得：；
即；
∵，
∴，
解得：；
∵x是整数，
∴的最大整数为．
∴最多能做个竖式纸盒．
故答案为：
53．为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案．
甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费；
乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费．
若某顾客准备购买标价为元的商品．
(1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示）
(2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确列出代数式，找出数量关系列出一元一次不等式．
（1）根据甲、乙的促销方案进行解答即可；
（2）分两种：当时和当时，分别列出一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）解：在甲商场购买的优惠价（元），
在乙商场购买的优惠价（元），
故答案为：；；
（2）解：当时，
由题意可得：，
解得：；
当时，
由题意可得：，
解得：，
∴时，顾客在甲商场购物花费少，
综上所述，顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围为．
54．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一天 3台 5台 1620元
第二天 4台 10台 2760元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据近两天的销售情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据总价＝单价×数量结合总价不超过5400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）根据总利润＝每台利润×数量结合总利润不少于1060元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，结合（2）的结论及a为整数，即可得出各采购方案．
【详解】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，
依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400，
解得：a≤18．
答：A种型号的电风扇最多能采购18台．
（3）依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060，
解得：a≥16．
∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a为整数，
∴a＝16，17，18．
∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台．
55．任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些笔记本用于摘抄“好词好句”．
驱动任务：购买笔记本的最省钱方案．
数据信息
信息一 购进A、B两种型号的笔记本．
信息二 已知A型号笔记本12元/个，B型号笔记本8元/个．
问题解决
任务一 我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔记本多少个
任务二 在满足任务一的条件下，要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，我班购进笔记本的方案有哪几种？哪种方案最省钱？
【答案】任务一：最多可购买型笔记本个；任务二：购买型笔记本30个，型笔记本个；购买型笔记本31个，型笔记本个；购买型笔记本32个，型笔记本个；购买型笔记本30个，型笔记本个，最省钱．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
任务一：设购买型笔记本个，则购买型笔记本个，由购买费用不超过528元．列出一元一次不等式求解即可；
任务二：根据要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，列出不等式，结合为正整数，即可得到购买方案，再计算出费用比较即可求解．
【详解】任务一：
解：设购买型笔记本个，则购买型笔记本个，
由题意可得：，
解得：，
答：最多可购买型笔记本个；
任务二：
解：由题意可得：，
解得：，
由任务一知，
则，
∵为正整数，
∴或或，
∴有三种购买方案：
购买型笔记本30个，型笔记本个，所需费用为（元）；
购买型笔记本31个，型笔记本个，所需费用为（元）；
购买型笔记本32个，型笔记本个，所需费用为（元）；
∵，
∴购买型笔记本30个，型笔记本个，最省钱．
56．在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元．
（1）求商品和商品的售价分别是多少元？
（2）在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值．
【答案】（1）商品的售价是150元，商品的售价是200元（2）的最小值是8
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键：
（1）设商品的售价是元，商品的售价是元，根据购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元，列出方程组进行求解即可；
（2）根据销售总额不低于87600元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设商品的售价是元，商品的售价是元

解得
答：商品的售价是150元，商品的售价是200元．
（2）由题意可得：

解得：
答：的最小值是8．
57．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板．
（1）制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张．
（2）若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
（3）如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
（4）如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个．
【答案】（1）3，4（2）制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个（3）的最大值为12（4）27
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可；
（1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果；
（2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可；
（3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可；
（4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可．
【详解】（1）由题意可得，
1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型，
故答案为：3，4；
（2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得，
，解得，
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个；
（3）解：根据题意，得．
解得．
为非负整数，
的最大值为12；
（4）设可以制作横式纸盒个．
个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，
需要张型和张型，
，解得，
在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个．
故答案为：27．
58．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
（1）若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
（2）若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
（3）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
【答案】（1）最多可以购买5台型电脑；（2）共有2种购买方案（3）该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值；
（2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；
（3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6．
【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
，均为正整数，
的最大值为12，的最大值为5．
答：最多可以购买5台型电脑；
（2）解：共有2种购买方案，
方案1：购买3台型电脑，33台型电脑；
方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下：
（元，，
可能有两种情况．
①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
购买3台型电脑，33台型电脑；
②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
购买7台型电脑，29台型电脑．
共有2种购买方案，
方案1：购买3台型电脑，33台型电脑；
方案2：购买7台型电脑，29台型电脑；
（3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，
根据题意得：，
．
购买型电脑的实际总费用不少于100000元，
，
即，
解得：，
．
答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值．
59．如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则的取值范围是 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
当时，，
故答案为：；
（2）由题意得：，，
或，
，
或，
解得：或，
即或时，；
（3），
点在线段上，
，
和的高相等，
，
即，
解得：，
即当秒时，．
60．2023年五一黄金周武汉东湖风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外A，B两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，A商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，B商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品．
（1）当时，在A商店购买的优惠价为 元，在B商店购买的优惠价为 元．
（2）顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程．
（3）B商场为了吸引顾客，制定了进一步的优惠方案：购物价格累计不超过元不打折，超过但不超过元的部分打八八折，超出500元的部分打七五折．A商场没有调整优惠方案，当顾客选择B商场购物花费更少时，直接写出x的取值范围
【答案】（1），（2）见解析（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据A、B两商店的优惠方案进行解答即可；
（2）列出在A、B两商店的花费列出的不等式，分情况讨论，求出顾客到哪家商店购物花费更少；
（3）当时，由题意列出一元一次不等式，可求解．
【详解】（1）解：在A商店购买的优惠价（元），
在B商店购买的优惠价（元）
故答案为：，，
（2）解：在A商店购买的优惠价（元），
在B商店购买的优惠价（元），
当顾客在A商店购物花费少时，，
解得：；
②当顾客在B商店购物花费少时，则，
解得：；
③当顾客在A，B商场购物花费相等时，则，
解得：；
∴当时，顾客在A商店购物花费少，
当时，顾客在A，B商店购物花费相等，
当时，顾客在B商店购物花费少．
（3）解：当时，
由题意可得：，
解得：，
∴当时，顾客在B商店购物花费少，
又∵当时，顾客在B商店购物花费少，
综上所述，顾客选择B商场购物花费少时x的取值范围为或，
故答案为：或．

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