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内蒙古自治区2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 三视图
限时：2min
“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐玩具之一．如图，这是一个木制的陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），则它的俯视图是（ ）
B． C． D．
押题解读
本考点为高频考点，多以选择题和填空题的形式考查。在几何图形的视图考察中，陀螺这类由圆柱体和圆锥体组合而成的几何体俯视图题型具有一定的代表性。从押题角度来看，陀螺的历史文化背景（如在明朝正式出现且为民间最早娱乐玩具之一）增加了题目的趣味性与文化底蕴，容易出现在各类结合传统文化的数学或科学素养测试题中。从知识点考察层面，通过让学生判断陀螺的俯视图，能有效检验学生对圆柱体和圆锥体组合后从上方观察呈现图形的理解，以及对俯视图概念的掌握程度。此类题型符合当下将知识与生活实际、传统文化相融合的命题趋势，在未来的考试中极有可能再次出现，同学们需格外注意准确分析组合体不同部分在俯视图中的呈现形式。
1．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　）
A．B．C． D．
2．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体中，主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的几何体是由5个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）

B． C． D．
押题猜想二 整式的运算
限时：2min
下列运算正确的是（　　）
A． B．
D．
押题解读
整式的运算为高频考点，以选择题或填空题的形式考查，难度不大。主要围绕整式运算设置选项，全面考查学生对整式运算规则的理解与运用。A 选项考查合并同类项，是整式加减的基础；B 选项考查同底数幂乘法，其规则是底数不变，指数相加；C 选项考查积的乘方，需把积中每一个因式分别乘方再相乘；D 选项考查完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2 。这类题在考试中常出现，是对整式运算基础知识的重点考查，学生需牢记各类运算规则，准确识别运算类型并正确计算，以应对此类题目。
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
押题猜想三 平行线与三角尺组合的角度计算问题
限时：2min
如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A． B． C． D．
押题解读
平行线的性质与三角形内角和相关知识是中考常考考点，常以几何图形综合计算题型出现，出现在选择题或填空题的位置。本题主要考查学生对平行线性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等）的掌握，以及三角形内角和定理的运用。通过将三角尺放置在平行线间，构建角度关系，要求学生利用已知角度，结合相关定理求出未知角度，考查学生的逻辑推理和角度计算能力，预计在中考中仍会以类似形式考查学生对几何基本定理的综合运用。
1．如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，直线l1//l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）

A．32° B．38° C．48° D．52°
5．如图，和都是直角三角形，，，，点A在DE上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
押题猜想四 正负数实际意义的理解与应用问题
限时：2min
我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
押题解读
正负数的实际意义是中考常考考点 ，常以选择题、填空题等基础题型出现。主要考查学生对正负数表示相反意义量这一概念的理解。通过设置实际生活场景（如本题中粮库粮食的运进运出），让学生根据给定的正方向表示，判断负方向所代表的实际意义，考查学生将数学概念与实际生活联系起来的能力，预计在中考中会持续以贴近生活实际的情境来考查该知识点。
1．1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例
如：
这个记载比国外早了近八百年．根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（ ）
A． B．
C． D．
2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作元，则支出237元记作（ ）
A．元 B．元 C．0元 D．元
3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ）
A． B． C． D．
4．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B． C．D．
5．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
押题猜想五 反比例函数性质
限时：2min
某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
押题解读
反比例函数的性质是中考常考考点，常以填空题、选择题或解答题中的小问等形式出现。主要考查学生对反比例函数性质的理解与运用，当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大 。本题是开放性题目，让学生根据给定的函数增减性性质，写出满足条件的k值，考查学生对反比例函数性质的逆向运用和灵活掌握程度，预计中考会继续以开放或选择填空形式考查学生对反比例函数性质的熟悉度。
1．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为 ．
3．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ．
4．如图，矩形的顶点，在轴的负半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，，则的值为 ．
5．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

押题猜想六 规律探究问题
限时：2min
当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
押题解读
幂的运算、乘方的意义以及数字规律探究是中考常考考点，常以选择题、填空题等题型出现。主要考查学生对幂的运算性质、乘方意义的掌握，以及通过探究数字规律来解决问题的能力。本题以 “二维码” 为实际背景，通过对2200的不同表述判断正误，考查学生对乘方概念的理解、幂的运算法则的运用，以及对数字个位规律的探究和数的大小比较能力，体现了数学知识与实际生活的联系，预计中考会持续以贴近时代生活的情境，考查学生对幂运算相关知识的综合运用和逻辑判断能力。
1．观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
2．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为 ．
3．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6，BC=8，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，…，AnCn，则A1C1= ,AnCn＝ .
4．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．

5．如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0.过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段D1D2的长为 ，线段Dn-1Dn的长为 （n为正整数）.
押题猜想七 实数与代数式的混合运算问题
限时：2min
计算：．
押题解读
实数运算、零指数幂、负指数幂、根式运算、三角函数值计算、绝对值化简以及分式化简求值等是中考常考考点 ，常以解答题中的基础计算题形式出现。主要考查学生对各类运算法则的准确掌握与综合运用能力，像零指数幂a0=1(a?=0)、负指数幂a p=1/ap(a=0)、根式化简、特殊三角函数值（如cos30 =23 、tan30 =33 ）、绝对值的性质以及分式运算规则等。预计中考会持续以这种综合运算形式考查学生对基础运算知识的熟练度和准确性。
1.（1）计算：．
（2）若，求代数式的值．
2．计算：
(1)；
(2)．
3．计算：
(1)；
(2)．
4．先化简，再求值：，其中．
5．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．
押题猜想八 利用解直角三角形解决实际测问题
限时：2min
如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．
(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；
(2)请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：）
押题解读
解直角三角形的应用是中考常考考点 ，常以解答题的形式出现。主要考查学生将实际问题转化为数学模型，运用三角函数（如正切函数）知识求解边长的能力。本题通过测量白塔高度这一实际情境，让学生利用仰角构建直角三角形，借助已知条件和三角函数关系求出高度，考查学生对直角三角形边角关系的理解与运用，预计中考会持续以生活中测量物体高度、距离等实际场景为背景，考查学生解直角三角形的综合应用能力。
1．如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）

2．如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．

(1)求两楼之间的距离．
(2)求大厦的高度．
（结果精确到．参考数据：，，）
3．如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）

4．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
5．小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，）
押题猜想九 利用方程不等式函数解决实际问题
限时：2min
2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
押题解读
常以解答题形式出现。本题以 “地摊经济” 为背景，第一问通过两种不同采购组合的价格条件，考查学生建立二元一次方程组求解商品单价的能力，涉及到根据等量关系列方程和解方程组的知识；第二问根据资金限制条件，考查学生构建一元一次不等式组来确定商品购进数量取值范围的能力，主要考查学生对实际问题进行数学建模，运用方程和不等式知识解决实际问题的能力，预计中考会继续以贴近生活的经济场景为素材，考查学生对这类方程与不等式综合应用的掌握情况。
1．我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
2．如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为__________；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________；
③小明读报所用的时间为__________．
④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________．
(2)当时，请直接写出关于的函数解析式．
3．某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
天数 1 1 2 4 1 1
(1)求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元．
①当时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．
4．冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
5．某游泳馆普通票价为25元/次，暑假期间为了促销，推出优惠卡．优惠卡售价150元，每次凭卡另收10元．优惠卡仅限暑假期间使用，次数不限．同时，暑假期间普通票正常出售．设暑假中游泳x次，所需总费用为y元．
(1)直接写出选择普通消费和选择优惠卡消费时，y与x间的函数表达式：
， ；
(2)在同一坐标系中，两种消费方式对应的函数图象如图所示，求点B的坐标，并写出它的实际意义；
(3)请你依据游泳的次数写出较为合算的消费方式．
押题猜想十 统计与概率问题
限时：2min
某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：
信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求所抽取的学生成组为C等级的人数；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
押题解读
数据的收集、整理与分析是中考常考考点，常以解答题形式出现。本题借助频数分布直方图和扇形统计图呈现学生消防安全知识测试成绩情况，考查学生对统计图表的理解与运用能力，包括通过已知数据和比例关系计算不同等级的人数等。主要考查学生读取图表信息、利用部分与整体关系进行计算以及对数据进行分析处理的能力，预计中考会持续以实际调查场景为背景，通过多种统计图表结合的形式，考查学生对统计知识的综合应用能力。
1．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
2．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
3．端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗．为了了解附近居民对A（肉粽子），B（蛋黄粽子）．C（红枣粽子），D（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)参加此次问卷调查的居民共有______人．
(2)通过计算将条形统计图补充完整．
(3)若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人．
4．某班组织了一次成语知识趣味竞赛，有20名学生报名参加，参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人，满分10分（得分均为整数），成绩达到7分及7分以上为合格，达到9分或10分为优秀．以下是这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表．
平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组
乙组
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求出成绩统计分析表中，，的值；
(2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是哪个组的学生？
(3)你认为哪个组的成绩更好？请说明理由．
5．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
押题猜想十一 二次函数综合题
限时：2min
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
押题解读
二次函数是中考常考考点，常以解答题压轴题或次压轴题形式出现。本题第一问考查利用待定系数法求二次函数表达式，通过已知函数图象与坐标轴交点坐标代入解析式求解系数。第二问基于面积相等条件探究二次函数图象上点的坐标，考查学生对三角形面积计算方法的运用，以及通过联立方程求解点坐标的能力，涉及到函数与几何图形的综合运用，体现了对学生数学综合素养和逻辑思维能力的考查，预计中考会持续以这种函数与几何结合的形式考查二次函数相关知识。
1．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像W”，图像W交y轴于点C．
(1)写出图像W位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图像W有三个交点，请结合图像，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴交直线BC于点M，交图像W于点N，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F．
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
5．综合与实践
问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察．
数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系．
问题解决：
(1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？
(2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由.中小学教育资源及组卷应用平台
内蒙古自治区2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 三视图
限时：2min
“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐玩具之一．如图，这是一个木制的陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看到的图形是
故选：D．
押题解读
本考点为高频考点，多以选择题和填空题的形式考查。在几何图形的视图考察中，陀螺这类由圆柱体和圆锥体组合而成的几何体俯视图题型具有一定的代表性。从押题角度来看，陀螺的历史文化背景（如在明朝正式出现且为民间最早娱乐玩具之一）增加了题目的趣味性与文化底蕴，容易出现在各类结合传统文化的数学或科学素养测试题中。从知识点考察层面，通过让学生判断陀螺的俯视图，能有效检验学生对圆柱体和圆锥体组合后从上方观察呈现图形的理解，以及对俯视图概念的掌握程度。此类题型符合当下将知识与生活实际、传统文化相融合的命题趋势，在未来的考试中极有可能再次出现，同学们需格外注意准确分析组合体不同部分在俯视图中的呈现形式。
1．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　）
A．B．C． D．
【答案】C
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图的意义，判断解答即可．
【详解】解：“斗”的俯视图的是：
故选：C．
2．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】从上面看易得上面一层有2个正方形，下面左边有1个正方形．
故选：A．
3．如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了空间想象能力及几何体的三视图，发挥空间想象能力，确定旋转一周所得的几何体形状是关键．
根据题意易得此几何体为圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，主视图是从几何体正面看到的图形，即可得出答案．
【详解】解：∵直角梯形纸板绕其上底所在直线旋转一周所得的几何体是圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，
∴该几何体的主视图是
故选：D．
4．如图所示的几何体中，主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形是一个横着的“”型，即看到的图形如下：
，
故选：B．
5．如图所示的几何体是由5个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）

B． C． D．
【答案】C
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】根据主视图的定义，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
该几何体的主视图为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了主视图的定义，解题的关键是掌握从几何图正面看到的图形是主视图．
押题猜想二 整式的运算
限时：2min
下列运算正确的是（　　）
A． B．
D．
【答案】A
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减计算即可．
【详解】解：，选项A计算正确，符合题意；
，选项B计算错误，不符合题意；
，选项C计算错误，不符合题意；
，选项D计算错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键．
押题解读
整式的运算为高频考点，以选择题或填空题的形式考查，难度不大。主要围绕整式运算设置选项，全面考查学生对整式运算规则的理解与运用。A 选项考查合并同类项，是整式加减的基础；B 选项考查同底数幂乘法，其规则是底数不变，指数相加；C 选项考查积的乘方，需把积中每一个因式分别乘方再相乘；D 选项考查完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2 。这类题在考试中常出现，是对整式运算基础知识的重点考查，学生需牢记各类运算规则，准确识别运算类型并正确计算，以应对此类题目。
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可．
【详解】A．，故本选项原说法不符合题意；
B．，故本选项原说法不合题意；
C．，故本选项原说法不合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法以及积的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据以上运算法则进行计算，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算，即可得出答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误；
B、，故该选项计算错误；
C、，故该选项计算正确；
D、，故该选项计算错误；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
押题猜想三 平行线与三角尺组合的角度计算问题
限时：2min
如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行内错角相等、多边形内角和问题
【分析】根据平行的性质可得，再根据四边形内角和为可得，问题随之得解．
【详解】∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为，掌握四边形内角和为是解答本题的关键．
押题解读
平行线的性质与三角形内角和相关知识是中考常考考点，常以几何图形综合计算题型出现，出现在选择题或填空题的位置。本题主要考查学生对平行线性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等）的掌握，以及三角形内角和定理的运用。通过将三角尺放置在平行线间，构建角度关系，要求学生利用已知角度，结合相关定理求出未知角度，考查学生的逻辑推理和角度计算能力，预计在中考中仍会以类似形式考查学生对几何基本定理的综合运用。
1．如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等
【分析】根据含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行线的性质得到的值，即可解答．
【详解】解：图中是含有角的直角三角尺，
，
，
，
，
故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．如图，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】由平角的定义可得，由平行线的性质可得．
【详解】如图，

∵，
∴．
∵直尺的对边平行，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
3．如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补
【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键．
4．如图，直线l1//l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）

A．32° B．38° C．48° D．52°
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
5．如图，和都是直角三角形，，，，点A在DE上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查平行线的性质．利用平行线的性质可得，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
押题猜想四 正负数实际意义的理解与应用问题
限时：2min
我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
押题解读
正负数的实际意义是中考常考考点 ，常以选择题、填空题等基础题型出现。主要考查学生对正负数表示相反意义量这一概念的理解。通过设置实际生活场景（如本题中粮库粮食的运进运出），让学生根据给定的正方向表示，判断负方向所代表的实际意义，考查学生将数学概念与实际生活联系起来的能力，预计在中考中会持续以贴近生活实际的情境来考查该知识点。
1．1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例
如：
这个记载比国外早了近八百年．根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正负数的实际应用
【分析】本题考查了正负数的意义．根据用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可求解．
【详解】
解：根据题意，表示的是．
故选：D．
2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作元，则支出237元记作（ ）
A．元 B．元 C．0元 D．元
【答案】B
【知识点】相反意义的量
【分析】根据相反意义的量的意义解答即可．
【详解】∵收入500元记作元，
∴支出237元记作元，
故选B．
【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键．
3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数减法的实际应用
【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可．
【详解】解：能够耐受的温差是，
故答案为：D．
4．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正负数的实际应用
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
5．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】正负数的定义、相反意义的量
【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．
【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米，
故选：．
押题猜想五 反比例函数性质
限时：2min
某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为：1（答案不唯一）．
押题解读
反比例函数的性质是中考常考考点，常以填空题、选择题或解答题中的小问等形式出现。主要考查学生对反比例函数性质的理解与运用，当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大 。本题是开放性题目，让学生根据给定的函数增减性性质，写出满足条件的k值，考查学生对反比例函数性质的逆向运用和灵活掌握程度，预计中考会继续以开放或选择填空形式考查学生对反比例函数性质的熟悉度。
1．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
【答案】
【知识点】判断反比例函数的增减性
【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断．
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，从而求出点坐标，画图，最后利用割补法即可求出的面积．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
．
反比例函数为：．
反比例函数的图象经过点，
，
．
如图所示，过点作于，过点作的延长线于，设与轴的交点为，
，，
，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数，涉及到待定系数求解析式，反比例函数与三角形面积问题，解题的关键需要画出图形以及利用割补法求出面积．
3．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：如图，连结、，

∵轴，
∴．
∴．
∵，
∵，
∴，
∵图象位于第一象限，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．
4．如图，矩形的顶点，在轴的负半轴上，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由矩形的性质得，，设，则，所以，，再根据、两点在反比例函数上得到，解出的值，求出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求出的值．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
设，则，
，反比例函数的图象经过的中点，
，，
，，
、两点在反比例函数上，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
5．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

【答案】 2
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
过点B作轴于点D，交于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
令，
则，
解得：（舍），，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：，2．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．
押题猜想六 规律探究问题
限时：2min
当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、幂的乘方的逆用
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
押题解读
幂的运算、乘方的意义以及数字规律探究是中考常考考点，常以选择题、填空题等题型出现。主要考查学生对幂的运算性质、乘方意义的掌握，以及通过探究数字规律来解决问题的能力。本题以 “二维码” 为实际背景，通过对2200的不同表述判断正误，考查学生对乘方概念的理解、幂的运算法则的运用，以及对数字个位规律的探究和数的大小比较能力，体现了数学知识与实际生活的联系，预计中考会持续以贴近时代生活的情境，考查学生对幂运算相关知识的综合运用和逻辑判断能力。
1．观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵；；；；；…
∴第（为正整数）个等式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
2．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和，两种取法，即；当时，可得……若，则的值为 ．
【答案】20
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字变化规律，当时，从1，2，3 9中，取两个数的和大于9，由列举法找到规律可得．
【详解】解：这两个数分别是：
，，，，，，，共8种；
，，，，，共6种；
，，，共4种；
，共2种；
∴；
故答案为：20．
3．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6，BC=8，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，…，AnCn，则A1C1= ,AnCn＝ .
【答案】
【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵CA1⊥AB，
∴∠CA1B=∠ACB=90°，
∵∠B是公共角，
∴△CA1B∽△ACB，
∴ ，
即，
即A1C=AC=6×，
同理可得：A1C1=A1C=6×（）2=6×（）2×1，
A2C1=A1C1=6×（）3，
A2C2=A2C1=6×（）4=6×（）2×2，
可得规律为：AnCn=6×（）2n．
故答案为6×（）2，6×（）2n．
4．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．

【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】连接于相交于，根据已知和菱形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律根据规律不难求得第个菱形的边长．
【详解】解：连接，

四边形是菱形，
．，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理可得，，
按此规律所作的第个菱形的边长为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力，解题的关键掌握菱形的性质．
5．如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0.过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段D1D2的长为 ，线段Dn-1Dn的长为 （n为正整数）.
【答案】
【知识点】图形类规律探索、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算
【详解】∵△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，
∴BD0=1，∠B=60°，
∵D0D1⊥AB，
∴∠D1D0B=30°，
∴D1D0=BD0cos∠D1D0B=,
同理:∠D0D1D2=30°,D1D2=D1D0cos∠D0D1D2=()2=，
依此类推，线段Dn-1Dn的长为()n ．
故答案为; ()n .
押题猜想七 实数与代数式的混合运算问题
限时：2min
计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
押题解读
实数运算、零指数幂、负指数幂、根式运算、三角函数值计算、绝对值化简以及分式化简求值等是中考常考考点 ，常以解答题中的基础计算题形式出现。主要考查学生对各类运算法则的准确掌握与综合运用能力，像零指数幂a0=1(a?=0)、负指数幂a p=1/ap(a=0)、根式化简、特殊三角函数值（如cos30 =23 、tan30 =33 ）、绝对值的性质以及分式运算规则等。预计中考会持续以这种综合运算形式考查学生对基础运算知识的熟练度和准确性。
1．（1）计算：．
（2）若，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）5
【知识点】分式化简求值、负整数指数幂、二次根式的加减运算、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减计算，求特殊角三角函数值和负整数指数幂：
（1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算负整数指数幂，最后计算二次根式加减法即可；
（2）先得到，再利用分式的混合计算法则化简分式，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴
．
2．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、负整数指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，分式的混合运算，解题的关键是要注意运算的顺序．
（1）先证明算术平方根、立方根、负整数指数幂、绝对值，再计算加减；
（2）先将小括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则化简．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题考查求一个数的乘方、算术平方根、立方根以及去绝对值等知识．
（1）先计算乘方、乘法和算术平方根，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根、立方根和乘方，并去绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】本题考查已知字母的值，化简求值，先根据整式的运算法则进行计算化简，再把字母的值代入，根据二次根式的法则，进行计算即可．
【详解】解：原式，
当时，原式．
5．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．
【答案】，．
【知识点】分式化简求值、二次根式的除法、特殊三角形的三角函数
【分析】根据分式的运算法则进行化简，化简后代入即可得出答案．
【详解】解：原式＝ ﹣
＝﹣
＝，
当x＝sin45°＝时，则，
所以原式＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
押题猜想八 利用解直角三角形解决实际问题
限时：2min
如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．
(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；
(2)请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：）
【答案】(1)300
(2)白塔的高度约为米．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）由路程等于速度乘以时间即可得到答案；
（2）由题意可得： 而 再求解 再利用 再解方程即可．
【详解】（1）解：∵索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟，
∴（米）
故答案为：300
（2）解：由题意可得：
而米
∴
∴（米）
所以白塔的高度约为米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键．
押题解读
解直角三角形的应用是中考常考考点 ，常以解答题的形式出现。主要考查学生将实际问题转化为数学模型，运用三角函数（如正切函数）知识求解边长的能力。本题通过测量白塔高度这一实际情境，让学生利用仰角构建直角三角形，借助已知条件和三角函数关系求出高度，考查学生对直角三角形边角关系的理解与运用，预计中考会持续以生活中测量物体高度、距离等实际场景为背景，考查学生解直角三角形的综合应用能力。
1．如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）

【答案】的长约为
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】延长交于点，过点B作，垂足为G，可得，，从而，，设，则，分别在直角和直角中求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，求出的长，再利用线段的和差关系计算即可解答 ．
【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，垂足为G，

由题意得：，，
，，
设，
，
则，
在中，，
在中，，
，
解得：，
,
，
，
在中，，
，
，
，
的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键．
2．如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．

(1)求两楼之间的距离．
(2)求大厦的高度．
（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】(1)两楼之间的距离约为
(2)大厦的高度为
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）过点A作于点E，易得，根据，即可求解：
（2）易证四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形的性质得出，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：过点A作于点E，
根据题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
答：两楼之间的距离约为．

（2）解：根据题意可得：，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：大厦的高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤．
3．如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）

【答案】
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，

∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
4．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；
(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】(1)登山缆车上升的高度；
(2)从山底A处到达山顶处大约需要.
【知识点】含30度角的直角三角形、已知正弦值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；
（2）在中，求得的长，再计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
5．小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，）
【答案】小车行驶符合安全规范
【知识点】相似三角形实际应用、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
先由勾股定理得，证明，则，求出 ，再求出 ，最后比较即可．
【详解】解：中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
在中，，，
∴ ，
∴，
∴小车行驶的速度为，
∴小车行驶符合安全规范．
押题猜想九 利用方程不等式函数解决实际问题
限时：2min
2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2)
(3)型30台，型120台，最大利润是570元．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【详解】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进型品牌小电器台
由题意得：，
解得，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）设获利为元，由题意得：，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴
解得：
∴
随的增大而减小，
当台时获利最大，最大元，
答：型30台，型120台，最大利润是570元．
【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
押题解读
常以解答题形式出现。本题以 “地摊经济” 为背景，第一问通过两种不同采购组合的价格条件，考查学生建立二元一次方程组求解商品单价的能力，涉及到根据等量关系列方程和解方程组的知识；第二问根据资金限制条件，考查学生构建一元一次不等式组来确定商品购进数量取值范围的能力，主要考查学生对实际问题进行数学建模，运用方程和不等式知识解决实际问题的能力，预计中考会继续以贴近生活的经济场景为素材，考查学生对这类方程与不等式综合应用的掌握情况。
1．我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【答案】(1)；
(2)该商店继续购进了件航天模型玩具．
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可．
【详解】（1）解：因每件玩具售价为x元，
依题意得；
（2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，
依题意得：，
解得，
答：该商店继续购进了件航天模型玩具．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键．
2．如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为__________；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________；
③小明读报所用的时间为__________．
④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________．
(2)当时，请直接写出关于的函数解析式．
【答案】(1)①；②；③；④或．
(2)
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式
【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用减去即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可；
（2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可．
【详解】（1）解：①，
∴小食堂离图书馆的距离为，
故答案为∶；
②根据题意，
∴小明从图书馆回家的平均速度是，
故答案为：；
③，
故答案为：；
④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，
当去时，小明离开家的距离为时，
∵，
∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足，
由题意得，
解得，
当返回时，离家的距离为时，根据题意，得，
解得；
故答案为：或．
（2）解：设时，
∵过，
∴，
解得，
∴时 ，
由图可知，当时，
设时，，
∵过，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，当时，关于的函数解析式为．
【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
天数 1 1 2 4 1 1
(1)求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元．
①当时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．
【答案】(1)天；
(2)①元；②该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为0.2．
【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据数据描述求频数
【分析】（1）当时，该种花需要进行作废处理，结合表中数据，符合条件的天数相加即可；
（2）①当时，代入函数表达式即可求解；
②当时，日利润y关于n的函数表达式为；当时，日利润为元，；即当时求得n的值，结合表中数据即可求得频率．
【详解】（1）解：当时，该种花需要进行作废处理，
则该种花作废处理情形的天数共有：（天）；
（2）①当时，日利润y关于n的函数表达式为，
当时，（元）；
②当时，日利润y关于n的函数表达式为；
当时，日利润为元，，
当时，
解得：，
由表可知的天数为2天，
则该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为0.2．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，一次函数求自变量和函数值，统计和频数；解题的关键是理清题意，正确求解．
4．冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个
(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元，列二元一次方程组求解；
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，列出与的函数关系式，并分析的取值范围，从而求出的最大值．
【详解】（1）解：设冰墩墩进价为元/个，雪容融进价为元/个．
得，解得．
∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个．
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，
则，
∵，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得，解得．
∴当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．某游泳馆普通票价为25元/次，暑假期间为了促销，推出优惠卡．优惠卡售价150元，每次凭卡另收10元．优惠卡仅限暑假期间使用，次数不限．同时，暑假期间普通票正常出售．设暑假中游泳x次，所需总费用为y元．
(1)直接写出选择普通消费和选择优惠卡消费时，y与x间的函数表达式：
， ；
(2)在同一坐标系中，两种消费方式对应的函数图象如图所示，求点B的坐标，并写出它的实际意义；
(3)请你依据游泳的次数写出较为合算的消费方式．
【答案】(1)，
(2)点B的坐标为；当游泳次数为10次时，两种消费所需费用均为250元
(3)当游泳次数为10次时，两种消费方式所需费用相同；当游泳次数小于10次时，选择普通消费合算；当游泳次数大于10次时，选择优惠卡消费合算
【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意列出表达式．
（1）根据题意列出表达式即可；
（2）联立，求解，即可得到点B的坐标，再结合实际情况分析，即可解题；
（3）结合图形和点B的坐标，分三种情况进行分析，即可解题．
【详解】（1）解：，．
故答案为：，；
（2）解：由题意，得．
解得．
∴点B的坐标为．
当游泳次数为10次时，两种消费所需费用均为250元．
（3）解：结合图形和点B的坐标可知，
当游泳次数为10次时，两种消费方式所需费用相同；
当游泳次数小于10次时，选择普通消费合算；
当游泳次数大于10次时，选择优惠卡消费合算．
押题猜想十 统计与概率问题
限时：2min
某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：
信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求所抽取的学生成组为C等级的人数；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】(1)7人
(2)85
(3)120人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、频数分布直方图、求中位数
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．
（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；
（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：；
（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．
【详解】（1）解：总人数为：（人），
∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；
（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，
∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，
∴中位数为：；
（3）解：成绩为A等级的人数为：（人），
答：成绩为A等级的人数为120．
押题解读
数据的收集、整理与分析是中考常考考点，常以解答题形式出现。本题借助频数分布直方图和扇形统计图呈现学生消防安全知识测试成绩情况，考查学生对统计图表的理解与运用能力，包括通过已知数据和比例关系计算不同等级的人数等。主要考查学生读取图表信息、利用部分与整体关系进行计算以及对数据进行分析处理的能力，预计中考会持续以实际调查场景为背景，通过多种统计图表结合的形式，考查学生对统计知识的综合应用能力。
1．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】(1)100，30
(2)
(3)名
(4)
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、由扇形统计图求总量、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出的值；
（2）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数；
（3）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可估计平均每天阅读时长为“”的学生人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）解：∵组的人数为，占比为，且，
∴本次调查共抽取了名学生；
∵组占比，，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”有名，
且，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为．
（3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为人，
且（名），
∴估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为名．
（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片，，，标记，画树状图如下：

一共有种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游记》即有种可能的情况，
∴．
【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
2．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】(1)50，7
(2)条形统计图见解析，
(3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
(4)
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（人），
，
故答案为：50，7；
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
（4）解：根据题意，列出表格如下：
第一名第二名 甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
3．某班组织了一次成语知识趣味竞赛，有20名学生报名参加，参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人，满分10分（得分均为整数），成绩达到7分及7分以上为合格，达到9分或10分为优秀．以下是这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表．
平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组
乙组
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求出成绩统计分析表中，，的值；
(2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察成绩统计分析表判断，小英是哪个组的学生？
(3)你认为哪个组的成绩更好？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小英属于甲班的学生
(3)乙组的成绩更好，理由见详解
【知识点】求加权平均数、求中位数、求方差、运用方差做决策
【分析】本题主要考查调查与统计，掌握加权平均数，中位数，方差，调查数据作决策的方法是关键．
（1）根据加权平均数，中位数，方差的计算即可求解；
（2）根据中位数分析即可；
（3）根据平均数，中位数，方差作决策即可．
【详解】（1）解：根据折线图可得甲组：3分的1人，6分的5人，7分的1人，9分的2人，10分的1人，
乙组：5分的2人，6分的1人，7分的2人，8分的3人，9分的2人，
∴，，
；
（2）解：∵甲班的中位数为，乙班的中位数为，小英排名属中游略偏上，
∴小英属于甲班的学生；
（3）解：甲组的平均分，中位数小于乙组的平均分，中位数，甲组的方差大于乙组的方差，甲组的合格率小于乙组的合格率，
∴乙组的成绩更好．
4．端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗．为了了解附近居民对A（肉粽子），B（蛋黄粽子）．C（红枣粽子），D（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)参加此次问卷调查的居民共有______人．
(2)通过计算将条形统计图补充完整．
(3)若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人．
【答案】(1)50
(2)见解析
(3)400
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】（1）用喜爱红枣粽子的人数除以其所占百分比，即可求解；
（2）用总人数分别减去A、C、D的人数，即可求出B的人数；
（3）先计算喜爱A（肉粽子）的人数所占百分比，再用小区总人数乘以喜爱A（肉粽子）的人数所占百分比即可求解．
【详解】（1）解：（人），
故答案为：50；
（2）解：喜爱蛋黄粽子人数：（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）解：（人），
答：喜爱A（肉粽子）的居民约有400人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体，解题的关键是正确识图，从图中获取需要数据，掌握用样本估计总体的方法和步骤．
5．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1）88；87；40；（2）；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）640
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、求中位数、求众数
【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值；
（2）用乘以“B组”所占的百分即可求解；
（3）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论；
（4）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案．
【详解】解：（1）八年级C组的人数为人，八年级B组有4人，
把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数；
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数；
由题意得，，
∴；
故答案为：88；87；40；
（2）
∴扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，
∴八年级学生数学文化知识较好；
（4）人，
∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有640人．
押题猜想十一 二次函数综合题
限时：2min
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵ ，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，

设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，

设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，

∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
押题解读
二次函数是中考常考考点，常以解答题压轴题或次压轴题形式出现。本题第一问考查利用待定系数法求二次函数表达式，通过已知函数图象与坐标轴交点坐标代入解析式求解系数。第二问基于面积相等条件探究二次函数图象上点的坐标，考查学生对三角形面积计算方法的运用，以及通过联立方程求解点坐标的能力，涉及到函数与几何图形的综合运用，体现了对学生数学综合素养和逻辑思维能力的考查，预计中考会持续以这种函数与几何结合的形式考查二次函数相关知识。
1．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像W”，图像W交y轴于点C．
(1)写出图像W位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图像W有三个交点，请结合图像，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴交直线BC于点M，交图像W于点N，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2或3
(3)存在，点P的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、相似三角形的判定与性质综合
【分析】对于（1），令可得，结合翻折的性质可得，令可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；
对于（2），①当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出b值．综上即可得出结论；
对于（3），先确定是等腰直角三角形，分三种情况： 或，分别画图可得结论．
【详解】（1）当时，，
根据折叠的性质，得.
当时，，
解得，，
∴，
设图象W的解析式为：，
把代入得：，
解得，
∴，
∴图象W位于线段上方部分对应的函数关系式为：；
（2）由图象得直线与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线过点C时，与图象W有三个交点，此时；
②当直线与图象W位于线段上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
，
即，
，
解得.
综上，b的值是2或3；
（3）∵，，
∴是等腰直角三角形.
如图2，，，
∵轴，
∴；
如图3，，，
当时，，
即，
，
∴；
如图4，当时，，
∴的解析式为：，
∴，
解得，（舍），
∴.
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，直线与抛物线相交问题，相似三角形的性质和判定，作出图形是解题的关键．
2．如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F．
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，
(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为
(2)点P的坐标为 (,)，△PEF的周长为
(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求解析式；
（2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式，从而找出对应点P坐标，进而求出周长；
（3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC是否为对角线分情况进行分析，设出点G的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解．
【详解】（1）解：将点A(-1,0)，B(3,0)代入，得：
，解得 ，
所以抛物线解析式为，C(0，3)
设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得：
，解得 ，
所以直线BC的函数表达式为
（2）
解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得：
整理得
，解得 ，
将代入，解得，
将代入得，
即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,)
将代入得，
则此时，
因为△PEF为等腰直角三角形，
则△PEF的周长最大为
（3）答：存在．
已知B(3，0)，C(0，3)，设点Ｇ(， )，N(1，n)，
当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ，，则G点坐标为(2，3)；
当BC为平行四边形的边时，由题意可知： 或 ，解得 或 则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5)
故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论．
3．已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】(1)把，代入即可得出抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC解析式：，再由直线MN：及抛物线的对称轴：，即可得出．进而得出直线CD的解析式为：，即可得出答案；②分以BC为边时，即， ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．
【详解】（1）解：将点，代入得：
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）①由（1）可知：，
设直线BC：，将点，代入得：
解得
∴直线BC：，则直线MN：．
∵抛物线的对称轴：，
把代入，得，
∴．
设直线CD：，将点，代入得：
解得
∴直线CD：．
当时，得，
∴，
∴．
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即．
由点D在直线MN上，设．
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则．
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，解得．
∴，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则．
同理可证：，
∴，
∵，，
∴，解得．
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即．
设，，同理可证：，
∴，
∵，，，
∴．
解得
∴，．
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为时，点D的坐标：或；
当点F的坐标为时，点D的坐标：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.
4．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
【答案】(1)
(2)30
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的最值、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可．
（2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案．
（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（2）
∴顶点的坐标为
过作于，作于，
四边形的面积
；

（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，

∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐标为
所以过的直线的解析式为
令
解得，或
所以直线与抛物线的两个交点为
即所求的坐标为
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用．
5．综合与实践
问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察．
数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系．
问题解决：
(1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？
(2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由.
【答案】(1)①；②汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下
(2)当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距
(3)会，理由见解析
【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键．
（1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函数图象与性质即可得到答案；
（2）由题意得到，结合（1）中求得的二次函数表达式，令，解一元二次方程即可得到答案；
（3）由（1）中得到的汽车在时刹车距离达到最大值，才能完全停下，比较提总距离即可得到答案．
【详解】（1）解：①设二次函数的解析式为，
代入，得
解得，
二次函数的解析式为；
②，
，
抛物线开口向下，有最大值，为，
故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下．
答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下；
（2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时，
即汽车开始刹车后行驶的距离，
当时，，
即，
解得，（不符合题意，舍去），
答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距；
（3）解：会，
理由如下：
由（1）可知，当时，有最大值75，
即汽车刹车过程中最多行驶，
，
该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．

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