资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
云南省2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 科学记数法（选择题）
限时：1min
1．是中国深度求索公司研发的高性能Ai语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的Ai模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示关键要正确确定的值以及的值．根据科学记数法的表示方法求解即可；
【详解】解：根据题意，得；
押题解读
科学记数法是中考数学必考内容。2022版数学新课标强调数学在实际应用中的重要性，科学记数法作为表示大数和小数的简洁工具，符合这一要求。它在物理学、化学等学科中广泛应用，帮助学生理解宏观和微观世界的数量关系。新课标注重培养学生对数的感悟能力和运算能力，科学记数法的学习有助于提升学生的数学素养。考试中常结合实际背景考查学生对科学记数法的理解和应用，检验学生知识掌握程度和解决实际问题的能力。
1．中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
2．第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
3．春节档国产动画电影《哪吒之魔童闹海》据灯塔专业版数据报道截至2025年3月23日实时票房超149.65亿，该电影内地累计总票房突破200亿，成为中国影史首个仅2部影片就破200亿的系列电影！数据“149.65亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，根据定义求解即可．
【详解】解：149.65亿；
故选：B
押题猜想二 规律探索（选择题）
限时：2min
1．按一定规律排列的点坐标：，，，，，…则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题考查了点坐标规律探究，根据所给坐标，分别探究横、纵坐标的规律求解即可．
【详解】解：根据所给坐标可知，横坐标比下标小1，纵坐标比下标的2倍小1，
所以的坐标为．
押题解读
规律探索题是中考数学的重要考点。2022版数学新课标注重培养学生的推理能力和创新思维，规律探索题正好契合这一目标。它要求学生通过观察、分析、归纳和推理，发现数列、图形或实际问题中的规律，培养数学抽象和逻辑推理素养。这类题目能有效考查学生对数学本质的理解和运用数学知识解决问题的能力，也是新课标下培养学生数学核心素养的重要手段。
1．按一定规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给多项式可知，
的次数依次为，，，…，
所以第个多项式中的次数为；
的系数依次为，，，…，
所以第个多项式中的系数为，
所以第个多项式为．
2．按一定规律排列的单项式：x，，，，，…，第n个单项式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所给单项式的系数依次为：1，4，9，16，…，
所以第n个单项式的系数可表示为：．
所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…，
所以第n个单项式的次数可表示为：n，
所以第n个单项式可表示为：．
3．按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可．
【详解】解：按一定规律排列的多项式：，
，
，
，
…，
则第n个多项式是，
故选B．
4．一组按规律排列的式子“，，，，…”．按照上述规律，它的第n个式子（n≥1且n为整数）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】观察知，分母按1,3,5,7，......排列，则第n个式子分母为2n-1；
分子按a2，a3，a4，a5,.....排列，则第n个式子分子为an+1；
奇数个式子的符号为正，偶数个式子的符号为负，则第n个式子的符号为(-1)n+1，
所以第n个式子为：(-1)n+1
故选D.
点睛：此题考查了分式的变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键.
押题猜想三 圆周角与圆心角（选择题）
限时：2min
1．如图，在新能源汽车的动力传输系统模拟图中，四边形形似一个关键的传动装置连接结构，该四边形内接于，为对角线且恰好经过圆心O．已知在某一时刻，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了圆周角定理，根据为直径可得，即可求得，即可解答，熟练利用圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：为对角线且恰好经过圆心O．
，
，
，
押题解读
圆心角与圆周角是中考数学几何部分的重要考点。2022版数学新课标注重培养学生的数学抽象、逻辑推理和几何直观能力，圆心角与圆周角的性质和定理学习有助于提升这些能力。学生通过探索两者关系，理解圆心角与圆周角的度数关系，增强几何推理能力。新课标强调知识的实际应用，圆心角与圆周角在工程、物理和天文等领域有广泛应用，能帮助学生理解其实际价值。考试中相关题目可检验学生的数学思维和应用能力，符合新课标要求。
1．如图，为的直径，点是圆上两点，且分别在两侧，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要考查圆周角定理，由平角的定义可得出，再根据圆周角定理得出，故可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵所对的圆心角是，所对的圆周角是，
∴，
2．如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理求得，得到，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，

∵是的直径，
，
，
，
，
，
3．如图是的直径，点在上，连接、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
4．如图，是的内接三角形，连接，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求得的度数．
【详解】解：，，
，
，
故选：A．
押题猜想四 数据的收集与整理（选择题）
限时：2min
1．某学校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调査，并绘制了如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，下列说法中不正确的是（ ）
A．此次抽查的学生总数为200人
B．这组数据的众数是80人
C．在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是
D．若该校学生总数为1300人，则可估计该校“了解很少”安全知识的学生约有390人
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，众数的定义，用基本了解的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，即可判断A；求出不了解的人数，进而求出非常了解的人数，再用360度乘以非常了解的人数即可判断C；用1300乘以样本中了解很少的人数占比即可判断D；根据众数的定义可判断B．
【详解】解：A、人，故此次抽查的学生总数为200人，原说法正确，不符合题意；
B、基本了解的人数最多，为80人，但是这组数据的众数不是80人，原说法错误，符合题意；
C、不了解的人数为人，则非常了解的人数为人，则在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是，原说法正确，不符合题意；
D、若该校学生总数为1300人，则可估计该校“了解很少”安全知识的学生约有人，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
押题解读
数据的收集与整理是中考数学的基础考点，具有实用性、基础性、综合性和教育性。结合2022版数学新课标，该考点要求学生掌握数据收集和整理的基本方法，学会设计问卷、整理数据，为统计分析奠定基础。新课标强调培养学生的数据分析素养和解决实际问题的能力，数据的收集与整理正是这一能力培养的起点。通过学习，学生能够运用所学知识解决实际问题，如调查学生身高、成绩等，培养数据分析素养。同时，该考点涉及多学科知识，培养学生综合素养和解决实际问题的能力。
1．节约用水，从我做起．小滨把自己家1月份至6月份的用水量绘制成如图所示的折线图．则小滨家这6个月用水量的中位数是（　　）吨
A．3.5 B．9 C．9.5 D．11
【分析】此题主要考查了折线图的应用以及中位数求法，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
先把6月份的用水量从小到大进行排列，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：由折线统计图可得6月份的用水量排列为：6，8，9，10，12，15，
则中位数为，
2．学校计划从甲、乙两人中选拔名同学参加市知识竞赛，两位同学次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【分析】本题考查了方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义解答即可．
【详解】解：∵图可知甲的成绩波动程度比乙的成绩的波动程度大，
∴，
故选：A．
3．为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们剪纸．为了了解同学们的学习情况，随机抽取了20名学生，对他们的剪纸数量进行统计，统计结果如表．
剪纸数量/个
人数/人
请根据上表，判断下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3.8 B．样本为20名学生
C．中位数是3 D．众数是6
【分析】本题考查了加权平均数、中位数和众数，熟练掌握相关定义是解题关键．根据样本的概念、加权平均数、中位数和众数的定义分别求解即可．
【详解】A．平均数（个），此选项说法正确，符合题意；
B．样本为20名学生的剪纸数量，此选项说法错误，不符合题意；
C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4，
∴中位数为，此选项说法错误，不符合题意；
D．众数是3，此选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
4．某校开设了四个课外兴趣小组，如图是该校八年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图（每人都参加且只参加一项）．若参加书法兴趣小组的人数是25人，则参加体育兴趣小组的人数是（ ）
A．4人 B．15人 C．20人 D．40人
【答案】D
【分析】本题主要考查了扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．由扇形统计图可知，参加书法兴趣小组的圆心角是，可求出参加书法兴趣小组的人数所占的百分比，可求出总人数，再用总人数乘以参加体育兴趣小组的人数所占的百分比求出参加体育兴趣小组的人数即可．
【详解】解：由扇形统计图可知，参加书法兴趣小组的圆心角是，
参加兴趣小组的总人数为：（人），
则参加体育兴趣小组的人数是：（人），
故选：D
押题猜想五 实数的混合运算（解答题第20题）
限时：5min
1．计算：．
【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂；先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再化简二次根式，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
押题解读
实数混合运算是中考数学基础考点，体现数学抽象与运算能力。2022版新课标强调培养学生的运算能力和数学抽象素养，实数混合运算恰好契合这一要求。学生需掌握实数运算顺序、法则，包括有理数、无理数、绝对值、零指数幂和负整数指数幂等，提升运算能力。新课标注重实际应用，该考点培养学生解决实际问题能力。考试中相关题目检验学生运算能力和知识掌握程度。教学中注重培养学生的严谨态度和逻辑思维能力，促进学生思维发展。
1．计算：
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键．先利用零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值化简，再进行加减即可．
【详解】解：
．
2．计算：．
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
3．计算：
【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和乘方的性质分别化简得出答案．
【详解】原式 ，
，
4．计算：
【答案】
【分析】本题考查的是实数的运算，熟练掌握实数运算的法则是解题的关键．先计算乘方与开方，并化简绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：，
，
，
．
押题猜想六 全等三角形的判定与性质（解答题第21题）
限时：3min
1．如图，，求证：．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可．
【详解】证明：在和中，
∵，
∴，
∴
押题解读
全等三角形的判定与性质是初中数学的重要考点，具备显著特点与教育价值。其考查重点在于全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）以及性质（对应边相等、对应角相等）。2022版数学新课标要求学生掌握全等三角形的判定方法，能够通过测量物体长度和角度来计算难以直接测量的距离或高度，培养学生的模型意识和应用能力。这一考点在中考中常以证明题和计算题的形式出现，要求学生具备较强的逻辑推理和严谨的证明能力。学生需能根据题目条件选择合适的判定定理证明三角形全等，并利用全等三角形的性质求解边长、角度等未知量。同时，该考点注重培养学生将实际问题转化为几何模型的能力，提升学生运用数学知识解决实际问题的意识和技能。
1．如图，在和中，与相交于点，，．求证：．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，用进行判定，即可得证；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：在和中
，
()．
2．如图，，求证：．

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用即可证明．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
3．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．

【分析】本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】证：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
4．如图所示，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只需要利用证明即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
押题猜想七 分式方程的应用（解答题第22题）
限时：5min
1．为贯彻落实习近平总书记关于生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生开展植树造林活动.已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵.求初二年级平均每小时植树多少棵？
【分析】本题考查分式方程解决应用问题，解题的关键是找到等量关系式．根据初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，列式求解即可得到答案．
【详解】解：设初二年级平均每小时植树棵，则初一年级平均每小时植树棵，
根据题意，列方程得：，
解得：（棵），
检验：当时，，
是原分式方程的解．
答：初二年级平均每小时植树200棵．
押题解读
分式方程的应用是初中数学的关键考点，主要考查学生列分式方程解实际问题的能力。其重点在于理解分式方程的解法，包括去分母、解整式方程、验根等步骤，并能根据实际问题中的等量关系建立分式方程模型。2022版数学新课标要求学生掌握分式方程的基本概念和解法，能运用分式方程解决简单的实际问题，培养学生的模型思想和运算能力。考试中常出现工程问题、行程问题、销售问题等，需学生具备较强的理解能力和分析能力，能从实际情境中提取等量关系并准确列方程求解。同时，分式方程的应用强调数学知识在实际生活中的价值，提升学生用数学解决现实问题的意识和能力。
1．新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？
【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍”得甲队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天”列式，求解即可．
【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨，
根据题意，得：，
解得：（吨），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（吨），
答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为吨、吨．
2．新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度．
【答案】
【分析】设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】解：设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，
解得：
经检验是方程的解，
则，
答：雅万高铁的平均速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，行程问题，找到合适的等量关系列出方程是解题的关键．
3．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠米，乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
【答案】米
【分析】设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，
（米），
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠米．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用．
4．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
请求出排球的单价是多少元？
【答案】排球的单价为100元
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
设排球单价为元，则篮球单价为元，根据“用2000元购买的排球个数和用3200元购买的篮球个数相等”列方程求解即可．
【详解】解：设排球单价为元，则篮球单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，为原方程的解，
答：排球的单价为100元．
5．某服装店老板用6000元购进了若干件运动衫，很快售完；老板又用12500元购进相同款的运动衫，所购运动衫的件数是第一批的2倍，但每件进价比第一批多了5元,问第一批运动衫的进价是多少元？
【答案】第一批运动衫每件进价为120元．
【分析】设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批进的件数=2×第一批进的件数可得方程；
【详解】解：设第一批运动衫每件进价为x元，则第二批运动衫每件进价为元．
由题意，可列方程．
解得 ．
经检验是原分式方程的根．
答：第一批运动衫每件进价为120元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
押题猜想八 列表法求概率（解答题第23题）
限时：6min
1．张老师用四个外观相同的不透明盒子分别装着（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属屑，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以与盐酸发生置换反应，不能与盐酸发生置换反应）
(1)小进从四个盒子中随机选了一个，则选到（镁）的概率为___________；
(2)小明和小红先后从四个盒子中随机挑选了一个进行实验（挑选后不放回），请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率．
【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
（1）小进从四个盒子中随机选择一个，其中只有1个是，因此概率可直接计算；
（2）小明和小红不放回地选择，利用列表法列出所有可能组合，然后筛选出两者均能与盐酸反应的情况，最后计算概率．
【详解】（1）解：四个盒子中只有1个装有，因此概率为；
故答案为：；
（2）记（镁）、（铝）、（锌）、（铜）为
列表得：
小红小明
（A，B） （A，C） （A，m）
（B，A） （B，C） （B，m）
（C，A） （C，B） （C，m）
（m，A） （m，B） （m，C）
由列表知，共有12种等可能结果，其中都能发生置换反应的共6种．
．
答：二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率为．
押题解读
列表法求概率是初中数学的重要考点，主要考查学生运用列表法解决概率问题的能力。其重点在于理解概率的基本概念，掌握用列表法列举所有可能结果的方法，从而计算随机事件发生的概率。2022版数学新课标要求学生能够运用列表法或树状图法计算简单随机事件发生的概率，培养学生的数据分析素养和数学运算能力。考试中常见题型包括求解古典概型问题，如抽奖、摸球、掷骰子等，要求学生能够准确列出所有可能的结果，并根据列表计算特定事件的概率。通过这一考点，学生能够更好地理解和分析随机现象，为后续学习统计与概率知识奠定基础。
1．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中．
(1)从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______；
(2)先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．
2．某校举行主题为“诵国学经典，品盛世文明”的古诗词竞赛活动，各年级选拔2位同学组成小组参赛，下表是八、九年级参赛小组的各项比赛成绩（单位：分）：
年级 诗词背诵 诗词接龙 飞花令
八 95 90 83
九 90 90 86
(1)如果将诗词背诵、诗词接龙、飞花令的成绩分别赋权2，3，5，请分别计算八、九年级参赛小组的总成绩；
(2)若学校要从八、九年级参赛的4名选手中，随机选出2名同学协助校团委组织诗词文化社团活动，用列表法或树状图说明2名同学来自同一年级的概率是多少．
【答案】(1)八年级参赛小组的总成绩是分，九年级参赛小组的总成绩是分
(2)
【分析】本题考查了加权平均数，利用列表法或树状图求概念问题；
（1）直接利用加权平均数的公式求解即可；
（2）利用列表法活树状图法，列出所有的可能结果，再利用满足条件的结果数除以总的结果数即可求解．
【详解】（1）解：八年级参赛小组的总成绩是：，
九年级参赛小组的总成绩是：；
（2）解：这4名同学分别记为八1，八2，九1，九2
①方法一：列表法
八1 八2 九1 九2
八1 八1人2 八1九1 八1九1
八2 八2八1 八2九1 八2九2
九1 九1人1 九1人2 九1九2
九2 九2八1 九2八2 九2九1
由上表可知，所有可能出现的结果有12种，并且他们出现的可能性相同，符合条件的有4种情况．
所以．
②方法二：画树状图：
根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果有12种，即：
（八1，八2）（八1，九1）（八1，九2）（八2，八1）（八2，九1）
（八2，九2）（九1，八1，）（九1，八2）（九1，九2）（九2，八1）
（九2，八2）（九2，九1）
这些结果出现的可能性相等，符合条件的有4种情况．
所以．
3．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
(1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________；
(2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，
∴抽到“孟子”书签的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果有：，，共2种，
∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为．
4．数学课上，老师在复习尺规作图五种基本作图时，制作了、、、、五张卡片，正面分别写有不同的作图内容，卡片除正面的内容不同外，其余均相同．要求将五张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，讲解卡片上对应的尺规作图画法．
(1)“从这五张卡片中随机抽取一张卡片，则抽到是”这一事件属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若甲同学从这五张卡片中随机抽取一张卡片不放回，将剩下的卡片洗匀后，乙同学再从剩下的四张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们两人所抽卡片中有卡片的概率．
【答案】(1)随机；
(2)他们两人所抽卡片中有卡片的概率是．
【分析】（1）根据事件的分类即可得解；
（2）画出树状图后得出所有等可能的结果，再找出符合要求的结果数，根据简单的概率公式即可得解．
【详解】（1）解：五张卡片中只有一张卡片，
五张卡片中随机抽取一张卡片，抽到是的概率是，
该事件可能发生，也可能不发生，
该事件属于随机事件．
故答案为：随机．
（2）解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中他们两人所抽卡片中有卡片的有种结果，
（他们两人所抽卡片中有卡片）．
答：他们两人所抽卡片中有卡片的概率是．
【点睛】本题考查的知识点是事件的分类、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率．
5．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
A．豆包；B．；C． ；D．文心一言
(1)从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为_____；
(2)从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到相同卡片的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为；
（2）解：列表得，
第二次第一次 A B C D
A
B
C
D
共16种等可能结果，其中两次抽取到相同卡片的有4种，
∴两次抽取到相同卡片的概率．
押题猜想九 特殊四边形的判定与性质（解答题第24题）
限时：7min
1．如图，菱形的对角线，交于点O，点F是的中点，连接并延长到点E，使，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键：
（1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可得证；
（2）证明为等边三角形，进而得到，进而求出的长，根据菱形的面积公式，对角线乘积的一半，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形的对角线，交于点O，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形的对角线，交于点O，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
押题解读
特殊平行四边形的判定与性质是初中几何核心考点，涵盖矩形、菱形、正方形的特性。新课标要求学生掌握它们的判定与性质，并能解决实际问题，培养几何直观与推理能力。考试常考证明题和计算题，要求学生熟练掌握判定定理，准确求解边长、角度等未知量。此考点重在提升学生逻辑推理与严谨思维能力，为高中几何学习奠基。
1．如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质.
（1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证；
（2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解.
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，对角线与交于点O
，，，
，
，
菱形的面积
，
，
∵四边形是矩形，
．
2．如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【分析】对于（1），先说明四边形为平行四边形，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形为平行四边形，进而根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案；
对于（2），先求出，再根据锐角三角函数求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案.
【详解】（1）连接，
点为中点，，
∴，即，
四边形为平行四边形，
∴，.
又为边上的中线，
∴，，
∴，，
四边形为平行四边形．
又，
平行四边形为矩形．

（2）∵，是上的中线，
，
在中，，
∴，
，
又点为中点，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等，灵活选择判定定理是解题的关键．
3．如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，得出，可证明四边形是平行四边形，即可得到结论；
（2）根据题意得到，，得到，根据勾股定理求出，得到．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
4．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点F， ，延长到点C，使，延长到点D，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求与间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出，由菱形的性质得出，由勾股定理求出，则，设与间的距离为，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
设与间的距离为
∵．
∴．
押题猜想十 二元一次方程组的应用、一元一次不等式（解答题第25题）
限时：7min
1．为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息．
班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？
售货员：不对呀，一共应该是1400元．
班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了．
(1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价；
(2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用．
【答案】(1)每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元
(2)有三种方案：①购进足球3个，跳绳7根，费用为元，②购进足球4个，跳绳6根，费用为元，③购进足球5个，跳绳5根，费用为元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
（1）设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设再次购进足球个，则购进跳绳根，根据费用不超过650元，其中足球至少购进3个，再列不等式组即可．
【详解】（1）解：设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意得∶
，
解得：，
答：每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元；
（2）解：设再次购进足球个，则购进跳绳根，则
，
解得：，
∵为整数，
∴或或；
∴有三种方案：
①购进足球3个，跳绳7根，费用为（元），
②购进足球4个，跳绳6根，费用为（元），
③购进足球5个，跳绳5根，费用为（元）．
押题解读
二元一次方程组的应用与一元一次不等式是初中数学关键考点，侧重考查学生用数学模型解决实际问题的能力。对于二元一次方程组，重点掌握解法（代入消元、加减消元）并应用于实际，如销售、行程等问题，需准确列方程组求解。一元一次不等式则需掌握解法及性质，解决涉及范围、极值的实际问题，如资源分配、成本控制等。2022版新课标要求学生能将实际问题转化为方程组或不等式模型并求解，培养模型思想和运算能力。考试中常见应用题，需学生具备理解、分析和建模能力，正确列出方程组或不等式求解。此考点提升学生数学思维和解决实际问题的能力，为高中数学学习奠基。
1．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高．
(1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？
【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元
(2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键．
（1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可．
（2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台，
根据题意，可列方程，
解得，
即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元．
（2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，
根据题意，得，
解得，
由于为整数，所以，
总费用为元，
故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元．
2．截止2025年4月17日，《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元．
(1)求玩偶和保温杯的单价．
(2)该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低．
【答案】(1)玩偶每个80元，保温杯每个100元
(2)买玩偶1000个，保温杯3000个费用最低
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是：
（1）设玩偶每个x元，保温杯每个y元，根据“采购5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元”，列方程组求解即可；
（2）设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个，根据题意，得，然后根据“购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍”，求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶设玩偶每个x元，保温杯每个y元，
根据题意，得，
解得，
∴玩偶每个80元，保温杯每个100元；
（2）解：设购买玩偶m个，费用为元，则购买保温杯个，
根据题意，得，
∵购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍，
∴，
解得，
∵，
∴随m的增大而减小，
∴当时，取最小值，
∴买玩偶1000个，保温杯3000个费用最低．
3．某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元．
(1)求每台型和型商品的销售利润；
(2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
【答案】(1)型利润80元/台，型利润160元/台
(2)型4台，型6台，总利润最大
【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式．
（1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解；
（2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可．
【详解】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台
，
答：型利润80元/台，型利润160元/台；
（2）解：设型台，则型台，
型数量不少于型数量的一半，
，
，
，
随增大而减小
当时，，
答：型4台，型6台，总利润最大．
4．昆明被誉为“春城”，四季如春的气候是它最迷人的招牌.据统计，2025年春节期间，昆明市累计接待国内游客万人次．这里不仅是享誉世界的“春城”和“花都”，更有种类繁多的特色小吃.烧饵块是昆明的传统小吃，外皮酥脆，内馅丰富，咬一口满嘴米香．凉米线是昆明的传统小吃，米线滑嫩，调料丰富，咬一口满嘴鲜香.“烧饵块”“凉米线”摊位前排满了游客，若购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元．
(1)求凉米线，烧饵块每份的售价．
(2)据调查，某商家制作1份凉米线需要成本4元，1份烧饵块需要成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？
【答案】(1)每份凉米线的售价是7元，每份烧饵块的售价是10元
(2)商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设每份凉米线的售价是x元，每份烧饵块的售价是y元，根据“购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元”列出方程组，即可求解；
（2）设售出m份凉米线，则售出份烧饵块，根据“某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设总利润为w元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每份凉米线的售价是x元，每份烧饵块的售价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每份凉米线的售价是7元，每份烧饵块的售价是10元；
（2）解：设售出m份凉米线，则售出份烧饵块，
根据题意得：，
解得：，
设商家售完这1000份特色小吃获得的总利润为w元，
则，
即，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最大值，最大值为（元），
答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元．
5．根据如下素材，完成探索社务．
背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．
素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元．
素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件
素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台．
解决问题
任务 求、两种型号智能机器人的单价；
任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】任务：万元、万元
任务: 型号智能机器人台，型号智能机器人台
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键．
任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，
则购买型号智能机器人台，
根据题意得：，
∵，
解得：，
∴，
∵，，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值（万件），
（台），
即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多．
押题猜想十一 二次函数的综合应用（解答题第26题）
限时：15min
1．已知抛物线的对称轴为直线，设抛物线与函数图象的交点的横坐标为d、设
(1)求抛物线的解析式；
(2)以下结论：，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论．
【答案】(1)
(2)正确，证明见解析
【分析】（1）根据对称轴公式求出a的值即可；
（2）由结合两个交点的横坐标为d，可得，再化简m可得，然后根据作差法即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
则：，
∴抛物线的解析式为﹔
（2）解：我认为正确，
证明如下：
由可得：，则：．
∵两个函数交点的横坐标为d，
∴，即：．
∵
，
∵，
∴，
而，则．
∴，
∴﹒
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数的交点坐标的含义，分式的化简求值，分式的值的大小比较，灵活的运用以上知识解题是关键．
押题解读
二次函数的综合应用是初中数学的关键考点，主要涵盖图象与性质，以及实际应用。学生需掌握二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并能灵活应用于实际问题，如最大利润、最高点等问题。2022版新课标要求学生理解二次函数概念，掌握图象与性质，能用其解决实际问题，培养函数意识和模型思想。考试题目包括基础题和综合题，基础题考查图象与性质，综合题需建立二次函数模型解决实际问题，考查综合能力。二次函数能与方程、不等式结合，形成压轴题，全面考查学生的数学思维和解决问题的能力。
1．阅读下列材料：
我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：．
例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得．
解答下列问题：
如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点．
(1)求点到直线的距离．
(2)抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)存在，
【分析】（1）读懂题意，得直线可化为结合，代入距离公式进行计算，即可作答．
（2）先设点的坐标为，故点到直线的距离，结合在中，，则中函数值恒大于0，因为当时，最小，得，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，直线可化为
，
点到直线的距离．
（2）解：存在．设点的坐标为，
则点到直线的距离，
在中，，
中函数值恒大于0，
．
当时，最小，
则为，
，
此时点的坐标为．
在中，令，得，令，得
，
在中，，
的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，一元二次方程的判别式的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2．已知抛物线的顶点D及与y轴的交点C都在直线上，对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设m为抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，分式的化简：
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点为，再代入，即可求解；
（2）根据题意可得，再把分别叠代入分子分母，进行化简，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，且，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，即抛物线与y轴的交点为，
∵抛物线的顶点D及与y轴的交点C都在直线上，
∴，解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵m为抛物线与x轴的一个交点的横坐标，
∴，
∴，
∴
∴
3．在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，完全平方公式，熟练掌握运算法则和二次函数的图象性质是解题的关键．
（1）利用二次函数的图象性质得到抛物线的对称轴为，即，再把代入运算即可；
（2）运算化简式子后，再根据图象性质分析求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为，即，
∵与轴交于点，
∴，
即，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）证明：由（1）可得，抛物线的解析式为，
∵抛物线与轴的交点的横坐标为m，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，当时，，
∵当时，随的增大而减小，
∴，则，
∴，即．
押题猜想十二 圆的综合问题（解答题第27题）
限时：15min
1．如图，是的外接圆，是的直径，点D在上（点D不与点A，B重合），，连接，过点C作，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在中，若，，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含m，n的代数式表示；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）连接并延长，交于点F，交于H，则为的直径，根据垂径定理的推论可得，再证明四边形是矩形，则可得，进而可得是的切线．
（2）先根据勾股定理求出，由，以及，可得，进而可得，列比例式即可求出的长．
（3）在直径上截取，连接，易得，则可得，进而可得，再证，则可得，即．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F，交于H，则为的直径，
，
，
，
，
即，
，
，
是的直径，
，
，
∴四边形是矩形，
，
为的半径，
是的切线．
（2）解：是的直径，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
.
（3）解：若，，为定值，这个定值为，理由如下：
如图，在直径上截取，连接，
则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，，，
，
即，
∴若，，为定值，这个定值为.
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
押题解读
圆的综合问题是初中数学的重要考点，主要涉及圆的性质、定理及其与其他几何知识的综合应用。学生需掌握圆心角、圆周角、切线判定、相似三角形等性质，并能解决实际问题，如计算距离、角度、证明几何关系等。2022版新课标要求学生掌握圆的基本性质，能解决实际问题，培养推理能力和几何直观。考试题目以解答题为主，常与三角形、四边形等知识结合，考查综合运用能力，提升学生逻辑推理和严谨思维能力。
1．如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接．
(1)若，求的半径；
(2)求证：是的切线；
(3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由圆周角定理可知，然后根据勾股定理求解即可；
（2）连接，证明得，再证明，进而可证是的切线；
（3）过点C作于点G，则，根据证明得，再根据证明得，进而可求出．
【详解】（1）∵为的直径，
∴，
∵，
在中，由勾股定理可得：
∴，
，
故的半径长为；
（2）如图，连接
为的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
是⊙O的半径，
是⊙O的切线；
（3）存在，且k的值为2；
过点C作于点G，
，
在与中，
，
，
，
平分，
．
∴，
．
在与中，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．
2．如图，已知内接于，于点D且交于点F，平分，、的延长线交于点E．
(1)求证：与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积；
(3)若，，求的长．
【分析】（1）连接，证明，即可解决问题；
（2）证明是等边三角形，得图中阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可；
（3）根据勾股定理求出，由，得，求出半径，进而求的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积的面积扇形的面积
；
（3）解：在中，，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形外接圆与外心，扇形面积计算，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是得到．
3．如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．

(1)求的半径长；
(2)若，求证：直线是的切线；
(3)过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论．
【分析】（1）连接，利用所对的弦是直径判断，利用勾股定理求出即可；
（2）连接，先证明，利用等边对等角得出，利用直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，利用切线的判断即可得证；
（3）连接．延长至点，使得，连接，证明四边形是正方形，得出，利用证明，可得出，利用证明证明，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解∶如图，连接．

，
是的直径，
在中，，
由勾股定理得∶，
的半径；
（2）解：如图，连接，

，
，
即，
，
，
又，
，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
是的半径，且，
直线是的切线；
（3）解：．理由如下∶
连接,延长至点，使得，连接，

则，
，
，
四边形是圆O的内接四边形，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
在和中，
，即，
，
在和中，
，
，
即．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，全等三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
4．如图，为的切线，为切点，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，可推出，是的垂直平分线，从而，进而推出，从而，进一步得出是的切线；
（2）根据，，相似三角形的判定，则，即可；
（3）连接，根据，则，根据，则；根据，则，根据相似三角形的判定，得，；根据比例线段，则，推出；根据，则；设，，设，根据，求出，即可．
【详解】（1）连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴是的切线．

（2）由（1）得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）连接，
由（1）得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴．

【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程．
5．如图，内接于半径为1的，，过点A作，的延长线交于点E，交直线于点D，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积；
(3)记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据，得是线段的垂直平分线，根据得，即可证出是的切线；
（2）设，根据题意得出，再根据三角形内角和得，解出，从而得出，，再根据阴影部分的面积即可解得；
（3）由的面积为，的面积为，的面积为，得，再根据平分得出：点到的距离等于点到的距离，，，再由即可解答；
【详解】（1）证明：如图，连接，设交于点，则，

点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
过点作，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
由（1）得，是线段的垂直平分线，且，
，，
，
，
，
，
，且，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积.

（3）解：方法一：的面积为，的面积为，的面积为，
若，则，
，
，
平分，
点到的距离等于点到的距离，
，又，
，
，，
，，
，
，
.

方法二：的面积为，的面积为，的面积为，
若，则，
在利中，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，或（舍去），
，
，，
，，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了圆切线证明、圆与相似三角形、扇形的面积公式、勾股定理、线段垂直平分线的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用圆的相关知识点．中小学教育资源及组卷应用平台
云南省2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 科学记数法（选择题）
限时：1min
1．是中国深度求索公司研发的高性能Ai语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的Ai模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
押题解读
科学记数法是中考数学必考内容。2022版数学新课标强调数学在实际应用中的重要性，科学记数法作为表示大数和小数的简洁工具，符合这一要求。它在物理学、化学等学科中广泛应用，帮助学生理解宏观和微观世界的数量关系。新课标注重培养学生对数的感悟能力和运算能力，科学记数法的学习有助于提升学生的数学素养。考试中常结合实际背景考查学生对科学记数法的理解和应用，检验学生知识掌握程度和解决实际问题的能力。
1．中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．春节档国产动画电影《哪吒之魔童闹海》据灯塔专业版数据报道截至2025年3月23日实时票房超149.65亿，该电影内地累计总票房突破200亿，成为中国影史首个仅2部影片就破200亿的系列电影！数据“149.65亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
押题猜想二 规律探索（选择题）
限时：2min
1．按一定规律排列的点坐标：，，，，，…则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
押题解读
规律探索题是中考数学的重要考点。2022版数学新课标注重培养学生的推理能力和创新思维，规律探索题正好契合这一目标。它要求学生通过观察、分析、归纳和推理，发现数列、图形或实际问题中的规律，培养数学抽象和逻辑推理素养。这类题目能有效考查学生对数学本质的理解和运用数学知识解决问题的能力，也是新课标下培养学生数学核心素养的重要手段。
1．按一定规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
2．按一定规律排列的单项式：x，，，，，…，第n个单项式是（　　）
A． B．
C． D．
3．按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　）
A． B．
C． D．
4．一组按规律排列的式子“，，，，…”．按照上述规律，它的第n个式子（n≥1且n为整数）是（ ）
A． B． C． D．
押题猜想三 圆周角与圆心角（选择题）
限时：2min
1．如图，在新能源汽车的动力传输系统模拟图中，四边形形似一个关键的传动装置连接结构，该四边形内接于，为对角线且恰好经过圆心O．已知在某一时刻，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
押题解读
圆心角与圆周角是中考数学几何部分的重要考点。2022版数学新课标注重培养学生的数学抽象、逻辑推理和几何直观能力，圆心角与圆周角的性质和定理学习有助于提升这些能力。学生通过探索两者关系，理解圆心角与圆周角的度数关系，增强几何推理能力。新课标强调知识的实际应用，圆心角与圆周角在工程、物理和天文等领域有广泛应用，能帮助学生理解其实际价值。考试中相关题目可检验学生的数学思维和应用能力，符合新课标要求。
1．如图，为的直径，点是圆上两点，且分别在两侧，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．如图是的直径，点在上，连接、，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的内接三角形，连接，若，则为（ ）
A． B． C． D．
押题猜想四 数据的收集与整理（选择题）
限时：2min
1．某学校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调査，并绘制了如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，下列说法中不正确的是（ ）
A．此次抽查的学生总数为200人
B．这组数据的众数是80人
C．在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是
D．若该校学生总数为1300人，则可估计该校“了解很少”安全知识的学生约有390人
押题解读
数据的收集与整理是中考数学的基础考点，具有实用性、基础性、综合性和教育性。结合2022版数学新课标，该考点要求学生掌握数据收集和整理的基本方法，学会设计问卷、整理数据，为统计分析奠定基础。新课标强调培养学生的数据分析素养和解决实际问题的能力，数据的收集与整理正是这一能力培养的起点。通过学习，学生能够运用所学知识解决实际问题，如调查学生身高、成绩等，培养数据分析素养。同时，该考点涉及多学科知识，培养学生综合素养和解决实际问题的能力。
1．节约用水，从我做起．小滨把自己家1月份至6月份的用水量绘制成如图所示的折线图．则小滨家这6个月用水量的中位数是（　　）吨
A．3.5 B．9 C．9.5 D．11
2．学校计划从甲、乙两人中选拔名同学参加市知识竞赛，两位同学次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们上了一节手工课，教同学们剪纸．为了了解同学们的学习情况，随机抽取了20名学生，对他们的剪纸数量进行统计，统计结果如表．
剪纸数量/个
人数/人
请根据上表，判断下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3.8 B．样本为20名学生
C．中位数是3 D．众数是6
4．某校开设了四个课外兴趣小组，如图是该校八年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图（每人都参加且只参加一项）．若参加书法兴趣小组的人数是25人，则参加体育兴趣小组的人数是（ ）
A．4人 B．15人 C．20人 D．40人
押题猜想五 实数的混合运算（解答题第20题）
限时：5min
1．计算：．
押题解读
实数混合运算是中考数学基础考点，体现数学抽象与运算能力。2022版新课标强调培养学生的运算能力和数学抽象素养，实数混合运算恰好契合这一要求。学生需掌握实数运算顺序、法则，包括有理数、无理数、绝对值、零指数幂和负整数指数幂等，提升运算能力。新课标注重实际应用，该考点培养学生解决实际问题能力。考试中相关题目检验学生运算能力和知识掌握程度。教学中注重培养学生的严谨态度和逻辑思维能力，促进学生思维发展。
1．计算：
2．计算：．
3．计算：
4．计算：
押题猜想六 全等三角形的判定与性质（解答题第21题）
限时：3min
1．如图，，求证：．
押题解读
全等三角形的判定与性质是初中数学的重要考点，具备显著特点与教育价值。其考查重点在于全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）以及性质（对应边相等、对应角相等）。2022版数学新课标要求学生掌握全等三角形的判定方法，能够通过测量物体长度和角度来计算难以直接测量的距离或高度，培养学生的模型意识和应用能力。这一考点在中考中常以证明题和计算题的形式出现，要求学生具备较强的逻辑推理和严谨的证明能力。学生需能根据题目条件选择合适的判定定理证明三角形全等，并利用全等三角形的性质求解边长、角度等未知量。同时，该考点注重培养学生将实际问题转化为几何模型的能力，提升学生运用数学知识解决实际问题的意识和技能。
1．如图，在和中，与相交于点，，．求证：．
2．如图，，求证：．

3．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．

4．如图所示，，，．求证：．
押题猜想七 分式方程的应用（解答题第22题）
限时：5min
1．为贯彻落实习近平总书记关于生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生开展植树造林活动.已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵.求初二年级平均每小时植树多少棵？
押题解读
分式方程的应用是初中数学的关键考点，主要考查学生列分式方程解实际问题的能力。其重点在于理解分式方程的解法，包括去分母、解整式方程、验根等步骤，并能根据实际问题中的等量关系建立分式方程模型。2022版数学新课标要求学生掌握分式方程的基本概念和解法，能运用分式方程解决简单的实际问题，培养学生的模型思想和运算能力。考试中常出现工程问题、行程问题、销售问题等，需学生具备较强的理解能力和分析能力，能从实际情境中提取等量关系并准确列方程求解。同时，分式方程的应用强调数学知识在实际生活中的价值，提升学生用数学解决现实问题的意识和能力。
1．新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？
2．新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度．
3．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠米，乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
4．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
请求出排球的单价是多少元？
5．某服装店老板用6000元购进了若干件运动衫，很快售完；老板又用12500元购进相同款的运动衫，所购运动衫的件数是第一批的2倍，但每件进价比第一批多了5元,问第一批运动衫的进价是多少元？
押题猜想八 列表法求概率（解答题第23题）
限时：6min
1．张老师用四个外观相同的不透明盒子分别装着（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属屑，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以与盐酸发生置换反应，不能与盐酸发生置换反应）
(1)小进从四个盒子中随机选了一个，则选到（镁）的概率为___________；
(2)小明和小红先后从四个盒子中随机挑选了一个进行实验（挑选后不放回），请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率．
押题解读
列表法求概率是初中数学的重要考点，主要考查学生运用列表法解决概率问题的能力。其重点在于理解概率的基本概念，掌握用列表法列举所有可能结果的方法，从而计算随机事件发生的概率。2022版数学新课标要求学生能够运用列表法或树状图法计算简单随机事件发生的概率，培养学生的数据分析素养和数学运算能力。考试中常见题型包括求解古典概型问题，如抽奖、摸球、掷骰子等，要求学生能够准确列出所有可能的结果，并根据列表计算特定事件的概率。通过这一考点，学生能够更好地理解和分析随机现象，为后续学习统计与概率知识奠定基础。
1．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中．
(1)从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______；
(2)先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
2．某校举行主题为“诵国学经典，品盛世文明”的古诗词竞赛活动，各年级选拔2位同学组成小组参赛，下表是八、九年级参赛小组的各项比赛成绩（单位：分）：
年级 诗词背诵 诗词接龙 飞花令
八 95 90 83
九 90 90 86
(1)如果将诗词背诵、诗词接龙、飞花令的成绩分别赋权2，3，5，请分别计算八、九年级参赛小组的总成绩；
(2)若学校要从八、九年级参赛的4名选手中，随机选出2名同学协助校团委组织诗词文化社团活动，用列表法或树状图说明2名同学来自同一年级的概率是多少．
3．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
(1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________；
(2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率．
4．数学课上，老师在复习尺规作图五种基本作图时，制作了、、、、五张卡片，正面分别写有不同的作图内容，卡片除正面的内容不同外，其余均相同．要求将五张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，讲解卡片上对应的尺规作图画法．
(1)“从这五张卡片中随机抽取一张卡片，则抽到是”这一事件属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若甲同学从这五张卡片中随机抽取一张卡片不放回，将剩下的卡片洗匀后，乙同学再从剩下的四张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们两人所抽卡片中有卡片的概率．
5．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种软件，他将四种的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
A．豆包；B．；C． ；D．文心一言
(1)从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为_____；
(2)从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到相同卡片的概率．
押题猜想九 特殊四边形的判定与性质（解答题第24题）
限时：7min
1．如图，菱形的对角线，交于点O，点F是的中点，连接并延长到点E，使，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
押题解读
特殊平行四边形的判定与性质是初中几何核心考点，涵盖矩形、菱形、正方形的特性。新课标要求学生掌握它们的判定与性质，并能解决实际问题，培养几何直观与推理能力。考试常考证明题和计算题，要求学生熟练掌握判定定理，准确求解边长、角度等未知量。此考点重在提升学生逻辑推理与严谨思维能力，为高中几何学习奠基。
1．如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
2．如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
3．如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
4．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点F， ，延长到点C，使，延长到点D，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求与间的距离．
押题猜想十 二元一次方程组的应用、一元一次不等式（解答题第25题）
限时：7min
1．为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息．
班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？
售货员：不对呀，一共应该是1400元．
班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了．
(1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价；
(2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用．
押题解读
二元一次方程组的应用与一元一次不等式是初中数学关键考点，侧重考查学生用数学模型解决实际问题的能力。对于二元一次方程组，重点掌握解法（代入消元、加减消元）并应用于实际，如销售、行程等问题，需准确列方程组求解。一元一次不等式则需掌握解法及性质，解决涉及范围、极值的实际问题，如资源分配、成本控制等。2022版新课标要求学生能将实际问题转化为方程组或不等式模型并求解，培养模型思想和运算能力。考试中常见应用题，需学生具备理解、分析和建模能力，正确列出方程组或不等式求解。此考点提升学生数学思维和解决实际问题的能力，为高中数学学习奠基。
1．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高．
(1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？
2．截止2025年4月17日，《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位，这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板，更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”，哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变．某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品，采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样，购买3个玩偶和5个保温杯共需740元．
(1)求玩偶和保温杯的单价．
(2)该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个，且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个，才能使总费用最低．
3．某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元．
(1)求每台型和型商品的销售利润；
(2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？
4．昆明被誉为“春城”，四季如春的气候是它最迷人的招牌.据统计，2025年春节期间，昆明市累计接待国内游客万人次．这里不仅是享誉世界的“春城”和“花都”，更有种类繁多的特色小吃.烧饵块是昆明的传统小吃，外皮酥脆，内馅丰富，咬一口满嘴米香．凉米线是昆明的传统小吃，米线滑嫩，调料丰富，咬一口满嘴鲜香.“烧饵块”“凉米线”摊位前排满了游客，若购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元．
(1)求凉米线，烧饵块每份的售价．
(2)据调查，某商家制作1份凉米线需要成本4元，1份烧饵块需要成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？
5．根据如下素材，完成探索社务．
背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．
素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元．
素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件
素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台．
解决问题
任务 求、两种型号智能机器人的单价；
任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
押题猜想十一 二次函数的综合应用（解答题第26题）
限时：15min
1．已知抛物线的对称轴为直线，设抛物线与函数图象的交点的横坐标为d、设
(1)求抛物线的解析式；
(2)以下结论：，你认为哪个正确？并证明你认为正确的结论．
押题解读
二次函数的综合应用是初中数学的关键考点，主要涵盖图象与性质，以及实际应用。学生需掌握二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并能灵活应用于实际问题，如最大利润、最高点等问题。2022版新课标要求学生理解二次函数概念，掌握图象与性质，能用其解决实际问题，培养函数意识和模型思想。考试题目包括基础题和综合题，基础题考查图象与性质，综合题需建立二次函数模型解决实际问题，考查综合能力。二次函数能与方程、不等式结合，形成压轴题，全面考查学生的数学思维和解决问题的能力。
1．阅读下列材料：
我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：．
例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得．
解答下列问题：
如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点．
(1)求点到直线的距离．
(2)抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线的顶点D及与y轴的交点C都在直线上，对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设m为抛物线与x轴的一个交点的横坐标，求的值．
3．在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求证：．
押题猜想十二 圆的综合问题（解答题第27题）
限时：15min
1．如图，是的外接圆，是的直径，点D在上（点D不与点A，B重合），，连接，过点C作，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在中，若，，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含m，n的代数式表示；如果不是，请说明理由．
押题解读
圆的综合问题是初中数学的重要考点，主要涉及圆的性质、定理及其与其他几何知识的综合应用。学生需掌握圆心角、圆周角、切线判定、相似三角形等性质，并能解决实际问题，如计算距离、角度、证明几何关系等。2022版新课标要求学生掌握圆的基本性质，能解决实际问题，培养推理能力和几何直观。考试题目以解答题为主，常与三角形、四边形等知识结合，考查综合运用能力，提升学生逻辑推理和严谨思维能力。
1．如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接．
(1)若，求的半径；
(2)求证：是的切线；
(3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
2．如图，已知内接于，于点D且交于点F，平分，、的延长线交于点E．
(1)求证：与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积；
(3)若，，求的长．
3．如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．

(1)求的半径长；
(2)若，求证：直线是的切线；
(3)过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论．
4．如图，为的切线，为切点，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
5．如图，内接于半径为1的，，过点A作，的延长线交于点E，交直线于点D，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积；
(3)记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值．

展开更多......

收起↑