资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
重庆市2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 实数运算估值
限时：1min
1．已知实数．则实数m的值应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
押题解读
本考点为必考考点，估值是中考数学中重要的能力之一，常通过“夹逼法”等方法进行考查。例如，2024年重庆中考中涉及估算无理数的题目，要求学生通过整数部分的最大值和最小值来判断无理数的取值范围。这种能力不仅考察学生的计算能力，还考察其对数轴的理解和实际应用能力。
【选择题】2．已知，则实数m的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4．估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
5．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
押题猜想二 求阴影部分面积
限时：3min
6．如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．3π B．9π C．12π D．16π
押题解读
本考点为必考考点，考查重点是不规则阴影面积的计算，近12年连续考查.不规则阴影面积的计算常以填空题或选择题的形式进行考查;常结合矩形、菱形等图形进行设题，涉及等积转化法、直接和差法、构造和差法等方法,难度中等.牢记扇形面积公式,加强不规则阴影面积的计算，熟练应用各种方法求解阴影面积。
【选择题】7．如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交延长线于点，连接，再以为直径画半圆．则阴影部分的面积为（ ）（结果保留）
A． B． C． D．
9．已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，交于点N，连接，，，若，，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
押题猜想三 几何求值
限时：5min
11．在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
押题解读
本考点为必考考点，几何问题，考查学生对特殊四边形的性质的理解和应用能力。属于常规几何题型。试题设计注重考查学生的几何直观素养和综合运用知识的能力。
【选择题】12．如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接，过点作交延长线于点，连接，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，与，分别交于点．则的长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
押题猜想四 代数操作
限时：8min
16．已知整式中，，，…，为自然数，且满足．下列说法：
①当，时，满足条件的整式有且仅有3个；
②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式恰好有6个；
③当时，满足条件的所有整式有且仅有24个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
押题解读
本考点为必考考点，以知识立意、能力立意和素养立意为共同目标，综合考查学生教学学习科核心素养的一类新题型.此类题目通常以数学运算能力和逻辑推理能力的考查为重点，需要学生综合运用数与式(整式、分式、二次根式、方程或不等式等)及函数相关知识解决问题，虽题目新颖灵活,2022年首次出现在重庆中考试题中。.代数操作型问题呈现在选择题最后一道,难度中等,但是今年2025年估计该题的难度会加大，因此能否突破这一类型的题目是对学生数学学习能力的重要考验，同时也对中考起着至关重要的作用.
【选择题】17．关于x的多项式，其中n，，，…，为正整数，且，，下列说法正确的个数是（ ）
①若，则多项式M可以为二次三项式；②若，满足条件的多项式M共有5个；③若方程，只有两个不同的实数解，则当k取最小值时，代数式的最小值为；
A．0 B．1 C．2 D．3
18．已知关于x的一元二次方程，下列结论不正确的个数是（ ）
①当或时，代数式的值是一个完全平方数；
②无论x为任何数，代数式的值大于的值；
③关于的函数的图象与轴两交点间的距离为；
④代数式的值等于2023．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，，满足，，所以5，7，2，，为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：
①12，3，a为三级浪花数，则a的值为；
②任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数；
③2022级浪花数中的所有数之和为0．
下列说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
20．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（ ）
①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则；
②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式；
③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
押题猜想五 分式与不等式含参运算综合
限时：3min
（改编）21．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
押题解读
本考点为必考考点，重庆近6年选择题和填空题中每年都会考查含参数的不等式组与分式方程的综合，为必考点。含参数的不等式组与分式方程的综合主要涉及由不等式组的解集与分式方程的解的情况判断参数的取值,求满足条件的参数的和或积等.熟练掌握分式方程增根和无解的情况，要注意端点值是否能取到.在平时复习中加强练习。
【填空题】22．若关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
23．若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为 ．
24．若关于x的分式方程的解为非负整数，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
25．若整数a使得关于x的不等式组有正整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为 ．
押题猜想六 圆双空题
限时：8min
26．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则 ， ．
押题解读
本考点为必考考点，2024年重庆中考数学圆作为一道新题型，考查了学生的基础知识和综合能力，并在区分度上表现突出。预计2025年该考点将继续延续几何计算题的考查方向，但可能会在题型设计上有所创新。学生和教师需提前做好准备，注重基础知识的巩固和解题能力的提升。
【填空题】27．如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则 ； ．
28．如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为的中点，连接，若，，则的半径是 ，＝ ．
29．如图，是的直径，点在上，过E作的切线交的延长线于点，过C作于点D，交于点H，若，则 ， ．
30．如图，在△ABC中，，，在上有一点，以为圆心的与相切于点，分别交、于点、，过作交于、，交于，若， ， ．
押题猜想七 尺规作图+补全证明
限时：5min
31．在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴①______
∵为的中点
∴②______
∴在和中，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵④______
∴四边形是菱形．
小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______．
押题解读
本考点为必考考点，是重庆中考近几年的新考题型，重点考查5种基本作图.2021年的考题设置两问，第一一问考查基本作图,第二问在作图基础上简单证明.2022年设置一问但分“作图”与“填空”两步，先通过作图将图补充完整，再根据题干的证明过程进行填空,将证明过程补充完整.平时复习时加强尺规作图的练习， 熟练掌握5种基本的作图方法与全等三角形的五种证明方法。
【解答题】32．在学行四边形的相关知识后，数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
如图，中，是边上的中线，于点F．
(1)尺规作图：过点A作的垂线交于点E，连接、（保留作图痕迹，不写作法、结论）
(2)在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形．
证：，
___①___
是边上的中线
___②___
在和中
___③___
又
四边形是平行四边形（___④___）
从而我们可以得到结论，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，则这个四边形是___⑤___．
33．在学习了直线与圆的位置关系相关知识后，创新小分队结合直角三角形进行深入探究发现：在直角三角形中，圆心在角所对直角边上且与这个直角三角形另两边都相切的圆，圆心分这条边所得两条线段的比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．可利用证明三角形全等、证明切线和计算面积得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，，用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点O，以点O为圆心、为半径作圆（不写作法，保留作图痕迹）；）
(2)在（1）的条件下，过点O作于点F．证明：与相切；．
证明：过点O作于点F，
，
平分，
① ，
在与中，
，
③ ，
与相切于点F；
，
，
．
进一步思考，从作图过程可以发现：一个角的平分线与对边相交的交点为圆心，交点到这个角两边距离为半径的圆与这个角的两边相切，圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于④ ．
34．如图，在平行四边形中，于．
(1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，，
_____①_____，
，，
_____②_____，
在、中，
，
，
_____④_____，
．
35．小李探究了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点M．过点M作于点H．探究之间的数量关系．
(1)请在答题卡上完成尺规作图：过点M作垂足为点H；
(2)下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程．
∵，，
∴①________
∴
∴②________
∵，
∴
∴③________
∴④________
∴⑤________．
小李又进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出这三条线段之间的数量关系⑥________．
押题猜想八 统计
限时：6min
36．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：
A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生
男生
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的________，________，________；
(2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
押题解读
本考点为必考考点，是重庆近10年统计图表的综合题每年都会考查,统计图表的综合考查中位数、众数、平均数的计算与实际意义、用样本估计总体.以解答题的形式进行考查,通常结合实际的问题情境考查学生分析统计图表的能力，通过计算中位数、平均数、众数及用样本估计总体解决实际问题.熟练掌握中位数、众数、平均数的计算方法及其实际意义，统计图表的分析与判断。
【选择题】37．弘扬数学文化，展现思维风采．某校举办了数学创新应用大赛，赛后学习小组从八年级和九年级各随机抽取了10名学生，成绩整理如下（A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分）
八年级10名学生的成绩中，C组成绩为85，85，88．
九年级10名学生的成绩为：62，75，78，80，85，88，95，95，95，98．
八、九年级所抽学生大赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 a 85
九年级 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中__________，__________，__________；
(2)根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的数学创新应用大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八、九年级各有200人参赛，估计两个年级的成绩在D组的学生共有多少人？
38．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
类型 人数 百分比
纯电 m
混动 n
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______；
(2)请补全条形统计图；
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
39．某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.8 a 82
九年级 79.8 79 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中__________，__________，__________；
(2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？
40．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组:A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息：
七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 n
八年级 m 86
八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86
七年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66
请根据以上信息完成下列问题：
(1)填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图；
(2)根据以上数据，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)规定90分及其以上为优秀，该校七年级和八年级参加知识竞赛的学生各有1600名，请你估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀的共有多少人？
押题猜想九 应用题
限时：7min
41．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人．
(1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？
(2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？
押题解读
本考点为必考考点，此类问题一般设为两问，从2014年到2021年该题型皆涉及a%，通过列出与百分比变化对应的方程求解.但从2022年开始考情发生变化，题目不再涉及a%，题目变得常规，整体难度有所下降.2023年考查二元一次方程组及分式方程的结合，难度降低.熟练掌握方程(组)与不等式的相关知识点,增强阅读能力，学会分析题目中的数量关系,找准题干中确定的量并列出关系式。2025年难度会有所下降。
【解答题】42．为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人．
(1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？
(2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？
43．重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造．
(1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？
(2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？
44．某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元．
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2)A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？
45．小张从家具厂家购进了A、B两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米B型木地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进B型木地板的面积相同．
(1)求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？
(2)在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎．为了增大B型木地板的销量，该销售商决定对B型木地板进行降价销售．经调查，当B型木地板的售价为每平方米180元时，平均每天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米．要使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元．
押题猜想十 动点几何
限时：10min
46．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
押题解读
本考点为必考考点，是重庆中考近两年的新考题型，一般以解答题的形式考查，重点考查学生的逻辑推理能力，需要学生通过动点的运动轨迹,通过分析、动手计算并求出函数表达式，画出函数图象，通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题，注重培养学生的应用意识.这类题型虽然看似比较难，但其实并不难，只要我们打好数学基础、多做题训练、总结方法，并加强对创新意识和创新能力的培养注重解题过程中的细节,就可以很好地解决问题。
【解答题】47．如图，在等腰中，，，动点P从点B出发，沿运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，点Q在射线上，连接，的面积始终为4，的面积为，点Q到的距离为．

(1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
1 2 3 4 5
10 8 6 4 2
8 4 2
48．如图1，在Rt中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B，C不重合），同时动点D在射线CA上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点P运动时间为x秒，BP的长度为，CD的长度为，请解答下列问题：
(1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直线与、的图象有两个交点时，求b的取值范围（误差不超过0.2）．
49．如图1，在中，为上一点，，动点P从E出发，沿方向运动，到达点B时停止运动，连接．设点P走过的路程为的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)一次函数的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围．
50．如图，在中，，，，是边上的中线，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，同时动点P以相同的速度从点A出发，沿着运动，点P运动到点B处两点都停止，连接，．设点P、Q的运动时间为x．的面积为，的面积与面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
押题猜想十一 解直角三角形应用
限时：10min
51．某中学组织学生进行研学活动．如图，学生到达基地大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往宣讲中心处集合．经勘测，处在处的正北方，手工制作区在处的南偏西方向且距离处400米处，农耕体验区在处的正西方，农耕体验区也在处的正南方600米处，户外拓展区在处的南偏东方向，户外拓展区也在处的北偏东方向．（参考数据：，，）

(1)求户外拓展区与基地大门之间的距离．（结果精确到）
(2)已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区处的活动时间为25分钟，在手工制作区处的活动时间为20分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心处．
押题解读
本考点为必考考点，此题型在2015年和2022年2023年作为大题进行考查,其余8年都作为选择题进行考查，主要考查解直角三角形与实际情境相结合.作为解答题考查是其考查趋势.该题型结合实际情境通过计算物体的高度或者距离,考查学生对于几何图形的实际应用能力.熟练掌握解直角三角形的相关知识点,灵活运用作辅助线的方法。
【解答题】52．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发沿不同路线向C港运送货物，甲货轮沿路线运送货物，乙货轮沿路线运送货物．已知D位于A的正北方50海里处，C位于D的正东方，B位于A的东南方向，E位于B的正北方，C位于E北偏东方向海里处，且位于B的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求A与B之间的距离．（结果保留根号）
(2)受恶劣天气的影响，C港失去了甲、乙两艘货轮的位置信息，C港立即让位于E处的信号塔定位甲、乙两艘货轮，若距离信号塔30海里范围内均能成功定位，其中甲货轮平均速度为20海里每小时，乙货轮平均速度为25海里每小时，请通过计算说明信号塔先定位到哪艘货轮？（结果保留一位小数）
53．某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
(1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离．（结果精确到0.01）
(2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，）
54．如图，小红和小明家相约去动物园看熊猫，到了动物园大门处，小明家决定先去处看恐龙，小红家决定先去处看金鱼，然后两家人再到处熊猫馆碰面一起游玩．在的北偏西方向400米，在的北偏东方向；在的北偏东方向，在的正西方向，在的正北方向．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果保留整数）
(2)若小明和小红两家人的速度相同（停留在、的玩耍时间相同），哪家人先到达处熊猫馆？请通过计算说明．
55．为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向6000米，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，）
(1)求B与C两点之间的距离；
(2)若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为80米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为95米/分，（经过A，C两点不停留），谁先到达B点？请通过计算说明．（结果精确到1分钟）
押题猜想十二 二次函数综合题
限时：20min
56．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，．
(1)求抛物线解析式：
(2)点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值．
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线C沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线C的交点为G，请在新抛物线上找一点M（不与点G重合），使直线与直线的夹角为，直接写出符合条件的点M的坐标．
押题解读
本考点为必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值(含周长)问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题和角相关问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查.本题型几乎每年作为压轴题考查,综合考查学生的几何直观、模型观念等核心素养,同时着重培养学生数形结合思想、动态探究和静态分析等数学思维.二次函数综合题体现了数形结合思想和方程思想，对我们能力的要求比较高，解决此类问题的关键是要提高我们的数学建模俞力、阅读理解能力和运算能力。
【解答题】57．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，直线与轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
58．如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C，接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点轴交直线于点E，求的最大值时，及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点，连接，点M是新抛物线上一点，且，直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
59．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值．
(3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标．
60．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点G．点E，F分别是拋物线对称轴、y轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)如图2，将该抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，已知点、，动点M在直线上，动点K在x轴上方的新抛物线上，连接并将线段绕点K旋转得到，过点N作x轴垂线恰好过点R，与直线交于点D，是否存在点K使得？若存在，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
押题猜想十三 几何证明压轴题
限时：20min
61．在等边中，点D在直线上，连接，过点B作于点H．
(1)如图1，点D在的延长线上，，，求的长度；
(2)如图2，点D在边上，点E在边上，且，与交于点F，若点F恰是的中点，请用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图3，点D在边上，过点H作．连接、，将沿翻折至，连接，，请直接写出当取得最大值时的值．
押题解读
本考点为必考考点，几何探究综合题从2020年开始作为解答题的最后一题进行考查,常涉及旋转、动点问题,难度较大。一般三个设问,常考查线段间关系、线段最值等问题,常与中点、角平分线、四点共圆等知识结合,灵活度高，着重考查学生的综合能力.平时练习时熟练掌握角平分线模型、中点模型、线段最值模型、隐圆模型等,加强此题型的练习。
【解答题】62．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点．
(1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
(3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值．
63．已知是边长为的等边三角形，将边绕点逆时针旋转一定角度得到线段，的延长线交直线交于点，连接交直线于点．
(1)如图1，若，求线段的长度；
(2)如图2，若，延长并在延长线上取一点，连接使，过点作交于点，猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，连接，是上一点，当取得最小值时，直接写出的面积．
64．已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N．
(1)如图1，若点N恰为中点，，，求的度数．
(2)如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积．
65．如图，的两边与的两边相交于、、、四点，点为的中点．
(1)若，，，，请求出的长度．
(2)如图2，点为上方的一点连接，，交于点，且点在的垂直平分线上，，求证：；
(3)如图3，若，，为上一点且，在平面内有一点，满足，若点为中点，的角平分线上有一点，连接，，当的值最小时，请直接写出的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
重庆市2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 实数运算估值
限时：1min
1．已知实数．则实数m的值应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【答案】A
【详解】解：，且，
，
，
实数m的值应在1与2之间，
故选：A．
押题解读
本考点为必考考点，估值是中考数学中重要的能力之一，常通过“夹逼法”等方法进行考查。例如，2024年重庆中考中涉及估算无理数的题目，要求学生通过整数部分的最大值和最小值来判断无理数的取值范围。这种能力不仅考察学生的计算能力，还考察其对数轴的理解和实际应用能力。
【选择题】2．已知，则实数m的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
故选：B．
3．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，先化简，再对二次根式进行估算即可．
【详解】解：；
且，
，
；
故选：A．
4．估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法可得结果为，结合可得答案.
【详解】解：
；
∵，
∴，
∴在4和5之间，
故选：C
5．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式的性质可得，再利用无理数的估算可得，由此即可得．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：B．
押题猜想二 求阴影部分面积
限时：3min
6．如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．3π B．9π C．12π D．16π
【答案】B
【分析】本题考查不规则图形面积的计算，将不规则图形转化为可求图形面积的和差，并牢记三角形面积公式和扇形面积公式是解题关键．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
，，
，
故选：B．
押题解读
本考点为必考考点，考查重点是不规则阴影面积的计算，近12年连续考查.不规则阴影面积的计算常以填空题或选择题的形式进行考查;常结合矩形、菱形等图形进行设题，涉及等积转化法、直接和差法、构造和差法等方法,难度中等.牢记扇形面积公式,加强不规则阴影面积的计算，熟练应用各种方法求解阴影面积。
【选择题】7．如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是
故选：B．
8．如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交延长线于点，连接，再以为直径画半圆．则阴影部分的面积为（ ）（结果保留）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
由圆的性质得，
四边形是矩形，
∴
∴
∴
∵
∴
设与半圆交于点，连接，过点作于点，如图，
∴
∴
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
故选：C．
9．已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴，，
∵为边的中点，
∴，
∴图中阴影部分的面积是
，
故选：B．
10．如图，在菱形中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，交于点N，连接，，，若，，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，
∴，，，
∴，
则图中阴影部分面积为，
故选：B．
押题猜想三 几何求值
限时：5min
11．在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由矩形的性质和折叠的性质得，利用勾股定理求出，证明得，代入数据求出，进而可求出．
【详解】解∶如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，．
由折叠的性质得，，，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
押题解读
本考点为必考考点，几何问题，考查学生对特殊四边形的性质的理解和应用能力。属于常规几何题型。试题设计注重考查学生的几何直观素养和综合运用知识的能力。
【选择题】12．如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接，过点作交延长线于点，连接，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，作交的延长线于点G，先证，求出，再证，求出，，最后用勾股定理计算出．
【详解】解：如图，作交的延长线于点G，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，，
，
，即，
，
，，
，
，即，
解得，，
，
故选B．
13．如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，与，分别交于点．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．过点F作于点H，分别交、于点P、Q，则，结合为边的中点， 可知，，因此可求出，，的值，设，，由可得，， ，据此可求出x，y的值，根据即可得出答案．
【详解】解：过点F作于点H，分别交、于点P、Q，则，
四边形是正方形，
，
，分别为边，的中点，
，
，
∵，为边的中点，
∴，，
，，
，，，
设，，
，
∴，，
， ，
，，
解得，，
，
故选：A．
14．如图，在正方形中，点E是边的一点且，连接，将沿折叠至正方形内部，得到线段，延长交于点G，延长交于点H，若，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作交于，连接，先证明，得出，设，则，列方程求出，证明，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过作交于，连接，
在正方形中，，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
15．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
作于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
押题猜想四 代数操作
限时：8min
16．已知整式中，，，…，为自然数，且满足．下列说法：
①当，时，满足条件的整式有且仅有3个；
②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式恰好有6个；
③当时，满足条件的所有整式有且仅有24个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．根据题意逐项分析，分类讨论，即可求解．
【详解】①当 和 时，剩余部分需满足 ．
可能的解为：（对应 ），
（对应 ）
由于允许 无限增大，每个 或 均对应不同整式，导致解无限多，而非仅有3个．
故说法①错误
②当 时，方程为 ．
若，则 ，解得可取0至5，共6组解．
因此存在 使得解恰好为6个．
故说法②错误．
③当 时，方程为 ．
分情况计算： 时，解数为14；
时，解数为7；
时，解数为2．
总解数为 ，而非24．
故说法③错误．
综上，所有说法均不正确，
故选：A．
押题解读
本考点为必考考点，以知识立意、能力立意和素养立意为共同目标，综合考查学生教学学习科核心素养的一类新题型.此类题目通常以数学运算能力和逻辑推理能力的考查为重点，需要学生综合运用数与式(整式、分式、二次根式、方程或不等式等)及函数相关知识解决问题，虽题目新颖灵活,2022年首次出现在重庆中考试题中。.代数操作型问题呈现在选择题最后一道,难度中等,但是今年2025年估计该题的难度会加大，因此能否突破这一类型的题目是对学生数学学习能力的重要考验，同时也对中考起着至关重要的作用.
【选择题】17．关于x的多项式，其中n，，，…，为正整数，且，，下列说法正确的个数是（ ）
①若，则多项式M可以为二次三项式；②若，满足条件的多项式M共有5个；③若方程，只有两个不同的实数解，则当k取最小值时，代数式的最小值为；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：①若，
，
多项式M可以为，是二次三项式，故①正确；
②若，
，
满足条件的多项式M为，，，，，
满足条件的多项式M共有5个，故②正确；
③方程只有两个不同的实数解，且当k取最小值，
多项式M为二次三项式，且，，
取最小值，
，
当时，，解得，此时，不符合题意，舍去；
当时，，解得，此时，不符合题意，舍去；
当时，，解得，此时，不符合题意，舍去；
当时，，解得，
又，且是正整数，
，此时多项式M为，
，
当时，有最小值，此时有最小值，
代数式的最小值为，故③正确；
综上所述，正确的个数是3．
故选：D．
18．已知关于x的一元二次方程，下列结论不正确的个数是（ ）
①当或时，代数式的值是一个完全平方数；
②无论x为任何数，代数式的值大于的值；
③关于的函数的图象与轴两交点间的距离为；
④代数式的值等于2023．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：对于①，当或时，，9是完全平方数，故①正确．
对于②，，
∴，故②错误．
对于③，令，则，
解得：，
所以函数与x轴两交点间的距离，故③正确．
对于④，∵，则，
∴
，故④错误．
故不正确的个数是2个，
故选：B．
19．若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，，满足，，所以5，7，2，，为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：
①12，3，a为三级浪花数，则a的值为；
②任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数；
③2022级浪花数中的所有数之和为0．
下列说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：①∵12，3，a为三级浪花数，
∴，
解得：，
故①正确；
②设任意组100级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
由题意得这一列数依次为：x，y，，，，，x，y，，，，，……
可以看出每六个数一次循环，
，所以第36个数为，
余3，所以第63个数为，
所以第36个数和第63个数一定互为相反数，
故②正确；
③2022级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
则一列数依次为：x，y，，，，，x，y，，，，，……，
可以看出每六个数一次循环，
这六个数的和为：，且，
所以2022级浪花数中的所有数之和为0
由③正确；
综上所述：正确个数有3个；
故选：D．
20．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（ ）
①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则；
②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式；
③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，
则，
，
当时，，
解得：；
当时，，方程无解；
当时，，
解得：；
故或2，则①错误；
②对a，b，c，c进行“Q运算”，，
当，，
当，，
当，，
当，，
当，，
当，，
化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确；
③若对4，5，6，7，，2025，进行“Q运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项，
为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为，
则当时，运算结果最小，故③错误；
故选：B
押题猜想五 分式与不等式含参运算综合
限时：3min
（改编）21．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
，
不等式组有且仅有3个整数解，
，
，
，
，
有正整数解，
且，
解得：且，
，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：-5，
故答案为：．
押题解读
本考点为必考考点，重庆近6年选择题和填空题中每年都会考查含参数的不等式组与分式方程的综合，为必考点。含参数的不等式组与分式方程的综合主要涉及由不等式组的解集与分式方程的解的情况判断参数的取值,求满足条件的参数的和或积等.熟练掌握分式方程增根和无解的情况，要注意端点值是否能取到.在平时复习中加强练习。
【填空题】22．若关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】60
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解题的关键．先解不等式组得，根据关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，得出，求出的范围，再解分式方程得，根据关于y的分式方程的解为整数，得出是6的倍数，且，再结合的范围求出符合条件的所有整数a的值，即可求解．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
不等式组的解集为，
又关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，
，
解得：，
，
去分母得，，
解得：，
关于y的分式方程的解为整数，
是整数且，
是6的倍数，且，
又，a是整数，
，
符合条件的所有整数a的和为．
故答案为：60．
23．若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为 ．
【答案】30
【详解】解：，
去分母得，，
，
根据题意得，，即，
∴是正数，且，即，
∴且，．
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式的解集为，，
∵关于的不等式组有且只有2个偶数解，
∴，
，
，，
∴所有符合条件的整数的值有，
，
∴所有符合条件的整数的值之积为30．
故答案为：30．
24．若关于x的分式方程的解为非负整数，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】
【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以，得
，
解得，
关于的分式方程的解为非负整数，
，且为整数，
即且为奇数，
又分式方程的增根是，
当时，即，解得，
，
不等式的解集为，
不等式的解集为，
又关于的不等式组有解，
，
即，
综上所述，且为奇数，且，
或或或或，
所以符合条件整数的和为．
故答案为：．
25．若整数a使得关于x的不等式组有正整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为 ．
【答案】
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有正整数解，
，
，
解关于的分式方程，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
关于的分式方程有正整数解，
，且为偶数，
，
或或，
当时，是分式方程的增根，
(舍去)，
．
故答案为： ．
押题猜想六 圆双空题
限时：8min
26．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则 ， ．
【答案】
【详解】解：如图，连接、，
∵是的直径，是的切线，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
押题解读
本考点为必考考点，2024年重庆中考数学圆作为一道新题型，考查了学生的基础知识和综合能力，并在区分度上表现突出。预计2025年该考点将继续延续几何计算题的考查方向，但可能会在题型设计上有所创新。学生和教师需提前做好准备，注重基础知识的巩固和解题能力的提升。
【填空题】27．如图，内接于，是的直径，点D为圆上的一点，且，连接交于点E，过点D作交延长线于点F，连接．若，，则 ； ．
【答案】
【详解】解：作于点，连接，作于点，
，，
，，
是的直径，
，
，
在中，，
，
，，
，，
，
，
，即
，
，
设，则，，
，，
，
，即，
解得：，
，，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
综上所述，，．
故答案为：；．
28．如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为的中点，连接，若，，则的半径是 ，＝ ．
【答案】 2
【详解】解：连接， 如图所示：
∵与相切于点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵弦，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，设，
，
∵点是的中点，
∴设，
，
在中， 由勾股定理得：，
在中， ，
由勾股定理得：，
(不合题意，舍去)，
∴的半径是；
，
是等边三角形，
∴于点，
，
在中， 由勾股定理得：，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；．
29．如图，是的直径，点在上，过E作的切线交的延长线于点，过C作于点D，交于点H，若，则 ， ．
【答案】 8
【详解】解：连接，过点作于点M，如图：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8；．
30．如图，在△ABC中，，，在上有一点，以为圆心的与相切于点，分别交、于点、，过作交于、，交于，若， ， ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，连接，，，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，，
设，，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
如图，过点作延长线于点，于点，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：；．
押题猜想七 尺规作图+补全证明
限时：5min
31．在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴①______
∵为的中点
∴②______
∴在和中，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵④______
∴四边形是菱形．
小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______．
【答案】(1)图见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：过点作的垂线，分别交、于点、，连接、，如图所示：
．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形．证明如下：
如图，在四边形中，，点是对角线的中点，于点，
∵，
∴，
∵点是对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④；⑤菱形．
押题解读
本考点为必考考点，是重庆中考近几年的新考题型，重点考查5种基本作图.2021年的考题设置两问，第一一问考查基本作图,第二问在作图基础上简单证明.2022年设置一问但分“作图”与“填空”两步，先通过作图将图补充完整，再根据题干的证明过程进行填空,将证明过程补充完整.平时复习时加强尺规作图的练习， 熟练掌握5种基本的作图方法与全等三角形的五种证明方法。
【解答题】32．在学行四边形的相关知识后，数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
如图，中，是边上的中线，于点F．
(1)尺规作图：过点A作的垂线交于点E，连接、（保留作图痕迹，不写作法、结论）
(2)在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形．
证：，
___①___
是边上的中线
___②___
在和中
___③___
又
四边形是平行四边形（___④___）
从而我们可以得到结论，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，则这个四边形是___⑤___．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤平行四边形
【详解】（1）解：如图所示，图形即为所求：
（2）证：，
是边上的中线
在和中
又
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
从而我们可以得到结论，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，则这个四边形是平行四边形．
故答案为：①；②；③；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤平行四边形．
33．在学习了直线与圆的位置关系相关知识后，创新小分队结合直角三角形进行深入探究发现：在直角三角形中，圆心在角所对直角边上且与这个直角三角形另两边都相切的圆，圆心分这条边所得两条线段的比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．可利用证明三角形全等、证明切线和计算面积得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，，用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点O，以点O为圆心、为半径作圆（不写作法，保留作图痕迹）；）
(2)在（1）的条件下，过点O作于点F．证明：与相切；．
证明：过点O作于点F，
，
平分，
① ，
在与中，
，
③ ，
与相切于点F；
，
，
．
进一步思考，从作图过程可以发现：一个角的平分线与对边相交的交点为圆心，交点到这个角两边距离为半径的圆与这个角的两边相切，圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于④ ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③；④与这两条线段相邻的三角形的边之比
【详解】（1）解：如图，射线、即为所求．
（2）证明：过点O作于点F，
，
平分，
，
在与中，
，
，
与相切于点F；
，
，
，
即圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．
故答案为：①；②；③；④与这两条线段相邻的三角形的边之比．
34．如图，在平行四边形中，于．
(1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，，
_____①_____，
，，
_____②_____，
在、中，
，
，
_____④_____，
．
【答案】(1)作图见详解
(2)①，②，③，④
【详解】（1）解：如图所示，即为所求线段，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
①，
，，
②，
在、中，
，
，
④，
．
故答案为：①；②；③；④．
35．小李探究了下面的问题：如图，与中，斜边与相交于点M．过点M作于点H．探究之间的数量关系．
(1)请在答题卡上完成尺规作图：过点M作垂足为点H；
(2)下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程．
∵，，
∴①________
∴
∴②________
∵，
∴
∴③________
∴④________
∴⑤________．
小李又进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出这三条线段之间的数量关系⑥________．
【答案】(1)见解析
(2)；；；；；
【详解】（1）解：如图所示，过点作垂足为点．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴．
如果把题设中的三个垂直关系改为：，
，
，，
∴，
故答案为：；；；；；．
押题猜想八 统计
限时：6min
36．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：
A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
名同学对《哪吒2》评分统计表
性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比
女生
男生
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的________，________，________；
(2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？
【答案】(1)，，
(2)男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．
出现最多，则，
根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．
则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，
则
根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，
∴评分分数为和的人数都是人
∴，则
故答案为：，，．
（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：
根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》
（3）（人）
押题解读
本考点为必考考点，是重庆近10年统计图表的综合题每年都会考查,统计图表的综合考查中位数、众数、平均数的计算与实际意义、用样本估计总体.以解答题的形式进行考查,通常结合实际的问题情境考查学生分析统计图表的能力，通过计算中位数、平均数、众数及用样本估计总体解决实际问题.熟练掌握中位数、众数、平均数的计算方法及其实际意义，统计图表的分析与判断。
【选择题】37．弘扬数学文化，展现思维风采．某校举办了数学创新应用大赛，赛后学习小组从八年级和九年级各随机抽取了10名学生，成绩整理如下（A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分）
八年级10名学生的成绩中，C组成绩为85，85，88．
九年级10名学生的成绩为：62，75，78，80，85，88，95，95，95，98．
八、九年级所抽学生大赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 a 85
九年级 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中__________，__________，__________；
(2)根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的数学创新应用大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八、九年级各有200人参赛，估计两个年级的成绩在D组的学生共有多少人？
【答案】(1)85；95；30
(2)九年级，理由见解析
(3)估计两个年级的成绩在D组的学生共有140人
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，读懂统计图表的信息是解题的关键．
（1）先求出八年级D组学生人数，得出所占百分比，求出的值，再根据中位数和众数的定义分别求出的值，即可解答；
（2）根据平均数和中位数进行分析即可；
（3）分别计算出八年级人数乘以八年级D组人数占比，九年级人数乘以九年级D组人数占比，再相加即可求解．
【详解】（1）解：由扇形图可知，八年级10名学生的成绩中A、B组学生人数都为（人），
八年级D组学生人数为（人），
八年级D组学生人数所占百分比为，即，
将八年级10名学生的成绩从小到大的顺序排列，则中位数为第5位和第6位的平均数，
中位数，
由题意得，九年级10名学生的成绩的众数，
综上所述，，，．
故答案为：85；95；30．
（2）解：九年级学生的成绩更好，理由为：八、九年级学生的成绩平均数相同，而九年级学生成绩的中位数大于八年级学生成绩的中位数（答案不唯一）．
（3）解：（人），
答：估计两个年级的成绩在D组的学生共有140人．
38．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
类型 人数 百分比
纯电 m
混动 n
氢燃料 3
油车 5
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______；
(2)请补全条形统计图；
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
【答案】(1)50；30，6
(2)见解析
(3)
(4)人
【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．
（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a；
（2）先求得n，进而可补全条形统计图；
（3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；
（4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则，
，则，
故答案为：50；30，6；
（2）解：∵，
∴补全条形统计图如图所示：
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（4）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
39．某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.8 a 82
九年级 79.8 79 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中__________，__________，__________；
(2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？
【答案】(1)82，78，20
(2)八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析
(3)109名
【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体；
（1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；
（2）从中位数或众数的角度出发可得答案；
（3）由九年级与八年级的总人数分别乘以不了解的占比，再求和即可.
【详解】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有109名．
40．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组:A．，B．，C．，D．），得到如下不完全的信息：
七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 n
八年级 m 86
八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86
七年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66
请根据以上信息完成下列问题：
(1)填空：________，________，并补全八年级的成绩条形统计图；
(2)根据以上数据，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)规定90分及其以上为优秀，该校七年级和八年级参加知识竞赛的学生各有1600名，请你估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀的共有多少人？
【答案】(1)，，图见解析
(2)七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析
(3)估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人
【分析】本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键．
（）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图；
（）根据平均数、中位数和众数判断即可；
（）用分别乘以七、八年级参加知识竞赛的优秀人数占比再求和即可求解；
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵七年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多，
∴，
故答案为：，，
由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人，
∴补全八年级的成绩条形统计图如下：
（2）解：七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下：
两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但七年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以七年级学生的竞赛成绩更优秀；
（3）解：，
答：估计七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人．
押题猜想九 应用题
限时：7min
41．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人．
(1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？
(2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？
【答案】(1)12万元，10万元
(2)15万元
【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，
解得，
∴，
答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元．
（2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，
解得．
答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元．
押题解读
本考点为必考考点，此类问题一般设为两问，从2014年到2021年该题型皆涉及a%，通过列出与百分比变化对应的方程求解.但从2022年开始考情发生变化，题目不再涉及a%，题目变得常规，整体难度有所下降.2023年考查二元一次方程组及分式方程的结合，难度降低.熟练掌握方程(组)与不等式的相关知识点,增强阅读能力，学会分析题目中的数量关系,找准题干中确定的量并列出关系式。2025年难度会有所下降。
【解答题】42．为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人．
(1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？
(2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？
【答案】(1)款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，
(2)每架款施肥无人机每小时施肥亩．
【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
（）设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，根据题意列出方程，然后解方程即可；
（）设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，
根据题意得：，解得：，
答：款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，
（2）解：设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴每架款施肥无人机每小时施肥，
答：每架款施肥无人机每小时施肥亩．
43．重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造．
(1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？
(2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？
【答案】(1)天
(2)元
【详解】（1）解：设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是
由题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲队单独完成整项工程需要天．
（2）解：设该纪念品的售价为元，由题意得：
整理得：
解得：，
∵
∴
答：该纪念品的售价为元．
44．某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元．
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2)A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？
【答案】(1)甲、乙两种商品各购进120、100件
(2)650元
【详解】（1）解：设甲种商品购进件，则
解得
答：甲、乙两种商品各购进120、100件；
（2）解：设甲商品的售价元，则
解得
经检验，是原分式方程的解．
超市能从这次销售中获利为．
答：超市能从这次销售中获利650元．
45．小张从家具厂家购进了A、B两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米B型木地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进B型木地板的面积相同．
(1)求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？
(2)在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎．为了增大B型木地板的销量，该销售商决定对B型木地板进行降价销售．经调查，当B型木地板的售价为每平方米180元时，平均每天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米．要使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元．
【答案】(1)每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元
(2)将B型木地板的售价降低元
【详解】（1）解：设每平方米B型木地板的进价为x元，则A型木地板的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
那么A型木地板的进价为（元），
答：每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元；
（2）解：将B型木地板的售价降低元，
由题意得：，
解得：，
答：将B型木地板的售价降低元．
押题猜想十 动点几何
限时：10min
46．如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一）
(3)
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在上时，过点D作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
由对称性可得当点P在上时，；
综上所述，；
（2）解：列表如下：
… 1 2 …
…
… 1 6 …
…
… 1 2 …
12 6 …
如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大．
（3）解：联立得，此时，原方程无解；
联立得，解得或
由函数图象可知，当时，．
押题解读
本考点为必考考点，是重庆中考近两年的新考题型，一般以解答题的形式考查，重点考查学生的逻辑推理能力，需要学生通过动点的运动轨迹,通过分析、动手计算并求出函数表达式，画出函数图象，通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题，注重培养学生的应用意识.这类题型虽然看似比较难，但其实并不难，只要我们打好数学基础、多做题训练、总结方法，并加强对创新意识和创新能力的培养注重解题过程中的细节,就可以很好地解决问题。
【解答题】47．如图，在等腰中，，，动点P从点B出发，沿运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，点Q在射线上，连接，的面积始终为4，的面积为，点Q到的距离为．

(1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）
【答案】(1)，
(2)见解析，在，随的增大而减小；在，随的增大而减小
(3)
【详解】（1）解：如图，作于点，作于点，
，，
，
，
，，
，，
，
，．
（2）解：列表如下：
1 2 3 4 5
10 8 6 4 2
8 4 2
函数，的图象如图所示：
由图象得，在，随的增大而减小；在，随的增大而减小．
（3）解：令，则，
解得：，，
和交点的横坐标为和，
由函数图象得，当时，的取值范围为．
48．如图1，在Rt中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B，C不重合），同时动点D在射线CA上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点P运动时间为x秒，BP的长度为，CD的长度为，请解答下列问题：
(1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直线与、的图象有两个交点时，求b的取值范围（误差不超过0.2）．
【答案】(1)，
(2)图象见解析；函数的性质：当时，随x的增大而减小
(3)且
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据，，即可得出，结合三角形的面积公式可得的解析式，
（2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质；
（3）先求出、的交点坐标，结合图象即可求出b的取值范围．
【详解】（1）解：，，，
当时，，，
∴
∵的面积为，即，
∴，
∴
（2）解：如图，，的图象如下：
函数的性质：当时，随的增大而减小；
函数的性质：当时，随的增大而减小．
（3）解：解得，
当时，，把代入，得．
当时，，把代入，得，解得．
把代入，得，解得．
把代入，得，解得．
∴且．
49．如图1，在中，为上一点，，动点P从E出发，沿方向运动，到达点B时停止运动，连接．设点P走过的路程为的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)一次函数的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)且
【详解】（1）解：当点P在上时，，则，
根据勾股定理，得，
过点P作，交于点D，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
当点P在上时，，则，
∴.
∴；
（2）解：列表：
x 0 2 6
y 6 0
如图所示，
由图象可知，当时，y有最大值；
（3）.
解：当直线经过点时，两个图象没有交点，
即，
∴当且时，两个图象有1个交点.
50．如图，在中，，，，是边上的中线，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，同时动点P以相同的速度从点A出发，沿着运动，点P运动到点B处两点都停止，连接，．设点P、Q的运动时间为x．的面积为，的面积与面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）
(3)当时x的取值范围：
【详解】（1）解：在中，，，
，
，
，
∵点D为的中点，
∴，
由题意得，，
∵与共高，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
当点在线段上时，即，过点作于点，
由题意得，，
∴，
∴，
∴,
当点在线段上时，即，过点作于点，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
综上：；
（2）解：画出函数，的图象如图，
函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：记函数与函数的交点为，
由图象可得：，
∴当时x的取值范围：．
押题猜想十一 解直角三角形应用
限时：10min
51．某中学组织学生进行研学活动．如图，学生到达基地大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往宣讲中心处集合．经勘测，处在处的正北方，手工制作区在处的南偏西方向且距离处400米处，农耕体验区在处的正西方，农耕体验区也在处的正南方600米处，户外拓展区在处的南偏东方向，户外拓展区也在处的北偏东方向．（参考数据：，，）

(1)求户外拓展区与基地大门之间的距离．（结果精确到）
(2)已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区处的活动时间为25分钟，在手工制作区处的活动时间为20分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心处．
【答案】(1)户外拓展区与基地大门之间的距离约为米
(2)第一组学生先到达宣讲中心处，计算见解析
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点；

由题可知：，，，，，
在中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
在中，∵，
∴．
在中，∵，
∴，，
∴（米）
答：户外拓展区与基地大门之间的距离约为890.7米．
（2）在中，∵，
∴．
由（1）可知：四边形为矩形，
∴，
∴线路②：．
∵，，
∴线路①：．
∴第一组学生共用时：（分钟）
∴第二组学生共用时：（分钟）
∵
∴第一组学生先到达宣讲中心处．
押题解读
本考点为必考考点，此题型在2015年和2022年2023年作为大题进行考查,其余8年都作为选择题进行考查，主要考查解直角三角形与实际情境相结合.作为解答题考查是其考查趋势.该题型结合实际情境通过计算物体的高度或者距离,考查学生对于几何图形的实际应用能力.熟练掌握解直角三角形的相关知识点,灵活运用作辅助线的方法。
【解答题】52．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发沿不同路线向C港运送货物，甲货轮沿路线运送货物，乙货轮沿路线运送货物．已知D位于A的正北方50海里处，C位于D的正东方，B位于A的东南方向，E位于B的正北方，C位于E北偏东方向海里处，且位于B的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求A与B之间的距离．（结果保留根号）
(2)受恶劣天气的影响，C港失去了甲、乙两艘货轮的位置信息，C港立即让位于E处的信号塔定位甲、乙两艘货轮，若距离信号塔30海里范围内均能成功定位，其中甲货轮平均速度为20海里每小时，乙货轮平均速度为25海里每小时，请通过计算说明信号塔先定位到哪艘货轮？（结果保留一位小数）
【答案】(1)海里
(2)乙货轮
【详解】（1）解：如图，作于点，延长交于点，则，
由题意得，，，，，
，
，
海里，
在中，，
海里，
海里，
，
四边形是矩形，
海里，
海里，
在中，，
海里，
答：A与B之间的距离为海里．
（2）解： ，，
是等腰直角三角形，海里，
由（1）得，四边形是矩形，
海里，
点到直线的距离为海里，
，
当甲货轮在路线上时，信号塔不能定位甲货轮，
设信号塔定位到甲货轮的位置为点，连接，则海里，
海里，
海里，
信号塔定位到甲货轮所需时间为（小时），
作于点，则，
，
，
（海里），
，
当乙货轮在路线上时，信号塔不能定位乙货轮，
设信号塔定位到乙货轮的位置为点，连接，则海里，
作于点，则，
海里，海里，
海里，
海里，
由（1）得，海里，
信号塔定位到乙货轮所需时间为（小时），
，
信号塔先定位到乙货轮．
53．某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
(1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离．（结果精确到0.01）
(2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)不能通过，见解析
【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，过点O作，垂足为G．
∴，
∵，
∴四边形为矩形．
∴，
由题意，得，，．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴此时点A到地面的距离约为．
（2）一辆宽为、高为的货车不能顺利通过入口．
理由：如图，当，且时，设交于点P，
由题意，得，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵入口宽度为，
∴．
∵，
∴一辆宽为、高为的货车不能顺利通过入口．
54．如图，小红和小明家相约去动物园看熊猫，到了动物园大门处，小明家决定先去处看恐龙，小红家决定先去处看金鱼，然后两家人再到处熊猫馆碰面一起游玩．在的北偏西方向400米，在的北偏东方向；在的北偏东方向，在的正西方向，在的正北方向．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果保留整数）
(2)若小明和小红两家人的速度相同（停留在、的玩耍时间相同），哪家人先到达处熊猫馆？请通过计算说明．
【答案】(1)546米
(2)小明家先到处熊猫馆，见解析
【详解】（1）解：过点作交于点，可得
由题可知，，
∴在中，，
，
．
又由题知，且，
∴在中，，
，
．
∴．
∴的长度是546米；
（2）由题知，，，
∴在中，，
．
∴小明家：（米）．
小红家：，
（米）．
∵，且小明和小红两家人的速度相同（停留在、的玩耍时间相同），
∴小明家先到处熊猫馆．
55．为了满足市民需求，我市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向6000米，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，）
(1)求B与C两点之间的距离；
(2)若甲沿路线①跑步锻炼身体平均速度为80米/分，乙沿路线②跑步锻炼身体平均速度为95米/分，（经过A，C两点不停留），谁先到达B点？请通过计算说明．（结果精确到1分钟）
【答案】(1)
(2)甲先到点，见解析
【详解】（1）解：过点作于点，
由题意得，，
∴，，
∴在中，，在中，，
答：B与C两点之间的距离为；
（2）解：如图：
由题意得，，
∴甲跑步的时间为：（分钟），
由题意得，，，
则，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴乙跑步的时间为：（分钟），
∵，
∴甲先到点．
押题猜想十二 二次函数综合题
限时：20min
56．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，．
(1)求抛物线解析式：
(2)点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值．
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线C沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线C的交点为G，请在新抛物线上找一点M（不与点G重合），使直线与直线的夹角为，直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：；
(2)点E的坐标为；的最小值为；
(3)点M的坐标．
【详解】（1）解：由知，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
∴设抛物线的解析式为：，
∴，
解得：，
则抛物线的解析式为：；
（2）解：过点E作轴交于点H，
由知，为等腰直角三角形，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
当取得最大值时，有最大值；
设直线的解析式为，
将代入，得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∴，
当时，有最大值，即有最大值；
此时，点E的坐标为；
作点E关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时，取得最小值，最小值为的长，
∵点E的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
则的最小值为；
（3）解：将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移4个单位向下平移4个单位，
则，
联立得：，
解得：，
∴，
∴，
作轴，垂足为点，直线交轴于点，
∵为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
同理，直线的解析式为，
联立得，
解得（舍去）或，
∴点M的坐标．
押题解读
本考点为必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值(含周长)问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题和角相关问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查.本题型几乎每年作为压轴题考查,综合考查学生的几何直观、模型观念等核心素养,同时着重培养学生数形结合思想、动态探究和静态分析等数学思维.二次函数综合题体现了数形结合思想和方程思想，对我们能力的要求比较高，解决此类问题的关键是要提高我们的数学建模俞力、阅读理解能力和运算能力。
【解答题】57．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，直线与轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或
【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，，
∴，
解得
故抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作交直线于点Q．
设点，则点．
∵
∴，
．
∵，且，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入，得．
∴点P的坐标为．
（3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E，
∴，
∴，
∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由，
∴设，把点代入得：，
解得（舍去）或，
∴，
令，，解得或，
故点
∵，，
∴，
设点，过点T作于点G，
故，
即，
解得：或（舍去），
∴；
同理可得，
即，
解得：：或（舍去），
∴，
综上，点T的坐标为或．
58．如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点C，接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点轴交直线于点E，求的最大值时，及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点，连接，点M是新抛物线上一点，且，直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)5或
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：当时，，
∴点.
设点，直线的关系式为，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴直线的关系式为.
∵轴，
∴点，
∴.
过点P作，交于点F，则，
∵，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
当时，有最大值，
即点；
（3）解：如图所示，将抛物线沿着射线的方向平移个单位长度，根据，就是将抛物线的图象向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，可得关系式为.
过点N作轴，交x轴于点K，过点N作轴，交抛物线于点G，可知，，作，使，作射线交抛物线于点，
当，即，
∴，
解得，
∴，
即.
设直线的关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以直线的关系式为，
将两个函数关系式联立，得
，
解得或.
所以点M的横坐标为5或.
59．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值．
(3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解；在中，当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
设，则，
∴，，
∴
，
∵，
∴当，即时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；
如图所示，取，连接，过点N作于H，
∵，轴，
∴P、E、F三点共线，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，
此时有，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度，
设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过点C，
∴，
解得或（舍去），
∴平移后的抛物线解析式为；
∴平移后的抛物线对称轴为直线；
如图所示，取，则，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴B、Q、C、P四点共圆，
∴点Q在以为直径的圆上，
设的中点为T，，则，，
∴，
解得，
∴点Q的坐标为或；
同理当构造的直角三角形中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q；
综上所述，点Q的坐标为或．
60．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点G．点E，F分别是拋物线对称轴、y轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)如图2，将该抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，已知点、，动点M在直线上，动点K在x轴上方的新抛物线上，连接并将线段绕点K旋转得到，过点N作x轴垂线恰好过点R，与直线交于点D，是否存在点K使得？若存在，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【详解】（1）解；根据题意，得，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：根据得，
根据抛物线的对称轴是直线，
解得，
故点，
设直线的解析式为，
故，
解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的解析式为，不妨设，且，
过点P作轴交直线于点H，则，则，
故，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
且当时，有最大值为，
∴．
∵，，是定值，
故当面积最大时，线段长度取得最大值，
作出点关于y轴的对称点，
则，于是的最小值就转化为的最小值，根据两点之间线段最短，连接，交y轴于点M，交对称轴于点N，于是当F与点M重合，点E与点N重合时，取得最小值，就是．
∴．
（3）解：∵，且抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，
∴新抛物线解析式为，
根据题意，点、，
设直线的解析式为，
故，
解得，
∴直线的解析式为，
过点K作于点Q，将逆时针旋转得到，
则，，，，，
∴，
∴，
∵，则
∴，
∴，则在上，
过点K作交于点T，
∴，
∴，
∴，
∵点、，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
整理，得，
解得，
故（舍去），
此时K的横坐标为；
过点K作于点P，将顺时针旋转得到，
同理可知在上，
过点K作交于点G，
∴，
∵点、，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
整理，得，
解得，
故（舍去），
此时K的横坐标为．
综上，K的横坐标为或．
押题猜想十三 几何证明压轴题
限时：20min
61．在等边中，点D在直线上，连接，过点B作于点H．
(1)如图1，点D在的延长线上，，，求的长度；
(2)如图2，点D在边上，点E在边上，且，与交于点F，若点F恰是的中点，请用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图3，点D在边上，过点H作．连接、，将沿翻折至，连接，，请直接写出当取得最大值时的值．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
(3)
【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点E作于点G，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵∵，
∴，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长，交于点G，如图所示：
根据折叠可知：，，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∵等边中，
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
取的中点O，以点O为圆心为半径作圆，连接并延长，交于点N，此时最大，
设，则，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点D作于点K，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
押题解读
本考点为必考考点，几何探究综合题从2020年开始作为解答题的最后一题进行考查,常涉及旋转、动点问题,难度较大。一般三个设问,常考查线段间关系、线段最值等问题,常与中点、角平分线、四点共圆等知识结合,灵活度高，着重考查学生的综合能力.平时练习时熟练掌握角平分线模型、中点模型、线段最值模型、隐圆模型等,加强此题型的练习。
【解答题】62．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点．
(1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
(3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【详解】（1）证明：连接，由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴点是的中点；
（2）
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵G是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
在中，，，
，
正方形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
动点的运动轨迹是的角平分线，
作点关于的对称点，则点一定在上，
连接，交于点，
，即的最小值就是，
过点作垂直于，交的延长线于点，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
∴，即的最小值是．
63．已知是边长为的等边三角形，将边绕点逆时针旋转一定角度得到线段，的延长线交直线交于点，连接交直线于点．
(1)如图1，若，求线段的长度；
(2)如图2，若，延长并在延长线上取一点，连接使，过点作交于点，猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，连接，是上一点，当取得最小值时，直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，过点作延长线于点，
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设与交于点，
∵，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：如图，过作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∵点是平面内任意一点，将沿翻折得到，
∴，
∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
如图，在上取点，使，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由点到直线的最短距离可得，当、、、依次共线，且时，取得最小值，此时如图，
过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
64．已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N．
(1)如图1，若点N恰为中点，，，求的度数．
(2)如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，作交于，则，
，
∴，
∵点N恰为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，证明如下：
，
如图，作交于，作且，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，将绕点顺时针旋转并放大倍，得到，连接，，
，
由旋转的性质可得：，，，，
∴，
∴，
∴当、、、在同一直线上时，的值最小为，
作交的延长线于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵当最小时，在线段上截取使得，
∴，
∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，
取的中点为，
∵点M为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∵将点M绕点B顺时针旋转得到点，
∴由旋转的性质可得：，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，，
作交的延长线于，交的延长线于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴当在的延长线时最大，为，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴的面积为．
65．如图，的两边与的两边相交于、、、四点，点为的中点．
(1)若，，，，请求出的长度．
(2)如图2，点为上方的一点连接，，交于点，且点在的垂直平分线上，，求证：；
(3)如图3，若，，为上一点且，在平面内有一点，满足，若点为中点，的角平分线上有一点，连接，，当的值最小时，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于点，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长，交延长线于点，连接，
∵点为的中点，点为中点，
∴，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵平分，
∴垂直平分，
如图，设交于点，在上取点，使，
∴， ，垂直平分，
∴，
∴，
利用两点之间线段最短和圆外一点到圆上的最短距离，可知当、、、依次共线时最小，即最小，
此时如图，过点作于点，过点作于点，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴．

展开更多......

收起↑