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浙江省2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 二次函数含参数问题
限时：10min
1．甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果．
（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．
（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．
（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值．
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值．
2．若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d．
（1）若y＝2x﹣5，求d的值；
（2）若，
①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值；
②当d＝4时，求t的值．
3．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式．
（2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由．
（3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　　 ．
4．已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点．
①若k＝1，求a的值．
②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围．
押题猜想二 二次函数综合应用
1．药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数应用问题主要考察二次函数实际应用结合问题，主要是结合函数性质以及图像特点进行分析解题，综合来看对学生的文字理解以及结合条件进行应用代入。
1．综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S．
分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙MN的一部分）
思考二：将墙MN的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AB的一部分）
解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的S的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．
类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）．
2．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
3．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米．
素材2 现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为米．
问题解决
任务1 请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务2 当喷灌架底部位于点O处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务3 草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度为3米的树AB需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点O处时，请通过计算说明树AB能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动k米，若要使树AB被喷灌到，求k的取值范围．
4．根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量．如图1是一个长18米，宽10米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为2：3，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在2kg/m2，花生的单位产量y（kg/m2）与垄宽x（m）有近似的二次函数关系如图3所示，种植时，要求花生单位产量不低于0.4kg/m2．
问题解决
任务1 确定函数关系 求花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式．
任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：　　 ； 木薯垄个数：　　 ； 产量之和：　　 kg．
押题猜想三 一次函数应用
限时：10min
1．在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒，然后以a米/秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发20秒后起飞，以b米/秒的速度匀速飞行，之出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线OAB，线段CD分别表示甲，乙的飞行高度s（米）与甲飞行时间t（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题．
（1）a＝ 　　 ，b＝ 　　 ．
（2）分别求出线段AB，CD对应的函数表达式．
（3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分在大题的呈现的话，主要是以考察一次函数图像为主，其次也主要是函数与行程问题或者实际生活的应用的结合问题，主要考察学生通过已知以及图像进行分析，得到对应的数据以及未知数的值。
1．2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）求图中线段BC对应的函数表达式；
（3）求小聪休息前的速度．
2．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（kg）的函数关系如图所示．已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg．
（1）求投放8kg塑料的奖励积分．
（2）求a的值．
（3）若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值．
3．区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速．
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s（千米）与甲车在此路段行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）求m的值；
（2）求a的值；
（3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速．
4．小海和小桐相约去博物馆参观．小海从学校步行出发直接去博物馆．同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程s（米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系如图2所示．
（1）求小桐骑自行车的速度和小海步行的速度．
（2）求线段CD所在直线的函数表达式．
（3）小桐离开超市去博物馆的途中与小海相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程．
5．为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为x（吨），每月应交水费y（元），如表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是y关于x的函数图象．
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯 x≤10 a
第二阶梯 10＜x≤20 b
第三阶梯 x＞20 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求a，b的值．
（2）当x＞10时，求y关于x的函数表达式．
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量．
押题猜想四 三角形综合题型
限时：10min
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD．
（1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE＝OD；
（2）如图2，已知∠BAC＝90°，AB＝4，AD＝1．若点F在边AC上，OF＝OD，求AF的长．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分会大题的题型题呈现，主要集中在前面一些大题同时也会以相似进行结合考察，本题型主要考察三角形的的基本性质以及全等相似内容，综合性一般，但是偶尔也会比较强，综合来看对学生的综合分析能力要求一般，除非是涉及到多知识点考察会对学生综合能力要求比较高。
1．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，以AE为斜边，在AE上方作Rt△AEF，使∠EAF＝∠ABC，延长CF与BA交于点G．
（1）当∠ABC＝45°时，若CE＝1，BE＝3，求线段AF的长．
（2）求证：点F为线段CG的中点．
2．在△AOB 和△COD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M．
（1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求证：AC＝BD；
（2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝30°，写出BD与AC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，请直接写出BD与AC的数量关系（用含α的式子表示）．
3．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，延长DC交BC的中垂线于点E，AE与BD交于点F，且满足AB＝AC＝AD．
（1）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：∠ADB＝∠AED，
（2）求证：．
（3）若AB＝1，AE＝2，求AF的值．
押题猜想五 四边形综合题型
限时：10min
1．如图，矩形ABCD中，BC＜2AB，点M是BC的中点，连接AM．将△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．
（1）求证：ME平分∠PMC．
（2）若AB＝3，BC＝4，求ME的长．
（3）若sin∠EAM，CE＝3，求DE的值．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分会以大题的题型呈现，主要集中在倒数第三题或者最后的压轴题，主要考察四边形的性质为主，或者综合应用四边形的判定以及性质综合，同时也会涉及到相似知识点或者常见的辅助线问题，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．综合与实践：
如图1，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，将对角线AC绕点O逆时针旋转到MN，且旋转角α满足0°≤α≤180°，构造出四边形AMCN，连结BM，DN．
（1）探究发现
四边形AMCN是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
若AC＝4，BC＝5，设△ABM的面积为S1，△BMC的面积为S2，当MN∥BC时，求的值．
（3）延伸思考
如图2，若四边形ABCD是正方形，当MN经过AB中点时，探究MB，MC，BC三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由．
2．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，D重合），连接BE，CE．
（1）若点E是AD边的中点．求证：BE＝CE．
（2）设∠ABE＝α，∠CED＝β，k．
①求证：tanα tanβ＝k．
②若tanα，BC＝CE，求k的值．
3．问题：如何将物品搬过直角过道？
情境：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是1.2m．矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为0.8m．
操作：
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点O在边AD上
3 旋转 如图2，将矩形ABCD绕点O旋转90°
4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
探究：
（1）如图2，已知BC＝1.6m，OD＝0.6m．小明求得OC＝1m后，说：“OC＜1.2m，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明．
（2）如图3，物品转弯时被卡住（C，B分别在墙面PQ与PR上），若tan∠CBP，求OD的长．
（3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值（精确到0.01米，2.236）．
4．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 　是　 （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝4，求四边形ABCD面积的最大值．
押题猜想六 相似性质判定综合
限时：15min
1．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD＝3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是 　　 ．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E，F，BE＜BF，连接AE，AF，∠EAF＝60°．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由．
（2）求证：△ABE∽△CAF．
（3）若BE＝2，EF＝3，求线段CF的长．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以小题压轴题以及大题呈现，主要考察相似的性质以及判定综合问题，对于考察小题来讲，相对难度会比较大，综合性较强，如果是考察大题的话相对基本以常见性质判定为主，难度适中，但是本知识点也会跟圆四边形等综合，难度会较大，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若BF＝2DF，则的值是　　 ．
2．如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则 　　 ，AE＝ 　　 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5．以AB，AC为边在AB的同侧作正方形ABFG、正方形ACDE，则点G在DE上，CD与GF相交于点H，连结CF，CG，则　　 ．
4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF＝90°，在线段AE上取点G，使EG＝EB，连接FG．
（1）若AB＝4，BE＝2，求DF的长，以及四边形GECF的周长；
（2）设四边形GECF的周长为m，AB的长为a，求m与a的数量关系；
（3）∠EFG可能等于30°吗？若不能，请说明理由；若能，请求出tan∠BAE的值．
5．如图，已知四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，点F是BD上一点，连结AF，△ABF∽△ACD．
（1）求证：△ABC∽△AFD．
（2）若BC＝4，AD＝9，DF＝6，求AC的长．
押题猜想七 圆综合问题
限时：15min
1．如图1，AE是⊙O的直径，DC⊥BC，AB＝EC，BE＝DC．
（1）求证：AE⊥ED．
（2）连结AD交⊙O于K，连结BK，求证：BK平分∠ABE．
（3）如图2，M为ED上一点，连结AM交⊙O于F，过F作FH⊥BC交ED于G，MN⊥BC，若，AB＝3，BN＝4，求FG的长．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，主要考察圆的综合性质应用，同时也会涉及到相似，四边形，三角形以及二次函数内容，二次函数主要会涉及到二次函数最值或者不等式问题，综合来看对学生的综合分析能力要求相当高。
1．如图，矩形ABCD内接于⊙O，BD是对角线，点E在上（不与点A，D重合），连接EC分别交AD，BD于点H，G，BF⊥CE于点F，FG＝FC，连接BE交AD于点P．
（1）如图1，当点E为的中点，BD＝2时，
①求证：∠ABE＝∠CBF．
②求的长．
（2）如图2，若tan∠ADB，求的值．
2．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，DF是⊙O的切线，连结CD，与AB交于点E．
（1）如图1，延长BA与DF交于点F．
①若∠ACD＝25°，求∠F的大小．
②若AF＝3，DF＝5，求⊙O的半径．
（2）如图2，AC＞BC，DF∥AB，延长CA与DF交于点F，若，求△BCE与△CDF的面积比．
3．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，∠ABC为锐角，过点B作BE⊥AC于点E，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F．
（1）∠ABD＝α，请用含α的代数式表示∠CBE．
（2）若AF＝BD，求证：AD＝AE．
（3）如图2，在（2）的条件下，BF与⊙O交于点G，与AD延长线交于点H，连结DG．①若CD＝4，DG＝1，求AD的长．
②若，求tan∠ABD的值．
4．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AE⊥BC于点D，交劣弧BC于点E，点F为弧AB上的任意一点，连结CF交AB于点G，交AD于点H，连结FB．
（1）当CF经过点O时，求证：AE∥BF；
（2）在（1）的条件下，若，求的值；
（3）当AC∥BF时，若⊙O的半径为5，BC＝6，求OH的长．
5．如图，在⊙O中，直径BC＝6，AB⊥BC，AD是⊙O的切线，点D为切点．
（1）如图1，求证：AD＝AB；
（2）如图2，线段AO交⊙O于点E，连结DE，若DE∥BC，求AE的长；
（3）如图3，线段AC交⊙O于点F，连结DF，若DF∥BC，求AF的长．
押题猜想八 折叠问题
限时：8min
1．如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，要想知道正方形ABCD的边长，只需知道（　　）
A．BF的长度 B．△B′CF的周长
C．△B′DG的周长 D．△A′EG的面积
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以小题的压轴题呈现，对于知识点考察主要集中在三角形、四边形、解直角三角形、相似为主，特别是会涉及到特殊四边形的性质以及判定，同时对于折叠问题主要是主要折叠的边相等，角相等；综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝60°，点E是AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形EFGC，点D的对应点为点G，则FG的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
2．如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，CE⊥AD，把△CED沿直线CE折叠得到△CED'，点D'落在DA的延长线上．若CD'恰好平分∠ACB，则∠ABC＝ 　　 °， 　　 ．
3．如图，在正方形纸片ABCD中，点M，N分别是BC，AD上的点，将该正方形纸片沿直线MN折叠，使点B落在CD的中点E处．若AB＝4，则△CEM的面积是　 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E为边AD上的动点，连结BE，CE，将△ABE沿BE折叠得△FBE，再将△FBE沿CE折叠得△GHE（F与G为对应点），当点G落在△CDE内部（不包括△CDE的边）时，则AE长的取值范围是　　 ．
5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点为F，EF交BD于点G．若点G为EF的中点，BF平分∠DBC，则 　　 ．
押题猜想九 探究问题
限时：10min
1．根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
押题解读
从近三年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，主要会涉及到二次函数，一次函数、不等式等知识点点的综合考察，通过给定一些问题以及解决方案进行出题，综合考察对学生对于问题分析以及解决问题方案联系实际学过的知识点进行综合，对于学生的综合分析能力要求比较高。
1．根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：（1）距离水平地面 米处有一带弹簧的装置；（2）每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1．
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从A点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度h＝0.8米，挡板1至O点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2．
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：（1）在距离O点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域Ⅰ：（2）在距离O点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域Ⅱ．
问题解决
任务1：确定弹珠路径．请在图2中以O点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式．
任务2：确定移动方案．要想让弹珠飞出后落入区域Ⅰ内，该弹簧装置向上移动的距离d要满足什么条件？
任务3：灵活变通．根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整．现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板（区域Ⅰ和区域Ⅱ的宽度不改变），让弹珠落入得分更高的区域Ⅱ内，请计算挡板3横坐标的取值范围．
2．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m）1.701.731.751.80人数2241
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
3．
制作简易水流装置
设计方案 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知 AB∥x轴，AB＝5cm，OM＝15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+15（a≠0）
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
4．根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1 电缆在空中架设时．两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（AB＝CD＝20米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）．点A、O、E在同一水平线上，经测量，AO＝60米，斜坡BD的坡比为1：10（即DM：BM＝1：10）.
素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长）
任务1 明确山坡位置 求点D的坐标.
任务2 确定电缆形状 求出下垂电缆的抛物线表达式.
任务3 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由.中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学题型猜想必刷卷
押题猜想一 二次函数含参数问题
限时：10min
1．甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图象和性质，并交流了自己的学习成果．
（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．
（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．
（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出a的取值范围．
【答案】（1）正确，理由见解答；
（2）a；
（3）a≤1．
【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，进而求解；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，当x＝3时，y＝4a﹣1，则2＜4a﹣1≤3，即可求解．
【解答】解：（1）正确，
理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
则x＝0和x＝2关于抛物线的对称轴对称，故函数值相同；
（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，
则到x轴的距离和为2，
由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），
令y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝1，则x＝1±，则两个点之间的距离为2，
则3（2）×2＝3，
则a；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，
当x＝0时，y＝a﹣1，当x＝3时，y＝4a﹣1，
则2＜4a﹣1≤3，则a≤1．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值．
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值．
【答案】（1）①y＝﹣x2+4x﹣3；②m＝4；
（2）b＝6+2或3．
【分析】（1）①由题意得：，即可求解；
②新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，即可求解；
（2）当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，即可求解；当b≤2时、2＜b＜4时，同理可解．
【解答】解：（1）①由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
②该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，
则新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），
将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，
解得：m＝4；
（2）纵坐标是横坐标的两倍，则y＝2x，
联立上式和抛物线的表达式得：2x＝﹣x2+bx+c，
则Δ＝（2﹣b）2+4c＝0①；
当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，
将上式和①联立并解得：b＝6+2（不合题意的值已舍去）；
当b≤2时，则函数在x＝1时取得最大值，即y＝﹣1+b+c＝2，
将上式和①联立并解得：b＝4（舍去）；
当2＜b＜4时，则函数顶点取得最大值，即yc＝2，
将上式和①联立并解得：b＝3，
综上，b＝6+2或3．
2．若对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d．
（1）若y＝2x﹣5，求d的值；
（2）若，
①若点A（t，m），B（t+1，n）均在函数y的图象上，当m+n的值最大时，求d的值；
②当d＝4时，求t的值．
【答案】（1）d＝2；
（2）①d；②t的值是或．
【分析】（1）这是一次函数，根据k＝2可知：y随x的增大而增大，分别代入x＝t和x＝t+1计算y的值，从而可得d的值；
（2）①计算m+n的值，配方后即可解答；
②类比（1）分别计算当x＝t时，yt2+2，当x＝t+1时，y（t+1）2+2，相减可得d＝4，列方程即可解答．
【解答】解：（1）在y＝2x﹣5中，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
当x＝t时，y＝2t﹣5，
当x＝t+1时，y＝2（t+1）﹣5＝2t﹣3，
∴d＝2t﹣3﹣（2t﹣5）＝2t﹣3﹣2t+5＝2；
（2）①∵点A（t，m），B（t+1，n）均在函数yx2+2的图象上，
∴mt2+2，n（t+1）2+2，
∴m+nt2+2（t+1）2+2＝﹣t2﹣t（t）2，
∴当m+n的值最大时，t，
此时点A（，），B（，），
∴函数在t≤x≤t+1范围内有最大值是2，最小值是，
∴d＝2；
②当x＝t时，yt2+2，
当x＝t+1时，y（t+1）2+2，
分四种情况：
（i）当t+1＜0时，即t＜﹣1，d（t+1）2+2﹣（t2+2）＝4，
（t+1）2+2t2﹣2＝4，
∴t；
（ii）当t＞0时，d2﹣[2]＝4
22＝4，
∴t；
（iii）当t＜0时，2﹣[2]＝4，
t＝﹣1±2（不符合题意，舍），
（iiii）当﹣1＜t时，2﹣（t2+2）＝4，
t（不符合题意，舍），
综上，t的值是或．
3．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式．
（2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由．
（3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　m≤4　 ．
【答案】（1）y＝2x2﹣4x+4．（2）点（t，t﹣1）不在新的函数图象上．（3）m≤4．
【分析】（1）由题意得y＝a（x﹣1）2+2，把点（3，10）代入可求得a＝2，即可求得答案；
（2）由平移得y＝2（x+1）2﹣1，把点（t，t﹣1）代入，整理得2t2+3t+2＝0，利用根的判别式可得Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，即可得出答案；
（3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），
∴设y＝a（x﹣1）2+2，
把点（3，10）代入y＝a（x﹣1）2+2，得a（3﹣1）2+2＝10，
解得：a＝2，
∴y＝2（x﹣1）2+2，
即y＝2x2﹣4x+4．
（2）将函数y＝2x2﹣4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：y＝2（x﹣1+2）2+2﹣3＝2（x+1）2﹣1，
把点（t，t﹣1）代入y＝2（x+1）2﹣1，得：t﹣1＝2（t+1）2﹣1，
整理得：2t2+3t+2＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴原方程没有实数解，
∴点（t，t﹣1）不在新的函数图象上．
（3）∵原函数的对称轴为直线x＝m，
∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为x＝m+2，
又∵点A（m，y1），B（2m，y2）在原函数的图象上，点C（x3，y3）在新的函数图象上，
且当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，
∴m+2＜x3＜2m+2，
即，
解得：m≤4；
故答案为：m≤4．
4．已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式．
（2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点．
①若k＝1，求a的值．
②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围．
【答案】（1）yx2+4x+3；（2）①；②2．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论；
②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到x3x2，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的顶点在x轴上，
∴Δ＝42﹣4a×3＝0，
∴a．
∴该抛物线的函数表达式为yx2+4x+3；
（2）①若k＝1，则y＝x，
∵A（，y1）为直线y＝x（k≠0）与抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的交点，
∴，
∴．
∴若k＝1，a的值为．
②抛物线y＝ax2+4x+3的对称轴为直线x，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2＝y3，
∴B，C两点关于对称轴直线x对称，
∴，
∴x3x2．
∵直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点，
∴，
∴x1，x2是方程ax2+（4﹣k）x+3＝0（a＞0）的两个根，
∴，
∵x1，
∴x2＝﹣3．
∴x33，
∵0≤x3≤1，
∴03≤1，
∵a＞0，
∴2．
押题猜想二 二次函数综合应用
1．药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标．
【答案】（1）上沿抛物线的函数表达式为y（x﹣4）2；
（2）B（2，﹣3）或（6，﹣3）．
【分析】（1）根据上沿抛物线的顶点设出抛物线解析式的顶点式，再把原点坐标代入解析式求出a即可；
（2）先求出下沿抛物线顶点P的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，然后根据BE得出关于x的方程，解方程求出x的值，再代入下沿抛物线求出y即可得出点B坐标．
【解答】解：（1）设上沿抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）2，
把（0，0）代入解析式得：16a0，
解得a，
∴上沿抛物线的函数表达式为y（x﹣4）2；
（2）∵，H比P点高，
∴P（4，﹣4），
设下沿抛物线的函数表达式为y＝a′（x﹣4）2﹣4，
把（0，0）代入解析式得：16a′﹣4＝0，
解得a′，
∴下沿抛物线的函数表达式为y（x﹣4）2﹣4，
∵BEdm，
∴（x﹣4）2（x﹣4）2+4，
解得x＝2或x＝6，
把x＝2或x＝6代入y（x﹣4）2﹣4得：y＝﹣3，
∴B（2，﹣3）或（6，﹣3）．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数应用问题主要考察二次函数实际应用结合问题，主要是结合函数性质以及图像特点进行分析解题，综合来看对学生的文字理解以及结合条件进行应用代入。
1．综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S．
分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙MN的一部分）
思考二：将墙MN的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AB的一部分）
解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的S的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．
类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）．
【答案】（1）矩形种植园面积最大为169m2；
（2）矩形种植园面积最大为50m2，此时CD＝10m，AD＝BC＝5m．
【分析】（1）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可；
（2）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可．
【解答】解：（1）思路1：设CD＝x，则BC，
∴S＝x x2+20x（x﹣20）2+200，
∵0，0＜x≤12，
∴当x＝12时，Smax＝168；
思路2：设AB＝CD＝x，则AD＝BC26﹣x，
∴S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∵12≤x≤26，
∴当x＝13时，Smax＝169，
∵169＞168，
∴矩形种植园面积最大为169m2；
（2）图示如下：
同（1）可分别求得：
思路1：∵CD＝x，则BC＝AD，
∴S＝x x2+10x（x﹣10）2+50，
∵0＜x≤12，
∴当x＝10时，S有最大值，最大值为50；
思路2：∵CD＝x，则BC＝AD16﹣x，
∴S＝x （16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64，
∵﹣1＜0，12≤x≤16，
∴当x＝12时，S有最大值，最大值为48，
∵50＞48，
矩形种植园面积最大为50m2，此时CD＝10m，AD＝BC＝5m．
2．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
【答案】（1）；
（2）能完成改造；
（3）CC′的值最大，为1.6米．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C'、E'的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出G'、E'的坐标得到a的不等式，进而得到CC'的最大值．
【解答】解：（1）如图建立如图所示的坐标系，
∴A（0，1），C（6，3.4），
∴y＝ax2+bx+1，
∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴y＝ax2﹣10ax+1，将C（6，3.4）代入解析式得，，
∴，
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵CC′＝1，
∴C为（6，4.4），
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1
将C（6，4.4）代入解析式得a，
∴yx2x+1，
∴G为 ，G′为 （2，），
∴GG′，
∴共需改造经费 ，
∴能完成改造．
（3）如图，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1，
则G为 （2，﹣16a+1），E为 （4，﹣24a+1），
∴EE′+GG′＝﹣16a+1﹣24a+1﹣（3.4）＝﹣40a﹣4，
（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，
解得 ，
∵CC′＝EE′＝﹣24a+1﹣3.4，
∴ 时，CC′的值最大，为1.6米．
3．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米．
素材2 现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为米．
问题解决
任务1 请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务2 当喷灌架底部位于点O处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务3 草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度为3米的树AB需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点O处时，请通过计算说明树AB能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动k米，若要使树AB被喷灌到，求k的取值范围．
【答案】任务1：y（x﹣20）2+11；任务2：水流无法喷灌到草坡最远处；任务3：树AB可以被灌溉到；．
【分析】任务1：依据题意，以点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立坐标系，由抛物线的顶点坐标为（20，11），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+11，
把点（0，1）代入解析式求出a即可得解；
任务2：依据题意，设草坡最远处为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，再由喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为 米，可得，CD：OD＝1：10，设CD＝x，OD＝10x，从而，进而可得x的值，故求出C的坐标，再由当x＝40时，求出y的值，进而可以判断得解．
任务3：依据题意，延长BA交x轴于点M，AB＝3，OM＝30，坡度为1：10，从而AM：OM＝1：10，求得A（30，3），再由当x＝30时，求出y的值，即可判断树AB是否被灌溉到．又由题意可知，将喷灌架向正后方向移动k米，可得移动后的解析式为 ，再将x＝30代入解析式，结合若要使树AB被喷灌到，可得 ，进而可以判断得解．
【解答】解：任务1：以点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立坐标系，如图：
由题意得：抛物线的顶点坐标为（20，11）．
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+11，
把点（0，1）代入解析式得：400a+11＝1，
解得：a，
∴抛物线的函数表达式为：y（x﹣20）2+11．
任务2：不能．
理由：如图，设草坡最远处为点C，过点C作CD⊥x轴于点D．
由题意可知，喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处．草坡的长度为 米，
∴，CD：OD＝1：10．
设CD＝x，OD＝10x，
由题意得：，
∴x＝4．
∴CD＝4，OD＝40．
∴C（40，4）．
在抛物线 中，当x＝40时，．
∵1＜4，
∴水流无法喷灌到草坡最远处．
任务3：树AB能被灌溉到，理由如下：由题意可知，延长BA交x轴于点M，
由题意可知，AB＝3，OM＝30，坡度为1：10，
∴AM：OM＝1：10，
∴AM＝3，
∴A（30，3）．
BM＝6，
在抛物线 中，当x＝30时，，
∵8.5＞6，
∴树AB可以被灌溉到．
又由题意可知，将喷灌架向正后方向移动k米，
∴移动后的解析式为 ．
当x＝30时，，
若要使树AB被喷灌到，
∴．
∴ （舍）．
∴．
4．根据以下素材，探索完成任务．
如何制定大棚间作方案？
素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量．如图1是一个长18米，宽10米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为2：3，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚．
素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在2kg/m2，花生的单位产量y（kg/m2）与垄宽x（m）有近似的二次函数关系如图3所示，种植时，要求花生单位产量不低于0.4kg/m2．
问题解决
任务1 确定函数关系 求花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式．
任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围．
任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数：　5　 ； 木薯垄个数：　6　 ； 产量之和：　200　 kg．
【答案】任务1：y＝﹣2x2+7.6x﹣6.8；
任务2：花生垄宽范围为大于等于1.8米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于1.2米，小于等于米；
任务3：5，6，200．
【分析】任务1：用待定系数法可得 花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式y＝﹣2x2+7.6x﹣6.8；
任务2：当 y＝0.4 时，得 x1＝1.8，x2＝2，故要使y≥0.4，需满足1.8≤x≤2，即可得花生垄宽范围为大于等于1.8米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于1.2米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为2a米，则花生垄垄宽为3a米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和5a米，结合任务2可知，由18÷3＝6，，可知有3种方案，即可得到答案．
【解答】解：任务1：设 y＝ax2+bx+c，把（1.7，0.34）、（1.9，0.42）、（2.1，0.34）代入得，
，
解得，
∴花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式y＝﹣2x2+7.6x﹣6.8；
任务2：当 y＝0.4 时，0.4＝﹣2x2+7.6x﹣6.8，
解得 x1＝1.8，x2＝2，
∴要使y≥0.4，需满足1.8≤x≤2，
∴，即花生垄宽范围为大于等于1.8米，小于等于2米，木薯垄宽范围为大于等于1.2米，小于等于米；
任务3：设木薯垄垄宽为2a米，则花生垄垄宽为3a米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和5a米，
∴1.2≤2a，
∴，
∵18÷3＝6，，
∴共3种方案：
方案一：花生6垄，木薯6垄，此时 6×5a＝18，a＝0.6，3a＝1.8，此时花生垄宽1.8m，总产量为187.2kg；
方案二：花生5垄，木薯6垄，此时 5×3a+6×2a＝18，，3a＝2，此时花生垄宽2m，总产量为200kg；
方案三：花生6垄，木薯5垄，此时6×3a+5×2a＝18，，，此时花生垄宽 ，总产量 ．
故答案为：5，6，200．
押题猜想三 一次函数应用
限时：10min
1．在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒，然后以a米/秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发20秒后起飞，以b米/秒的速度匀速飞行，之出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线OAB，线段CD分别表示甲，乙的飞行高度s（米）与甲飞行时间t（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题．
（1）a＝ 　6　 ，b＝ 　8　 ．
（2）分别求出线段AB，CD对应的函数表达式．
（3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围．
【答案】（1）6，8；
（2）s＝6t﹣60（30≤t≤60），s＝8t﹣160（20≤t≤57.5）；
（3）40≤t≤57.5．
【分析】（1）根据“OA段飞行的路程+AB段飞行的路程＝300”列关于a的方程并求解，根据“当t＝30时，甲飞行的高度﹣乙飞行的高度＝40”列关于b的方程并求解即可；
（2）分别根据路程＝速度×时间解答即可；
（3）分别求出当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时对应的t的值，从而得到符合条件的t的取值范围即可．
【解答】解：（1）120+（60﹣30）a＝300，
解得a＝6，
120﹣（30﹣20）b＝40，
解得b＝8．
故答案为：6，8．
（2）s＝120+6（t﹣30）＝6t﹣60，
∴线段AB对应的函数表达式为s＝6t﹣60（30≤t≤60），
s＝8（t﹣20）＝8t﹣160，
当8t﹣160＝300时，解得t＝57.5，
∴CD对应的函数表达式为s＝8t﹣160（20≤t≤57.5）．
（3）当30≤t≤57.5时，当|8t﹣160﹣（6t﹣60）|＝20时，
解得t＝40或t＝60（舍去），
∴在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围是40≤t≤57.5．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分在大题的呈现的话，主要是以考察一次函数图像为主，其次也主要是函数与行程问题或者实际生活的应用的结合问题，主要考察学生通过已知以及图像进行分析，得到对应的数据以及未知数的值。
1．2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）求图中线段BC对应的函数表达式；
（3）求小聪休息前的速度．
【答案】（1）42.5；
（2）s＝200t﹣2000（25≤t≤37.5）；
（3）150米/分．
【分析】（1）根据时间＝路程÷速度求出CD所用时间，从而求出a的值即可；
（2）根据速度＝路程÷时间求出小明在OA段的速度，亦即BC段的速度，设B（m，3000），根据路程＝速度×时间列关于m的方程并求解，再根据路程＝速度×时间求出线段BC对应的函数表达式即可；
（3）将t＝32.5代入线段BC对应的函数表达式，求出对应s的值，设小聪休息前的速度为v米/分，则小聪休息后的速度为v米/分，用含v的代数式将点B的横坐标表示出来，再由路程＝速度×时间列关于v的方程并求解即可．
【解答】解：（1）小明在跑完CD段用时500÷100＝5（分），
37.5+5＝42.5（分），
∴a＝42.5．
（2）小明OA段和BC段的速度均为3000÷15＝200（米/分），
设B（m，3000），则200（37.5﹣m）＝5500﹣3000，
解得m＝25，
s＝3000+200（t﹣25）＝200t﹣2000，
∴线段BC对应的函数表达式为s＝200t﹣2000（25≤t≤37.5）．
（3）当t＝32.5时，s＝200×32.5﹣2000＝4500，
设小聪休息前的速度为v米/分，则小聪休息后的速度为v米/分，
∴点A的横坐标为，
∴点B的横坐标为5，
根据图象，得4500v[42.5﹣（5）]＝6000，
解得v＝150．
答：小聪休息前的速度为150米/分．
2．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（kg）的函数关系如图所示．已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg．
（1）求投放8kg塑料的奖励积分．
（2）求a的值．
（3）若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求m的值．
【答案】（1）220分；
（2）18；
（3）或．
【分析】（1）求出投放塑料超过5kg后每千克的奖励积分，从而计算投放8kg塑料的奖励积分即可；
（2）根据题意列关于a的方程并求解即可；
（3）按照m不同的取值范围，根据题意列关于m的方程并求解即可．
【解答】解：（1）投放塑料超过5kg后，奖励积分为（300﹣100）÷（10﹣5）＝40（分/kg），
100+40×（8﹣5）＝220（分）．
答：投放8kg塑料的奖励积分为220分．
（2）根据题意，得100+25（a﹣10）＝300，
解得a＝18．
（3）投放纸张不超过10kg，奖励积分为100÷10＝10（分），
投放塑料不超过5kg，奖励积分为100÷5＝20（分），
当0＜m≤5时，得20m10m，
解得m＝0（舍去），
当5＜m≤10时，得100+40（m﹣5）10m，
解得m，
当m＞10时，得100+40（m﹣5）[100+25（m﹣10）]，
解得m，
∴m或．
3．区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速．
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s（千米）与甲车在此路段行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）求m的值；
（2）求a的值；
（3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速．
【答案】（1）42；
（2）100；
（3）是．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出甲车小时行驶的路程即可；
（2）求出点C的坐标，根据当t时乙车行驶的路程列关于a的方程并求解即可；
（3）根据时间＝路程÷速度求出乙在CD行驶的时间，再根据平均速度＝总路程÷总时间求出乙车在该路段行驶的平均速度并与限速比较大小即可．
【解答】解：（1）小时甲车行驶的路程为10542（千米），
∴m＝42．
（2）点C的横坐标为，点C的纵坐标为13536，
∴C（，36），
根据图象，得36+（）a＝42+4，
解得a＝100．
（3）乙车在CD段行驶的时间为（50﹣36）÷100（小时），
则乙车在该路段行驶的平均速度为50÷（）（千米/小时），
∵120，
∴乙车在该区间测速路段超速．
4．小海和小桐相约去博物馆参观．小海从学校步行出发直接去博物馆．同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程s（米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系如图2所示．
（1）求小桐骑自行车的速度和小海步行的速度．
（2）求线段CD所在直线的函数表达式．
（3）小桐离开超市去博物馆的途中与小海相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程．
【答案】（1）200米/分，80米/分；
（2）s＝200t﹣2000（21≤t≤29）；
（3）800米．
【分析】（1）分别根据速度＝路程÷时间计算即可；
（2）根据路程＝速度×时间计算即可；
（3）写出线段AE所在直线的函数表达式，求出AE与CD交点坐标，从而计算相遇时他们距离博物馆的路程即可．
【解答】解：（1）小桐骑自行车的速度为2200÷11＝200（米/分），
小海步行的速度为（3800﹣1000）÷35＝80（米/分）．
（2）s＝2200+200（t﹣21）＝200t﹣2000，
当s＝3800时，得200t﹣2000＝3800，
解得t＝29，
∴线段CD所在直线的函数表达式为s＝200t﹣2000（21≤t≤29）．
（3）线段AE所在直线的函数表达式为s＝80t+1000（0≤t≤35），
当小桐离开超市去博物馆的途中与小海相遇时，得，
解得，
3800﹣3000＝800（米）．
答：相遇时他们距离博物馆的路程为800米．
5．为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为x（吨），每月应交水费y（元），如表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是y关于x的函数图象．
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯 x≤10 a
第二阶梯 10＜x≤20 b
第三阶梯 x＞20 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求a，b的值．
（2）当x＞10时，求y关于x的函数表达式．
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量．
【答案】（1）；（2）y；（3）小红家6月份的用水量为15吨．
【分析】（1）依据题意得，，进而计算可以得解；
（2）依据题意，分当10＜x≤20时和当x＞20时，分别进行判断可以得解；
（3）依据题意，先判断6月用水量低于20吨，超过10吨，然后设6月份用水量为x吨，可得6月份的水费为3x﹣10，故7月份的水费为90﹣（3x﹣10）＝100﹣3x，再分两种情形分析计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，，
∴．
（2）由题意，①当10＜x≤20时，y＝20+3（x﹣10）＝3x﹣10；
②当x＞20时，y＝50+5（x﹣20）＝5x﹣50．
答：当x＞10时，y关于x的函数表达式为y．
（3）由题意，如果6月份、7月份的用水量均超过20吨，则总费用比超过100，不合题意，
又结合6月份用水量低于7月份用水量，
∴6月用水量低于20吨，超过10吨．
设6月份用水量为x吨，
∴6月份的水费为3x﹣10．
∴7月份的水费为90﹣（3x﹣10）＝100﹣3x．
若7月份用水量低于20吨，则7月份的用水量为x，
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴7月份的用水量为x，不合题意．
若7月份用水量大于20吨，则7月份的用水量为30x，
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴x为5的整数倍．
又∵10＜x＜30x，
∴10＜x＜18．
∴x＝15．
答：小红家6月份的用水量为15吨．
押题猜想四 三角形综合题型
限时：10min
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD．
（1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE＝OD；
（2）如图2，已知∠BAC＝90°，AB＝4，AD＝1．若点F在边AC上，OF＝OD，求AF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1或3．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠C＝∠B，再证明△OCE≌△OBD（AAS），即可得出结论；
（2）连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，由等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，OA平分∠BAC，OABC＝OB＝OC，则OG＝OH，AH＝CHAC＝2，AG＝BGAB＝2，得AH＝AG，DG＝AG﹣AD＝1，再分两种情况，①点F在线段AH上时，证明Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），得FH＝DG＝1，则AF＝AH﹣FH＝1；②点F在线段CH上时，同理可证Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），得FH＝DG＝1，则AF＝AH+FH＝3；即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB＝∠OEC＝90°，
∵点O为BC中点，
∴OB＝OC，
在△OCE和△OBD中，
，
∴△OCE≌△OBD（AAS），
∴OE＝OD；
（2）解：如图2，连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，
则∠OGB＝∠OGA＝∠OHC＝∠OHA＝90°，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点O为BC中点，
∴∠B＝∠C＝45°，OA平分∠BAC，OABC＝OB＝OC，
∴OG＝OH，AH＝CHAC＝2，AG＝BGAB＝2，
∴AH＝AG，
∵AD＝1，
∴DG＝AG﹣AD＝1，
分两种情况：
①点F在线段AH上时，
在Rt△OHF和Rt△OGD中，
，
∴Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），
∴FH＝DG＝1，
∴AF＝AH﹣FH＝1；
②点F在线段CH上时，
同理可证：Rt△OHF≌Rt△OGD（HL），
∴FH＝DG＝1，
∴AF＝AH+FH＝2+1＝3；
综上所述，AF的长为1或3．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分会大题的题型题呈现，主要集中在前面一些大题同时也会以相似进行结合考察，本题型主要考察三角形的的基本性质以及全等相似内容，综合性一般，但是偶尔也会比较强，综合来看对学生的综合分析能力要求一般，除非是涉及到多知识点考察会对学生综合能力要求比较高。
1．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，以AE为斜边，在AE上方作Rt△AEF，使∠EAF＝∠ABC，延长CF与BA交于点G．
（1）当∠ABC＝45°时，若CE＝1，BE＝3，求线段AF的长．
（2）求证：点F为线段CG的中点．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD＝2，由勾股定理可求AE的长，即可求解；
（2）由“ASA”可证△ANE≌△ECH，可得AE＝EH，由“AAS”可证△AGF≌△HCF，可得GF＝CF，即可求解．
【解答】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴AD＝CD＝BD，∠ACD＝∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∵CE＝1，BE＝3，
∴BC＝4，
∴AD＝BD＝CD＝2，
∴DE＝1，
∴AE，
∵∠EAF＝45°，EF⊥AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AEAF，
∴AF；
（2）如图，作AD＝CD，过点C作CH∥BG，交AF的延长线于H，在AD上截取AN＝CE，连接NE，EH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AD＝DC，AN＝CE，
∴DN＝DE，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DNE＝∠DEN，
∵∠DAC+∠DCA+∠ADC＝180°，∠DNE+∠DEN+∠ADC＝180°，
∴∠DNE＝∠DAC，
∴∠DNE＝∠DAC＝∠DCA＝∠ABC，
∵BG∥CH，
∴∠B+∠BCH＝180°，
∵∠DNE+∠ANE＝180°，
∴∠ANE＝∠BCH，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠EAF＝∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAF，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠EAF+∠BCH＝180°，
∴点A，点E，点C，点H四点共圆，
∴∠CAH＝∠CEH，
∴∠DAE＝∠CEH，
又∵AN＝CE，
∴△ANE≌△ECH（ASA），
∴AE＝EH，
∵∠AFE＝90°，
∴AF＝FH，
∵BG∥CH，
∴∠G＝∠FCH，∠GAF＝∠CHF，
∴△AGF≌△HCF（AAS），
∴GF＝CF，
∴点F为线段CG的中点．
2．在△AOB 和△COD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M．
（1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求证：AC＝BD；
（2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝30°，写出BD与AC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，请直接写出BD与AC的数量关系（用含α的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）结论：．理由见解析部分；
（3）结论：BD＝ACtana．理由见解析部分．
【分析】（1）证明△AOC≌△BOD（SAS），可得结论；
（2）结论：．证明△AOC∽△BOD，可得结论；
（3）结论：BD＝ACtana．证明△AOC∽△BOD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝45°，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：结论：．
理由：如图2中∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，
∴AOOB，COOD，
∴，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∴BDAC；
（3）解：结论：BD＝ACtana．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝α，
∴OB＝OAtanα，DO＝COtanα，
∴，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∴BD＝ACtanα．
3．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，延长DC交BC的中垂线于点E，AE与BD交于点F，且满足AB＝AC＝AD．
（1）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：∠ADB＝∠AED，
（2）求证：．
（3）若AB＝1，AE＝2，求AF的值．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程；
（3）．
【分析】（1）由等腰三角形的定义可得∠ABC＝∠ACB＝α，∠ADC＝∠ACD＝β，由线段垂直平分线的性质可求∠AED＝90°﹣（180°﹣α﹣β）＝α+β﹣90°，即可得结论；
（2）先求出∠CDB，即可得结论；
（3）通过证明△AFB∽△ABE，可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝α，∠ADC＝β，AB＝AC＝AD，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，∠ADC＝∠ACD＝β，
∴∠BCE＝180°﹣α﹣β，
∵AE垂直平分BC，
∴AE⊥BC，
∴∠AED＝90°﹣（180°﹣α﹣β）＝α+β﹣90°，
∵∠CAB＝180°﹣2α，∠CAD＝180°﹣2β，
∴∠BAD＝360°﹣2α﹣2β，
∵AD＝AB，
∴∠ADBα+β﹣90°，
∴∠ADB＝∠AED；
（2）证明：∵∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CDB＝β﹣（α+β﹣90°）＝90°﹣α，
∵∠CAB＝180°﹣2α，
∴∠CDB∠CAB；
（3）解：∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝α+β﹣90°，
∵AE垂直平分BC，
∴AE⊥BC，CE＝BE，
∴∠AED＝∠AEB＝α+β﹣90°，
∴∠AEB＝∠ABD，
又∵∠BAE＝∠BAF，
∴△AFB∽△ABE，
∴，
∴，
∴AF．
押题猜想五 四边形综合题型
限时：10min
1．如图，矩形ABCD中，BC＜2AB，点M是BC的中点，连接AM．将△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．
（1）求证：ME平分∠PMC．
（2）若AB＝3，BC＝4，求ME的长．
（3）若sin∠EAM，CE＝3，求DE的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）ME；（3）．
【分析】（1）可推出CM＝BM＝PM，∠C＝∠B＝∠APM＝∠EPM＝90°，进而推出△PEM≌△CEM，从而得出∠CME＝∠PME，从而ME平分∠PMC；
（2）可推出∠AMB+∠CEM＝90°，∠BAM＝∠AMB＝90°，从而∠BAM＝∠CME，进一步得出△EMC∽△MAB，由相似比得到所求线段长即可；
（3）可推出sin∠CME＝sin∠EAM，进而得出EM5，由△EMC∽△MAB得出，从而求得AB的值，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵点M是BC的中点，
∴BM＝CM，
∵将△ABM沿着AM折叠后得△APM，
∴PM＝BM，∠MPE＝∠APM＝∠B＝90°，
∴PM＝CM，∠MPE＝∠C，
∵EM＝EM，
∴△PEM≌△CEM（SAS），
∴∠CME＝∠PME，
∴ME平分∠PMC；
（2）解：由折叠可得：∠AMB＝∠AMP，
由（1）得：∠CME＝∠PME，
∵∠AMB+∠AMP+∠PME+∠CME＝180°，
∴∠AMB+∠CME＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠CME，
∴△EMC∽△MAB；
∴，
∵AM，
∴，
∴ME；
（3）解：由折叠得：∠EAM＝∠BAM，
∵∠CME＝∠BAM，
∴∠CME＝∠EAM，
∴sin∠CME＝sin∠EAM，
∵∠C＝90°，CE＝3，
∴EM5，
∴BM＝CM＝4，
由△EMC∽△MAB，
∴，
∴，
∴AB，
∴CD＝AB，
∴DE＝CD﹣CE3．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分会以大题的题型呈现，主要集中在倒数第三题或者最后的压轴题，主要考察四边形的性质为主，或者综合应用四边形的判定以及性质综合，同时也会涉及到相似知识点或者常见的辅助线问题，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．综合与实践：
如图1，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，将对角线AC绕点O逆时针旋转到MN，且旋转角α满足0°≤α≤180°，构造出四边形AMCN，连结BM，DN．
（1）探究发现
四边形AMCN是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
若AC＝4，BC＝5，设△ABM的面积为S1，△BMC的面积为S2，当MN∥BC时，求的值．
（3）延伸思考
如图2，若四边形ABCD是正方形，当MN经过AB中点时，探究MB，MC，BC三条边存在的等量关系．请给出结论，并说明理由．
【答案】（1）四边形AMCN为矩形，证明详见解答；
（2）；
（3）2BC2＝BM2+MC2，理由详见解答．
【分析】（1）四边形ABCD为菱形，OA＝OC，再根据旋转即可证明；
（2）连接AB，延长AM交BC于G，根据菱形性质及在Rt△BOC中，BO，S△ABC＝2S△BOC，S△BMC＝S△BOC，进而求出S2，再根据△AMC≌△GMC（ASA），S△AMB＝S△BMGS△ABG，S△ABGS△ABC，进而求出S1，计算即可；
（3）根据正方形的性质，O为AC中点，推出AC2＝AB2+BC2＝2AB2，再根据△AOM≌△BOM（SAS），推出AC2＝AM2+MC2，进而作答即可．
【解答】解：（1）四边形AMCN为矩形，
证明：四边形ABCD为菱形，
∴O是AC中点，
∴OA＝OC，
由旋转知OM＝OA＝OC＝ON，AC＝AN，
∴四边形AMCN为矩形；
（2）连接AB，延长AM交BC于G，如图1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD过AC中点O，且BO⊥AC，
∵AC＝4，
∴AO＝CO＝2，
在Rt△BOC中，
BO，
S△BOCCO BO，
∴S△ABC＝2S△BOC＝2，
∵MN∥BC，
∴S△BMC＝S△BOC，
∴S2，
∵OM＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM，
∵MN∥BC，
∴∠GCM＝∠NMC，
∴∠ACM＝∠GCM，
又∵四边形AMCN为矩形，
∴∠AMC＝∠GMC＝90°，
CM＝CM，
∴△AMC≌△GMC（ASA），
∴AC＝CG＝4，AM＝MG，
∴S△AMB＝S△BMGS△ABG，
∴BG＝BC﹣CG＝1BC，
∴S△ABGS△ABC，
∴S△AMB，
∴S1，
∴；
（3）连接OB，如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
O为AC中点，
∴∠BAC＝45°，OB＝OA，∠AOB＝90°，AC2＝AB2+BC2＝2AB2，
∵MN过AB中点O，
∴OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠BOM，
∵OM＝OM，OA＝OB，
∴△AOM≌△BOM（SAS），
∴AM＝BM，
由（1）知四边形AMCN为矩形，
∴∠AMC＝90°，
∴AC2＝AM2+MC2，
又∵AM＝BM，AC2＝AB2+BC2＝2AB2，
∴2BC2＝BM2+MC2．
2．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，D重合），连接BE，CE．
（1）若点E是AD边的中点．求证：BE＝CE．
（2）设∠ABE＝α，∠CED＝β，k．
①求证：tanα tanβ＝k．
②若tanα，BC＝CE，求k的值．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①证明见解答过程；
②．
【分析】（1）用SAS证明△ABE≌△DCE即可证；
（2）①根据三角函数定义，把tanα、tanβ用线段比表示，化简即可得证；
②过C作CH⊥BE于H，AE＝m，则AB＝2m，用m的代数式表示BE、BC、DE的长度，即可得到的值，即k的值．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）①∵矩形ABCD中，点E在AD边上，∠ABE＝α，∠CED＝β，
∴tanα，tanβ，AB＝CD，
∴tanα tanβ ，
∵k，
∴tanα tanβ＝k；
②过C作CH⊥BE于H，如图：
∵tanα，
∴，
设AE＝m，则AB＝2m，
Rt△ABE中，BEm，
∵BC＝CE，CH⊥BE，
∴BHBEm，∠BCH＝90°﹣∠HBC＝∠ABE＝α，
Rt△BCH中，tan∠BCH，
∴，
∴CHm，
∴BCm，
∴AD＝BCm，
∴DE＝AD﹣AEm，
∴k．
解法二：设DE＝a，则AE＝ka，AB＝2ka，
在Rt△CDE中，利用勾股定理，可得（2ka）2＝a2+（a+ka）2，
解得k或0（舍去）．
3．问题：如何将物品搬过直角过道？
情境：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是1.2m．矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为0.8m．
操作：
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点O在边AD上
3 旋转 如图2，将矩形ABCD绕点O旋转90°
4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
探究：
（1）如图2，已知BC＝1.6m，OD＝0.6m．小明求得OC＝1m后，说：“OC＜1.2m，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明．
（2）如图3，物品转弯时被卡住（C，B分别在墙面PQ与PR上），若tan∠CBP，求OD的长．
（3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值（精确到0.01米，2.236）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OB，OC，利用勾股定理求得OB的长度，再与道宽度1.2m比较即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥OT，延长MD交PQ于点N，利用直角三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到：tan∠DCN，设DN＝3k，则CN＝4k，CD＝5k，利用CD＝5k，求得k值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
（3）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点O为AD的中点，OC⊥PQ，OB⊥PR，且OB＝OC＝1.2m，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）不赞同小明的结论．理由：
连接OB，OC，如图，
∵BC＝1.6m，OD＝0.6m，小明求得OC＝1m，
∴CD0.8（m），OA＝AD﹣OD＝1.6﹣0.6＝1（m）．
∴AB＝CD＝0.8（m），
∴OB1.2，
∵过道宽度都是1.2m，
∴该物品不能顺利通过直角过道，
∴不赞同小明的结论；
（2）过点D作DM⊥OT，延长MD交PQ于点N，如图，
∵OT∥PQ，
∴DN⊥PQ．
∵∠DCN+∠PCB＝90°，∠PCB+∠PBC＝90°，
∴∠DCN＝∠CBP，
∵tan∠CBP，
∴tan∠DCN，
∵tan∠DCN，
∴设DN＝3k，则CN＝4k，
∴CD＝5k，
∴5k＝0.8，
∴k．
∴DN，CN，
∴MD＝MN﹣DN．
∵∠MDO+∠NDC＝90°，∠NDC+∠DCN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDC．
∵∠M＝∠N＝90°，
∴△MDO∽△NCD，
∴，
∴，
∴OD（m）．
（3）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点O为AD的中点，OC⊥PQ，OB⊥PR，且OB＝OC＝1.2m，
∴OD（m），
∴AD＝2OD1.78（m）．
∴BC的最大值为1.78m．
4．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（B、C除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE 　是　 （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四边形ABCD＝8，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝4，求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】（1）是；
（2）BD＝4；
（3）四边形ABCD面积的最大值为8．
【分析】（1）根据旋转的性质得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
（2）如图2，将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，先证明D、C、G三点共线，根据旋转的性质可知：S四边形ABCD＝S△BDG＝8，根据三角形的面积公式可得BD的长；
（3）如图3，作辅助线：将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，先证明A、D、E三点共线，则S四边形ABCD＝S△BDE，当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，从而得结论．
【解答】解：（1）由旋转得：AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴四边形ADCE是等补四边形．
故答案为：是；
（2）如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，
∴∠BAD＝∠BCG，BD＝BG，∠DBG＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCG＝180°，
∴D、C、G三点共线，
∵S四边形ABCD＝8，
∴S△BDG＝8，
∴BD2＝8，
∴BD＝4（负值舍去）；
（3）∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE，如图3，
∴BD＝BE＝4，∠BAE＝∠C，S△ABE＝S△BCD，
∵∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝180°，
∴A、D、E三点共线，
∴S四边形ABCD＝S△BDE，
当BD⊥BE时，△BDE的面积最大，S△BDE4×4＝8．
∴四边形ABCD面积的最大值为8．
押题猜想六 相似性质判定综合
限时：15min
1．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD＝3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是 　　 ．
【答案】．
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形性质得BH＝CH＝3，进而得AH，再根据AB：AD＝3：5得BD＝4，证明△DEB和△AHB相似，利用相似三角形性质得BE＝2，DE，则CE＝8，由此利用由勾股定理CD，然后根据直角三角形斜边中线的性质可得出EF的长．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，且边长为6，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴BH＝CH＝1/2BC＝3，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH，
∵AB：AD＝3：5，AD＝AB+BD＝6+BD，
∴6：（6+BD）＝3：5，
∴BD＝4，
∵AH⊥BC，DE⊥BC，
∴DE∥AH，
∴△DEB∽△AHB，
∴，
∴，
∴BE＝2，DE，
∴CE＝BC+BE＝8，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD，
∵点F为DC中点，
∴EF是Rt△CDE斜边CD上的中线，
∴EFCD．
故答案为：．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E，F，BE＜BF，连接AE，AF，∠EAF＝60°．
（1）判断△AEF的形状，并说明理由．
（2）求证：△ABE∽△CAF．
（3）若BE＝2，EF＝3，求线段CF的长．
【答案】（1）△AEF为等边三角形；
（2）见解答；
（3）．
【分析】（1）利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形．
（2）先根据等边三角形的性质得到∠AEF＝∠AFE＝60°，则根据等角的补角相等得到∠AEB＝∠AFC，再证明∠BAE＝∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（3）先根据等边三角形的性质得到AE＝AF＝EF＝3，由于△ABE∽△CAF，则根据相似三角形的性质得到AE：CF＝BE：AF，即3：CF＝2：3，从而可求出CF的长．解得CF．
【解答】（1）解：△AEF为等边三角形．
理由如下：
由作法得AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴∠AEB＝∠AFC＝120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵∠AEF＝∠BAE+∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠C，
而∠AEB＝∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝EF＝3，
，∵△ABE∽△CAF，
∴AE：CF＝BE：AF，
即3：CF＝2：3，
解得CF．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以小题压轴题以及大题呈现，主要考察相似的性质以及判定综合问题，对于考察小题来讲，相对难度会比较大，综合性较强，如果是考察大题的话相对基本以常见性质判定为主，难度适中，但是本知识点也会跟圆四边形等综合，难度会较大，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连结AE交BD于点F，交CD于点G，若BF＝2DF，则的值是　　 ．
【答案】．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AD∥BE，可得△ADF∽△EBF，从而，，可得BC＝CE．作FH∥BC交CD于点H，证明△DFH∽△DBC，△FHG∽△ECG，列出比例式并进行等线段替换即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴，从而．
∴BC＝CE．
如图所示，作FH∥BC交CD于点H，
∴△DFH∽△DBC，
∴，
∴．
又∵△FHG∽△ECG，
∴．
故 答案为：．
2．如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则 　　 ，AE＝ 　　 ．
【答案】，．
【分析】连接DG，由平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，则∠AED＝∠EDF，由轴对称的性质得EF垂直平分DG，∠EGF＝∠EDF，则∠EGF＝∠AED，所以FG∥ED，可证明四边形DEGF是菱形，则EG＝FG，由，得GHEGFG，，求得FHFG，则，再证明△CFH∽△BGH，得，求得BGCF，再证明△BGH∽△AED，得，求得AEBG，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在边AB，CD上，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AED＝∠EDF，
∵点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，FG交BC于点H，
∴EF垂直平分DG，EG∥FD，∠BGH＝∠FDE，∠GBH＝∠A，
∴EG＝ED，FG＝FD，
∵EF＝EF，
∴△GEF≌△DEF（SSS），
∴∠EGF＝∠EDF，
∴∠EGF＝∠AED，
∴FG∥ED，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∵EG＝ED，
∴四边形DEGF是菱形，
∴EG＝FG，
∵，
∴GHEGFG，，
∴FH＝FGFGFG，
∴，
∵CF∥BG，CF＝1，
∴△CFH∽△BGH，
∴，
∴BGCF，
∵∠BGH＝∠AED，∠GBH＝∠A，
∴△BGH∽△AED，
∴，
∴AEBG，
故答案为：，．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5．以AB，AC为边在AB的同侧作正方形ABFG、正方形ACDE，则点G在DE上，CD与GF相交于点H，连结CF，CG，则　　 ．
【答案】．
【分析】由∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，求得AC12，由正方形的性质得FG＝BF＝AB＝13，∠BFH＝∠ACH＝∠ABF＝90°，可证明B、C、H三点在同一条直线上，则∠FBH＝∠CAB＝90°﹣∠ABC，所以△BHF∽△ABC，则，求得HFBC，则HG＝FG﹣HF，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC12，
∵四边形ABFG、四边形ACDE都是正方形，CD与GF相交于点H，
∴FG＝BF＝AB＝13，∠BFH＝∠ACH＝∠ABF＝90°，
∴∠ACB+∠ACH＝90°，
∴B、C、H三点在同一条直线上，
∴∠FBH＝∠CAB＝90°﹣∠ABC，
∴△BHF∽△ABC，
∴，
∴HFBC5，
∴HG＝FG﹣HF＝13，
∴，
故答案为：．
4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF＝90°，在线段AE上取点G，使EG＝EB，连接FG．
（1）若AB＝4，BE＝2，求DF的长，以及四边形GECF的周长；
（2）设四边形GECF的周长为m，AB的长为a，求m与a的数量关系；
（3）∠EFG可能等于30°吗？若不能，请说明理由；若能，请求出tan∠BAE的值．
【答案】（1）3，8；（2）m＝2a；（3）．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质得到AB：CE＝BE：CF，求得DF＝3，根据勾股定理得到结论；
（2）连接AF，根据勾股定理即可得到结论；
（3）设AB＝1，BE＝EG＝x，则EC＝1﹣x，CF＝x（1﹣x），求得FG＝2x，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∵∠CEF＝∠BAE，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE＝BE：CF，
∴4：2＝2：CF，
∴CF＝1，
∴DF＝3，
∵∠C＝90°，
∴EF，
∴3，
∴四边形GECF的周长＝2+2+1+3＝8；
（2）连接AF，∵∠AEF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴AD2+DF2＝AB2+BE2+CE2+CF2，
∴DF2＝EG2+EF2＝FG2，
∴m＝GE+EC+CF+FG＝BE+EC+CF+DF＝2a；
（3）设AB＝1，BE＝EG＝x，
则EC＝1﹣x，CF＝x（1﹣x），
∵∠EFG＝30°，
∴FG＝2x，
列方程得，2x+x（1﹣x）＝1，
解得x，
∵BE＜1，
∴tan∠BAE＝x．
5．如图，已知四边形ABCD对角线AC，BD交于点E，点F是BD上一点，连结AF，△ABF∽△ACD．
（1）求证：△ABC∽△AFD．
（2）若BC＝4，AD＝9，DF＝6，求AC的长．
【答案】（1）见解析过程；
（2）AC＝6．
【分析】（1）由相似三角形的性质可得，∠BAF＝∠CAD，可得∠BAC＝∠FAD，即可求解；
（2）由相似三角形的性质可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABF∽△ACD，
∴，∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠FAD，
∴△ABC∽△AFD；
（2）解：∵△ABC∽△AFD，
∴，
∵BC＝4，AD＝9，DF＝6，
∴，
∴AC＝6．
押题猜想七 圆综合问题
限时：15min
1．如图1，AE是⊙O的直径，DC⊥BC，AB＝EC，BE＝DC．
（1）求证：AE⊥ED．
（2）连结AD交⊙O于K，连结BK，求证：BK平分∠ABE．
（3）如图2，M为ED上一点，连结AM交⊙O于F，过F作FH⊥BC交ED于G，MN⊥BC，若，AB＝3，BN＝4，求FG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质和圆周角定理以及角平分线的定义解答即可；
（3）过点E作EK∥FH，交AM于点K，连接EF，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质得到BE＝EN，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质求得线段MN，EM，AM，AE，EF，再利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°．
∵DC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∴∠ABE＝∠C＝90°．
在Rt△ABE和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（SAS），
∴∠BAE＝∠DEC，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠AED＝180°﹣（∠DEC+∠AEB）＝90°，
∴AE⊥ED；
（2）证明：由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE＝ED，
∵∠AED＝90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠EAD＝45°，
∴∠KBE＝∠EAD＝45°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠KBE＝∠ABK＝45°，
∴BK平分∠ABE；
（3）解：过点E作EK∥FH，交AM于点K，连接EF，如图，
由（1）知：∠BAE＝∠DEC，
∵MN⊥BC，
∴∠MNE＝90°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠MNE，
∴△ABE∽△ENM，
∴，
∵，
∴，
∴EN＝BE，
∵BN＝4，
∴BE＝EN＝2，
∴AE，DC＝BE＝2，
∴ED＝AE．
∵AB＝3，
∴EC＝AB＝3，
∵MN⊥BC，DC⊥BC，
∴MN∥DC，
∴△EMN∽△ECD，
∴，
∴MN，EM．
∴AM．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∴EF⊥AM，
∵AE⊥ED，
∴，
∴EF2，FM，
∴EF＝BE，
∴，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵EK∥FH，
∴∠KEA＝∠BAE，
∴∠KEA＝∠FAE，
∴∠FAE+∠AME＝90°，∠KEA+∠KEM＝90°，
∴∠KEM＝∠AME．
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴AB∥FH，
∴FH∥EK，
∴∠FGM＝∠KEM，
∴∠FGM＝∠AME，
∴FG＝FM．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，主要考察圆的综合性质应用，同时也会涉及到相似，四边形，三角形以及二次函数内容，二次函数主要会涉及到二次函数最值或者不等式问题，综合来看对学生的综合分析能力要求相当高。
1．如图，矩形ABCD内接于⊙O，BD是对角线，点E在上（不与点A，D重合），连接EC分别交AD，BD于点H，G，BF⊥CE于点F，FG＝FC，连接BE交AD于点P．
（1）如图1，当点E为的中点，BD＝2时，
①求证：∠ABE＝∠CBF．
②求的长．
（2）如图2，若tan∠ADB，求的值．
【答案】（1）①证明见解析；②；（2）．
【分析】（1）①利用矩形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理解答即可；
②连接OE，OC，利用圆周角定理和矩形的性质得到∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠CBF22.5°，再利用圆周角定理求得∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝135°，最后利用弧长公式解答即可；
（2）连接ED，利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到tan∠ADB，设AB＝3k，则DC＝AB＝3k，BC＝AD＝4k，BD5k，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理和勾股定理依次求得DH，AH，ED，AP，PH，则结论可得．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCE＝90°．
∵点E为的中点，
∴，
∴∠DCE＝∠ABE，
∴∠ABE+∠BCF＝90°．
∵BF⊥CE，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF．
②解：连接OE，OC，如图，
∵点E为的中点，
∴，
∴∠ABE＝∠DBE．
∵BF⊥CE于点F，FG＝FC，
∴BG＝BC，
∴∠GBF＝∠CBF，
由①知：∠ABE＝∠CBF，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DBF＝∠CBF22.5°，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠EOD＝2∠DBE＝45°，
∴∠DOC＝2∠CBD＝90°，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝135°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD＝2，
∴OE＝OC＝1，
∴的长；
（2）解：连接ED，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC＝90°，
∴BD为圆的直径，
∵tan∠ADB，
∴设AB＝3k，则DC＝AB＝3k，BC＝AD＝4k，
∴BD5k，
∵BF⊥CE于点F，FG＝FC，
∴BG＝BC＝4k，
∴DG＝BD﹣BG＝k，
∵AD∥BC，
∴△DHG∽△BCG，
∴，
∴DHBC＝k，
∴AH＝AD﹣DH＝3k．
∵BD为圆的直径，
∴∠AED＝90°，
∴tan∠EBD．
∵tan∠ECD，∠EBD＝∠ECD，
∴tan∠EBD．
设DE＝a，则BE＝3a，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴（3a）2+a2＝（5k）2，
∵a＞0，
∴ak，
∴EDk．
∵∠BAD＝∠PED＝90°，∠APB＝∠EPD，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
∴设AP＝6x，则PEx，
∴PD＝AD﹣AP＝4k﹣6x，
∵PE2+DE2＝PD2，
∴，
∴xk（不合题意，舍去）或xk．
∴APk，
∴PH＝AH﹣APk，
∴．
2．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，DF是⊙O的切线，连结CD，与AB交于点E．
（1）如图1，延长BA与DF交于点F．
①若∠ACD＝25°，求∠F的大小．
②若AF＝3，DF＝5，求⊙O的半径．
（2）如图2，AC＞BC，DF∥AB，延长CA与DF交于点F，若，求△BCE与△CDF的面积比．
【答案】（1）①40°；②；（2）．
【分析】（1）①连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
②利用切割线定理解答即可；
（2）过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，利用矩形的判定与性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，设CG＝4k，则CH＝9k，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得线段OE，BE，FD，最后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）①连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠FOD．
∵∠FOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠FOD＝50°，
∴∠F＝40°．
②∵DF是⊙O的切线，
∴FD2＝FA FB，
∴FB，
∴AB＝FB﹣FA，
∴⊙O的半径AB；
（2）过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵DF∥AB，CH⊥FD，
∴CG⊥AB，
∴四边形ODHG为矩形，
∴OD＝GH，OG＝DH，
∵，
∴．
∵DF∥AB，
∴△CAG∽△CFH，
∴，
设CG＝4k，则CH＝9k，
∴OD＝GH＝5k，
∴OA＝OB＝5k，AB＝2OD＝10k，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴△CGB∽△ACG，
∴，
∴，
∴BG＝2k或8k，
∵AC＞BC，
∴BG＜AG，
∴BG＝2k，
∴AG＝8k，
∴OG＝OB﹣BG＝3k，
∵OD⊥DF，CG⊥AB，
∴OD∥CG，
∴△DOE∽△CGE，
∴，
∴，
∴OEk，
∴EG＝OG﹣OEk，AE＝OA+OEk．
∴BE＝EG+BGk．
∵DF∥AB，
∴△CAE∽△CFD，
∴，
∴FD＝15k．
∴△BCE与△CDF的面积比．
3．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，∠ABC为锐角，过点B作BE⊥AC于点E，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F．
（1）∠ABD＝α，请用含α的代数式表示∠CBE．
（2）若AF＝BD，求证：AD＝AE．
（3）如图2，在（2）的条件下，BF与⊙O交于点G，与AD延长线交于点H，连结DG．①若CD＝4，DG＝1，求AD的长．
②若，求tan∠ABD的值．
【答案】（1）∠CBE＝α；（2）证明见解析；（3）①31；②．
【分析】（1）利用圆周角定理，直角三角形的性质解答即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）①连接AG，过点D作DM⊥AC于点M，利用圆周角定理和等弧对等弦的性质得到AG＝CD＝4，设AD＝AE＝x，则AM＝x﹣1，利用勾股定理列出方程解答即可；
②连接AG，利用圆周角定理和等弧对等弦的性质得到AG＝CD，利用圆周角定理和直角三角形的性质得到∠AHB＝∠BDC，利用直角三角形的边角关系定理得到，利用相似三角形的判定与性质得到∠ADG＝∠AHF，则∠GDH＝∠GHD＝45°，利用等腰直角三角形的性质得到ABAD，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解答】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°．
∵BE⊥AC，
∴∠CBE+∠BCA＝90°．
∵∠BCA＝∠BDA，
∴∠CBE＝∠ABD＝α．
（2）证明：由（1）得：∠CBE＝∠ABD，
∵AF∥BC，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠ABD＝∠F．
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF＝90，
∴∠BAD＝∠AEF＝90°．
在△BAD和△FEA中，
，
∴△BAD≌△FEA（AAS），
∴AD＝AE；
（3）解：①连接AG，过点D作DM⊥AC于点M，如图，
∵∠ABD＝∠ACD＝α，∠CBE＝∠CAG＝α，
∴∠ACD＝∠CAG，
∴，
∴，
∴，
∴AG＝CD＝4．
∵BD为直径，
∴∠AGD＝90°，
∵BE⊥AC，DM⊥AC，
∴四边形EMDG为矩形，
∴DM＝EG，EM＝DG＝1，
设AD＝AE＝x，则AM＝x﹣1，
∵DM2＝AD2﹣AM2＝x2﹣（x﹣1）2，EG2＝AG2﹣AE2＝42﹣x2，
∴x2﹣（x﹣1）2＝16﹣x2，
∴x，
∵负数不合题意，舍去，
∴AD＝31．
②连接AG，如图，
∵∠ABD＝∠ACD＝α，∠CBE＝∠CAG＝α，
∴∠ACD＝∠CAG，
∴，
∴，
∴，
∴AG＝CD．
∵∠BAD＝90°
∴∠AHB+∠ABH＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABH+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠AHB，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠AHB＝∠BDC，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∴cos∠BDC，
∵，
∴，
∵AF＝BD，AG＝CD，
∴．
由（2）知：△BAD≌△FEA，
∴∠ABD＝∠F，
∵∠ABD＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠F，
∴△AGD∽△AFH，
∴∠ADG＝∠AHF，
∴∠GDH＝∠GHD，
∵∠BGD＝90°，
∴∠GDH＝∠GHD＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∴ABAE，
∴ABAD，
∴tan∠ABD．
4．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AE⊥BC于点D，交劣弧BC于点E，点F为弧AB上的任意一点，连结CF交AB于点G，交AD于点H，连结FB．
（1）当CF经过点O时，求证：AE∥BF；
（2）在（1）的条件下，若，求的值；
（3）当AC∥BF时，若⊙O的半径为5，BC＝6，求OH的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）利用圆周角定理和平行线的判定定理解答即可；
（2）当CF经过点O时，点O，H重合，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，设BF＝4k，则AO＝3k，利用勾股定理和三角形的中位线定理求得AD，BC，代入化简运算即可；
（3）连接OC，FA，过点F作FP⊥AB于点P，FM⊥AC于点M，过点B作BN⊥AC于点N，利用垂径定理和勾股定理求得线段AD，AB，AC，OD，利用等腰梯形的判定与性质得到FC＝AB＝3，利用三角形的面积公式求得FM，利用勾股定理求得AM，CN，利用相似三角形的判定与性质结合勾股定理求得HD，则OH＝OD﹣HD．
【解答】（1）证明：∵CF经过点O，
∴CF为⊙O的直径，
∴∠FBC＝90°，
∴FB⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥BF；
（2）解：当CF经过点O时，点O，H重合，如图，
∵AE∥BF，
∴△BFG∽△AOH，
∴，
设BF＝4k，则AO＝3k，
∵FC＝2OA，
∴FC＝6k，
∴BC2k，
∵AE∥BF，OF＝OC，
∴ODBF＝2k，
∴AD＝AO+OD＝5k，
∴；
（3）连接OC，FA，过点F作FP⊥AB于点P，FM⊥AC于点M，过点B作BN⊥AC于点N，如图，
∵直径AE⊥BC，
∴BD＝CDBC＝3，，
∴AB＝AC．
∵⊙O的半径为5，
∴OE＝OA＝OC＝5，
∴OD4，
∴DE＝OE﹣OD＝1，AD＝OA+OD＝9，
∴AB＝AC3．
∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠BFC，
∴，
∴AF＝BC＝6，
∴四边形AFBC为等腰梯形，
∴FC＝AB＝3，
∵FP⊥AB，BN⊥AC，AC∥BF，
∴四边形BFMN为矩形，
∴BF＝MN，FM＝BN．
∵，
∴FM，
∴AM，
同理可求：CN，
∴BF＝MN＝AC﹣AM﹣CN．
∵∠FBA＝∠FCA，∠FPB＝∠FMC＝90°，
∴△BFP∽△CFM，
∴，
∴，
∴FP．
∴AP，
∵∠FAB＝∠FCB，∠FPA＝∠HDC＝90°，
∴△FAP∽△HCD，
∴，
∴，
∴HD，
∴OH＝OD﹣HD．
5．如图，在⊙O中，直径BC＝6，AB⊥BC，AD是⊙O的切线，点D为切点．
（1）如图1，求证：AD＝AB；
（2）如图2，线段AO交⊙O于点E，连结DE，若DE∥BC，求AE的长；
（3）如图3，线段AC交⊙O于点F，连结DF，若DF∥BC，求AF的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3；
（3）．
【分析】（1）由BC是⊙O的直径，且AB⊥BC，可知AB是⊙O的切线．根据切线长定理可得AB＝AD；
（2）连结OD，根据SSS可得△ABO≌△ADO，则∠AOB＝∠AOD，由DE∥BC及EO＝DO可得∠EDO＝∠DEO＝∠AOD，进而可得∠AOD＝60°，根据三角函数可求出 AO＝6，进而可得AE＝3；
（3）连结OA，OD，FB，BD，得OA⊥BD，则可得∠AOB+∠OBD＝90°．由同角的余角相等可得∠BAO＝∠OBD，由圆周角定理及DF∥BC 可得∠DFC＝∠FCB＝∠CBD，进而可得∠BAO＝∠ACB．易得△ABO∽△CBA，则可求得，根据勾股定理求出AC的长，再根据求出CF的长，进而求得AF的长．
【解答】（1）证明：如图1，连结OD，
∵BC是⊙O的直径，AB⊥BC，
∴AB是⊙O的切线，
又∵AD是⊙O的切线，
∴AD＝AB；
（2）解：如图2，连结OD，
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（SSS），
∴∠AOB＝∠AOD．
∵DE∥BC，
∴∠DEO＝∠AOB．
∵EO＝DO，
∴∠EDO＝∠DEO＝∠AOD．
∴∠AOD＝60°，
∴cos∠AOD，
∴AO＝2DO＝6，
∴AE＝AO﹣OE＝6﹣3＝3；
（3）解：如图，连结OA，OD，FB，BD，
BO＝DO，且∠AOB＝∠AOD，
∴OA⊥BD，
∴∠AOB+∠OBD＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠BAO+∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠OBD，DF∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB＝∠CBD，
∴∠BAO＝∠ACB，且∠ABO＝∠CBA，
∴△ABO∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BO BC＝3×6＝18，
∴AB＝3，
∴AC，
∴cos∠ACB．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CFB＝90°，
∴cos∠ACB，
∴CF＝2，
∴AF＝32．
押题猜想八 折叠问题
限时：8min
1．如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，要想知道正方形ABCD的边长，只需知道（　　）
A．BF的长度 B．△B′CF的周长
C．△B′DG的周长 D．△A′EG的面积
【答案】C
【分析】证明△DB′G∽△CFB′，可得，故DB'+DG+B'G，即可证明DB'+DG+B'G＝2AB，故要想知道正方形ABCD的边长，只需知道△B′DG的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，BC＝CD＝AB，
由折叠得∠GB′F＝∠B＝90°，B′F＝BF，
∴DB′＝CD﹣B′C＝BC﹣B′C，CF+B′F＝CF+BF＝BC，BF2﹣B′C2＝B′F2﹣B′C2＝CF2，∠DB′G＝∠CFB′＝90°﹣∠CB′F，
∴△DB′G∽△CFB′，
∴，
∴，
∴DB'+DG+B'G，
∵2（BF+CF）＝2AB，
∴DB'+DG+B'G＝2AB，
∴要想知道正方形ABCD的边长，只需知道△B′DG的周长；
故选：C．
押题解读
从近五年的中考情况来看，本部分多以小题的压轴题呈现，对于知识点考察主要集中在三角形、四边形、解直角三角形、相似为主，特别是会涉及到特殊四边形的性质以及判定，同时对于折叠问题主要是主要折叠的边相等，角相等；综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。
1．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝60°，点E是AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形EFGC，点D的对应点为点G，则FG的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．可得，可得点E到CD的距离是，证明△BCE≌△GCF（ASA），可得CE＝CF，设BP＝m，则BE＝2m，，由勾股定理得，再求解m，可得，最后根据DF＝DC﹣CF求解即可．
【解答】解：如图，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P，
∵∠ABC＝60°，BC＝4，∠BCK＝30°，
∴BK＝2，，
∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，
∴点E到CD的距离是，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠D＝∠ABC，∠A＝∠BCD，
由折叠可知：AD＝CG，∠D＝∠G，∠A＝∠ECG，
∴BC＝GC，∠ABC＝∠G，∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCE＝∠GCF，
在△BCE和△GCF中，
∴△BCE≌△GCF（ASA），
∴CE＝CF，
∵∠ABC＝60°，∠EPB＝90°，
∴∠BEP＝30°，
∴BE＝2BP，
设BP＝m，则BE＝2m，
∴，
由折叠可知：AE＝CE，
∵AB＝6，
∴AE＝CE＝6﹣2m，
∵BC＝4，
∴PC＝4﹣m，
在Rt△ECP中，由勾股定理得：，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，CE⊥AD，把△CED沿直线CE折叠得到△CED'，点D'落在DA的延长线上．若CD'恰好平分∠ACB，则∠ABC＝ 　36　 °， 　　 ．
【答案】36，．
【分析】设AB，CD′交于点J．设∠B＝x．利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设AD′＝AC＝CJ＝m，BC＝CD＝CD′＝n，则JD′＝n﹣m，利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解．
【解答】解：设AB，CD′交于点J．设∠B＝x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝x，AD∥CB，
∴∠BCD′＝∠D′，
∵CD′平分∠ACB，
∴∠ACD′＝∠BCD′，
由翻折变换的性质可知，∠D＝∠D′，
∴∠BCD′＝∠ACD′＝x，
∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝2x，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°，
∵∠D′＝∠ACD′＝36°，
∴AD′＝AC，
∵∠CAJ＝∠CJA＝72°，
∴AC＝CJ，
设AD′＝AC＝CJ＝m，BC＝CD＝CD′＝n，则JD′＝n﹣m，
∵∠D′＝∠D′，∠D′AJ＝∠ACD′＝36°，
∴△D′AC∽△D′JA，
∴D′A2＝D′J D′C，
∴m2＝（n﹣m） n，
∴n2﹣nm﹣m2＝0，
∴（）21＝0，
∴．
故答案为：36，．
3．如图，在正方形纸片ABCD中，点M，N分别是BC，AD上的点，将该正方形纸片沿直线MN折叠，使点B落在CD的中点E处．若AB＝4，则△CEM的面积是　　 ．
【答案】．
【分析】由折叠的性质得BM＝EM，设BM＝EM＝x，在Rt△CEM中，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠C＝90°，
由折叠的性质知，BM＝EM，
设BM＝EM＝x，
∵点E是CD的中点，
∴，
在Rt△CEM中，EM＝x，CM＝4﹣EM＝4﹣x，
由勾股定理得CE2+CM2＝EM2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得，即，
∴△CEM的面积是，
故答案为：．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E为边AD上的动点，连结BE，CE，将△ABE沿BE折叠得△FBE，再将△FBE沿CE折叠得△GHE（F与G为对应点），当点G落在△CDE内部（不包括△CDE的边）时，则AE长的取值范围是　　 ．
【答案】．
【分析】如图所示，点F，G重合时，，设AE＝EF＝x，则，DE＝AD﹣AE＝10﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2；如图所示，点G在AD上，△ABE∽△DEC，；由此即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，
如图所示，点F，G重合时，
∵△FBE和△GHE是△ABE折叠而来的，
∴AB＝FB＝GH＝4，∠A＝∠EFB＝∠EGH＝90°，AE＝FE＝GE，
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，BC＝10，BF＝4，
∴，
设AE＝EF＝x，则，DE＝AD﹣AE＝10﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，
∴，
解得，
∴；
如图所示，点G在AD上，
根据折叠得到，AB＝BF＝GH＝4，∠A＝∠F＝∠EGH＝90°，∠AEB＝∠FEB，∠CE＝∠CEG，
∴∠AEB+∠BEF+∠CEF+∠CEG＝2∠BEF+2∠CEF＝180°，
∴∠BEF+∠CEF＝90°，即BE⊥CE，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠ABE＝∠DEC，且∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
根据上述计算得到AE＝x，DE＝10﹣x，AB＝CD＝4，
∴，
整理得，x2﹣10x+16＝0解得x1＝2，x2＝8，
当AE＝2时，AE＝EG＝4＜AD＝10，符合题意；
当AE＝8时，AE＝EG＝16＞AD＝10，即点G在AD延长线上，不符合题意；
∴AE＝2，
∴当点G落在△CDE内部（不包括△CDE的边）时，则AE长的取值范围是，
故答案为：．
5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点为F，EF交BD于点G．若点G为EF的中点，BF平分∠DBC，则 　　 ．
【答案】．
【分析】延长EF交BC于点H，可证△BFG≌△BFH，得到GF＝FH，设EG＝GF＝FH＝y，GD＝x，则AE＝EF＝2y，根据平行线分线段成比例得到，得到DE＝x，能够得到AD＝AE+DE＝2y+x＝BC，根据勾股定理得AB2＝BD2﹣AD2＝8x2﹣4y2﹣4xy，BF2＝BG2﹣GF2＝4x2﹣y2，能够得到，先计算即可求得．
【解答】解：延长EF交BC于点H，
由折叠得，AB＝BF，∠A＝∠BFG＝90°＝∠BFH，AE＝EF，
由条件可知∠FBG＝∠FBH，
在△BFG和△BFH中，
，
∴△BFG≌△BFH（ASA），
∴GF＝FH，
由条件可知EG＝GF，
设EG＝GF＝FH＝y，GD＝x，则AE＝EF＝2y，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴，
即，
∴BG＝2x，
即BH＝BG＝2x，
∴，
即DE＝x，
∴AD＝2y+x＝BC，
在Rt△ABD中，AB2＝（3x）2﹣（2y+x）2＝8x2﹣4y2﹣4xy，
在Rt△BGF中，BF2＝（2x）2﹣y2＝4x2﹣y2，
∴AB2＝BF2，
∴8x2﹣4y2﹣4xy＝4x2﹣y2，
化简得3y2+4xy﹣4x2＝0，
解得y＝﹣2x（舍），3y＝2x，
即，
∴，
即，
方法2：延长EF交BC于H点，
由折叠可知∠A＝∠EFB＝90°，AE＝EF，AB＝BF，
∵BF平分∠DBC，
∴△BHG是等腰三角形，
∴BG＝BH，GF＝FH，
设FH＝1，则GF＝1，
∵G是EF的中点，
∴EG＝GF＝1，
∴EH＝3，AE＝EF＝2，
∵∠AEB＝∠BEH，∠EBH＝∠AEB，
∴∠BEH＝∠EBH，
∴BE＝EH＝3，
∵ED∥BH，
∴，
∴ED，
∵∠DEG＝∠EGD，
∴ED＝GD，
∴AD，BD，
在Rt△ABD中，AB＝2，
∴．
故答案为：．
押题猜想九 探究问题
限时：10min
1．根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
【答案】任务一：y（x﹣100）2+45；
任务二：小亮不能实现；
任务三：击球点与发球机水平距离x的取值范围275≤x≤325．
【分析】任务一：
任务二：
任务三：
【解答】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为：（100，45），
设从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式为：y＝a（x﹣100）2+45，
则：25＝a（0﹣100）2+45，解得：a，
∴y（x﹣100）2+45；
任务二：小亮不能实现；
设OP的解析式为：y＝kx，则300k＝20，
解得：k，
∴yx，当x＝140时，y14，
∴小亮不能实现；
任务三：设弹起后球飞行的路径为：y＝b（x﹣300）2+40，
对于y（x﹣100）2+45，
当y＝0时，0（x﹣100）2+45，
解得：x＝﹣50（不合题意，舍去）或x＝250，
∴M（250，0），
∴0＝b（250﹣300）2+40，
解得：b，
∴y（x﹣300）2+40，
当y＝30时，30（x﹣300）2+40，
解得：x＝275或x＝325，
∴击球点与发球机水平距离x的取值范围275≤x≤325．
押题解读
从近三年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，主要会涉及到二次函数，一次函数、不等式等知识点点的综合考察，通过给定一些问题以及解决方案进行出题，综合考察对学生对于问题分析以及解决问题方案联系实际学过的知识点进行综合，对于学生的综合分析能力要求比较高。
1．根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：（1）距离水平地面 米处有一带弹簧的装置；（2）每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1．
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从A点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度h＝0.8米，挡板1至O点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2．
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：（1）在距离O点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域Ⅰ：（2）在距离O点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域Ⅱ．
问题解决
任务1：确定弹珠路径．请在图2中以O点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式．
任务2：确定移动方案．要想让弹珠飞出后落入区域Ⅰ内，该弹簧装置向上移动的距离d要满足什么条件？
任务3：灵活变通．根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整．现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板（区域Ⅰ和区域Ⅱ的宽度不改变），让弹珠落入得分更高的区域Ⅱ内，请计算挡板3横坐标的取值范围．
【答案】任务1：（x≥0）；任务2：；任务3：．
【分析】任务1：设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意得顶点，对称轴为直线x＝0，且经过，分别代入，即可求解；
任务2：设抛物线为，把、分别代入，即可求解；
任务3：根据题意，得知，可得，通过挡板2的高度解得其横坐标为，因区域I和区域II的宽度不改变，推出挡板1的横坐标和纵坐标，得抛物线不被挡板1挡住，将挡板3的高度代入抛物线，得横坐标，结合区域II的宽度即可求解．
【解答】解：任务1：根据题意，得：抛物线的顶点，对称轴为直线x＝0，
∴设此抛物线为y＝a（x﹣h）2+k，即，
∵此抛物线经过挡板1顶部，
∴即过点，代入，
解得：，
∴此抛物线的解析式为（x≥0）；
任务2：∵该弹簧装置向上移动，
∴设，
∵想让弹珠飞出后落入区域I内，且挡板2，
∴把代入，
解得：，
∵把挡板1代入，
解得：c＝0，
∴；
任务3：∵装置向上移动0.3米，
∴，
∴得，
∴当时，解得：（负值舍去），
∵区域I和区域II的宽度不改变，
∴此时挡板1的横坐标为，，不会被挡板1挡住，
∵当时，
解得：（负值舍去），
∵挡板2的横坐标为，
∴，
∴．
2．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m）1.701.731.751.80人数2241
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务3：方案优化改进．据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整．班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（x线段AB），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
【答案】任务1．长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：yx2+2．
任务2．绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学．理由见解答部分．
任务3．方案能解决同学反映的问题．理由见解答部分．
【分析】（1）按照题意建立平面直角坐标系，易得抛物线的对称轴为y轴，于y轴交于点（0，2），并且经过点（﹣3，1），设出相应的函数解析式，进而把点（﹣3，1）代入可得二次项系数的值，即可求得长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式；
（2）9个同学，最高的同学在正中间，那么右边将有4个同学，易得最右侧同学所在的横坐标，代入（1）中得到的解析式，可得最右侧同学所在的地方抛物线的高度，计算出最右侧同学屈膝后的身高，与抛物线的高度比较可判断绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学；
（3）根据抛物线的形状相同可得绳子摇至最低处时，抛物线解析式，进而可得平移后新的抛物线解析式，取最右侧同学的横坐标代入可得最右侧同学跳绳的高度，与舒适高度0.25比较即可判断方案能否解决问题．
【解答】解：任务1：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：y＝ax2+2（a≠0）．
∵经过点（﹣3，1）．
∴9a+2＝1．
解得：a．
∴长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：yx2+2．
任务2．最右侧同学所在的横坐标为：0.45×4＝1.8．

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