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第二章《相交线与平行线》复习题--垂线与点到直线的距离
题型01 垂线的定义的理解
1.为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线
C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直
2.如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
3.如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（ ）
A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直
C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离
题型02 垂线段最短
1.如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
2.如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米．
3.为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
题型03 画垂线
1.用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上．
(1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点；
(2)线段的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______．
3.利用网格画图：
(1)过点C画的垂线，垂足为E；
(2)线段的长度是点C到直线_______的距离；
(3)连接，在线段中，线段_______最短．
题型04 点到直线的距离
1.如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ．
2.如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ．
3.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)作线段，作射线；
(2)点到直线的距离为线段________的长度；
(3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
题型05 利用垂线的定义求角的度数
1.如图，直线与相交于点O，平分．

(1)当时，求的度数；
(2)若，，求的度数．
2.如图，直线，相交于点，．
(1)若，判断与的位置关系；
(2)若，求的度数．
3.如图，直线、相交于点，，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
题型06 利用垂线的定义求旋转问题
1.如图，是直线上的一点，，平分，，．
(1)如图，若，则的度数为____________；
(2)探究在绕点旋转过程中，求的度数；（用含有的代数式表示）
(3)在内部有一条射线是的角平分线，求的度数．（用含有的代数式表示）
2.如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题：
(1)当t为何值时，为平角？
(2)当t为何值时，平分？
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
题型01 垂线的定义的理解
1.C
【知识点】垂线的定义理解
【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．
直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【详解】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意；
B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意；
C、连接不能保证，故错误，符合题意；
D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意；
故选∶C．
2.B
【知识点】垂线的定义理解
【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
【详解】解：因为，，
所以直线与重合，
其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
3.A
【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解
【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴点B到的垂线段是线段，故本选项错误，符合题意；
B、∵，
∴和互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴与互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
D、∵，
∴线段的长度是点A到的距离，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
题型02 垂线段最短
1.6
【知识点】垂线段最短
【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论．
【详解】解：∵，且，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，
所以，的最小值为的长，
所以，的最小值为6，
故答案为：6．
2.
【知识点】垂线段最短
【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可．
【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中线段的长度，即为米．
故答案为：
3. 垂线段最短
【知识点】垂线段最短、点到直线的距离
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5，
∴当时，，
∵垂线段最短，
∴当不与直线l垂直时，，
∴．
故答案为：；垂线段最短．
题型03 画垂线
1.B
【知识点】画垂线
【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可．
【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意；
选项B中三角板过点且垂直，故符合题意；
选项C中三角板不过点，故不符合题意；
选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意，
故选：B．
2.（1）
（2）线段的长度是点到直线的距离．
故答案为：
（3），理由：垂线段最短．
故答案为： 垂线段最短
3.（1）解：如图所示：
（2）解：线段的长度是点C到直线的距离，
故答案为：；
（3）解：连接，在线段中，线段最短，
理由：垂线段最短．
故答案为：．
题型04 点到直线的距离
1. 4 3
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解．
【详解】解：，
，
，
点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，
故答案为：4，3，．
2.4
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．
根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题．
【详解】解：点B到直线的距离是，
故答案为：．
3.（1）连接，连接并延长，即得．
（2）点到直线的距离为线段的长度
故答案为：
（3）连接，交于点，
则，
当点O运动到上时，，最小，
则，最小．
故答案为：两点之间线段最短．
题型05 利用垂线的定义求角的度数
1.（1）解：∵直线与相交于点O，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵若，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
解得.
∴．
2.（1）解：．
理由如下：因为，所以，
所以．
又因为，所以，
即，所以；
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
3.（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
题型06 利用垂线的定义求旋转问题
1.（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，当在内部时，
，
，
，
，
平分，
，
；
如图，当在外部时，
，
，
，
，
平分，
，
；
综上所述，的度数为或；
（3）解：如图，当在内部时，由（2）可得，，
，
是的角平分线，
；
如图，当在外部时，由（2）可得，，
，
是的角平分线，
，
综上所述，的度数为或．
2.（1）根据题意可知，.
当为平角时，，
即，
解得．
答：时为平角；
（2）根据题意可知，.
当OC平分时，，
即，
解得．
答：时OC平分；
（3）根据题意可知，.
第一种：，，
第二种：，．
答：存在，或时，OB将分成的两个角的度数之比为；
（4）根据题意可知，，.
当时，，
解得；
当时，，
解得．
答：存在，或时，．

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