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浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2024-2025学年第二学期八年级数学期中检测卷
1．（2025八下·瑞安期中）以下是我国一些博物馆标志的图案，共中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·瑞安期中）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习!的人数分别为：6，6，7，7，7，8，8，这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2025八下·瑞安期中）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025八下·瑞安期中） 如图，在△ABC中，BC=30，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长度为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．20
5．（2025八下·瑞安期中）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·瑞安期中）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　）
A．120° B．124° C．135° D．140°
7．（2025八下·瑞安期中） 若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m<1 B．m≤1 C．m>l D．M≥1
8．（2025八下·瑞安期中）若取四边形ABCD各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
9．（2025八下·瑞安期中）中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·瑞安期中） 已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0②cx2+bx+a=0（a≠c≠0）.甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
甲同学，若方程①有一个解为x=m（m≠0），则方程②一定有一个解为×=
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1=1，x2=-1
正确的结论为（　　）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
11．（2025八下·瑞安期中） 当x=3时，二次根式的值为　 　.
12．（2025八下·瑞安期中） 若一组数据2，3.5，x，8的众数是2，则这组数据的平均数是　 　.
13．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为CD的中点.若OE=2，则AD的长为　 　.
14．（2025八下·瑞安期中）若x=1为方程x2-3mx+5=0的一个根，则该方程的另一个根为x=　 　.
15．（2025八下·瑞安期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（-2，3），则对角线AC的长度是　 　.
16．（2025八下·瑞安期中） 如图1.在矩形ABCD中，AB=，点E.F是BC上的点，连接DE，点G是DE上的一点，连接GF、DF，且LBE=EG=FG，将矩形按图1所示分成4块，将其无缝隙拼成图2所示的Rt△PMN，则S△PMN=　 　.
17．（2025八下·瑞安期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·瑞安期中）解方程：
（1）x2-4x=0
（2）x2+3x=10
19．（2025八下·瑞安期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形.
（1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上），
（2）在图2中画一个平行四边形ABCD，使平行四边形ABCD关于点O成中心对称。
20．（2025八下·瑞安期中）温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗AI集成平台，通过12项医学AI服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航.为了进一步了解AI系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入AI系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查.以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）：
患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40）
10 20 30 40 50 60 众数（分钟） 中位数（分钟） 平均数（分钟） 方差（分钟）
AI系统（人数） 1 21 15 3 0 0 20 　 　 46.15
老系统（人数） 0 8 18 11 2 1 　 30 32.5 85.9
（1）老系统就诊时长的众数是　 　，Al系统就诊时长的中位数是　 　.
（2）计算Al系统患者的平均就诊时长：
（3）结合以上数据，评价Al系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，
21．（2025八下·瑞安期中）如图，点E为□ABCD边BC上的一点，连接AE并延长与DC的延长线交于F，若点 C是DF边的中点，AF=AD.
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）若AB=3，AE=4，求AC 的长.
22．（2025八下·瑞安期中）综合实践：设计商品最优定价方案
【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若枕头的售价定为每个50元时，每月可销售100个：若枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，当进货量不超过200个时，枕头的进价为每个20元，当进货量超过200个时，超过200个的部分进价变为每个18元。假设枕头全部售完（进货量=销售量），设每个枕头降价x元（x为整数），回答下列问题、
【问题】
（1）任务1：枕头的实际售价为　 　（用含x的代数式表示）：枕头的销售量为　 　 （用含x的代数式表示）.
（2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价，反之，请说明理由，（利润=（售价一进价）×销售量）
（3）任务3：依靠试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价。
23．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD中，AB=10+10，P为线段CD上一点，连结AP，将△ADP沿着线段AP折叠，点D落在D'处，作D'E//CD交AP于点E.
（1）证明：四边形D'EDP为菱形.
（2）如图1，若D'恰好落在平行四边形ABCD的对角线交点处，求此时DP的长度.
（3）如图2，连结AC，∠ADC=45°，∠DAC=105°，在AB上取一点M（AM答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后，旋转后的图形和原来的图形重合，则B、C、D都不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后，旋转后的图形和原来的图形重合，则A是中心对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此直接得到答案.
2．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数按从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，8，
∴这组数据的中位数是7，
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义：将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数，据此直接得到答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此即可求解.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是的中位线，
∵BC=30，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，据此即可求解.
5．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】最简二次根式被开方式不含有能够开出来的因式和因数。A、，还可以进一步化简；B、，不符合题意；C、已经无法化简，故符合题意；D、，故不符合题意。故选C.
【点评】二次根式的化简需要对平方根，开平方等基本知识熟练把握。
6．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的每个内角度数为：，
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可知每个内角度数都相等，然后利用多边形内角和公式：n边形的内角和等于，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根.据此得关于m的不等式，解不等式即可求解.
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴DE，EF，FG，DG分别是的中位线，
∴，
∵四边形DEFG是菱形，
∴DE=EF=FG=DG，
∴AC=BD，
∴这个四边形ABCD一定是对角线相等的四边形，
故答案为：D.
【分析】先画出图形，根据三角形中位线定理得，然后根据菱形的性质得DE=EF=FG=DG，从而可求出AC=BD，据此即可求解.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得OA=OB=x，AC=1，BD=EC=5，BE=CD=10，∠OEB=90°，
∴EA=EC-AC=5-1=4，
∴OE=OA-EA=x-4，
在中，有，
∴可列方程，
故答案为：D.
【分析】先求出EA=4，BE=10，OB=x，∠OEB=90°，从而得OE=x-4，然后在中，利用勾股定理即可列出方程.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入一元二次方程①，得，
∵，
∴两边同时除以，得，
∵一元二次方程②为，
∴是方程②的一个解，
∴甲同学的观点正确；
∵方程①②有公共解，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵上述求出的公共解与b的取值无关，
∴当时，方程①化为，方程②化为，
∴方程①的解为，方程②的解为，
∴此时公共解不是，
∴乙同学的观点错误；
综上所述，甲同学的观点正确，乙同学的观点错误，
故答案为：A.
【分析】将代入一元二次方程①中，再两边同时除以，得，然后结合一元二次方程②可知甲同学观点正确；由两方程有公共解，整理后得，然后利用等式的性质得，即可求出x的值为1或-1，但由于上述求出的公共解与b的取值无关，则举反例当时，求出方程①的解为，方程②的解为，此时可知公共解不是，据此可判断乙同学的观点错误.
11．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入，得，
故答案为：2.
【分析】将x的值代入二次根据，再求值即可.
12．【答案】4
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据2，3，5，x，8的众数是2，
∴x=2，
∴这组数据的平均数为，
故答案为：4.
【分析】根据众数的定义得x=2，然后利用平均数的计算公式直接得到答案.
13．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为BD中点，AD=BC，
∵E为CD中点，
∴OE为中位线，
∵OE=2，
∴BC=AD=2OE=2×2=4，
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质得O为BD中点，AD=BC，然后根据三角形中位线定理得BC=AD=2OE=4.
14．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
∴方程化为，
设方程的另一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：5.
【分析】将x=1代入方程，从而求出m=2，进而将原方程化为，然后设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∵B（-2，3），O（0，0），
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得AC=OB，然后利用坐标系中两点距离公式即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，
∴∠IQJ=∠HOI=90°，
根据题意，得BE=MH=HI=GE=GF，JN=AD，MI=EF，PJ=CF，∠PMH=∠DGF，∠ADE=∠N，∠HJP=∠C，∠IHJ=∠B，∠PMN=∠PMH+∠HMI=90°，，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM，
∵∠DGF=∠GEF+∠GFE，
∴∠GEF+∠GFE+∠HMI=90°，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，
∴∠HJQ=90°，
∴∠HJQ=∠IQJ=∠IHJ=90°，
∴四边形HIJQ是矩形，
∴HI=JQ，，AD=BC=JN，
又∵∠IQJ=90°，
∴∠IQN=90°，
∵∠N=30°，
∴，
∴，
∵HO⊥MN，MH=HI，
∴MI=2OI，
设BE=MH=HI=JQ=x，
∵∠HOI=90°，∠HIM=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠PMN=90°，∠N=30°，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴矩形ABCD的面积为，
∵矩形分成4块，将其无缝隙拼成，
∴，
故答案为：.
【分析】根据分割和拼接方式可知矩形ABCD的面积等于的面积，矩形的一边AB已知，接下来只需求矩形的另一边BC的长即可，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，先求出∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，根据矩形的性质、平行线的性质得∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，从而证出四边形HIJQ是矩形，进而得HI=JQ，IQ=HJ，AD=BC=JN，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得IN，QN的值，根据等腰三角形“三线合一”性质得MI=2OI，接下来设BE=MH=HI=JQ=x，继续利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得OH，OI的值，于是得MI=EF的值，于是进一步求出MN，JN=BC，CF，PN，最后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理出MN与PN的关系，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值可得BC的值，于是求出面积，据此即可得到答案.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将二次根式进行化简，然后进行二次根式的加减运算；
（2）先将二次根式进行化简，同时进行二次根式的乘法运算去括号，然后进行二次根式的加减运算.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”解方程即可；
（2）利用“十字相乘法”解方程即可.
19．【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求（画法不唯一）；
（2）解：如图，平行四边形ABCD即为所求.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，在网格中找一直角边分别为1和4的直角三角形，则斜边长为，据此确定点C，然后根据平行四边形的性质找出点D，按顺序连接顶点即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接AO并延长至点C，使CO=AO，连接BO并延长至点D，使DO=BO，再按顺序连接顶点即可.
20．【答案】（1）30；20
（2）解：根据题意，得AI系统患者的平均就诊时长为（分钟）；
（3）解：从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，Al系统就诊时长更稳定.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得老系统就诊时长的众数是30，
∵AI系统在就诊时长为10、20、30、40、50、60分钟的人数分别是1、21、15、3、0、0人，
∴AI系统就诊时长的中位数是20，
故答案为：30，20.
【分析】（1）根据众数、中位数的定义，结合统计表直接得到答案；
（2）根据平均数的计算公式进行求解即可；
（3）结合统计表以及前两问所求数据，从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，根据方差的意义，可知Al系统就诊时长更稳定.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∵C是DF中点，
∴CD=CF，
∴AB=CF，
∵AB∥CD，即AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AF=AD，AD=BC，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABFC为矩形，
∴∠BAC=90°，AE=BE=CE，
∵AE=4，
∴BC=8，
∵AB=3，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、中点的定义得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，CD=CF，从而得AB=CF，进而证明四边形ABFC是平行四边形，然后进行等量代换求出AF=BC，根据矩形的判定即可得证结论；
（2）根据矩形的性质得∠BAC=90°，AE=BE=CE，从而得BC=8，然后利用勾股定理求出AC的值.
22．【答案】（1）50-×；100+10x
（2）解：根据题意，得(50-x-20)(100+10x) =3750，
解得：x1=15，x2=5，
当x=15时，100+10x=250，
∵ 经销商计划进货不超过200个，
∴x1=15不符合题意，舍去，
∴50-5=45（元），
∴此时枕头的售价为45元；
（3）解：当进货量不超过200个时，利润为(50-20-x)(100 +10x) =-10(x-10)2+4000，
∵--10(x-10)2≤0，
∴当x=10 时，此时利润最高，为4000元；
当进货量超过200个，即100 +10x>200时，
∴x>10，
此时利润为(50-x-20) ×200 +(50-×-18)×(100 +10x-200)=-10x2+220x+2800，
∴当x=11时，利润最高，即-10(x-11)2+4010=4010，
∴此时枕头售价为50-11=39（元），
∴每月利润最大值时枕头售价为39元，利润为4010元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵枕头的原售价为每个50元，且每个枕头降价x元，
∴枕头的实际售价为（50-x）元，
∵枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，
∴每个枕头降价x元，则销售量增加10x个，
∵枕头未降价销售可卖100个，
∴枕头的销量为（100+10x）个，
故答案为：50-x，100+10x.
【分析】（1）用原售价减去降价得到实际售价，根据题意，可知每个枕头降价x元，则销售量增加10x个，从而得到枕头的销量；
（2）根据题意，列出关于x的一元二次方程，解方程，且结合题意得到符合条件的x的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当进货量不超过200个时，根据题意得利润为-10(x-10)2+4000，从而求出x=10 时，此时利润最高，为4000元；当进货量超过200个时，得100 +10x>200，即可先求出x的取值，此时利润为-10x2+220x+2800，进而求出x=11时，利润最高，为4010元.最后综合两种情况，即可求解.
23．【答案】（1）证明：∵将沿线段AP折叠得到，
∴∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，
∵D'E∥CD，
∴∠D'EP=∠DPE，
∴∠D'EP=∠DPE=∠DEP=∠D'PE，
∴DE=DP，D'E=D'P，
∴DE=DE'=D'P=DP，
∴四边形D'EDP为菱形；
（2）解：∵D'为AC中点，D'E∥CD，
∴D'E为中位线，
∴，即CP=2D'E，
由（1）得四边形D'EDP为菱形，
∴D'E=DP，
∴CD=DP+CP=3DP，
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AB∥CD，，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BAD=135°，
∵折叠的性质，
∴∠DAP=∠D'AP，
①如图，当点N在AP上时，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP，
∵∠BAD=∠D'AN+∠D'AM+∠DAP=135°，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，
∵∠ADC=45°，∠DAC=105°，
∴∠APC=∠ADC+∠DAP=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=180°-∠ADC-∠DAC=30°，
∴PA=PD，
设PA=PD=x，
∴AC=2PA=2x，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴DP=10，AC=20；
②如图，当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，
∴∠PFA=∠PFC=90°，
∵AB∥CD，∠ACP=30°，
∴∠BAC=∠ACP=30°，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=15°，
∵∠DAC=105°，
∴∠DAD'=∠DAC+∠D'AN=120°，
∴∠DAP=∠D'AP=60°，
∴∠PAF=∠D'AP-∠D'AN=45°，
∵∠PFA=90°，
∴∠APF=∠PAF=45°，
∴AF=PF，设AF=PF=y，
∵AC=20，
∴CF=AC-AF=20-y，
∵∠PFC=90°，∠ACP=30°，
∴PC=2PF=2y，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴；
综上所述，DP的取值范围为，
故答案为：.
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，然后根据平行线的性质得∠D'EP=∠D'PE，于是进行等量代换得∠D'EP=∠D'PE=∠DEP=∠DPE，从而根据等腰三角形的判定证出DE=DP，D'E=D'P，进而进行等量代换得DE=DE'=D'P=DP，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）根据中位线定理得CP=2D'E，然后根据菱形的性质得D'E=DP，从而得CD=3DP，进而根据平行四边形的性质得AB=CD=3DP，据此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质、平行线的性质、折叠的性质得，∠BAD=135°，∠DAP=∠D'AP，然后分情况讨论：①当点N在AP上时，根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，然后求出∠APC=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=30°，从而根据等腰三角形的判定得设PA=PD=x，进而利用勾股定理得，于是可得，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得DP=10，AC=20；
②当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，得∠PFA=∠PFC=90°，根据平行线的性质得∠BAC=∠ACP=30°，然后根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=15°，从而求出∠DAD'=120°，∠DAP=∠D'AP=60°，进而得∠PAF=∠APF=45°，于是根据等腰三角形的判定得设AF=PF=y，得CF=20-y，接下来根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得PC=2y，，即可列出关于y的方程，解方程求出y的值可得PC的值，于是得DP的值，最后综合以上两种情况得到答案.
1 / 1浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2024-2025学年第二学期八年级数学期中检测卷
1．（2025八下·瑞安期中）以下是我国一些博物馆标志的图案，共中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后，旋转后的图形和原来的图形重合，则B、C、D都不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后，旋转后的图形和原来的图形重合，则A是中心对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此直接得到答案.
2．（2025八下·瑞安期中）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习!的人数分别为：6，6，7，7，7，8，8，这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数按从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，8，
∴这组数据的中位数是7，
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义：将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数，据此直接得到答案.
3．（2025八下·瑞安期中）若二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此即可求解.
4．（2025八下·瑞安期中） 如图，在△ABC中，BC=30，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长度为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是的中位线，
∵BC=30，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，据此即可求解.
5．（2025八下·瑞安期中）下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】最简二次根式被开方式不含有能够开出来的因式和因数。A、，还可以进一步化简；B、，不符合题意；C、已经无法化简，故符合题意；D、，故不符合题意。故选C.
【点评】二次根式的化简需要对平方根，开平方等基本知识熟练把握。
6．（2025八下·瑞安期中）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　）
A．120° B．124° C．135° D．140°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形的每个内角度数为：，
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可知每个内角度数都相等，然后利用多边形内角和公式：n边形的内角和等于，即可求解.
7．（2025八下·瑞安期中） 若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m<1 B．m≤1 C．m>l D．M≥1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根.据此得关于m的不等式，解不等式即可求解.
8．（2025八下·瑞安期中）若取四边形ABCD各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴DE，EF，FG，DG分别是的中位线，
∴，
∵四边形DEFG是菱形，
∴DE=EF=FG=DG，
∴AC=BD，
∴这个四边形ABCD一定是对角线相等的四边形，
故答案为：D.
【分析】先画出图形，根据三角形中位线定理得，然后根据菱形的性质得DE=EF=FG=DG，从而可求出AC=BD，据此即可求解.
9．（2025八下·瑞安期中）中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得OA=OB=x，AC=1，BD=EC=5，BE=CD=10，∠OEB=90°，
∴EA=EC-AC=5-1=4，
∴OE=OA-EA=x-4，
在中，有，
∴可列方程，
故答案为：D.
【分析】先求出EA=4，BE=10，OB=x，∠OEB=90°，从而得OE=x-4，然后在中，利用勾股定理即可列出方程.
10．（2025八下·瑞安期中） 已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0②cx2+bx+a=0（a≠c≠0）.甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
甲同学，若方程①有一个解为x=m（m≠0），则方程②一定有一个解为×=
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1=1，x2=-1
正确的结论为（　　）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入一元二次方程①，得，
∵，
∴两边同时除以，得，
∵一元二次方程②为，
∴是方程②的一个解，
∴甲同学的观点正确；
∵方程①②有公共解，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵上述求出的公共解与b的取值无关，
∴当时，方程①化为，方程②化为，
∴方程①的解为，方程②的解为，
∴此时公共解不是，
∴乙同学的观点错误；
综上所述，甲同学的观点正确，乙同学的观点错误，
故答案为：A.
【分析】将代入一元二次方程①中，再两边同时除以，得，然后结合一元二次方程②可知甲同学观点正确；由两方程有公共解，整理后得，然后利用等式的性质得，即可求出x的值为1或-1，但由于上述求出的公共解与b的取值无关，则举反例当时，求出方程①的解为，方程②的解为，此时可知公共解不是，据此可判断乙同学的观点错误.
11．（2025八下·瑞安期中） 当x=3时，二次根式的值为　 　.
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入，得，
故答案为：2.
【分析】将x的值代入二次根据，再求值即可.
12．（2025八下·瑞安期中） 若一组数据2，3.5，x，8的众数是2，则这组数据的平均数是　 　.
【答案】4
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据2，3，5，x，8的众数是2，
∴x=2，
∴这组数据的平均数为，
故答案为：4.
【分析】根据众数的定义得x=2，然后利用平均数的计算公式直接得到答案.
13．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为CD的中点.若OE=2，则AD的长为　 　.
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为BD中点，AD=BC，
∵E为CD中点，
∴OE为中位线，
∵OE=2，
∴BC=AD=2OE=2×2=4，
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质得O为BD中点，AD=BC，然后根据三角形中位线定理得BC=AD=2OE=4.
14．（2025八下·瑞安期中）若x=1为方程x2-3mx+5=0的一个根，则该方程的另一个根为x=　 　.
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
∴方程化为，
设方程的另一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：5.
【分析】将x=1代入方程，从而求出m=2，进而将原方程化为，然后设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
15．（2025八下·瑞安期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（-2，3），则对角线AC的长度是　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∵B（-2，3），O（0，0），
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得AC=OB，然后利用坐标系中两点距离公式即可得到答案.
16．（2025八下·瑞安期中） 如图1.在矩形ABCD中，AB=，点E.F是BC上的点，连接DE，点G是DE上的一点，连接GF、DF，且LBE=EG=FG，将矩形按图1所示分成4块，将其无缝隙拼成图2所示的Rt△PMN，则S△PMN=　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，
∴∠IQJ=∠HOI=90°，
根据题意，得BE=MH=HI=GE=GF，JN=AD，MI=EF，PJ=CF，∠PMH=∠DGF，∠ADE=∠N，∠HJP=∠C，∠IHJ=∠B，∠PMN=∠PMH+∠HMI=90°，，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM，
∵∠DGF=∠GEF+∠GFE，
∴∠GEF+∠GFE+∠HMI=90°，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，
∴∠HJQ=90°，
∴∠HJQ=∠IQJ=∠IHJ=90°，
∴四边形HIJQ是矩形，
∴HI=JQ，，AD=BC=JN，
又∵∠IQJ=90°，
∴∠IQN=90°，
∵∠N=30°，
∴，
∴，
∵HO⊥MN，MH=HI，
∴MI=2OI，
设BE=MH=HI=JQ=x，
∵∠HOI=90°，∠HIM=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠PMN=90°，∠N=30°，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴矩形ABCD的面积为，
∵矩形分成4块，将其无缝隙拼成，
∴，
故答案为：.
【分析】根据分割和拼接方式可知矩形ABCD的面积等于的面积，矩形的一边AB已知，接下来只需求矩形的另一边BC的长即可，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，先求出∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，根据矩形的性质、平行线的性质得∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，从而证出四边形HIJQ是矩形，进而得HI=JQ，IQ=HJ，AD=BC=JN，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得IN，QN的值，根据等腰三角形“三线合一”性质得MI=2OI，接下来设BE=MH=HI=JQ=x，继续利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得OH，OI的值，于是得MI=EF的值，于是进一步求出MN，JN=BC，CF，PN，最后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理出MN与PN的关系，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值可得BC的值，于是求出面积，据此即可得到答案.
17．（2025八下·瑞安期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将二次根式进行化简，然后进行二次根式的加减运算；
（2）先将二次根式进行化简，同时进行二次根式的乘法运算去括号，然后进行二次根式的加减运算.
18．（2025八下·瑞安期中）解方程：
（1）x2-4x=0
（2）x2+3x=10
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”解方程即可；
（2）利用“十字相乘法”解方程即可.
19．（2025八下·瑞安期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形.
（1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上），
（2）在图2中画一个平行四边形ABCD，使平行四边形ABCD关于点O成中心对称。
【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求（画法不唯一）；
（2）解：如图，平行四边形ABCD即为所求.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，在网格中找一直角边分别为1和4的直角三角形，则斜边长为，据此确定点C，然后根据平行四边形的性质找出点D，按顺序连接顶点即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接AO并延长至点C，使CO=AO，连接BO并延长至点D，使DO=BO，再按顺序连接顶点即可.
20．（2025八下·瑞安期中）温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗AI集成平台，通过12项医学AI服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航.为了进一步了解AI系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入AI系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查.以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）：
患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40）
10 20 30 40 50 60 众数（分钟） 中位数（分钟） 平均数（分钟） 方差（分钟）
AI系统（人数） 1 21 15 3 0 0 20 　 　 46.15
老系统（人数） 0 8 18 11 2 1 　 30 32.5 85.9
（1）老系统就诊时长的众数是　 　，Al系统就诊时长的中位数是　 　.
（2）计算Al系统患者的平均就诊时长：
（3）结合以上数据，评价Al系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，
【答案】（1）30；20
（2）解：根据题意，得AI系统患者的平均就诊时长为（分钟）；
（3）解：从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，Al系统就诊时长更稳定.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得老系统就诊时长的众数是30，
∵AI系统在就诊时长为10、20、30、40、50、60分钟的人数分别是1、21、15、3、0、0人，
∴AI系统就诊时长的中位数是20，
故答案为：30，20.
【分析】（1）根据众数、中位数的定义，结合统计表直接得到答案；
（2）根据平均数的计算公式进行求解即可；
（3）结合统计表以及前两问所求数据，从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，根据方差的意义，可知Al系统就诊时长更稳定.
21．（2025八下·瑞安期中）如图，点E为□ABCD边BC上的一点，连接AE并延长与DC的延长线交于F，若点 C是DF边的中点，AF=AD.
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）若AB=3，AE=4，求AC 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，
∵C是DF中点，
∴CD=CF，
∴AB=CF，
∵AB∥CD，即AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AF=AD，AD=BC，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABFC为矩形，
∴∠BAC=90°，AE=BE=CE，
∵AE=4，
∴BC=8，
∵AB=3，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、中点的定义得AB∥CD，AB=CD，AD=BC，CD=CF，从而得AB=CF，进而证明四边形ABFC是平行四边形，然后进行等量代换求出AF=BC，根据矩形的判定即可得证结论；
（2）根据矩形的性质得∠BAC=90°，AE=BE=CE，从而得BC=8，然后利用勾股定理求出AC的值.
22．（2025八下·瑞安期中）综合实践：设计商品最优定价方案
【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若枕头的售价定为每个50元时，每月可销售100个：若枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，当进货量不超过200个时，枕头的进价为每个20元，当进货量超过200个时，超过200个的部分进价变为每个18元。假设枕头全部售完（进货量=销售量），设每个枕头降价x元（x为整数），回答下列问题、
【问题】
（1）任务1：枕头的实际售价为　 　（用含x的代数式表示）：枕头的销售量为　 　 （用含x的代数式表示）.
（2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价，反之，请说明理由，（利润=（售价一进价）×销售量）
（3）任务3：依靠试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价。
【答案】（1）50-×；100+10x
（2）解：根据题意，得(50-x-20)(100+10x) =3750，
解得：x1=15，x2=5，
当x=15时，100+10x=250，
∵ 经销商计划进货不超过200个，
∴x1=15不符合题意，舍去，
∴50-5=45（元），
∴此时枕头的售价为45元；
（3）解：当进货量不超过200个时，利润为(50-20-x)(100 +10x) =-10(x-10)2+4000，
∵--10(x-10)2≤0，
∴当x=10 时，此时利润最高，为4000元；
当进货量超过200个，即100 +10x>200时，
∴x>10，
此时利润为(50-x-20) ×200 +(50-×-18)×(100 +10x-200)=-10x2+220x+2800，
∴当x=11时，利润最高，即-10(x-11)2+4010=4010，
∴此时枕头售价为50-11=39（元），
∴每月利润最大值时枕头售价为39元，利润为4010元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵枕头的原售价为每个50元，且每个枕头降价x元，
∴枕头的实际售价为（50-x）元，
∵枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，
∴每个枕头降价x元，则销售量增加10x个，
∵枕头未降价销售可卖100个，
∴枕头的销量为（100+10x）个，
故答案为：50-x，100+10x.
【分析】（1）用原售价减去降价得到实际售价，根据题意，可知每个枕头降价x元，则销售量增加10x个，从而得到枕头的销量；
（2）根据题意，列出关于x的一元二次方程，解方程，且结合题意得到符合条件的x的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当进货量不超过200个时，根据题意得利润为-10(x-10)2+4000，从而求出x=10 时，此时利润最高，为4000元；当进货量超过200个时，得100 +10x>200，即可先求出x的取值，此时利润为-10x2+220x+2800，进而求出x=11时，利润最高，为4010元.最后综合两种情况，即可求解.
23．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD中，AB=10+10，P为线段CD上一点，连结AP，将△ADP沿着线段AP折叠，点D落在D'处，作D'E//CD交AP于点E.
（1）证明：四边形D'EDP为菱形.
（2）如图1，若D'恰好落在平行四边形ABCD的对角线交点处，求此时DP的长度.
（3）如图2，连结AC，∠ADC=45°，∠DAC=105°，在AB上取一点M（AM【答案】（1）证明：∵将沿线段AP折叠得到，
∴∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，
∵D'E∥CD，
∴∠D'EP=∠DPE，
∴∠D'EP=∠DPE=∠DEP=∠D'PE，
∴DE=DP，D'E=D'P，
∴DE=DE'=D'P=DP，
∴四边形D'EDP为菱形；
（2）解：∵D'为AC中点，D'E∥CD，
∴D'E为中位线，
∴，即CP=2D'E，
由（1）得四边形D'EDP为菱形，
∴D'E=DP，
∴CD=DP+CP=3DP，
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AB∥CD，，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BAD=135°，
∵折叠的性质，
∴∠DAP=∠D'AP，
①如图，当点N在AP上时，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP，
∵∠BAD=∠D'AN+∠D'AM+∠DAP=135°，
∴∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，
∵∠ADC=45°，∠DAC=105°，
∴∠APC=∠ADC+∠DAP=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=180°-∠ADC-∠DAC=30°，
∴PA=PD，
设PA=PD=x，
∴AC=2PA=2x，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴DP=10，AC=20；
②如图，当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，
∴∠PFA=∠PFC=90°，
∵AB∥CD，∠ACP=30°，
∴∠BAC=∠ACP=30°，
∵点M关于直线AD'的对称点为N，
∴∠D'AN=∠D'AM=15°，
∵∠DAC=105°，
∴∠DAD'=∠DAC+∠D'AN=120°，
∴∠DAP=∠D'AP=60°，
∴∠PAF=∠D'AP-∠D'AN=45°，
∵∠PFA=90°，
∴∠APF=∠PAF=45°，
∴AF=PF，设AF=PF=y，
∵AC=20，
∴CF=AC-AF=20-y，
∵∠PFC=90°，∠ACP=30°，
∴PC=2PF=2y，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴；
综上所述，DP的取值范围为，
故答案为：.
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DEP=∠D'EP，∠DPE=∠D'PE，DE=D'E，DP=D'P，然后根据平行线的性质得∠D'EP=∠D'PE，于是进行等量代换得∠D'EP=∠D'PE=∠DEP=∠DPE，从而根据等腰三角形的判定证出DE=DP，D'E=D'P，进而进行等量代换得DE=DE'=D'P=DP，最后根据菱形的判定即可得证结论；
（2）根据中位线定理得CP=2D'E，然后根据菱形的性质得D'E=DP，从而得CD=3DP，进而根据平行四边形的性质得AB=CD=3DP，据此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质、平行线的性质、折叠的性质得，∠BAD=135°，∠DAP=∠D'AP，然后分情况讨论：①当点N在AP上时，根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=∠DAP=45°，然后求出∠APC=90°，∠ADC=∠DAP，∠ACP=30°，从而根据等腰三角形的判定得设PA=PD=x，进而利用勾股定理得，于是可得，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得DP=10，AC=20；
②当点N在AC上时，过点P作PF⊥AC于F，得∠PFA=∠PFC=90°，根据平行线的性质得∠BAC=∠ACP=30°，然后根据轴对称的性质得∠D'AN=∠D'AM=15°，从而求出∠DAD'=120°，∠DAP=∠D'AP=60°，进而得∠PAF=∠APF=45°，于是根据等腰三角形的判定得设AF=PF=y，得CF=20-y，接下来根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得PC=2y，，即可列出关于y的方程，解方程求出y的值可得PC的值，于是得DP的值，最后综合以上两种情况得到答案.
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