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第一章 抛体运动
第一节　曲线运动
核心素养点击
物理观念 (1)知道什么是曲线运动
(2)知道曲线运动的瞬时速度方向
(3)知道物体做曲线运动的条件
科学思维 (1)能用极限思想理解曲线运动的瞬时速度方向，并会在轨迹图上画出某点的速度方向
(2)理解曲线运动是变速运动
(3)会运用牛顿运动定律分析讨论物体做曲线运动的条件
科学态度与责任 认识生活、生产中的曲线运动的实例，体会物理学研究的很多问题就在身边
一、认识曲线运动　物体做曲线运动的速度方向
1．填一填
(1)曲线运动：物体的运动轨迹是 的运动。
(2)速度方向：质点在某一位置的速度方向与曲线在这一点的 方向一致。
(3)运动性质：曲线运动中速度的 时刻发生变化，即速度时刻发生变化，因此曲线运动一定是 运动。
曲线
切线
方向
变速
2．判一判
(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 ( )
(2)曲线运动中物体的速率不一定变化。 ( )
(3)物体的速度不断改变，它一定做曲线运动。 ( )
(4)物体做曲线运动时，速度方向指向曲线的凹侧。 ( )
√
√
×
×
3．选一选
下列说法中正确的是 (　　)
A．做曲线运动的物体，速度方向一定发生变化
B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动
C．合力发生变化的运动一定是曲线运动
D．加速度发生变化的运动一定是曲线运动
解析：物体做曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动一定是变速运动，故A正确；速度方向发生变化的运动，其运动的轨迹可能是直线，如竖直上抛运动上升的过程和下降的过程，其速度方向发生变化，故B错误；物体做曲线运动的条件是受到的合力与速度的方向不在同一条直线上，合力发生变化或加速度发生变化的运动不一定是曲线运动，如非匀变速直线运动，故C、D错误。
答案：A　
二、物体做曲线运动的条件
1．填一填
(1)动力学条件：当物体所受 的方向与它的速度方向 同一直线上时，物体做曲线运动。
(2)运动学条件：当物体的 的方向与速度的方向 同一直线上时，物体做曲线运动。
2．判一判
(1)物体做曲线运动时，速度方向与合外力的方向有时可能在同一条直线上。 ( )
(2)物体做曲线运动时，合力一定是变力。 ( )
(3)物体做曲线运动时，合力一定不为零。 ( )
(4)物体做曲线运动时，加速度一定不为零。 ( )
合外力
不在
加速度
不在
×
×
√
√
3．选一选
[多选]关于物体做曲线运动的条件，下列说法正确的是 (　　)
A．物体受变力作用才可能做曲线运动
B．物体受恒力作用也可能做曲线运动
C．物体所受合力为零时，不可能做曲线运动
D．物体只要受到合外力作用，就一定做曲线运动
解析：物体做曲线运动的条件是合力不为零且合力方向与速度不共线，与合力是变力还是恒力无关，选项A错误，B正确；若物体所受合力为零，则物体处于静止状态或做匀速直线运动，选项C正确；物体做匀变速直线运动时，也受到合外力作用，选项D错误。
答案：BC　
探究(一)　　曲线运动的性质，运动的简单分类
[问题驱动]　　　　
(1)在砂轮上磨刀具时，刀具与砂轮接触处的火星沿什么方向飞出？
提示：火星将沿砂轮与刀具接触处的切线方向飞出。
(2)转动雨伞时，雨伞上的水滴沿什么方向飞出？
提示：水滴将沿伞边沿上各点所在圆周的切线方向飞出。
(3)由以上两种现象，你发现速度方向与轨迹有什么关系？
提示：由这两种现象可以看出，物体做曲线运动时，在某一位置的速度方向应沿曲线在这一点的切线方向。　　
[重难释解]
1．曲线运动的速度方向
曲线运动的速度方向与该时刻运动轨迹曲线上相应点的切线方向相同，速度的方向时刻在发生变化。
如图所示，表示质点经过A、B、C三点的速度vA、vB、vC方向。
2．曲线运动的性质
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因其矢量性，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动。
3．曲线运动的特点
(1)加速度一定不为零。
(2)合外力一定不为零。
4．运动的五种类型
轨迹特点 加速度特点 运动性质 受力特点
直线 加速度为零 匀速直线运动 合力F＝0，属于惯性运动
加速度不变 匀变速直线运动 合力F恒定，与速度v在同一直线上
加速度变化 非匀变速直线运动 合力F变化，与速度v在同一直线上
曲线 加速度不变 匀变速曲线运动 合力F恒定，与速度v不在同一直线上
加速度变化 非匀变速曲线运动 合力F变化，与速度v不在同一直线上
[特别提醒]　理解曲线运动的三个易错点
(1)物体做曲线运动，速度方向一定时刻在变化，速度大小不一定改变。
(2)物体做曲线运动，可能受恒力作用，也可能受变力作用。
(3)物体做曲线运动，加速度方向可能变化，也可能不变。
如图所示，蜡块在竖直玻璃管内水中匀速上升的同时，玻璃
管由静止开始沿水平向右加速运动，则观察到蜡块的实际运动轨迹
可能是(　 )
A．曲线a B．直线b
C．曲线c D．曲线d
解析：玻璃管向右加速运动，蜡块受到的合力水平向右，做曲线运动的物体受到的合力指向曲线的内侧，蜡块实际运动轨迹可能是曲线a，A正确。
答案：A　
曲线运动性质的两种判断方法
(1)合外力判断法。若物体的合外力为恒力，则物体做匀变速曲线运动；若物体的合外力为变力，则物体做非匀变速曲线运动。
(2)加速度判断法。若物体的加速度不变，则物体做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则物体做非匀变速曲线运动。
[素养训练]
1．如图所示，在水平桌面铺上白纸，白纸上摆 一条弧形弯道。
表面沾有红色印泥的小钢球从弯道A端滚入，它 从出口B
离开后在纸上留下的痕迹是(　　)
A．a B．b
C．c D．d
解析：小球在弯道内做曲线运动，它从出口B离开后沿着切线飞出，在纸上留下的痕迹是b，选项B正确。
答案： B　
2．做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是 (　　)
A．速率 B．速度
C．加速度 D．合外力
解析：物体做曲线运动时，速度方向一定变化，速度大小不一定变化，即速率可能不变，但速度一定变化，故A错误，B正确。做曲线运动的物体的合外力或加速度有可能变化，也有可能不变，C、D错误。
答案：B　
3.如图所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，
下列说法正确的是 (　　)
A．物体的速度可能不变
B．物体在a点的速度方向由a指向b
C．物体的加速度一定不为零
D．物体所受的合力不可能恒定
解析：做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不断发生变化，故A错误；物体在a点的速度方向沿曲线上a点的切线方向，故B错误；做曲线运动的物体的速度是变化的，则物体的加速度一定不为零，故C正确；做曲线运动的物体受到的合力不为零，但物体所受到的合力可以是恒力，也可以是变力，故D错误。
答案： C　
探究(二)　　对物体做曲线运动的条件的理解
[问题驱动]
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
提示：钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
提示：钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。　　
[重难释解]
1．物体做曲线运动的条件的理解
(1)动力学条件：合力与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含三个层次的内容：
①初速度不为零；
②合力不为零；
③合力与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
2．曲线运动的轨迹与速度方向、合力方向的关系
(1)做曲线运动物体的轨迹与速度方向相切，并向合力方向弯曲，
并且夹在速度方向与合力方向之间(如图所示)。
(2)合力方向一定指向运动轨迹弯曲的“凹”侧。
某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
解析：篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。故选A。
答案：A　
力和运动轨迹关系的两点提醒
(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
(2024·广州高一检测)我国战机“歼- 20”在珠海航展上的某次表演中，先
水平向右加速，再沿着曲线ab斜向上加速运动，最后沿着陡斜线直入云霄。战机飞行到曲线上c点时受到的合外力为F，则F的方向可能正确的是(　　)
解析：战机飞行轨迹是曲线，战机做曲线运动，根据曲线运动的条件，战机受到的合外力方向指向曲线运动轨迹的凹侧，因为是加速运动，故战机受到的合外力方向与该点的速度方向的夹角为锐角，如图所示，故选D。
答案：D　
速率变化与合外力方向的关系
设合外力方向与速度方向的夹角为θ，则：
夹角θ 运动轨迹 速率变化
θ＝0° 直线 速率越来越大
θ＝180° 速率越来越小
0°＜θ＜90°(图甲) 曲线 速率越来越大
θ＝90°(图乙) 速率不变
90°＜θ＜180°(图丙) 速率越来越小
[素养训练]
1．小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
解析：小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，A、B错误；小车动能一直增加，合力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。
答案：D　
2．关于物体做曲线运动的条件，以下说法中正确的是(　　)
A．初速度不为零的物体，受到与初速度的方向不在同一直线上的合力作用
B．物体可以不受到力的作用
C．物体加速度的方向必须发生变化
D．物体受到的合力与加速度有一夹角
解析：初速度不为零的物体，受到与初速度的方向不在同一直线上的合力作用时，物体做曲线运动，A正确；做曲线运动的物体必须受到力的作用，B错误；做曲线运动的物体，加速度的方向不一定发生变化，C错误；根据牛顿第二定律可知，物体受到的合力与加速度是同向的，D错误。
答案： A 　
3. 如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A点运动到B点，这时突然使它所受的力反向而大小不变，即由F变为－F，关于在此力作用下物体以后的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B点返回A点
解析：物体在A点时的速度vA沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线运动，此力F必有垂直于vA的分量，即力F可能为图中所示的各种方向之一，当物体到达B点时，瞬时速度vB沿B点的切线方向，这时物体受力F′＝－F，即F′的方向可能为图中所示的各种方向之一，可知物体以后可能沿曲线Bc运动，故选项C正确。
答案：C　
一、培养创新意识和创新思维
极限思维法判断——曲线运动的速度方向
用笔画一条直线，你会发现，笔尖运动方向保持不变(图甲)；再用笔画一条曲线，观察笔尖运动，你会发现，笔尖运动方向不断改变(图乙)。
在图乙中：(1)根据平均速度的定义，笔尖经时间t沿曲线从A点运动到B点，平均速度的方向与位移AB的方向相同；
(2)笔尖沿曲线从A点运动到B1点，平均速度的方向与位移AB1的方向相同；
(3)笔尖沿曲线从A点运动到B2点，平均速度的方向与位移AB2的方向相同；
(4)B3、B4……越接近A点，t越短，平均速度越接近A点的瞬时速度，其方向越接近A点的切线方向。
根据上面的分析，可以得到什么结论？
提示：物体做曲线运动时在某点的速度方向，就是沿曲线在该点的切线方向。
二、注重学以致用和思维建模
1. 世界一级方程式锦标赛是当今世界最高水平的赛车比赛。
假如在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关
于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是(　　)
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
解析：赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车上任何一点的速度方向都是赛车运动的曲线轨迹上对应点的切线方向。被甩出的后轮的速度方向就是曲线轨迹上该点的切线方向。所以C选项正确。
答案：C　
2.(2024·武汉高一调研)“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是描写春雨美景的名句。一雨滴由静止开始下落一段时间后，进入如图所示的斜风区下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落地，不计雨滴受到的阻力，则下图中最接近雨滴真实运动轨迹的是(　　)
解析：雨滴离开斜风区时的速度斜向左下方，进入无风区后雨滴只受重力，速度和加速度不在一条直线上，不可能做直线运动，A错误；雨滴离开斜风区时的速度斜向左下方，轨迹在速度和重力之间偏向重力一侧，B正确，D错误；雨滴离开斜风区时有水平向左的分速度，所以在落地前雨滴的速度不可能竖直向下，C错误。
答案：B　
3. 如图所示，广场上人造喷泉射出的水柱在空中划出一道道美丽的弧线，令人赏心悦目。那么，斜射出水流的速度大小和方向是如何变化的呢？
解析：斜射出的水流在上升阶段速度方向斜向上，与所受重力方向的夹角为钝角，速度大小逐渐减小；水流至最高点时速度方向水平，速度最小；然后水流下降，速度方向逐渐变为斜向下，与重力方向的夹角为锐角，速度大小逐渐增大。
答案：见解析课时跟踪检测（一） 曲线运动
A组—重基础·体现综合
1．[多选]物体做曲线运动时，其加速度(　　)
A．一定不等于零 B．可能不变
C．一定改变 D．一定不变
解析：选AB　物体做曲线运动的条件是其合力方向与速度方向不在同一条直线上，故合力一定不为零，其加速度必定不为零，A对。但合力可能是恒力，也可能是变力，B对，C、D错。
2．如图所示，一质点由M点向N点做曲线运动，当它通过P点时，其速度v和加速度a的方向关系可能正确的是(　　)
解析：选C　加速度的方向与合力的方向一致，由曲线运动中合力与轨迹的关系可知，加速度的方向也一定指向轨迹的凹侧，而速度的方向一定是沿轨迹上该点的切线方向，故C正确。
3.如图所示，车辆通过该路段时，对汽车运动的分析中可能正确的是(　　)
A．汽车做直线运动
B．汽车做曲线运动
C．汽车做匀变速曲线运动
D．汽车运动的加速度可能是不变的
解析：选B　根据汽车的运动轨迹特点，可判断汽车做的是曲线运动，从题图中可以看出，汽车通过该路段时，连续拐了两个相反方向的弯，根据轨迹总是弯向所受合力的那一侧的特点，说明运动中合力是变化的，所以汽车做的应该是非匀变速曲线运动，B正确，A、C、D均错误。
4．下列四幅图中，标出了一个沿MN做曲线运动的质点在Q点的速度v和加速度a，其中可能正确的是(　　)
解析：选D　做曲线运动的物体，其速度方向沿着运动轨迹的切线方向；运动轨迹夹在合外力方向和速度方向之间，且偏向合外力的方向；由牛顿第二定律可知，加速度方向沿着合外力的方向，D正确。
5．下列说法中不正确的是(　　)
A．物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动
B．物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动
C．物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做减速直线运动
D．物体受到的合外力方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动
解析：选C　当物体的运动方向与所受合外力方向在同一条直线上时，物体做直线运动，运动方向与合外力方向相同时物体做加速直线运动，运动方向与合外力方向相反时物体做减速直线运动，选项A、D正确。物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动，且速度不断变大，选项C错误，B正确。
6.一个质点在恒力F作用下，在xOy平面上从O点运动到B点的轨迹如图所示，且在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能是(　　)
A．沿＋x方向 B．沿－x方向
C．沿＋y方向 D．沿－y方向
解析：选D　由于物体做的是曲线运动，根据物体做曲线运动的条件分析轨迹上的A点，可知物体受到的恒力的方向指向轨迹弯曲的凹侧，即合力大致的方向应该是向下方，可能沿－y方向，故D正确。
7.翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法正确的是(　　)
A．过山车做匀速运动
B．过山车做变速运动
C．过山车受到的合力等于零
D．过山车经过A、C两点时的速度方向相同
解析：选B　过山车做曲线运动，其速度方向时刻变化，速度是矢量，故过山车的速度是变化的，即过山车做变速运动，A错，B对；做变速运动的物体具有加速度，由牛顿第二定律可知物体所受合力一定不为零，C错；过山车经过A点时速度方向竖直向上，经过C点时速度方向竖直向下，D错。
8．运动员出色表现的背后，不仅有自身努力的付出，也有科技的加持。利用风洞实验室进行运动装备风阻性能测试和运动姿态风阻优化在我国已大量运用在各类比赛项目中，帮助运动员提高成绩。为了更加直观的研究风洞里的流场环境，我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察，如图甲所示。在某次实验中获得一重力可忽略不计的烟尘颗粒做曲线运动的轨迹，如图乙所示，下列说法中正确的是(　　)
A．烟尘颗粒速度始终不变
B．烟尘颗粒一定做匀变速曲线运动
C．在P点处的加速度方向可能水平向左
D．在Q点处的合力方向可能竖直向下
解析：选D　做曲线运动的物体，速度的大小可能不变，但方向一定在变，故A错误；做曲线运动的物体所受合力方向指向运动轨迹的凹侧，可知烟尘颗粒所受的合力在变化，故烟尘颗粒不可能做匀变速曲线运动，故B错误；做曲线运动的物体所受合力方向指向运动轨迹的凹侧，故P点处的加速度方向不可能水平向左，Q点处的合力方向可能竖直向下，故C错误，D正确。
9．“歼-20”战斗机列装空军作战部队，意味着中国是走完第五代战斗机论证评价、设计、研发、原型机测试、定型生产、最终服役全部阶段的国家。
　
　　　 　 　　甲　　　　　　　　　　乙
(1)如果“歼20”在某次飞行过程中沿曲线MN加速向上爬升，请问在飞行过程中其所受合力与速度方向夹角有何特点？
(2)在图乙中最能表示“歼20”在P点的速度方向与其受到的合力方向分别为哪个？
解析：(1)由于“歼20”沿曲线加速爬升，所以其所受合力方向与速度方向的夹角为锐角。
(2)由于速度方向与轨迹切线方向一致，所以在P点的速度方向是③；由于“歼 20”所受合力方向与速度方向的夹角为锐角，所以它所受合力方向为②。
答案：见解析
B组—重应用·体现创新
10．如图所示，小铁球在光滑水平桌面上沿直线AB做匀速直线运动。当它运动到B点时，在桌面上某一位置放置一条形磁铁，使小铁球运动方向发生偏转，沿虚线BC运动。若在图中标出的甲、乙、丙、丁四个位置中选择，条形磁铁所在的位置是(　　)
A．甲位置 B．乙位置
C．丙位置 D．丁位置
解析：选D　小铁球在磁铁的作用下做曲线运动，其速度方向应沿轨迹切线方向，合力方向指向轨迹的凹侧，且运动轨迹偏向合力的方向，由于条形磁铁对铁球是吸引力，所以条形磁铁所在位置是丁位置，故本题选D。
11．[多选]在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是(　　)
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析：选BC　物体原来所受合力为零，当将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°后，其受力如图所示，其中Fx＝Fy＝2 N，F是Fx、Fy的合力，即F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2，加速度恒定。又因为F与v夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动，故正确答案是B、C两项。
12.如图是抛出的铅球运动轨迹的示意图(把铅球看成质点)。画出铅球沿这条曲线运动时在A、B、C、D、E各点的速度方向及铅球在各点的加速度方向(空气阻力不计)。
解析：曲线运动中物体在某位置处的速度方向沿曲线上这一点的切线方向，如图甲所示；在运动过程中，物体只受重力，方向竖直向下，所以加速度竖直向下，如图乙所示。
答案：见解析图
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