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第5章 特殊平行四边形单元提升卷
解析卷
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)(24-25八年级·四川泸州·期中)菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行
B.对角线互相平分
C.两组对角线分别相等,对角线互相垂直
D.对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质,平行四边形的性质,掌握菱形的性质是解题的关键.
由菱形的性质可直接求解.
【详解】解:菱形的性质有:两组对边平行,两组对边相等,对角线互相垂直平分,
平行四边形的性质有:两组对边分别平行,两组对边相等,对角线互相平分,
∴菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直,
故选:D.
2.(3分)(24-25八年级·河南焦作·期中)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰,其图案由两个全等正方形相叠组成,寓意是同心吉祥.如图,将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形,形成一个“方胜”图案,则点D,之间的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查平移性质,正方形的性质,勾股定理,熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键,由题意得,根据正方形的性质和勾股定理,求出,进而求出答案即可;
【详解】由题意得,
四边形是正方形,
,
,
,
点D,之间的距离为,
故选:D.
3.(3分)(24-25八年级·重庆江津·期中)如图,矩形中,,将矩形沿折叠,则重合部分的面积为( )
A.6 B.8 C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了矩形与折叠问题,涉及了勾股定理,根据题意得、结合得,得是解题关键.
【详解】解:由题意得:
∵,
∴
∴
∴
设,则
则
解得:
∴的面积
故选:C
4.(3分)(24-25八年级·陕西渭南·期中)如图,四边形是菱形,等边的顶点分别在上,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由四边形的四边都相等,可证得四边形是菱形,又由等边的顶点、分别在、上,且,可设,根据三角形的内角和定理得出方程,解此方程的解即可求出答案.
【详解】解:四边形的四边都相等,
四边形是菱形,
,,,
,
是等边三角形,,
,,
,,
由三角形的内角和定理得:,
设,
则,
,
,
解得:,
.
故选:B.
【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点.注意掌握方程思想的应用是解此题的关键.
5.(3分)(24-25八年级·江西九江·期中)如图,矩形的三个顶点的坐标分别为.若直线平分矩形的周长,则b的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】连接相交于点E,根据四边形是矩形,可得点E是的中点,即可求出,再将代入即可求出b的值.
【详解】解:连接相交于点E,如下图所示,
∵,
∴轴,
∵四边形是矩形,相交于点E,
∴,点E是的中点,
∴,即,
∵直线平分矩形的周长,
∴直线经过点,
∴,解得,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数,求出点E的坐标是解题的关键.
6.(3分)(24-25八年级·河北保定·期中)将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形,用拉紧的橡皮筋连接,转动这个四边形,使它的形状改变.当时,如图1,测得.当时,如图2,此时( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的判定与性质,菱形的判定与性质,勾股定理,先根据正方形的性质求出,再根据菱形的性质和勾股定理求出即可求解,掌握正方形和菱形的性质是解题的关键.
【详解】解:如图1,
当时,,
∴四边形是正方形,
又∵,
∴,
如图2,与的交点为,
当时,,
∴四边形是菱形,
∴,,,
∴,
∴,
∴,,
∴,
故选:B.
7.(3分)(24-25八年级·河北廊坊·期中)如图,四边形是由四个边长为1的正六边形所围成,则四边形的面积是( )
A. B.1 C. D.2
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角,菱形的性质与判定,勾股定理的应用,化为最简二次根式,先证明四边形是菱形,,如图,连接,过点作交于点,再进一步可得答案.
【详解】解:如图,由正六边形的性质可得:,
,
∴四边形是菱形,
如图,连接,过点作交于点,
∵四边形是菱形,
∴,
又∵,
∴为等边三角形,
∵,
∴,
∴在中,,
∴,
∴菱形的面积是.
故选:C.
8.(3分)(24-25八年级·湖北孝感·期中)如图,是内部一点,,依次取,,,的中点,并顺次连接得到四边形,若,,则四边形的面积为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理,矩形的性质与判定,先根据三角形中位线定理可得,,,从而可得,再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形,然后根据平行线的性质可得,根据矩形的判定可得平行四边形是矩形,最后利用矩形的面积公式求解即可得.
【详解】解:点分别是,的中点,且,
,
同理可得:,,
,
四边形是平行四边形,
,
,
又,
,
平行四边形是矩形,
∴四边形的面积是,
故选:D.
9.(3分)(24-25八年级·江苏苏州·期中)如图,已知菱形的边长为6,点是对角线上的一动点,且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】过点作于点,连接,根据垂线段最短,此时最短,即最小,根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长,进而可得结论.
【详解】解:如图,过点作于点,连接,
菱形中,,
,,
是等边三角形,
,
,
,
,
根据垂线段最短,此时最短,即最小,
菱形的边长为6,
,
.
的最小值是.
故选:D.
【点睛】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质,等边三角形的判定与性质.
10.(3分)(24-25·黑龙江大庆·三模)如图,已知四边形为正方形,,为对角线上一点,连接,过点作,交的延长线于点,以,为邻边作矩形,连接.下列结论:①矩形是正方形;②;③平分;④.其中结论正确的序号有( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
【答案】A
【分析】过作,过作于,如图所示,根据正方形性质得,,推出四边形是正方形,由矩形性质得,,根据全等三角形的性质得,推出矩形是正方形,故①正确;根据正方形性质得,推出,得到,,由此推出平分,故③正确;进而求得,故②错误;当时,点与点重合,得到不一定等于,故④错误;故选A.
【详解】过作,过作于,如图所示,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
∴,
∴四边形是正方形,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴矩形是正方形,故①正确;
∴,
∵四边形是正方形
∴,
∴
在和中
∴
∴,
∵
∴平分,故③正确;
∴,故②错误;
当时,点与点重合,
∴不一定等于,故④错误.
故选:A
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解本题的关键.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.(3分)(24-25八年级·江苏扬州·期中)如图,在四边形ABCD中,P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点,当四边形ABCD满足 时(填写一个条件),PQ⊥MN.
【答案】AB=CD
【分析】根三角形中位线的性质,菱形的性质即可解答;
【详解】解:∵P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点,
∴PN是△ACD的中位线,PN=CD, MQ是△BCD的中位线,MQ=CD,
∴MQ=PN=CD,
同理可得:NQ=PM=AB,
当AB=CD时,MQ=PN=NQ=PM,四边形MQNP是菱形,
∵菱形对角线垂直平分,
∴PQ⊥MN,
故答案为:AB=CD;
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质,菱形的判定和性质,掌握菱形的性质是解题关键.
12.(3分)(24-25八年级·湖北恩施·期末)如图,点是矩形对角线上一点,过点做,分别交,于点,,连接.若,,则图中阴影部分的面积为 .
【答案】18
【分析】本题考查了矩形的性质,过点作分别交、于点、,证明,从而,即,求出的值即可求出整个阴影部分的面积,熟练掌握矩形的性质定理是解题关键.
【详解】解:过点作分别交、于点、,如图所示:
由矩形性质可知,,,,
,即,
,即,
,,
,即图中阴影面积为,
故答案为:18.
13.(3分)(24-25八年级·山东滨州·期末)以正方形的边为一边作等边,则的度数是 .
【答案】或
【分析】分类讨论;当点E在正方形内部,根据正方形的性质和等边三角形的性质可得,,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解;当点E在正方形的外部时, 根据正方形的性质和等边三角形的性质可得,,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解.
【详解】解:当点E在正方形内部时,
∵四边形是正方形,
∴,,
∵是等边三角形,
∴,,
∴,,
∴,
∴;
当点E在正方形的外部时,
∵四边形是正方形,
∴,,
∵是等边三角形,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
故答案为:或.
【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理,熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质,运用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
14.(3分)(24-25八年级·江苏苏州·期中)如图,菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点,若菱形的周长为8,则矩形的面积是 .
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定,菱形的性质,与性质,根据菱形的性质得出,进而利用矩形的性质得出,得出是等边三角形,利用矩形的面积解答即可.
【详解】解:四边形是菱形,
,
四边形是矩形,
,,,,
,
,
是等边三角形,
,
,
在中,
,
矩形的面积,
故答案为:.
15.(3分)(24-25八年级·河南郑州·期末)如图,在等腰中,,,点,分别在轴,轴上,且轴,将沿轴向左平移,当点与点重合时,点的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查勾股定理,矩形的判定与性质以及图形的平移,过点A作,证明四边形是矩形,得到,,根据勾股定理求得和的长度,可得平移的距离,即可求解.
【详解】解:如图,过点A作,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,,
由勾股定理可得,,
∴,
∴,
∴,,
∴当点与点重合时,点A向左移动个单位,
∴点的坐标为,
故答案为:.
16.(3分)(24-25八年级·江苏·期中)已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<360°)得到矩形AEFG,当θ= °时,GC=GB.
【答案】60或300
【分析】当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据∠DAG=60°,即可得到旋转角θ的度数.
【详解】解:当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,
分两种情况讨论:
①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,
∵GC=GB,
∴GH⊥BC,
∴四边形ABHM是矩形,
∴AM=BH=AD=AG,
∴GM垂直平分AD,
∴GD=GA=DA,
∴△ADG是等边三角形,
∴∠DAG=60°,
∴旋转角θ=60°;
②当点G在AD左侧时,同理可得△ADG是等边三角形,
∴∠DAG=60°,
∴旋转角θ=360°﹣60°=300°.
故答案为60或300
【点睛】本题考查了旋转的性质,矩形的性质,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
三.解答题(共7小题,满分52分)
17.(6分)(24-25八年级·浙江·专题练习)如图,四边形是菱形,点C,点D的坐标分别是,.
(1)请分别写出点A,点B的坐标;
(2)求出该菱形的周长.
【答案】(1),
(2)20
【分析】此题考查了菱形的性质,勾股定理,
(1)首先根据菱形的性质得到,,,然后根据对称的性质求解即可;
(2)首先求出,,然后利用勾股定理求出,然后根据菱形的性质求解即可.
【详解】(1)∵四边形是菱形,
∴,,,
∴点A与点C关于点O对称,点B与点D关于点O对称,
∵点C、点D的坐标分别是,,
∴点,点;
(2)∵点C、点D的坐标分别是,,
∴,,
在中,由勾股定理得:,
∵四边形是菱形,
∴,
∴菱形的周长.
18.(6分)(24-25八年级·广东潮州·期末)如图,菱形对角线交于点O,,与交于点F.
(1)试判断四边形的形状,并说明你的理由;
(2)求证:.
【答案】(1)矩形,见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定;
(1)先证明四边形为平行四边形,再由由菱形的性质可证明,从而可证明四边形是矩形;
(2)依据矩形的性质可得到,然后依据菱形的性质可得到.
【详解】(1)解:四边形是矩形,证明如下:
∵,
四边形是平行四边形.
又菱形对角线交于点
,即.
四边形是矩形.
(2)证明:四边形是矩形
,
在菱形中,.
.
19.(8分)(24-25八年级·湖北荆州·期中)下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.
已知:四边形是平行四边形.
求作:菱形(点在上,点在上).
作法:①以为圆心,长为半径作弧,交于点;
②以为圆心,长为半径作弧,交于点;
③连接.
所以四边形为所求作的菱形.
(1)根据小明的做法,使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明;
证明:,,
.
在中,,
即,
四边形为平行四边形 (填推理的依据),
,
四边形为菱形 (填推理的依据).
【答案】(1)见解析
(2),,一组对边相等且平行的四边形是平行四边形,一组邻边相等的平行四边形是菱形.
【分析】本题考查作图复杂作图,平行四边形的判定和性质,菱形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
(1)作图见解答过程;
(2),,一组对边相等且平行的四边形是平行四边形,邻边相等的平行四边形是菱形.
【详解】(1)四边形为所求作的菱形.
(2),,
,
在中,.
即.
四边形为平行四边形(一组对边相等且平行的四边形是平行四边形).
,
四边形为菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形.
故答案为:,,一组对边相等且平行的四边形是平行四边形,一组邻边相等的平行四边形是菱形.
20.(8分)(24-25八年级·广东广州·期中)如图,线段,射线,P为射线上一点,以为边作正方形,且C、D与点B在两侧,已知平分,在线段取一点E,使,直线与线段相交于点F(点F与点A、B不重合).
(1)求证:;
(2)判断与的位置关系,并说明理由;
(3)求的周长.
【答案】(1)见解析
(2).理由见解析
(3)
【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,添加辅助线构造全等是解题的关键.
(1)利用正方形的性质得到,,又由已知,即可证明;
(2)如图,设与相交于点M,证明,由,,得到,即可证明结论;
(3)过点C作于点N,则.证明四边形是矩形,则,证明,则,,又由得到,利用等量代换得到,即可得到答案.
【详解】(1)解:证明:四边形为正方形,
平分,,,
,
又∵,
;
(2).理由如下:如图,设与相交于点M,
,
,
,
,
,,
,
,
;
(3)过点C作于点N,则.
∵,
∴
∴四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∵
∴,
,,
,
,
即的周长为.
21.(8分)(24-25八年级·江苏常州·期中)图①、图②、图③均是的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点、、、、均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作图,保留作图痕迹.
(1)在图①中,作以点为对称中心的平行四边形.
(2)在图②中,在边上找一点,在边上找一点,连接,,使四边形为矩形.
(3)在图③中,在四边形的边上找一点,连接,使.
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】(1)利用网格特征连接并延长,即可作以点为对称中心的平行四边形;
(2)取格点,连接交于点,取格点,连接交于点,连接,,即可作四边形为矩形;
(3)取格点,连接与交于点,连接并延长交于点即可.
【详解】(1)解:如图①中,平行四边形即为所求;
理由:,
∴四边形是平行四边形.
(2)解:如图②中,矩形即为所求;
理由:如图,
,
∵,,,
,
∴,,
,
即,
同理可得,
,
是平行四边形,
,
,
,
,
,
四边形是矩形;
(3)解:如图③中,,点即为所求.
理由:,
,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
平分,
.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形,平行四边形的性质和判定,矩形的判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,等腰三角形的性质和判定等知识点,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
22.(8分)(24-25八年级·广西桂林·期中)如图1,在矩形中,对角线相交于点O,,点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动,同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动,设运动的时间为t秒,当点P运动到点B时,点Q停止运动.过点Q作于点H.
(1)填空: , , (用含有t的式子表示);
(2)是否存在某一时刻t,使四边形为菱形?若存在,求出t的值,请说明理由;
(3)若在某一时刻t,平面内存在一点G,使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形,求出t的值.
【答案】(1)30,t ,
(2)存在,时,四边形是菱形
(3)t的值为3或
【分析】(1)证明是等边三角形,推出,可得结论;
(2)存在,当时,四边形是菱形,构建方程求解即可;
(3)分两种情形,当时,当时,存在一点G,使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形,分别构建方程求解.
【详解】(1)解:∵四边形是矩形,
,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
,
,
,
,
,,
故答案为:30,t ,;
(2)存在某一时刻t,使四边形为菱形
由题意得:,,
四边形是平行四边形,
当时,四边形是菱形,
,
,
时,四边形是菱形;
(3)当时,存在一点P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形,
此时四边形是矩形,
所以,
,
;
当时,存在一点P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形,
根据解析(2)可知,四边形为平行四边形,
,
,
,
,
,
,
,
,
综上所述,满足条件的t的值为3或.
【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,菱形的判定和性质,等边三角形的判定与性质,矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
23.(8分)(24-25八年级·天津滨海新·期中)已知正方形的边长为8,点E是对角线上的一点.
(1)如图①,若点E到的距离为6,则点E到的距离为 ;
(2)连接,过点E作,交于点F.
①如图②,以,为邻边作矩形.求证:矩形是正方形;
②如图③,在①的条件下,连接,求的值.
【答案】(1)6
(2)①见解析;②
【分析】本题考查了正方形的判定和性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等,掌握相关图形的判定和性质是解题的关键.
(1)过点E作于M,利用角平分线的性质定理解决问题即可.
(2)①连接,证明,,可得结论;②证明,推出,可得结论.
【详解】(1)解:如图①中,过点E作于M,于N.
四边形是正方形,
∴,
,,
∴,
∴点E到的距离为6,
故答案为:6.
(2)①证明:如图②中,连接.
四边形是正方形,
,,
在和中,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
四边形是矩形,
四边形是正方形.
②解:如图③中,
四边形,四边形都是正方形,
,,,
,
在和中,
,
,
,
,
在中,,由勾股定理有,
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第5章 特殊平行四边形单元提升卷
姓名:___________班级:___________考号:___________
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)(24-25八年级·四川泸州·期中)菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行
B.对角线互相平分
C.两组对角线分别相等,对角线互相垂直
D.对角线互相垂直
2.(3分)(24-25八年级·河南焦作·期中)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰,其图案由两个全等正方形相叠组成,寓意是同心吉祥.如图,将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形,形成一个“方胜”图案,则点D,之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.(3分)(24-25八年级·重庆江津·期中)如图,矩形中,,将矩形沿折叠,则重合部分的面积为( )
A.6 B.8 C. D.
4.(3分)(24-25八年级·陕西渭南·期中)如图,四边形是菱形,等边的顶点分别在上,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.(3分)(24-25八年级·江西九江·期中)如图,矩形的三个顶点的坐标分别为.若直线平分矩形的周长,则b的值为( )
A. B. C. D.
6.(3分)(24-25八年级·河北保定·期中)将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形,用拉紧的橡皮筋连接,转动这个四边形,使它的形状改变.当时,如图1,测得.当时,如图2,此时( )
A. B. C. D.
7.(3分)(24-25八年级·河北廊坊·期中)如图,四边形是由四个边长为1的正六边形所围成,则四边形的面积是( )
A. B.1 C. D.2
8.(3分)(24-25八年级·湖北孝感·期中)如图,是内部一点,,依次取,,,的中点,并顺次连接得到四边形,若,,则四边形的面积为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
9.(3分)(24-25八年级·江苏苏州·期中)如图,已知菱形的边长为6,点是对角线上的一动点,且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.(3分)(24-25·黑龙江大庆·三模)如图,已知四边形为正方形,,为对角线上一点,连接,过点作,交的延长线于点,以,为邻边作矩形,连接.下列结论:①矩形是正方形;②;③平分;④.其中结论正确的序号有( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.(3分)(24-25八年级·江苏扬州·期中)如图,在四边形ABCD中,P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点,当四边形ABCD满足 时(填写一个条件),PQ⊥MN.
12.(3分)(24-25八年级·湖北恩施·期末)如图,点是矩形对角线上一点,过点做,分别交,于点,,连接.若,,则图中阴影部分的面积为 .
13.(3分)(24-25八年级·山东滨州·期末)以正方形的边为一边作等边,则的度数是 .
14.(3分)(24-25八年级·江苏苏州·期中)如图,菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点,若菱形的周长为8,则矩形的面积是 .
15.(3分)(24-25八年级·河南郑州·期末)如图,在等腰中,,,点,分别在轴,轴上,且轴,将沿轴向左平移,当点与点重合时,点的坐标为 .
16.(3分)(24-25八年级·江苏·期中)已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<360°)得到矩形AEFG,当θ= °时,GC=GB.
三.解答题(共7小题,满分52分)
17.(6分)(24-25八年级·浙江·专题练习)如图,四边形是菱形,点C,点D的坐标分别是,.
(1)请分别写出点A,点B的坐标;
(2)求出该菱形的周长.
18.(6分)(24-25八年级·广东潮州·期末)如图,菱形对角线交于点O,,与交于点F.
(1)试判断四边形的形状,并说明你的理由;
(2)求证:.
19.(8分)(24-25八年级·湖北荆州·期中)下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.
已知:四边形是平行四边形.
求作:菱形(点在上,点在上).
作法:①以为圆心,长为半径作弧,交于点;
②以为圆心,长为半径作弧,交于点;
③连接.
所以四边形为所求作的菱形.
(1)根据小明的做法,使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明;
证明:,,
.
在中,,
即,
四边形为平行四边形 (填推理的依据),
,
四边形为菱形 (填推理的依据).
20.(8分)(24-25八年级·广东广州·期中)如图,线段,射线,P为射线上一点,以为边作正方形,且C、D与点B在两侧,已知平分,在线段取一点E,使,直线与线段相交于点F(点F与点A、B不重合).
(1)求证:;
(2)判断与的位置关系,并说明理由;
(3)求的周长.
21.(8分)(24-25八年级·江苏常州·期中)图①、图②、图③均是的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点、、、、均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作图,保留作图痕迹.
(1)在图①中,作以点为对称中心的平行四边形.
(2)在图②中,在边上找一点,在边上找一点,连接,,使四边形为矩形.
(3)在图③中,在四边形的边上找一点,连接,使.
22.(8分)(24-25八年级·广西桂林·期中)如图1,在矩形中,对角线相交于点O,,点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动,同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动,设运动的时间为t秒,当点P运动到点B时,点Q停止运动.过点Q作于点H.
(1)填空: , , (用含有t的式子表示);
(2)是否存在某一时刻t,使四边形为菱形?若存在,求出t的值,请说明理由;
(3)若在某一时刻t,平面内存在一点G,使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形,求出t的值.
23.(8分)(24-25八年级·天津滨海新·期中)已知正方形的边长为8,点E是对角线上的一点.
(1)如图①,若点E到的距离为6,则点E到的距离为 ;
(2)连接,过点E作,交于点F.
①如图②,以,为邻边作矩形.求证:矩形是正方形;
②如图③,在①的条件下,连接,求的值.
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