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第5章 特殊平行四边形单元提升卷
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行
B．对角线互相平分
C．两组对角线分别相等，对角线互相垂直
D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质可直接求解．
【详解】解：菱形的性质有：两组对边平行，两组对边相等，对角线互相垂直平分，
平行四边形的性质有：两组对边分别平行，两组对边相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直，
故选：D．
2．（3分）（24-25八年级·河南焦作·期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可；
【详解】由题意得，
四边形是正方形，
，
，
，
点D，之间的距离为，
故选：D．
3．（3分）（24-25八年级·重庆江津·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了勾股定理，根据题意得、结合得，得是解题关键．
【详解】解：由题意得：
∵，
∴
∴
∴
设，则
则
解得：
∴的面积
故选：C
4．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由四边形的四边都相等，可证得四边形是菱形，又由等边的顶点、分别在、上，且，可设，根据三角形的内角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案．
【详解】解：四边形的四边都相等，
四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
由三角形的内角和定理得：，
设，
则，
，
，
解得：，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
5．（3分）（24-25八年级·江西九江·期中）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值．
【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，

∵，
∴轴，
∵四边形是矩形，相交于点E，
∴，点E是的中点，
∴，即，
∵直线平分矩形的周长，
∴直线经过点，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E的坐标是解题的关键．
6．（3分）（24-25八年级·河北保定·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，转动这个四边形，使它的形状改变．当时，如图1，测得．当时，如图2，此时（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，先根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出即可求解，掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图1，

当时，，
∴四边形是正方形，
又∵，
∴，
如图2，与的交点为，

当时，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
7．（3分）（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图，四边形是由四个边长为1的正六边形所围成，则四边形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角，菱形的性质与判定，勾股定理的应用，化为最简二次根式，先证明四边形是菱形，，如图，连接，过点作交于点，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，由正六边形的性质可得：，
，
∴四边形是菱形，
如图，连接，过点作交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
8．（3分）（24-25八年级·湖北孝感·期中）如图，是内部一点，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
【详解】解：点分别是，的中点，且，
，
同理可得：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形，
∴四边形的面积是，
故选：D．
9．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
．
的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
10．（3分）（24-25·黑龙江大庆·三模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误；故选A．
【详解】过作，过作于，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故①正确；
∴，
∵四边形是正方形
∴，
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴平分，故③正确；
∴，故②错误；
当时，点与点重合，
∴不一定等于，故④错误．
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足 时（填写一个条件），PQ⊥MN．
【答案】AB=CD
【分析】根三角形中位线的性质，菱形的性质即可解答；
【详解】解：∵P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴PN是△ACD的中位线，PN=CD， MQ是△BCD的中位线，MQ=CD，
∴MQ=PN=CD，
同理可得：NQ=PM=AB，
当AB=CD时，MQ=PN=NQ=PM，四边形MQNP是菱形，
∵菱形对角线垂直平分，
∴PQ⊥MN，
故答案为：AB=CD；
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题关键．
12．（3分）（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】18
【分析】本题考查了矩形的性质，过点作分别交、于点、，证明，从而，即，求出的值即可求出整个阴影部分的面积，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键．
【详解】解：过点作分别交、于点、，如图所示：

由矩形性质可知，，，，
，即，
，即，
，，
，即图中阴影面积为，
故答案为：18．
13．（3分）（24-25八年级·山东滨州·期末）以正方形的边为一边作等边，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】分类讨论；当点E在正方形内部，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；当点E在正方形的外部时， 根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当点E在正方形内部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
当点E在正方形的外部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
14．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点，若菱形的周长为8，则矩形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定，菱形的性质，与性质，根据菱形的性质得出，进而利用矩形的性质得出，得出是等边三角形，利用矩形的面积解答即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，
，
矩形的面积，
故答案为：．
15．（3分）（24-25八年级·河南郑州·期末）如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质以及图形的平移，过点A作，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求得和的长度，可得平移的距离，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理可得，，
∴，
∴，
∴，，
∴当点与点重合时，点A向左移动个单位，
∴点的坐标为，
故答案为：．
16．（3分）（24-25八年级·江苏·期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB．
【答案】60或300
【分析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25八年级·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
(1)请分别写出点A，点B的坐标；
(2)求出该菱形的周长．
【答案】(1)，
(2)20
【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，
（1）首先根据菱形的性质得到，，，然后根据对称的性质求解即可；
（2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的性质求解即可．
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴，，，
∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称，
∵点C、点D的坐标分别是，，
∴点，点；
（2）∵点C、点D的坐标分别是，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长．
18．（6分）（24-25八年级·广东潮州·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F．
(1)试判断四边形的形状，并说明你的理由；
(2)求证：．
【答案】(1)矩形，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定；
（1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形；
（2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到．
【详解】（1）解：四边形是矩形，证明如下：
∵，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点
，即．
四边形是矩形．
（2）证明：四边形是矩形
，
在菱形中，．
．
19．（8分）（24-25八年级·湖北荆州·期中）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．
求作：菱形（点在上，点在上）．
作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交于点；
③连接．
所以四边形为所求作的菱形．
(1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明；
证明：，，
　　　　．
在中，，
即，
四边形为平行四边形　　（填推理的依据），
，
四边形为菱形　　（填推理的依据）．
【答案】(1)见解析
(2)，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）作图见解答过程；
（2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．
【详解】（1）四边形为所求作的菱形．
（2），，
，
在中，．
即．
四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．
，
四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
20．（8分）（24-25八年级·广东广州·期中）如图，线段，射线，P为射线上一点，以为边作正方形，且C、D与点B在两侧，已知平分，在线段取一点E，使，直线与线段相交于点F（点F与点A、B不重合）．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
(3)
【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键．
（1）利用正方形的性质得到，，又由已知，即可证明；
（2）如图，设与相交于点M，证明，由，，得到，即可证明结论；
（3）过点C作于点N，则．证明四边形是矩形，则，证明，则，，又由得到，利用等量代换得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：证明：四边形为正方形，
平分，，，
，
又∵，
；
（2）．理由如下：如图，设与相交于点M，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）过点C作于点N，则．
∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
，，
，
，
即的周长为．
21．（8分）（24-25八年级·江苏常州·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形．
(2)在图②中，在边上找一点，在边上找一点，连接，，使四边形为矩形．
(3)在图③中，在四边形的边上找一点，连接，使．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用网格特征连接并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形；
（2）取格点，连接交于点，取格点，连接交于点，连接，，即可作四边形为矩形；
（3）取格点，连接与交于点，连接并延长交于点即可．
【详解】（1）解：如图①中，平行四边形即为所求；
理由：，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图②中，矩形即为所求；
理由：如图，
，
∵，，，
，
∴，，
，
即，
同理可得，
，
是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（3）解：如图③中，，点即为所求．
理由：，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
平分，
．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）（24-25八年级·广西桂林·期中）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，，点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒，当点P运动到点B时，点Q停止运动．过点Q作于点H．
(1)填空： ， ， （用含有t的式子表示）；
(2)是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值，请说明理由；
(3)若在某一时刻t，平面内存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，求出t的值．
【答案】(1)30，t ，
(2)存在，时，四边形是菱形
(3)t的值为3或
【分析】（1）证明是等边三角形，推出，可得结论；
（2）存在，当时，四边形是菱形，构建方程求解即可；
（3）分两种情形，当时，当时，存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，分别构建方程求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：30，t ，；
（2）存在某一时刻t，使四边形为菱形
由题意得：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，
，
时，四边形是菱形；
（3）当时，存在一点P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，
此时四边形是矩形，
所以，
，
；
当时，存在一点P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，
根据解析（2）可知，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的t的值为3或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．（8分）（24-25八年级·天津滨海新·期中）已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点．
(1)如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ；
(2)连接，过点E作，交于点F．
①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形；
②如图③，在①的条件下，连接，求的值．
【答案】(1)6
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
（1）过点E作于M，利用角平分线的性质定理解决问题即可．
（2）①连接，证明，，可得结论；②证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：如图①中，过点E作于M，于N．
四边形是正方形，
∴，
，，
∴，
∴点E到的距离为6，
故答案为：6．
（2）①证明：如图②中，连接．
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
②解：如图③中，
四边形，四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，由勾股定理有，
．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 特殊平行四边形单元提升卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行
B．对角线互相平分
C．两组对角线分别相等，对角线互相垂直
D．对角线互相垂直
2．（3分）（24-25八年级·河南焦作·期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25八年级·重庆江津·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级·江西九江·期中）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（ ）

A． B． C． D．
6．（3分）（24-25八年级·河北保定·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，转动这个四边形，使它的形状改变．当时，如图1，测得．当时，如图2，此时（ ）

A． B． C． D．
7．（3分）（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图，四边形是由四个边长为1的正六边形所围成，则四边形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（3分）（24-25八年级·湖北孝感·期中）如图，是内部一点，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
9．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
10．（3分）（24-25·黑龙江大庆·三模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足 时（填写一个条件），PQ⊥MN．
12．（3分）（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．

13．（3分）（24-25八年级·山东滨州·期末）以正方形的边为一边作等边，则的度数是 ．
14．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点，若菱形的周长为8，则矩形的面积是 ．
15．（3分）（24-25八年级·河南郑州·期末）如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为 ．
16．（3分）（24-25八年级·江苏·期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25八年级·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，．
(1)请分别写出点A，点B的坐标；
(2)求出该菱形的周长．
18．（6分）（24-25八年级·广东潮州·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F．
(1)试判断四边形的形状，并说明你的理由；
(2)求证：．
19．（8分）（24-25八年级·湖北荆州·期中）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．
求作：菱形（点在上，点在上）．
作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交于点；
③连接．
所以四边形为所求作的菱形．
(1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明；
证明：，，
　　　　．
在中，，
即，
四边形为平行四边形　　（填推理的依据），
，
四边形为菱形　　（填推理的依据）．
20．（8分）（24-25八年级·广东广州·期中）如图，线段，射线，P为射线上一点，以为边作正方形，且C、D与点B在两侧，已知平分，在线段取一点E，使，直线与线段相交于点F（点F与点A、B不重合）．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)求的周长．
21．（8分）（24-25八年级·江苏常州·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形．
(2)在图②中，在边上找一点，在边上找一点，连接，，使四边形为矩形．
(3)在图③中，在四边形的边上找一点，连接，使．
22．（8分）（24-25八年级·广西桂林·期中）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，，点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒，当点P运动到点B时，点Q停止运动．过点Q作于点H．
(1)填空： ， ， （用含有t的式子表示）；
(2)是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值，请说明理由；
(3)若在某一时刻t，平面内存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，求出t的值．
23．（8分）（24-25八年级·天津滨海新·期中）已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点．
(1)如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ；
(2)连接，过点E作，交于点F．
①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形；
②如图③，在①的条件下，连接，求的值．

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