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江苏省徐州市铜山区 2024-2025 学年高一下学期期中学情调研
数学试题
一、单选题
1． sin105°的值为（ ）
A 3 - 2 B 3 + 2 C 6 - 2 D 2 + 6． ． ． ．
4 4 4 4
2．已知复数 z 满足 z(1- i) = 2 - i，其中 i是虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
ur uur uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
3．已知 e1 与 e2 是两个不共线的向量， AB = 3e1 + 2e2 ,CB = ke1 + 2e2 ,CD = 3e1 - ke2 ，若 A, B, D 三点共线，则
实数 k 的值为（ ）
A．-4 B．-12 C．4 D．5
uuur uuur uuur uuur uuur
4．在平行四边形 ABCD中， AB = 3AE，BF = 2BC ，则EF =（ ）
1 uuur 2 uuurAB AD 2
uuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur
A． + B． AB + AD C． AB + 2AD D．2AB + AD
2 3 3 2 3 3
5．下列函数 f x 的最小正周期为 2π的是（ ）
A． f x = sinxcosx B． f x 1+ tanx=
1- tanx
C． f x π= cos + x π ÷ - cos
- x ÷ D． f x = 3sin2x - cos2x
è 3 è 3
6．已知w > 0，函数 f x = sin wx π+ π ÷在 0, 3 ÷上有且只有一个零点，则w 的取值范围是（4 ）è è
9
A é． ê ,
21ù 9 21ù é9
ú B． , ú C． ê ,6
ù 9
ú D
ù
4 4 4 4 ．
,6
è 4 è 4 ú
7．已知a , b 为锐角， cos a + b 2 2= ,cosasinb 1= ，则 cos2 a - b = （ ）
3 4
7 7
- 17 17A． B． C．- D．
9 9 18 18
8．记VABC 的面积为S ，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且3b2 + 3c2 - a2 = 4 3S ，则VABC 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
二、多选题
9．在复数范围内，下列命题正确的是（ ）
A．若 z 0 ，则 z - z 为纯虚数 B．若 z2 =1，则 z = z
C．若 z + 2 = 1，则 z 的最大值为 3 D．若 z1 + z2 = z1 - z2 ，则 z1z2 = 0
10．函数 f x 1= sin 2x π- ÷，则下列说法正确的是（2 3 ）è
2π
A ． f x 的图象关于点为 ,03 ÷ 对称è
B． f x π在区间 ,
π
6 3 ÷单调递增è
C． y = f x 与 y = sin2x的图象有相同的对称轴
D． y = f x 与 y = sinx 的图象在 0,2π 上有两个不同的交点
11．如图，VABC 为边长为 2 的等边三角形，以 AC 的中点O为圆心，1 为半径作一个半圆，点 P 为此半圆
弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur
A．BO = BA + BC
2 2
uuur uuur
B． AB × BO = 3
uuur uuur
C．BP × BC 的最大值为 5
uuur uuur uuur
D．若BP = xBA + yBC ，则当 B,O, P三点共线时， x y 3+ 3+ =
3
三、填空题
12．已知 2 - i x x2是关于 的方程 + mx + n = 0 m,n R 的一个根，其中 i为虚数单位，则m + n = ．
tan 2 sin2a13．若 a = ，则 2 = ．cos2a + 3sin a
AB AC,cos BAC 414．在等腰VABC 中， = = ，在VABC 内一点 P 满足
5 PAB = PBC = PCA, AP = 5
，
则BC 的值为 ．
四、解答题
r r 1
15 1 r
r r r r r
．（ ）已知a = 2, x ,b = -1, a - b
è 2 ÷
，若 a + b 与a - 2b 平行，求 ；

ar
r
2, b 1, ar r
r r
（2）已知 = = 与b 的夹角为120°，若lar + b 与3ar - b 垂直，求实数l 的值．
16 π π．已知a 0, ÷ ,b ,π
, tana 1÷ = ,cos b a
2
- = ．
è 2 è 2 2 10
π
(1) sin 求 2a + 3 ÷ 的值；è
(2)求a + b 的大小．
17．已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且b2cosA + abcosB = 4c．
(1)求b ；
π
(2)若 B = ，VABC 的周长为 9，点D是边 AC 的中点，求线段BD的长．
3
18．如图，某学校有一块边长为 4m的正方形 ABCD实验田用地，在此正方形的边 BC 、CD上分别取点 P 、
Q（均不与正方形的顶点重合），用栅栏连接 AP 、 AQ 、 PQ，设 PAB = a ， QAD = b ， PAQ = g .
(1)当g = 45o，a = 30o 时，求所用栅栏的总长度；
(2)当g = 60o时，在△PAQ 内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值；
19．由两角和差公式我们得到倍角公式 cos2q = 2cos2q -1，实际上cos3q 也可以表示为 cosq 的三次多项式．
(1)试用 cosq 表示cos3q ；
π
(2)求 sin 的值；
10
(3)已知方程 x3 - 3x -1 = 0在 -2,2 2 2上有三个根，记为 x1, x2 , x3且 x1 > x2 > x3 ，求证： x3 - x1 = x2 - x1 ．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C C B D C BC ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
由两角和的正弦公式求解即可.
【详解】 sin105° = sin 45° + 60° = sin 45°cos 60° + cos 45°sin 60°
2 1 2 3 2 + 6
= + = .
2 2 2 2 4
故选：D.
2．A
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 z ，从而得答案．
【详解】Q 1- i z = 2 - i ,
2 - i 2 - i 1+ iz 2 + i - i
2 3+ i
\ = = = =
1 i 1 i 1 i 2 2 ,- - +
3 1
则在复平面内对应的点的坐标为 , ，位于第一象限．
è 2 2 ÷
故选 A．
3．B
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
【详解】因为 AB = 3e1 + 2e2 ,CB = ke1 + 2e2 ,CD = 3e1 - ke2 ，
uuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur
所以BD = CD - CB = 3e1 - ke2 - ke1 + 2e2 = 3 - k e1 - 2 + k e2 ，
uuur uuur
因为 A, B, D 三点共线，必存在一个实数l ，使得 AB = lBD ，
ur uur ur uur ur uur
所以3e é1 + 2e2 = l 3 - k e1 - 2 + k e ù2 ，而 e1,e2 不共线，
ì3 = l 3- k
所以 í ，解得： k = -12 .
2 = -l 2 + k
故选：B.
4．C
【详解】如下图所示：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
在平行四边形 ABCD中， AB = 3AE，BF = 2BC ，则BE
2
= - AB，
3 BF = 2BC = 2AD
，
uuur uuur uuur uuur uuur
故EF = BF - BE = 2AD
2
+ AB .
3
故选：C.
5．C
利用三角恒等变换化简各选项中函数的解析式，再结合三角函数的周期公式逐项判断即可.
1 2π
【详解】对于 A 选项， f x = sinxcosx = sin 2x，该函数的最小正周期为T = = π ，A 不满足要求；
2 2
π
1+ tanx tan x + tan π
对于 B 选项， f x = = 4 = tan x +1- tanx ÷，1- tan x tan π è 4
4
该函数的最小正周期为 π，B 不满足要求；
f x cos π π

对于 C 选项， = + x ÷ - cos - x
1 3
÷ = cos x - sin x
1 cos x 3- + sin x3 3 2 2 2 2 ÷÷
= - 3 sin x ，
è è è
该函数的最小正周期为 2π，C 满足要求；
对于 D 选项， f x = 3sin2x - cos2x = 2sin 2x
π
- ÷，
è 6
2π
该函数的最小正周期为T = = π ，D 不满足要求.
2
故选：C.
6．B
π π π πw π
由 x 0, ÷ ,w > 03 确定
wx +
4
, + ，根据正弦函数的零点列出相应不等式，即可求得答案.
è è 4 3 4 ÷
x 0, π ,w 0 wx π π πw π 【详解】由 ÷ > ，可得 + 3 4
, + ÷，
è è 4 3 4
由于函数 f x = sin wx
π π
+ ÷在 0, ÷上有且只有一个零点，
è 4 è 3
π πw π 9 21故 < + 2π，解得 < w ，
3 4 4 4
故选：B
7．D
利用同角三角函数关系求出 sin a + b ，根据两角和正弦公式结合题意求出 sina cos b ，继而求得 sin a - b ，
再利用二倍角公式即可求得答案.
【详解】由于a , b 为锐角，则0 < a + b < π
2

由cos a + b 2 2= ，得 sin a + b 2 2 1= 1-
3 ÷
= ，
è 3 3
即 sina cos b cosa sin b
1 1
+ = ，结合cosasinb = ，
3 4
可得sina cos b
1 1 1
= - = ，
3 4 12
故 sin a - b = sina cos b - cosa sin b 1 1 1= - = - ，
12 4 6
2
故cos2 a - b 1 17= 1- 2sin2 a - b = 1- 2 -

6 ÷
= ，
è 18
故选：D
8．C
b2 + c2
由余弦定理和三角形的面积公式可得 = 3 sin A - cos A，分别求出两部分的值域知
bc
b2 + c2
= 2sin π
bc
A - ÷ = 2，即可知VABC 的形状.
è 6
【详解】由余弦定理可知： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
3b2 + 3c2 - b2 + c2所以 - 2bc cos A 1= 4 3 × bc sin A，2
所以b2 + c2 + bc cos A = 3bc sin A，
b2 + c2
所以 = 3 sin A - cos A = 2sin A
π
- ，
bc 6 ֏
b2 + c2 b c b c
因为 = + 2 × = 2 ，当且仅当b = c时取等，
bc c b c b
π
又因为 y = 2sin A - 6 ÷
的最大值为 2，
è
b2 + c2 2sin A π所以此时 = -

÷ = 2，bc è 6
所以sin
π 2π
A - ÷ =1，此时 A =6 ，è 3
所以VABC 的形状是钝角三角形.
故选：C.
9．BC
取特值可判断 AD；设 z = a + bi，a,b R ，由 z2 =1可得 z =1或 z =1，由此可判断 B；由复数模的几何意义
可判断 C.
【详解】对于 A，若 z 0 ，设 z = a + bi， a,b R ， z = a - bi ，
所以 z - z = a + bi - a - bi = 2bi，
若b = 0， a 0，则 z - z = 0，不为纯虚数，故 A 错误；
对于 B，设 z = a + bi， a,b R 2，则 z2 = a + bi = a2 - b2 + 2abi ，
若 z2 =1，则 a2 - b2 =1， 2ab = 0，解得：b = 0, a = ±1，即 z =1或 z = -1，
所以 z = z ，故 B 正确，
对于 C， z + 2 =1表示复数 z 在复平面上对应的点到 -2,0 的距离为1，
即以 -2,0 为圆心，1为半径的圆， z 表示点 z 到原点的距离，
圆心 -2,0 到原点的距离为 2，所以 z 的最大值为 2 +1 = 3，故 C 正确；
对于 D，取 z1 =1+ i， z2 =1- i， z1 + z2 = 2 ， z1 - z2 = 2i，
2
满足 z1 + z2 = z1 - z2 ，但 z1z2 = 1+ i 1- i =1- i = 2 0 ，故 D 错误.
故选：BC.
10．ABD
f 2π 计算 ÷ = 0 可判断 A；求出 f x 的单调递增区间可判断 B；求出 y = f x 与 y = sin2x的对称轴可判断
è 3
C；画出画出 y = f x 与 y = sinx 在 0,2π 的图象可判断 D.
f 2π 1 sin 2 2π π 1【详解】对于 A，因为 ÷ =

× - ÷ = sinπ = 0，
è 3 2 è 3 3 2
f x 2π ,0 故 的图象关于点为 3 ÷ 对称，故 A 正确；è
π π π
对于 B，令- + 2kπ 2x - + 2kπ ， k Z，
2 3 2
π kπ x 5π所以- + + kπ ， k Z，
12 12
é π , 5π ù π , π é π 5π令 k =1，则 ê- ú ，而 ÷ ê- ,
ù
，故 B 正确；
12 12 è 6 3 12 12 ú
对于 C，令2x
π π
- = + kπ, k 5π kπ Z，解得： x = + ,k Z，
3 2 12 2
f x 1= sin 2x
π
- 5π kπ÷的对称轴为 x = + ,k Z，2 è 3 12 2
π
令2x = + k1π,k
π k π
1 Z ，解得： x = + 1 ,k Z，2 4 2 1
y = sin2x π k的对称轴为 x = + 1
π ,k1 Z，4 2
π k1π 5π kπ令 + = + ，则 k k π 5π π π1 - = - = ，4 2 12 2 2 12 4 6
则 k
1
1 - k = Z，故 y = f x 与 y = sin2x的图象没有相同的对称轴，故 C 错误；3
对于 D，画出 y = f x 与 y = sinx 在 0,2π 的图象，如下图，
可知 y = f x 与 y = sinx 的图象在 0,2π 上有两个不同的交点，故 D 正确.
令
故选：ABD.
11．ACD
由向量的线性运算可判断 A；由数量积的定义可判断 B；以 B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角
函数的性质可判断 C；由共线向量定理求出 x, y 可判断 D.
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【详解】对于 A， BO = BC + CO = BC + CA = BC + BA - BC = BA + BC ，故 A 正确；
2 2 2 2
uuur 1 uuur 1 uuur
对于 B，由 A 知，BO = BA + BC ，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
AB × BO 1 1 1 1= AB × BA + BC ÷ = - AB + AB × BC
è 2 2 2 2
1 uuur2 uuur uuurAB 1 BA BC 1 1= - - × = - 4 - 2 2 ×cos 60° = -2 -1 = -3，故 B 错误；
2 2 2 2
对于 C，以 B 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

B 0,0 ,C 2,0 , A 1, 3 3 3 3 3，O , ÷÷ ，设P + cosq , + sinq2 2 2 2 ÷÷，è è
uuur uuur
BP × BC = 2 3所以 + cosq

÷ = 3 + 2cosq ，
è 2
uuur uuur
当q = 0° 时，BP × BC 的最大值为 5，故 C 正确；
uuur uuur
对于 D，当 B,O, P三点共线时， BO = 3, PO =1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BO = 3OP ，所以 BP = BO + OP
3
= +13 ÷÷
BO，
è
uuur uuur uuur 3 3
又因为BO
1
= BA 1+ BC uuur +1 uuur +1，所以 uuur ，
2 2 BP = 3 BA + 3 BC
2 2
3 3
+1 +1 x y 3 1 3 + 3所以 x 3 , y 3 ，所以= = + = + = ，故 D 正确.
2 2 3 3
故选：ACD.
12．1
确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案.
2
【详解】由题意知 2 - i是关于 x 的方程 x + mx + n = 0 m,n R 的一个根，
则 2 + i 是该方程的另一个根，则2 - i + 2 + i = -m, 2 - i 2 + i = n，
即m = -4, n = 5，则m + n =1，
故答案为：1
4
13．
9
利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
2sina cosa
sin2a 2sina cosa cos2 a 2 tana 2 2 4
【详解】 =cos2a + 3sin2a cos2
= = = =
a - sin2 a + 3sin2 a 2sin2 a cos2 a+ 2 tan
2 a .+1 2 22 +1 9
cos2 a cos2 a
4
故答案为： .
9
14 3 10
3
． / 10
5 5
2 2
利用余弦定理求出 BC = AB ，继而利用三角形相似求出BP = 2, PC = ,设 AB = t ，
5 5
PAB = PBC = PCA = a ，在VABP和△APC 6 5中，利用余弦定理求出 t cosa = ，在VBPC 中，利用余
5
弦定理即可求出 t 的值，即可求得答案.
4
【详解】在等腰VABC 中， AB = AC,cos BAC = ,
5
则BC2 = AB2 + AC2 - 2AB × ACcos BAC = 2AB2 - 2AB2
4
，
5
BC2 2 AB2 , BC 2即 = \ = AB，设 AB = t 2，则BC = t ；
5 5 5
PAB = PBC = PCA，结合 AB = AC 知∠ABC = ACB ,
可得 ABP = PCB，则VABP ∽VBCP ，
BP BC PC
故 = =
2
，而 BC = AB ，
AP AB BP AP = 5
，
5
故BP = 2, PC
2
= ,
5
设 PAB = PBC = PCA = a ，在VABP和△APC 中，利用余弦定理可得：
BP2 = AP2 + AB2 - 2AP × AB cosa ， AP2 = PC2 + AC2 - 2PC × AC cosa ,
4 2
即2 = 5 + t2 - 2 5 × t cosa ，5 = + t2 - 2 t cosa5 ，5
两式相减，则 t cosa 6 5= ，
5
在VBPC 中，利用余弦定理可得：PC2 = BP2 + BC2 - 2BP × BC cosa ,
4 2 2 t2 2 2 2 t cosa 2 2 t2 2 2 2 6 5即 = + - × = + - × × ，
5 5 5 5 5 5
2 3 2 3 10即得 t = 9,\t = 3，则BC = = ，
5 5
3 10
故答案为：
5
r 4
15 r 3 5．（1） a - b = ；（2）l = ．
2 13
r r1 a b ar
r
（ ）先求出 + ， - 2b ，再由平行向量的坐标表示求出 x = -1，再由模长公式求解即可；
r r r r r r
（2）由数量积的定义求出 a ×b ，再由数量积的运算律结合la + b 与3a - b 垂直即可得出答案.
r r 1 1
【详解】（1）因为a + b = 2, x + -1, ÷ = 1, x + ÷，
è 2 è 2
r
ar - 2b = 2, x - 2 -1,
1
÷ = 4, x -1
è 2
r r r
且 a + b 与ar - 2b 平行，
1
所以 x -1- 4 x + ÷ = 0 ，解得 x = -1
è 2
，

ar
r
b 3, 3- = - 所以
è 2 ÷
，

r r 2
所以 a - b = 32 + 3 3 5 - ÷ = ．
è 2 2
r r r r
（2）已知 a = 2, b =1, a 与b 的夹角为120°，
ar
r r rb a b cos120 1所以 × = × ° = 2 1

-

2 ÷
= -1，
è
r r r r
因为la + b 与3a - b 垂直，
lar r所以 + b × r r r r r r3a - b = 3la2 + 3- l a ×b - b 2 = 13l - 4 = 0
4
所以l = ．
13
16．(1) 4 + 3 3
10
3π
(2) ．
4
（1）由同角三角函数的基本关系求出 sina 、cosa ，从而求出 sin 2a 、cos 2a ，再由两角和的正弦公式计算
可得；
（2）首先求出 sin b -a ，再由 sin a + b = sin é b -a + 2a ù 及两角和的正弦公式计算可得.
ì
sina 1
1 π ì cosa
2 5
=
tana = ,a 0,
tana = =
【详解】（1）因为 ÷，所以 í cosa 2
5
，解得 í （负值舍去）；2 è 2 sin
2a + cos2a =1 sina 5

=
5
sin2a = 2sinacosa 4= ,cos2a = 2cos2 3所以 a -1= ，
5 5
所以 sin 2a
π
+ ÷ = sin2acos
π
+ cos2asin π 4 1 3 3 4 + 3 3= + = ．
è 3 3 3 5 2 5 2 10
π
（2）因为a 0, ÷ , b
π
, π

，所以 b -a 0, π ，
è 2 è 2 ÷
2
又因为 cos b a 2- = ，所以 sin b -a = 1- cos2

b -a = 1 2 7 2-
10 ÷÷
= ，
è 10 10
所以 sin a + b = sin é b -a + 2a ù = sin b -a cos2a + cos b -a sin2a
7 2 3 2 4 2
= + = ，
10 5 10 5 2
a b π 3π 3π又因为 + , ÷，所以a + b = ．
è 2 2 4
17．(1)b = 4 ．
(2) BD 22= ．
2
（1）由正弦定理结合两角和的正弦定理可得bsinC = 4sinC ，即可求出答案；
uuur 1 uuur 1 uuur
（2）由点D是 AC 的中点可得BD = BA + BC uuur
1 2 2
，对其两边平方则 2BD = a + c + ac ，再由余弦定理可2 2 4
得 a2 + c2 =16 + ac，两式联立结合VABC 的周长，即可求出 ac = 3，进而求出线段BD的长．
【详解】（1）因为b2cosA + abcosB = 4c，
由正弦定理得bsinBcosA + bsinAcosB = 4sinC
所以bsin A + B = 4sinC ，即bsinC = 4sinC ，
又因为 sinC 0，所以b = 4 ．
uuur 1 uuur 1 uuur
（2）因为点D是 AC 的中点，所以BD = BA + BC ，
2 2
uuur2 1 uuur2BD BA 1
uuur2
BC 2 1 1
uuur uuur
所以 = + + BA × BC
4 4 2 2
1 c2 1 a2 1 ac 1 1= + + = a2 + c2 + ac4 4 2 2 4
π
在VABC 中b = 4,B = ，
3
a2 + c2 - b2 1
由余弦定理得 cosB = = ，
2ac 2
所以 a2 + c2 =16 + ac，
uuur2
BD 1 a2 c2 ac 1所以 = + + = 16 + 2ac = 4 1+ ac4 4 2
又因为VABC 的周长为a + c + 4 = 9，所以 a + c = 5
所以a2 + c2 + 2ac = 25，所以16 + 3ac = 25，所以 ac = 3，
uuur2
BD 4 1 ac 4 3 11所以 = + = + = ，所以 BD 22= ．
2 2 2 2
18．(1) 4 6 - 4 2 + 8米
(2)32 3 - 48平方米
（1）在RtVABP 、Rt△AQD中，分别求出 AP 、AQ 的长，然后在△APQ 中利用余弦定理求出 PQ的长，可
求出△APQ 的周长，即为所求；
4 4 4 3
（2）求得 AP = ，AQ = cos b ，利用三角形的面积公式得出 S△APQ = ，利用三角恒等变换结cosa cosa cos b
合正弦型函数的基本性质求出 cosa cos b 的最大值，即可得出 SVAPQ 面积的最小值.
【详解】（1）因为g = 45o，a = 30o ，则 b =15o ，
在RtVABP AP AB 4 8 3中， = =
cosa cos30o
= ，
3
因为cos15o = cos 45o - 30o = cos 45o cos30o + sin 45o sin 30o 2 3 2 1 6 + 2= + = ，2 2 2 2 4
AD 4 4
在Rt AQD
AQ = = = = 4 6 - 2△ 中， cos b cos15o 6 + 2 ，
4
所以在VABP中由余弦定理得PQ2 = AP2 + AQ2 - 2AP × AQ ×cos PAQ
64 2 64 4 - 2 3
2
64 3 -1
= +16 6 - 2 8 3 2- 2 4 6 - 2 = =3 3 2 3 3
PQ 8 8 3所以 = - ，
3
所以 AP + AQ PQ 8 3 4 6 8 3+ = + - 4 2 + 8 - = 4 6 - 4 2 + 8，
3 3
所以栅栏总长度为4 6 - 4 2 + 8米．
AD 4
（2）在RtVABP 中， AP
AB 4
= = ，在Rt△AQD中， AQ = =
cosa cosa cos b cosb
，
APQ S 1所以△ 的面积 △APQ = AP × AQ ×sin
1 4 4 3 4 3
PAQ = × × × = ，
2 2 cosa cosb 2 cosacosb
cosacosb cosacos π

a cosa 3 cosa 1 sina 3 1+ cos2a 1= - ÷ = + ÷÷ = + sin2aè 6 è 2 2 2 2 4
1
= sin 2a 3+ cos 2a 3 1 π 3+ = sin 2a + + ，
4 4 4 2 ֏ 3 4
0 a π π 2a π 2π因为 < < ，所以 < + < ，
6 3 3 3
当2a
π π π
+ = 即a = 时， cosacosb 1 3取得最大值 ，
3 2 12 +2 4
4 3
= 32 3 - 48
此时△APQ 的面积的最小值为 1 + 3
，
2 4
所以植蔬菜的区域面积的最小值为32 3 - 48平方米．
19．(1) cos3q = 4cos3 q - 3cosq
(2) 5 -1．
4
(3)证明见解析
（1）利用二倍角的正弦和余弦公式可证明三倍角公式；
2 2
π π π
（ ）利用（1）的结果可得 4sin + 2sin -1 = 010 10 ，故可求 sin 的值；10
x 1
（3）令 cosq = ，结合（1）中恒等式对方程变形可得 cos3q = ，故可求原方程的解，结合三角变换公式
2 2
x - x 2 2可证 3 1 = x2 - x1 .
【详解】（1） cos3q = cos 2q +q = cos2qcosq - sin2qsinq
= 2cos2 q -1 cosq - 2sin2 q cosq
= 2cos3q - cosq - 2 1- cos2q cosq
= 4cos3 q - 3cosq
3π π π π
（2 3）由（1）得 cos = cos 3 ÷ = 4cos - 3cos = sin
2π π π
10 10 10 10 10 ÷
= 2sin cos ，
è è 10 10
而 cos
π
> 0 ，所以4cos2
π
- 3 2sin π= ，
10 10 10

所以4 1- sin
2 π
÷ - 3 = 2sin
π
，即 4sin2
π
+ 2sin π -1 = 0
è 10 10 10 10
，
所以 sin π 5 -1= ．
10 4
3
（3 3 x x 1）因为 x - 3x -1 = 0 ，所以 4 ÷ - 3 - = 0
è 2 2 2
令 cosq
x
= ，因为-2 < x < 2，所以-1< cosq <1，取0 < q < π
2
3
所以4cos q - 3cosq
1
- = 0，
2
1
由（1）4cos3q - 3cosq = cos3q ，得 cos3q =
2
0 3 3π 3q π ,3q 5π ,3q 7π又因为 < q < ，所以 1 = 2 = 3 =3 3 3
π 5π 7π
所以q1 = ,q2 = ,q3 = ，9 9 9
π 5π 7π
所以 x1 = 2cosq1 = 2cos , x2 = 2cosq2 = 2cos , x = 2cosq = 2cos9 9 3 3 9
x2 - x2所以 2 1 = 4cos
2 5π - 4cos2 π = 2 1+ cos
10π
÷ - 2

1+ cos
2π
9 9 è 9 è 9 ÷
= 2cos10π 2π- 2cos
9 9
2cos π π= + ÷ - 2cos

π
7π 2cos 7π 2cos π- ÷ = - = x3 - x9 9 9 9 1
.
è è
x - x = x2 2故 3 1 2 - x1 .

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