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2025年江苏省南通市中考数学模拟试卷
考试时间：120分钟；总分：150分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若零上记为“”，则零下可记为( )
A. B. C. D.
2.用科学记数法表示，正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中错误的是( )
A. B.
C. D.
4.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则所搭几何体所需小立方块个数不可能是( )
A. B. C. D.
5.如图，将绕着点顺时针旋转后得到若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
7.如图，若路灯的底部距人米，则下列说法正确的是( )
A. 若变小，则人的影长变长
B. 若变小，则人的影长变短
C. 若变大，则人的影长变短
D. 若变大，则人的影长不变
8.如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为：，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为( )
A. ： B. ：
C. ： D. ：
9.作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式现在一条笔直的公路旁依次有，，三个快递驿站如图，甲，乙两架无人机分别从，两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站已知甲，乙两架无人机到驿站的距离，，与飞行时间之间的函数关系如图所示若甲，乙两架无人机同时到达驿站，则驿站离驿站的距离是( )
A. B. C. D.
10.如图，，点在上，是边长为的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点不与重合作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.分解因式：______．
12.若一个圆锥的母线长是它底面半径的倍，则它的侧面展开图的圆心角是______．
13.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
14.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为单位：，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为，小孔到图中边距离为，到上盖中与相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为，则的最小值大约为 ．精确到个位．
15.在菱形中，，，则菱形的面积为______．
16.李明同学的家与学校的距离为米，如果他上学步行的速度为米分，从家里到学校的时间为分钟，则与之间的函数关系式为______．
17.在中，，，作边上的垂线交于点，交的延长线于点，连接，若刚好，______．
18.如图，直线与轴、轴分别交于点，，，分别为线段，上的两个动点，点的坐标为，则的周长的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程．
先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
20.本小题分
为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了名男生引体向上项目的测试成绩引体向上次数．
【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图：
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
根据以上信息，解答下列问题：
______， ______，并补全条形统计图；
如果规定男生引体向上次及次以上，读项目成绩良好，若该校八年级有男生人，估计该校男生该项目成绩良好的约有______人；
从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
21.本小题分
如图，在矩形中，是的中点，延长、交于点，连接、、．
求证：；
当平分，且时，求的长．
22.本小题分
百度推出了“文心一言”聊天机器人简称甲款，抖音推出了“豆包”聊天机器人简称乙款，在简称丙款推出后更引发了广泛关注现有甲、乙、丙三款聊天机器人．
若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是______；
小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评求两人选择的聊天机器人互不相同的概率．
23.本小题分
已知：如图，四边形，，，，，且求四边形的面积．
24.本小题分
由于数学课上需要用到科学计算器，班级决定集体购买，班长小明先去文具店购买了个型计算器和个型计算器，共花费元；后又买了个型计算器和个型计算器，共花费元每次两种计算器的售价都不变
求型计算器和型计算器的售价分别是每个多少元？
经统计，班内还需购买两种计算器共个，设购买型计算器个，所需总费用元，请求出关于的函数关系式；
要求：型计算器的数量不少于型计数器的倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
25.本小题分
如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象．
若点在图象上，求的值；
已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标；
当图象上的点满足时，记此时的取值范围为设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围．
26.本小题分
在矩形中，是边上一个动点，把沿折叠，使点落在点处．
如图，连接，若，，当点、、三点共线时，求的长；
如图，若，，是平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为菱形时，求出点到直线的距离；
如图，连，若，，当平分时，求的长．
答案和解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：先去分母，化分式方程为整式方程，解整式方程求得的值可得：
方程两边都乘得．
解得．
经检验，是原方程的根；
原式
．
，，且为整数，
可取，，，
当时，原式．
20.解：将调查的数据从小到大排列，位于第和的数据都是，调查的数据中，引体向上个数为个的人数最多，
，；
引体向上为次的人数为：人，补图如图所示．
人，
从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是；
从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于次；
从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数次的人数最多．
21.证明：四边形是矩形，
，，，
．
是的中点，
．
在和中，
，
≌，
．
，
四边形是平行四边形，
，
；
解：平分，
．
，
是等腰直角三角形，
．
是的中点，
，
，
．
22.解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到丙款的结果有种，
抽到丙款的概率为．
列表如下：
乙 丙
甲 甲，乙 甲，丙
乙 乙，乙 乙，丙
丙 丙，乙 丙，丙
共有种等可能的结果，其中两人选择的聊天机器人互不相同的结果有：甲，乙，甲，丙，乙，丙，丙，乙，共种，
两人选择的聊天机器人互不相同的概率为．
23.解：连接．
，，，
，
在中，，
是直角三角形，
，
，
．
故四边形的面积为．
24.解：设型计算器的售价为每个元，型计算器的售价为每个元，
根据题意得：，
解得：．
答：型计算器的售价为每个元，型计算器的售价为每个元．
设购买型计算器个，所需总费用元，则购买型计算器个，
根据题意得：．
型计算器的数量不少于型计数器的倍，
，
解得：，
又为整数，
．
在中，，随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为．
答：当购买个型计算器、个型计算器时，所需总费用最低，最低费用为元．
25.解：由题意可得：在中，
当时，，
即；
，
图象的顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
图象与轴的交点坐标为和，
在中，令，
则，
解得：，
图象与轴的交点坐标为，
直线与轴平行，
设直线的解析式为，
直线与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，
，
画出图象如图所示：
令，则，
，
设，，则，，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得或不符合题意，舍去，
点的坐标为；
在中，当时，，
，，
，
令，则，
解得：或不符合题意，舍去，
在中，令，则，
解得：，不符合题意，舍去，
，
图象的顶点坐标为，
的取值范围为，
在中总存在使得，
二次函数在上的最大值大于即可，
，
对称轴为直线，抛物线开口向下，
当，即时，在上随着的增大而减小，
当时，有最大值，
，
解得：；
当，即时，
此时当时，有最大值，
，
解得：或，
，
此时无解；
当，即时，
此时在上随着的增大而增大，
当时，有最大值，
，
解得：，
；
综上所述，实数的取值范围为或．
26.解：矩形中，，，
，，，
把沿折叠，
，，，
点、、三点共线，
，
，
设，则，，
中，，
，
解得，
；
取中点，中点，连接，，，
矩形中，，，
，，，
把沿折叠，
，
中点，中点，
，，
以，，，为顶点的四边形为菱形，且，，
以，，，为顶点的四边形为菱形的对角线为或，
当以，，，为顶点的四边形为菱形的对角线为时，垂直平分，
此时点到直线的距离；
当以，，，为顶点的四边形为菱形的对角线为时，垂直平分，
此时，
设点到直线的距离，
，
，
即点到直线的距离，
综上所述，当以，，，为顶点的四边形为菱形时，点到直线的距离为或；
如图延长交于，与交于点，过作于，
矩形中，，，
，，，，
，，
把沿折叠，
，，，
设，则，
平分，，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
≌，
，
中，，
，
解得负值舍去，
．

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