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2024-2025西附初中初三数学第十三周周练
一、单选题
1．蛇年新春，五湖四海的游客竞相奔赴南京过大年．春节期间，秦淮区接待游客量超过500万人次，约占全市三分之一，旅游总收入突破50亿元，超全市四分之一，均创历史新高．将500万和50亿用科学记数法分别表示为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
5．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形中，，，、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．如图1，在边长为4的等边中，点在边上，设的长度为自变量，以下哪个量作为的函数，使得与符合如图2所示的函数关系（ ）
A．的面积 B．的周长
C．的面积 D．的周长
8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点A落在轴上的点处，点满足，与交于点．若反比例图象经过点，且的面积为1．则的值为（ ）
A．52 B．60 C．75 D．90
二、填空题
9.计算:
10．不等式的最小整数解是
11．已知，两点都在抛物线上，那么 ．
12．如图，是的直径，在上，若，则 ．
13．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的 ．

14．如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ．
15．矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ．
16．如图，中，，点是的中点，过点作交延长线于点，若，则点到点的最大距离为 ．
三、解答题
17．计算：
；
18.解不等式组．
19．先化简，再求值：，其中x满足方程．
20．如图所示的两张扑克牌，除正面图案外，其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片，将四张卡片洗匀后背面朝上．
(1)从四张卡片中随机抽取一张，带有数字3的概率是________；
(2)从四张卡片中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，求抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率．
21．教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间（单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生在组的数据是：62，65，78，78，82，85，88
抽取的九年级学生的数据分别是：
32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105
八、九年级所抽学生课后作业时间统计表
八年级所抽学生课后作业时间条形统计图
年级 八年级 九年级
平均数 77 77
中位数 85
众数 78
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：___________，___________；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数．
22．如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求四边形的面积．
23．如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，．
（结果保留1位小数，参考数据：，，，）
(1)求背垫的长；
(2)如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离．
24．如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，．求的值．
25．我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除．
例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除．
【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除．
【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除．
（1）用上述方法判断455能否被7整除？
【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ；
（3）结合（2）论证“发现”中的结论正确．
【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号）
①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数；
②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数；
③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数；
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点，点，与轴交于点，点是抛物线上一点，且横坐标是1，连接，．点是第三象限抛物线上一动点．
(1)填空；______；
(2)如图1，过点作交于点，连接交于点．当最大时，点是轴上一个动点，求的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线经过点，点是平移后的抛物线上一点，，连接．将线段平移到线段（点、分别与点、对应）．若点、同时落在平移后的抛物线上，求点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B A A C B
1．C
【来源】2025年江苏省南京秦淮区中考一模数学试题
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，是非负数，当原数绝对值小于 1 时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：用科学记数法可将数据500万表示为，
用科学记数法可将数据50亿表示为，
故选：C．
2．D
【来源】人教版八年级下 16.1 二次根式
【详解】试题解析：根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式：x-2≥0，
解得，x≥2，
故选D．
3．B
【来源】2025年江苏省无锡市锡山区数学中考二模试题
【分析】根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
本题主要考查了求圆锥侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题知， ,，
∴．
故选：B．
4．B
【来源】2013年初中毕业升学考试（山东泰安卷）数学（带解析）
【详解】如图，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴EFABCD，
∴∠1=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，
故选B.
5．A
【来源】山东省泰安市泰山区2024-2025学年八年级上学期（五四制）期末数学试题
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【详解】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：
，
故选：A．
6．A
【来源】2025年江苏省无锡市锡山区数学中考二模试题
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，垂线段最短，熟练掌握知识点是解题的关键．
连接，过点作于点F，先解求出，再由三角形的中位线定理可知，那么当时，最小，即最小，即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点F，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵、分别为、的中点，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∴此时点与点重合，
∴的最小值即为，
∴的最小值为，
故选：A．
7．C
【来源】北京市景山学校2023~2024学年八年级上学期期末数学试题
【分析】
本题考查动点的函数图象，由图象可知，随着的增大而减小，当时，，逐一进行判断即可；
【详解】解：A、的面积随着的增大而增大，不符合题意；
B、当时，即点与点重合时，的周长最大，不为0，不符合题意；
C、的面积随着的增大而减小，当重合时，取得最大值，当重合时，面积为0，符合题意；
D、的周长随着的增大而减小，当重合时，周长不为0，不符合题意；
故选C．
8．B
【来源】2025年江苏省无锡市锡山区数学中考二模试题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的作出辅助线，熟练掌握以上知识是解题的关键．过F点作于G点，延长交于H点，连接．由平行四边形的性质可得，，再由及翻折的性质可得．易证，根据相似三角形的性质可得，再由与的底相同可得，进而可得，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值为60
【详解】解：如图，过F点作于G点，延长交于H点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵将沿轴翻折，点A落在轴上的点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵反比例图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B
9.
.
10．
【来源】2025年江苏省南京秦淮区中考一模数学试题
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再写出其最小整数解即可．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴，
，
所以不等式的最小整数解是．
故答案为：．
11．4
【来源】江西省新余市第一中学　2024-2025学年九年级上学期第一次段考数学试卷
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根与系数的关系；由题意知，是方程的两个根，由根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵，两点都在抛物线，
∴是方程的两个根，
由根与系数的关系得：；
故答案为：4．
12．
【来源】2025年江苏省宿迁市宿城区一模数学试题
【分析】本题考查了圆内接四边形，直径所对圆周角是直角，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，求出，得到，求出，根据圆周角定理得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形是的内接四边形，，
，
是的直径，
，
，
，
故答案为：.
13．
【来源】2024年江苏省泰州市兴化市中考二模数学试题
【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并用相似三角形的性质进行解答是解题的关链；先证出四边形为矩形，得到，再
根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几；
【详解】解：由题意知，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
物体被缩小到原来的，
故答案为：；
14．
【来源】2025年江苏省南京秦淮区中考一模数学试题
【分析】该题考查了勾股定理和正方体展开图，根据题意和正方体的11种表面展开图的特征得出要使点A，B之间的最大距离则时则点A，B最远，结合题意画出展开图求解即可．
【详解】解：根据点A，B的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B的位置在如图所示位置时，点A，B之间的最大距离，
点A，B之间的最大距离，
故答案为：．
15．或
【来源】2025年江苏省宿迁市宿城区一模数学试题
【分析】根据题意画出示意图，①利用翻折的性质，线段的数量关系和勾股定理求出相关线段，证出，利用相似比即可求解；②利用翻折的性质，线段的数量关系求出相关线段，利用特殊角的三角函数值求出，进而利用平行线的性质和翻折的性质求出即可求解．
【详解】解：
①如图所示，
根据题意得，，
则，
根据翻折的性质可得，，，
在中，由勾股定理得，
,,
，
又，
，
；
②如图所示，，，
则，
∴在中，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
综上，或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并根据题意构造出图形进行求解．
16．6
【来源】2024年江苏省泰州市兴化市中考二模数学试题
【分析】连接，根据斜边上的中线得到，进而得到最大时，最大，延长至点，使，连接，易证，得到，进而得到，推出三点共圆，设圆心为，连接，，得到，垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵点是的中点，，
∴，，
∴当最大时，最大，
延长至点，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∵，，
∴三点共圆，
设圆心为，连接，，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为6，
∴点到点的最大距离为6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是构造全等三角形，确定点的运动轨迹．
17．
18.
【来源】2025年江苏省淮安市文通中学中考数学一模试卷
【分析】（1）原式利用乘方、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及实数的运算，熟练掌握不等式组的解法及运算法则是解本题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
19．；
【来源】2025年江苏省淮安市文通中学中考数学一模试卷
【分析】先对，通过通分，约分分解因式，解二次方程后，验证解是否使原式有意义，再代入化简求值．
本题考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，同时需要结合分式有意义的条件进行取舍．
【详解】原式
；
方程的解为或，
当时，分母，分式无意义，舍去；
当时，．
20．(1)
(2)
【来源】江苏省南通市海门区2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
【分析】本题考查了列表法和树状图法；
（1）直接根据概率公式法求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，带有数字3的概率是，
故答案为：．
（2）
解：将这两张扑克牌从正中间剪断，分别记为其中A和B能拼成一张完整扑克牌，C和D能拼成一张完成扑克牌，画树状图如下：，
共计12种等可能得结果，其中抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的结果有：共4种，
∴抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率为．
21．(1)
(2)八年级，见解析
(3)人
【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题
【分析】本题考查了统计图的应用，中位数，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）先求出八年级组人数，补全统计图，根据中位数、众数的定义求出的值即可；
（2）根据统计图信息分析即可；
（3）用样本估计总体的方法计算即可．
【详解】（1）解：八年级组人数为人，
补全统计图如下，
根据题意得抽取的九年级学生的数据排在第位的是，
，
抽取的九年级学生的数据中最多，有个，
，
故答案为：；
（2）解：我认为八年级的双减工作落实得更好，
八年级的课后作业时间中位数82小于九年级的课后作业时间中位数85；
（3）解：人
答：估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数约为1120人
20．(1)见解析
(2)
【来源】陕西省渭南市蒲城县2024-2025学年上学期九年级阶段检测（中考模拟预测）数学试题
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形；
（2）分别求出，根据矩形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：是等边三角形，点是的中点，是边的中线，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
又
四边形是矩形．
（2）解：是等边三角形，
，
是边的中线，
，
在中，由勾股定理得：，
又四边形是矩形，
．
23．(1)的长为
(2)午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为
【来源】江西省吉安市遂川泉江中学2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟卷
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）过点G作垂直的延长线于点M，先求出，再根据得到的长即可；
（2）过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形，由（1）可知，先求出，再分别在和中求出，再根据矩形的性质求即可．
【详解】（1）解：过点G作垂直的延长线于点M，
∵，
∴，
∵点G到地面的垂直距离为，则，，
∴，
在中，，，
∴，
答：的长为；
（2）解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形，
∴，,
由（1）可知，
∵，，
∴，，
在中，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【来源】2024年黑龙江省大庆市中考数学试题
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴，
∵为的直径，是切线，
∴，
∴；
（2）解：∵是切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴，
∴，
∵由折叠可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）①
【来源】2025年江苏省仪征市九年级中考数学第一次模拟试卷
【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出，结合能够被整除即可得解；
（2）根据题意表示出代数式即可；
（3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解；
（4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解．
【详解】解：（1）∵，能够被整除；
∴455能被7整除；
（2）由题意可得：；
（3）由（2）可得，
∵能被7整除，
∴（为整数），
∴，
∴，
∴三位数能被7整除；
（4）①，
∵是11的倍数，
∴（为整数），
∴，
∴，
∴是11的倍数；故①正确；
②，
∵是11的倍数，
∴（为整数），
∴，
∴，不一定是11的倍数，故②错误；
③，
∵是11的倍数，
∴（为整数），
∴，
∴，不一定是11的倍数，故③错误；
综上所述，正确的是①．
26．(1)1
(2)
(3)
【来源】2025年江苏常州前黄实验学校九年级数学中考一模试题
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，则，求出，得出，设，则，，证明，，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出当时，有最大值，此时，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，最后两点间距离公式计算即可得解；
（3）先求出直线的解析式为，由，可设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，代入点，求出平移后的抛物线的解析式为，即可求解，设向左平移个单位，向下平移个单位，则，，将其代入，求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点，
∴，
解得：，
∴解析式为：，
故答案为：1；
（2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当时，，即，
设的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，
则，
在中，当时，，即，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，即，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，
∴；
（3）解：，
设直线的解析式为，
将，代入解析式
可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∵将抛物线沿射线方向平移，
∴设将抛物线向右平移个单位长度，则向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵平移后的拋物线经过点，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，
∵为平移后抛物线上一点，
∴，即，
如图：
设向左平移个单位，向下平移个单位，
则，，
将其代入
得：
上式下式得，，
解得：，
∴，点即为抛物线的顶点，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式、两点间距离公式，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．

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