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几何模型之倍长中线
2025年九年级中考数学复习
1.如图(1),在中,,.
(1)若边的长度是奇数,求的长;
(2)如图(2),为的中线.
①的周长为16,求的周长;
②求中线的取值范围.
2.数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在中,,,是的中点,求边上的中线的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到,使,请补充完整证明.“∴”的推理过程.
(1)求证:∴;
证明:∵延长到点,使,
在和中(已作),
(______),
(中点定义),
∴(______),
(2)由(1)的结论,根据与之间的关系,探究得出的取值范围;
(3)【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
如图2,中,,,是的中线,,,且,求的长.
3.[方法储备]如图1,在中,为的中线,若,,求的取值范围.中线倍长法:如图2,延长至点,使得,连结,可证明,由全等得到,从而在中,根据三角形三边关系可以确定的范围,进一步即可求得的范围.
在上述过程中,证明的依据是______,的范围为______;
[思考探究]如图3,在中,,为中点,、分别为、上的点,连结、、,,若,,求的长;
[拓展延伸]如图4,为线段上一点,,分别以、为斜边向上作等腰和等腰,为中点,连结,,.
①求证:为等腰直角三角形;
②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置(,,不在同一条直线上),连结,为中点,且,在同侧,连结,.若,,求和的面积之差.
4.综合与实践
问题情境:数学课上,老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片,其中,是边上的中线.老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究.
(1)如图1,“勤学”小组发现图中的,请你用全等三角形的知识证明这一结论;
(2)如图2,“善思”小组将图1中的纸片过点沿平行于的直线减掉一部分,连接,并在上取一点,连接,,使得.求证:;
(3)如图3,“智慧”小组将纸片沿剪开,然后保持不动,调整的位置至,延长,交于点,连接,取的中点,连接,.求证:.
5.数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:
如图1,在中,,,D是的中点,求边上的中线的取值范围.
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:
(1)如图1,延长到点E,使,连接.根据__________可以判定__________,得出__________.
这样就能把线段集中在中.利用三角形三边的关系,即可得出中线的取值范围是__________.
【方法感悟】
当条件中出现“中点”,“中线”等条件时,可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中,这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法.
【问题解决】
(2)如图2,在中,,D是边的中点,,交于点E,交于点F,连接,请判断的数量关系,并说明理由.
【问题拓展】
(3)如图3,中,,,是的中线,,,且,请直接写出的长.
6.如图,在平面直角坐标系中,,,点C为x轴负半轴上一点,点P为线段延长线上一点.
(1)如图1,,,求C点坐标;
(2)如图2,若,,求的面积;
(3)如图3,当点在线段的延长线上,连接,将点C沿y轴翻折得到点D,过点D作,垂足为点E,,的延长线交于点F,取线段的中点,连接,当时,求的长.
7.【感知】如图①,在中,点E为的中点,连接并延长的延长线于点F,求证:点D是的中点;
【应用】如图②,在四边形中,,,E是的中点,的延长线相交于点F,求的长.
【扩展】如图③,在中,点D是的中点, ,相交于点F,求的值.
8.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,中,是边上的中线,若,,求边的取值范围.小琪同学在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长至点,使,连接,请根据小琪的方法思考:
(1)由已知和作图能得到,依据是________.
A.SSS B.SAS C.AAS
(2)由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________.
解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.
【感悟方法】
(3)如图2,是的中线,交于点E,交于点F,.试说明:.
9.【问题背景】如图1,和都是等边三角形,求证:;
【尝试运用】如图2,在中,,,边绕点C逆时针旋转到,E为边上不与点C重合的点,且,M为的中点,连接,.求的度数;
【拓展创新】如图3,在和中,,,,连接,,点F,G分别为,的中点,若,请直接写出线段的长(用含a和b的式子表示).
10.如图1,在五边形中,,,连接,且,.
(1)求证:;
(2)如图2,若,为边上的中线,求证:;
(3)如图3,在(2)的条件下,,,,则五边形的面积为______;点到直线的距离为______.
11.综合与实践
【问题情境】
如图1,在中,,点D,E分别在边,上,,连接,,,为的中点,连接.
【数学思考】
(1)线段与的数量关系,说明理由.
【猜想证明】
(2)若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置,猜想(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出新的结论并说明理由.
【深入探究】
(3)若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置,若是的中点,连接AN,若,直接写出的长.
12.在中,,,,将绕点顺时针旋转得到,其中点的对应点分别为点,,连接.
(1)如图,当点落在的延长线上时,求的长.
(2)如图,连接交于点,求证:点是的中点;
(3)在旋转过程中,图中的四边形能否形成平行四边形?若能,请说明理由,并求出的长;若不能,为什么?
13.数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在中,是的中点,求边上的中线的取值范围.
【方法探索】(1)小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图1,延长到点,使,连接.根据可以判定,得出.这样就能把线段集中在中.利用三角形三边的关系,即可得出中线的取值范围是___________.
【问题解决】(2)由第(1)问方法的启发,请解决下面问题:如图2,在中,是边上的一点,是的中线,,试说明:;
【问题拓展】(3)如图3,是的中线,过点分别向外作,使得,判断线段与的关系,并说明理由.
14.在等边中,为边上一点,于.
(1)如图1,若,,求的值;
(2)如图2,线段的垂直平分线交于,点为的中点,连接,,,求证:;
(3)如图3,将线段绕点顺时针旋转得到线段,点为边上点右边一动点,连接、,当取得最小值时,直接写出的值.
15.已知,在正方形中,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,连接并取其中点G,连接、.
(1)如图1,若的顶点E在线段上,则和的关系______;
(2)如图2,若的顶点E在线段上时,则(1)中的结论是否还成立 请说明理由;
(3)若的顶点E在内,如图3位置所示,则(1)中的结论是否还成立 请说明理由.
《几何模型之倍长中线2025年九年级中考数学复习》参考答案
1.(1)
(2)①的周长为11;②
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,三角形三边的关系,掌握“倍长中线法”是解题的关键.
(1)直接根据三角形三边的关系求解即可;
(2)①根据三角形中线的定义,结合周长的计算求解即可;
②延长线段到点E,使得,连接,根据边角边证,再利用三角形三边的关系求解即可.
【详解】(1)∵,,
∴,
∵的长度是是奇数,
∴;
(2)①∵,,
∴,
∵是中线,
∴,
∴,
∴,
∴的周长为11;
②延长线段到点E,使得,连接,
在和中
∵,,,
∴,
∴,
在中,,,
∴,
即,
∴,
即中线的取值范围为.
2.(1)对顶角相等,;(2);(3)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质,解题的关键是作辅助线.
(1)根据题干已知可得;
(2)根据全等三角形性质得,利用三角形三边关系即可求得答案;
(3)延长交于点,证明,根据全等性质得,,利用得垂直平分,即可求得答案.
【详解】证明:(1)∵延长到点,使,
在和中,(已作),
(对顶角相等),
(中点定义),
∴,
故答案为:对顶角相等,;
(2)∵,
∴,
∴,
则,
故,
即;
(3)延长交的延长线于点,如图;
∵,,
∴,
∵是的中线,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,;
又∵,
∴垂直平分,
∴.
3.[方法储备],;[思考探究] ;[拓展延伸]①见解析;②
【分析】[方法储备] 由得出,在中,根据三边关系得到,即可求解,
[思考探究] 延长至点,使得,由得出,,从而得,应用勾股定理求出,结合垂直平分,即可求解,
[拓展延伸]
①延长至点,使得,由,可得,,由,,,即可求证,
②延长至点,使得,由,可得,,导角得,由,可得,,作,, ,通过勾股定理得到边长间的关系,代入,即可求解,
本题考查了全等三角形的性质与判定,三角形的三边关系,勾股定理,解题的关键是:熟练应用“倍长中线法”.
【详解】[方法储备]解:
在和中,,
,
,
在中,,即:,
,
,
,
故答案为: ,,
[思考探究]解:
延长至点,使得,连结,,
在和中,,
,
,,
,
,
,
在中,,
而,,
垂直平分,
,
故答案为:,
[拓展延伸]解:
①延长至点,使得,连结,,
在和中,,
,
,,
,
又,
,
,,
又,
,
为等腰直角三角形,
②如图,延长至点,使得,连结,,,
为中点,同上“倍长中线”方法可得,
,,
设,
,
,,
,,,
分别过,作,,,为垂足,
,
设,,,,
,,,
解得,
,
,
故答案为:.
4.(1)见解析;
(2)见解析;
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质,利用中点中点+平行模型证明三角形全等,从而转化线段关系是解题关键.
(1)利用“”证明即可得,由此得出结论;
(2)延长交于点;根据先对边对等角和等角得余角证明,继而可得,再由题意得,利用中点平行模型证明,即可得;
(3)延长交于点,利用中点+平行模型证明可得,,再根据题意可得,进而证明,由(1)得结论.
【详解】(1)解:∵是边上的中线,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴.
(2)证明:延长交于点,
∵,
∴,
由(1),
∴,,
∴,
∴,
由题意得,
∴,,
∴,
∴;
(3)证明:延长交于点,
由题意得,
∴,,
又∵,
∴
∴,,
由题意可知: ,
由(1)可知,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴.
5.(1);;;;(2),理由见解析;(3)
【分析】(1)如图1,延长,使,连接,利用证明,得到,再由三角形三边的关系得到,则,即可求出;
(2)延长使,连接,根据垂直平分线的性质得到,然后利用证明,得到,,进而得到,最后根据勾股定理证明即可;
(3)延长交的延长线于点F,根据证明,然后根据垂直平分线的性质得到,最后根据全等三角形的性质求解即可.
【详解】解:(1)延长,使,连接,
∵D是的中点,
∴,
在和中,
,
∴,
∴.
∵,
∴,即,
∴,
∴,
∴;
(2),
证明:如图所示,延长到G,使,连接,
∵,,
∴是线段的垂直平分线,
∴,
∵D是的中点,
∴,
在和中,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴在中,由勾股定理得,
∴;
(3)解:如图所示,延长交的延长线于点F,
∵,
∴,
∵是中线,
∴,
在和中,
,
,
∴,,
∵,
∴是的垂直平分线,
∴,
∵,
∴.
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法,三角形的三边关系,勾股定理,线段垂直平分线的性质,“倍长中线”法的运用,解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形.
6.(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,掌握并构造全等三角形的几种常见模型:角平分线和对角互补模型,字形全等模型,倍长中线模型是解题关键.
(1)根据几个非负数的和为零,则这几个非负数都为0,求出,,即,再利用得出求出即可解得点;
(2)根据,过点作交轴于点D,由构造角平分线和对角互补模型,从而证明,进而可得是等腰直角三角形,再构造字形全等模型证明,可得,由即可得出答案;
(3)过点作,连接并延长,与交于点,构造倍长中线模型,得,,,从而可得是的中位线,即,再由折叠的性质和三角形角关系转换证明,,从而可得,由勾股定理在中,求出,即可得出答案.
【详解】(1)解:∵,
∴,
又∵,,
∴,,
∴,,即,
如图,连接,
∵,
∴,
设,
∴,
解得,
∴点;
(2)如图,过点作交轴于点D,连接,过点作,垂足为N,过点作,垂足为M,过点作,垂足为E,,
∵
∵,,
∴,
又∵,,
∴,,
∵,
∴ ,
又∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∵,,即,
∴,
∴,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,,
∴
(3)过点作,连接并延长,与交于点,
∵将点C沿y轴翻折得到点D,
∴,
∴,
∴,
∵,即,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,,
在和中,
∴,
∴,,
在中,,
又∵,,
∴.
7.【感知】见解析;【应用】;【扩展】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,根据中点作辅助线构造全等三角形是解题关键.
感知:证即可;
应用:由题意得,垂直平分,推出;同理可证:,得,即可求解;
扩展:过点作,同理可证:,推出;证,得,即可求解;
【详解】感知:证明:由题意得:,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
即:点D是的中点;
应用:解:∵,
∴;
∵E是的中点,
∴垂直平分,
∴;
同理可证:,
∴,
∴;
扩展:解:过点作,如图所示:
同理可证:,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴
8.(1)B;(2);(3)见解析
【分析】(1)根据题意,运用边角边的方法证明;
(2)由(1)中三角形全等可得,在中根据三角形三边关系“两边之差小于第三边,两边之和大于第三边”,由此即可求解;
(3)如图所示,延长至点,使得,连接,可证,可得,,,由此即可求解.
【详解】解:(1)延长至点,使,连接,
∵点是的中点,
∴,且(对顶角相等),
在中,
,
∴,
故选:;
(2)由(1)可得,
∴,,则,
在中,,
∴,
故答案为:;
(3)如图所示,延长至点,使得,连接,
∵点是的中点,
∴,且,
在中,
,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查三角形中线,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,等边对等角,等角对等边等知识的综合,掌握全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质是解题的关键.
9.问题背景:见解析;尝试应用:;拓展创新:
【分析】问题背景∶由判定,由全等三角形的性质即可得证;
尝试应用:延长至,使得,连接,,由判定,由全等三角形的性质得,,再由 判定,由全等三角形的性质得,由等腰三角形的性质即可求解;
拓展创新:连接并延长至,使,连接、,过作交于,由直角三角形的特征及勾股定理得,由三角形中位线定理得,由可判定,由全等三角形的性质得,,同理可判定,由全等三角形的性质得,即可求解.
【详解】问题背景∶
∵和都是等边三角形,
,
,
,
,
,
在和中
,
(),
;
尝试应用:延长至点,使得,连接,,
,,
,
边绕点C逆时针旋转到,
,
,
,
,
,
,
,
,
是的中点,
,
在和中
,
(),
,
,
,
,
,
,
,
,
,
在和中,
,
(),
,
;
拓展创新:如图,连接并延长至,使,连接、,过作交于,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
点F,G分别为,的中点,
,
,
在和中
,
(),
,
,
,
,
,
,
,
,
,
在和中,
,
(),
,
,
.
【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的判定及性质,勾股定理,三角形中位线定理,全等三角形的判定及性质,直角三角形的特征等;能根据题意添加适当的辅助线构建全等三角形,并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键.
10.(1)见解析;
(2)见解析;
(3)20;
【分析】(1)由已知可得,可得结论;
(2)延长 ,交于点,连接,可得,可证明得:,可得,,可证明得,,可得结论;
(3)在(2)的条件下,根据五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积,求解即可
【详解】(1)证明:∵,
∴.
在 和 中,
∴,
∴
(2)延长 , 交于点,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在 和 中,
,
∴,
∴,
∵,
∴.
在 和 中,
,
∴,
∴,
∵即:,
∴∠,
∴;
(3)∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积,
∴五边形 的面积,
∵,,,
∴五边形 的面积
由(2)得,
∴,即,
∴,
设点到直线的距离为,
又∵,即,
∴,
故答案为20;.
【点睛】本题主要考查三角形全等及性质,综合性大,灵活构造辅助线是解题的关键.
11.(1),理由见解析;(2)结论成立,证明见解析;(3)的长为2.
【分析】此题属于几何变换综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、三角形的中位线定理,直角三角形的性质的综合运用;
(1)先证明,进而判断出,在由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论;
(2)延长到点F,使,连接,由,可得,,进而可得,再由,证明即可得出,由此得出,继而得出结论;
(3)延长到点M,使得,连接.先证明可得,由中位线性质定理得.由此即可得出.
【详解】解:(1).
理由:,
.
,
,
为CD的中点,
.
(2)结论成立.
证明:如图1,延长到点F,使,连接.
,,,
,,
,
,
,
又,,
,
.
,
(3)的长为2.
解:如图2,延长到点M,使得,连接.
,
.
,
.
,
,
.
为的中点,,
,
.
12.(1)
(2)证明见解析
(3)能形成平行四边形,
【分析】本题考查了旋转的性质,勾股定理及逆定理,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,矩形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握相关的性质定理,
()由勾股定理的逆定理可得,再证明即可求解,
(2)作,交的延长线于点F,利用旋转的性质得出相对应的边角关系,利用证明,即可求解;
(3)先证明四边形为矩形,得出,过点作,由面积法求出,进而由勾股定理求出,由此可得.
【详解】(1)解:∵,,,
∴,
∴为直角三角形,,
∵,即
∴,
又由旋转可得,,
在和中,
,
∴,
∴,
∴;
(2)解:在的延长线取点F,使,如图所示:
,
由旋转性质可知:,,,
,,,
,
在和中,
点是的中点;
(3)解:四边形能形成平行四边形,如图所示∶
当将绕点顺时针旋转度数时,得到,此时四边形能形成平行四边形,
由旋转可知:,,,
∴,
,
由(2)可知:,
∴,
在和中,
,
∴,
,
∴
又∵
∴四边形,四边形是平行四边形,
又
四边形为矩形,
,,
过点作,
∵,
∴,
,即
∴
在中,由勾股定理得:
13.(1);(2)见解析;(3);理由见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题,考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,并运用类比的方法解决问题.
(1)延长到点,使,根据定理证明,可得结论;
(2)延长到点F,使得,连接.证明,得出,得出,得出,即可证明结论.
(3)延长,使,连接,证明,得出,,证明,得出,即可证明结论.
【详解】解:如图1,延长到点,使,
∵是的中点,
,
,
,
,
在中,,
,
;
(2)证明:如图,延长到点F,使得,连接.
∵是边上的中线,
∴,
在和中,
,
,
∴,
∴,
,,
,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;
(3)解:;理由如下:
如图,延长,使,连接,
∵为边上的中线,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴.
14.(1);
(2)见解析;
(3).
【分析】(1)根据等边三角形性质,可得,在中,求出,,进而在中求出.
(2)延长至H,使,连接,,易得,再证明,可得是等边三角形,从而可得,即可得出结论;
(3)延长到,使,连接、,,由旋转相似模型可以证明,从而可得,即点M直线上运动,根据将军饮马模型可得当、M、C三点共线,点N与C点重合时,此时最小,最小值为,根据最小值的图形解三角形即可求解.
【详解】(1)解:∵是等边三角形,
∴,,
∴,
在中,,
,
∴,
在中,,
则;
(2)证明:延长至H,使,连接,,如图,
∵点G为的中点,
∴.,
在和中,
,
∴,
∴,,
∴,
∴
∵,
∴,
∵是等边三角形,
∴,,
∴,
∵点F在线段的垂直平分线上,
∴,
,,
在和中,
,
∴
∴,,
∴,
∴是等边三角形,
,
∴,,
∴;
(3)如图3-1,延长到,使,连接、,,
∴,
又∵在等边中,,
∴,
由旋转可知:,,
∴,
∴,
∴,
又∵,即,
∴
∴,
∴,
∴点M直线上运动,
作点B关于MG的对称点,连接、、、,
由对称性质可知:,,,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,即:,
∴当、M、C三点共线,点N与C点重合时, 如图3-2,此时最小,最小值为,
设边长为,作,垂足为K,作,垂足为H,
∴,
,
∵,,
∴,
,
∵,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了解三角形、相似三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形性质和判定等,解题(2)关键倍长中线构造全等三角形证明是等边三角形,解题(3)关键利用旋转相似模型构造,证明,即点M直线上运动,由将军饮马模型得出最小值时M、N的位置上.
15.(1),
(2)成立,证明见解析;
(3)成立,证明见解析;
【分析】本题是四边形综合题目,
(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,证出;再证明,得出;
(2)延长至,使,连接,,,先证,得,,再证,得,,然后证为等腰直角三角形,即可解决问题.
(3)先证明,得出,再证明,得出,,得出,证出为等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得出结论.
【详解】(1)证明:在中,为的中点,
,
∴,
同理:,,
∴,
四边形是正方形,
,,
∵,,
,
;
(2)解:(1)中结论仍然成立,理由如下:
延长至,使,连接,,,如图②所示:
在与中,
,
,
,,
在正方形中,,,
,,
,是等腰直角三角形,
,,
在与中,
,
,
,,
,
为等腰直角三角形,
,
,,
(3)解:(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过作的平行线并延长交于点,连接、,过作于,如图③所示:
,
在与中,
,
,
,
四边形是正方形,
,,
,,
,
,,
,
是等腰直角三角形,
,
在与中,
,
,
,,
,
为等腰直角三角形,
为中点,
,.
【点睛】本题涉及了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,利用倍长中线构造三角形全等,两次证明三角形全等是解决问题的关键.
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