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圆的综合 归纳练
2025年中考数学初中学业水平考试指导
1．如图，内接于，，．连接交于点E，交点F．
(1)求证：与相切；
(2)当点F为弧的中点，，时，求的半径．
2．在中，，点是边上一点，以为半径的与边相交于点．
(1)如图1，当过点时，取边中点，连接，求证：是的切线；
(2)如图2，若，，求的值．
3．如图①，为 的直径，弦交于点 ( 在线段上），且．
(1)若，用含有的代数式表示 ．
(2)如图②，点在弧上，且 ，连结交于点 ，求证： ．
(3)在（2）的条件下，
①若 ，求的长；
② 若，用含有的代数式表示．
4．如图，在中，，以为直径的交于点，点是线段的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
5．如图，内接于，为的直径，点D为弧中点，连接，平分交于E．
(1)求证：；
(2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求劣弧、线段、围成的阴影部分的面积；
6．如图，是的直径，是的弦，平分交于点D，过点D作 交的延长线于点 E，连接交于点 F，已知，．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长度；
(3)求的值．
7．如图，内接于，连接，记，．
(1)证明：；
(2)设与交于点D，半径为2，
①若，求由线段，弧围成的图形面积S；
②若，设，用含k的代数式表示线段的长．
8．综合探究：
如图，四边形是的内接四边形，，，点A是的中点，且．
(1)若，求证：是的直径；
(2)求证：直线是的切线；
(3)若，，求的长．
9．已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F．
(1)如图1，若 ，求证：；
(2)如图2，若，，求的半径．
10．如图1，为直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，延长至．
(1)求证：平分；
(2)如图2，若，，点是半圆的中点，连接，．
①求；
②求的长．
11．如图，是的两条直径，，点是劣弧上一动点（点不与重合）．连接，分别交于点，，连接．设的半径为，．

(1) （用含的代数式表示）；
(2)当时，求；
(3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
12．已知，如图1，P是内的一点，直线分别交于点A，B，易得是点P到上的点的距离的最大值．如图2，在平面直角坐标系中，点，以为半径在x轴的上方作半圆O，交x正半轴于点B，点C是该半圆上一动点，连接、，并延长至点D，使．
(1)连接，直接写出的最大值为_____；
(2)如图3，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足．
①若点C的横坐标为4，求线段的长；
②若将点C从点B运动到点A，则线段（包含起点处）扫过的区域的面积为___．
13．如图，的顶点、在上，边、分别与相交于、，连结．

(1)求证：．
(2)填空：①若恰为的中位线，，则　　．②若点恰平分，时，则当　　时，四边形是菱形．
14．已知半圆的直径，是半圆上的一个动点（不与点、重合），连接，以直线为对称轴翻折，将点的对称点记为，射线交半圆于点，连接．

(1)如图1，求证：．
(2)如图2，当点与点重合时，求阴影部分的面积
(3)过点作射线的垂线，垂足为，连接交于点，当时，求的值．
15．如图1，BC为的直径，点A为弧BC的中点，连接AB，AC，
(1)求的度数；
(2)如图2，点D在弧AB上，连接AD、BD，连接CD交AB于点E，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在CA上截取，过点F作于点G，FG的延长线交于点H，连接OG、CH，若，，求AD的长．
《圆的综合 归纳练 2025年中考数学初中学业水平考试指导》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，，延长交于点G，证明垂直平分，得出，，根据平行线的性质得出，即可得出，证明与相切；
（2）证明，得出，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：连接、，，延长交于点G，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵点F为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理的推论，切线的判定，垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）连接，，先得出，结合点是中点，得出，得出，再判定 ，即可证明；
（2）延长交于点，连接，，利用垂径定理得出，利用圆内接四边形得出，再证明，证明，得出，由，，设，，，求出，，，，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
是直径，
，
点是中点，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
∵为的半径，
是的切线；
（2）解：如图，延长交于点，连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
，
∴，
则，
∴，
由，，
设，，，
∴，
则，
，
，
，
．
3．(1)
(2)见解析
(3)①；②
【分析】（1）如图①，连结，，由圆周角定理得到，根据，得，根据三角形外角的性质得到，由
即可求解；
（2）如图，连结 ，延长交于，由（1）可知， ，则 ，所以，则，由垂径定理即可求解；
（3）①连结，，可证，则 ，即，由即可求解；②由（2）可得，，则 ，设，则，设，由面积法可求得 ，则，，在等腰中，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，连结，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连结 ，延长交于，
由（1）可知， ，
，
，
，
，
，
．
（3）解：①∵，
∴，
连结，，
，
∴，
，即，
．
②由（2）可得，，，
∴，即是角平分线，
∴，且，
∴ ，
，
已知，
设，则，
设，由面积法可求得 ，则，
，
在等腰中，．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，余弦值的计算，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法是关键．
4．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接、，则，由等边对等角得到，由直径可得，再结合斜边中点，得到，从而得出，求出，即可证明结论；
（2）连接，利用角的正切值，得出，，从而得出，，证明是的中位线，得到，，再证明，即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接、，则，
，
是的直径，
，
，
∵点是线段的中点，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
∴直线是的切线．；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，圆的切线的判定，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线是解题关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角可推出，由角平分线的定义，可得，从而得出，再根据等角对等边，即可证明结论；
（2）连接，由（1）可知，，根据弧与圆心角的关系可得，进而证明是等腰直角三角形，求出，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用阴影面积求解即可．
【详解】（1）证明：点D为弧中点，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
；
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，，
，
，
点D为弧中点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是的切线，切点为，
，
是等腰直角三角形，
，
劣弧、线段、围成的阴影部分的面积
．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积公式，圆的切线的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
6．(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由圆周角定理可得，得到，进而得出，即可证明结论；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而证明，得出，再利用勾股定理求解即可；
（3）连接、交于点，由垂径定理可得，证明四边形是矩形，得到，，从而求出，再证明是的中位线，得到，从而求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
（3）解：如图，连接、交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
点、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线 的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
7．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）连接，利用圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）①利用（1）的结论与已知条件可得，则为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系定理可得，过点D作，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求线段的长，利用即可求解；②延长，交于点G，连接，利用圆周角定理可得，利于等腰三角形的性质可得，进而得到，过点O作，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理可求，，利用平行线的性质可得，由相似三角形对应边成比例得出比例式，设，则，代入比例式，解方程即可得出结论．
【详解】（1）连接
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）①∵，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
过点D作，如图
则
∵
∴
∴
∴
∵
∴
②∵，
∴
延长，交于点G，连接
∵
∴
∵
∴
∴
过点O作，则，
∵
∴
∴
设，则
∵
∴
∴
∴，解得：
∴
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用垂直的定义，等量代换的性质和的圆周角所对的弦为直径的性质解答即可；
（2）连接并延长交于点G，利用垂径定理得到，利用平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（3）连接，过点A作，交的延长线于点H，利用全等三角形的判定与性质得到，，则．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是的直径；
（2）证明：连接并延长交于点G，如图，
∵点A是的中点，且过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：连接，过点A作，交的延长线于点H，如图，
∵点A是的中点，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理垂径定理，圆的切线的判定定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理：
（1）利用证得，进而可求证结论；
（2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解；
熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。
【详解】（1）证明：为直径，
，
，
，
，
在和中，
，
（2）平分，
，
由（1）得：，
在和中，
，
，
，
，，
设，，
由勾股定理得：，，
，，
，即：，
解得：，
为直径，
的半径为。
10．(1)见解析
(2)①；
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由切线的性质可得，结合推出，由平行线的性质结合等边对等角得出，即可得证；
（2）①由勾股定理得出，证明，再由正弦的定义计算即可得出答案；②过点作于点，求出，结合得出，再求出的长度，即可得解．
【详解】（1）证明：∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：①∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点作于点，
，
∵点是半圆弧的中点，
∴弧弧，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
11．(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）由题意得出，再由三角形的内角和即可解答；
（2）过点作于点，由（1）可得，由直角三角形的性质可得出最终结果；
（3）结合题意，得出，根据相似的性质即可求出最终结论．
本题主要考查圆周角定理和相似三角形的性质，熟练掌握以上性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：
，，
,
,
故答案为:．
（2）解：过点作于点，

，
,
,
设，则
,
,
（3）解： 是定值，，理由如下：
连接，

由题意知，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
即．
12．(1)
(2)①；②
【分析】（1）连接，求出，再由，点C是该半圆周上一动点，得出当点C与点A重合时，，此时取得最大值，即可得出结论；
（2）①连接，过点C作轴于点G，则，得，再求出，得，，，然后由圆周角定理得，则，，进而证，即可解决问题；
②结合为直径，，易得是的垂直平分线，，如图，点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，列式即可作答．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵点，
∴， ，，
∵，点C是该半圆周上一动点，
∴当点C与点A重合时，，如图，
此时取得最大值；
（2）解：①如图，连接，过点C作轴于点G，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C的横坐标为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
即线段的长为；
②依题意，如图3：
因为为直径，
所以，
因为，
所以是的垂直平分线，
则，
故点D在以点A为圆心，为半径的半圆上，点C在以点O为圆心，为半径的半圆上，
所以点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合，涉及圆周角定理，线段最值，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，面积差等知识内容，难度较大，综合性较强，要求学生有较强的作图能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）由圆内接四边形性质可得，进而可得，即可证得结论；
（2）①由三角形中位线定理可得，再由平行线性质可得，结合，可得，再利用三角形内角和定理即可求得答案；②连接，根据菱形性质可推出：、均为等边三角形，再利用圆周角定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图，

由（1）得，
恰为的中位线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②如图3，连接，

四边形是菱形，
，，
，
、均为等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形性质，等边三角形的判定及性质，三角形内角和定理，菱形的判定及性质，圆周角定理等，掌握连接半径构建等腰三角形及圆的相关性质是解题关键．
14．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）首先根据折叠的性质，可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，易得，然后由“内错角相等，两直线平行”即可证明；
（2）连接，，设交于点，首先证明，可得，即可证明为等边三角形，由等边三角形的性质可得，易得，结合勾股定理解得，然后由求解即可；
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，计算的值，即可获得答案．
【详解】（1）证明：根据折叠的性质，可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，，设交于点，如下图，

∵点关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）当点在线段上时，如下图，过点作，垂足为，

∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在线段的延长线上时，如下图，过点作，垂足为，

∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积计算、平行四边形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆心角及其所对弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，即可得到，再根据直径所对的圆周角是直角，可得所对的圆周角，得到是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）如图2，连接，，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得到，，由为直径，得到为直角三角形，根据股股定理得，设，则，圆的半径为 ，则，根据三角形面积公式可得，即可得到，由图可得，再由勾股定理得，，可证得，由此可得，两边开平方即可得出结论；
（3）如图，过点作于点，连接，作的延长线交于点，连接，先证明，再证明，由，，可证得，得到，，然后证得，再由，即可证得，得到，，再证得是等腰直角三角形，即可求出，过点作于点，则所在的直线垂直平分，由轴对称性质可得，即可得到，进而证得，设，则，，，根据勾股定理得，代入解得，即可求出．
【详解】（1）解：点为弧的中点，
，
，
又为直径，
，
为等腰直角三角形，
．
（2）证明：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
为直径，
，
，
设，则，圆的半径为 ，则，
，
，
，
，，，
，
，
点在弧上，
，，
，
．
（3）解：如图，过点作于点，连接，作的延长线交于点，
，
，
，
，
，
，即为等腰直角三角形，
，，，
，
又，，
，
，，
，
，
，，
，
即在和中，，
，
，，
，
，
，
，
过点作于点，则所在的直线垂直平分，
关于所在的直线对称，，
，
，
交于点，交于点，
点，点关于所在直线对称，
与关于所在直线对称
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
，
，
，，
，解得，(舍去)，
为等腰直角三角形，
．
【点睛】本题综合考查了圆的性质，垂径定理及推论，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质、定理及推论，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题关键．

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