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第二章 圆周运动
第一节　匀速圆周运动
核心素养点击
物理观念 (1)认识圆周运动、匀速圆周运动的特点
(2)理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向
(3)理解角速度的物理意义
(4)了解转速和周期的意义
科学思维 (1)掌握线速度和角速度的关系
(2)能在具体的情境中确定线速度和角速度
(3)理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系
科学态度与责任 会用描述匀速圆周运动的物理量分析有关问题
一、线速度
1．填一填
(1)圆周运动：运动轨迹为 或一段 的机械运动。
(2)线速度。
①定义：物体运动的 与时间Δt之比。
②定义式：v＝___。
③方向：物体做圆周运动时该点的 方向。线速度是矢量。
④物理意义：表示物体在某点运动的 。
(3)匀速圆周运动：线速度 处处相等的圆周运动。因线速度的方向在时刻变化，故匀速圆周运动是一种 运动。
圆周
圆弧
弧长Δl
切线
快慢
大小
变速
√
×
×
×
3．选一选
[多选]关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是 (　　)
A．匀速圆周运动是变速运动
B．匀速圆周运动的速率不变
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．任意相等时间内通过的路程相等
解析：由匀速圆周运动的定义知，线速度的大小不变也就是速率不变，但线速度方向时刻改变，故A、B两项正确；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，D项正确、C项错误。
答案：ABD　
转动
角度Δθ
弧度每秒
rad/s
不变
一周
T
圈数
2．判一判
(1)角速度是标量，它没有方向。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时在相等的时间内转过的角度相等。 ( )
(3)做匀速圆周运动的物体，角速度越大，周期就越大。 ( )
3．想一想
钟表上的时针和分针绕轴转动的角速度一样吗？
提示：时针12小时转一周，分针1小时转一周，故分针绕轴转动的角速度较大。
×
√
×
三、线速度、角速度和周期间的关系
1．填一填
(1)线速度和周期、半径的关系：v＝____。
(2)角速度和周期的关系：ω＝___。
(3)线速度和角速度的关系：v＝ 。
2．判一判
(1)匀速圆周运动的周期越大，则线速度越大。 ( )
(2)匀速圆周运动的周期越大，则角速度越小。 ( )
(3)匀速圆周运动的角速度越大，则线速度越大。 ( )
ωr
×
√
×
3．想一想
打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度不同。
探究(一)　描述圆周运动的各物理量的关系
[问题驱动]
如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀
螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)陀螺绕垂直于地面的轴线稳定旋转时，a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
提示：ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
提示：va＝vc>vb。　　
[重难释解]
1．描述圆周运动的各物理量间的关系
2．v、ω及r间的关系
(1)由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；ω一定时，v∝r。v与ω、r间的关系如图甲、乙所示。
“厦门海底隧道工程”是中国首条海底地铁盾构隧道施工技术应
用的成果，达到国际领先水平。如图所示是挖掘隧道使用的隧道盾
构机。盾构刀盘直径为15.01米，相当于五层楼高度。其基本工作原
理是沿隧道轴线边向前推进，通过旋转前端盾形结构利用安装在前端的刀盘对土壤进行开挖切削，挖掘出来的土碴被输送到后方。如图所示为某盾构机前端。以下说法中正确的是 (　　)
A．盾构机前端转动时，各个刀片转动的角速度相同
B．盾构机前端转动时，各刀片的速度随半径的增大而减小
C．当盾构机前端转速为3 r/min时，其转动周期为0.05 s
D．当盾构机前端转速为3 r/min时，盾构机外边缘的速度约为2.4 m/s
圆周运动各物理量间关系的应用技巧
(1)分析线速度和角速度的关系，应用公式v＝ωr。
(2)分析转速和角速度的关系，应用公式ω＝2πn。
[素养训练]
1．如图所示，A、B是电风扇叶片上的两点。电风扇工作时A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则(　　)
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB
C．vA＞vB D．vA＜vB
解析：由题图可知A、B是电风扇叶片上的两点，同轴转动，则角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝rω，rA>rB，可知vA>vB，选项C正确。
答案：C　
2. 如图所示，A、B为某小区门口自动升降杆上的两点，A在杆
的顶端，B在杆的中点处。杆从水平位置匀速转至竖直位置
的过程中，A、B两点 (　　)
A．角速度大小之比为2∶1
B．角速度大小之比为1∶2
C．线速度大小之比为2∶1
D．线速度大小之比为1∶2
解析：因为A、B两点是同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，故A、B错误；由v＝ωr，可知速度之比等于半径之比，故A、B两点线速度大小之比为2∶1，故C正确，D错误。
答案：C　
3．(2024·哈尔滨高一检测)如图为在短道速滑比赛中运动员过弯道的情境。假定两位运动员在过弯道时保持各自的速率恒定，一位运动员在内道角速度为ω1，线速度大小为v1；另一位运动员在外道角速度为ω2，线速度大小为v2，他们同时进入弯道同时出弯道，则他们的角速度与线速度大小的关系为(　　)
A．ω1＝ω2，v1＜v2　　　　 B．ω1＞ω2，v1＜v2
C．ω1＜ω2，v1＝v2 D．ω1＜ω2，v1＜v2
解析：两位运动员过弯道时，同时进入弯道同时出弯道，故两位运动员绕弯道运动的角速度相同，即ω1＝ω2，由于外道的运动员的轨道半径较大，由v＝ωr知外道的运动员的线速度较大，即v1＜v2，故A正确，B、C、D错误。
答案：A　
探究(二)　常见三种转动装置
[问题驱动]
如图为两种传动装置的模型图。
(1)甲图为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度及角速度关系。
提示：皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相同，又v＝ωr，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小。
(2)乙图为同轴传动装置，试分析A、C两点的角速度及线速度关系。
提示：同轴传动时，在相同的时间内，A、C两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝ωr，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大。　　
[重难释解]
续表
如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，
A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若
皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。
解析：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即
va＝vb或va∶vb＝1∶1， ①
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2， ②
B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1， ③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2， ④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
答案：1∶2∶2　1∶1∶2
[迁移·发散]
上述典例中，若C轮的转速为n r/s，其他条件不变，则A轮边缘的线速度和角速度各为多大？
[素养训练]
1. 如图所示，风力发电机叶片上有a和b两点，在叶片转动时，
a、b的角速度分别为ωa、ωb，线速度大小为va、vb，则(　　)
A．ωa<ωb，va＝vb
B．ωa>ωb，va＝vb
C．ωa＝ωb，vaD．ωa＝ωb，va>vb
解析：由于a、b两点属于同轴转动，故它们的角速度相等，即ωa＝ωb，由公式v＝ωr且由题图可知，ra>rb，所以va>vb，故D正确。
答案：D　
2．如图所示动力传输装置，电动机皮带轮的半径小于机器皮带轮的半径，轮边缘上有两点A、B，关于这两点的线速度v、角速度ω、周期T，下列关系正确的是 (　　)
A．vA＜vB B．vA＞vB
C．TA＞TB D．ωA＞ωB
3．共享单车是目前我国规模最大的校园交通代步解决方案，为广大高校师生提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的共享单车服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和前、后两齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是 (　　)
A．ωB＝ωC　　　　　　　 B．vC＝vA
C．2ωA＝5ωB D．vA＝2vB
解析：B轮和C轮是链条传动，链条传动的特点是两轮与链条接触点的线速度的大小与链条的线速度大小相同，故vB＝vC，根据v＝ωR，得5ωB＝2ωC，故A错误；由于A轮和C轮同轴，故两轮角速度相同，根据v＝ωR，得vA＝5vC，故B错误；因vA＝5vC，vA＝ωARA，vC＝vB＝ωBRB，故vA＝5vB,2ωA＝5ωB，故C正确，D错误。
答案：C　
4. 如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比。
(2)B齿轮的转速n2。
探究(三)　　匀速圆周运动的多解问题
[重难释解]
匀速圆周运动的周期性和多解性
因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)。
匀速圆周运动多解问题
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
[素养训练]
1. 如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。
2. 如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用
下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由
M点开始逆时针做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求力
F为多大时可使A、B两物体在某些时刻的速度相同。
3．如图所示，用薄纸做成的圆筒直径为D，竖直放置，绕圆筒轴线OO′以角速度ω0逆时针匀速运动。一玩具手枪发出的子弹，沿水平方向匀速飞来(不计子弹重力影响)，沿圆筒的直径方向击穿圆筒后飞出(设薄纸对子弹的运动速度无影响且认为纸筒没有发生形变)，结果在圆筒上只留下子弹的一个洞痕，求子弹的速度。
　一、培养创新意识和创新思维
炎炎的夏夜，当你在日光灯下打开电风扇，你会发现随着电风扇转速的变化，电风扇叶片有时仿佛静止不动，有时倒转，有时正转。这是怎么回事呢？
解析：日光灯并不是连续发光，而是随着交流电的频率不停地闪烁，断断续续将物体照亮。目前，我国使用的交流电频率是50 Hz，日光灯发光的频率是其两倍，即每秒有100次闪烁。
由于人眼的视觉暂留性，通常情况下感觉不到这种闪烁，但对于高速转动的物体就不同了。由于日光灯每秒钟100次照亮物体，因此，当电风扇的转速达到100 r/s的整数倍时，电风扇的叶片总是在同一位置上。这样人就觉得电风扇叶片是“静止”不动的了。
二、注重学以致用和思维建模
1．一户外健身器材如图所示，当器材上轮子转动时，轮子上A、B两点的(　　)
A．转速nB>nA
B．周期TB>TA
C．线速度vB>vA
D．角速度ωB>ωA
解析：A、B两点为同轴转动，所以nA＝nB，TA＝TB，ωA＝ωB，而线速度v＝ωr，所以vB>vA，故C正确。
答案：C　
2．如图所示，P、Q为固定在自行车后轮上的两个转动齿轮，与车后轮同角速度转动，通过链条与脚踏轮M连接，P轮的半径比Q轮的大。保持M以恒定角速度转动，将链条由Q轮换到P轮，则车后轮转动的(　　)
A．角速度不变 B．角速度变小
C．周期不变 D．周期变小
答案：B　
3．(2024·湖北武汉高一期末)在机床、汽车等机器或设备中通常会使用一种叫作蜗杆传动的装置，如图所示。这种装置由蜗杆和蜗轮组成，从外形上看，蜗杆类似螺栓，蜗轮则很像斜齿圆柱齿轮。工作时，一般以蜗杆为主动件，当蜗杆旋转时，会带动蜗轮轮齿沿着蜗杆的螺旋面转动，蜗杆每旋转一圈，蜗轮轮齿会转动一格，若螺距为d＝1.6π mm的蜗杆以每秒20圈的转速旋转，则半径为r＝ 32 mm的蜗轮将获得的转速是(　　)
A．30 r/min B．120 r/min
C．1 200 r/min D．48 000 r/min
解析：设蜗轮的转速大小为n，则由题意可知20d＝2πrn，解得n＝0.5 r/s＝30 r/min，故选A。
答案：A　课时跟踪检测（六） 匀速圆周运动
A组—重基础·体现综合
1．关于匀速圆周运动的物理量，说法正确的是(　　)
A．半径一定时，线速度与角速度成正比
B．周期一定时，线速度与角速度成正比
C．线速度一定时，角速度与半径成正比
D．角速度一定时，线速度与半径成反比
解析：选A　根据公式v＝ωr，当半径一定时，角速度与线速度成正比，周期一定时，由ω＝，知角速度一定，A正确，B错误；根据公式v＝ωr，线速度一定，角速度与半径成反比，C错误；根据公式v＝ωr，角速度一定，线速度与半径成正比，D错误。
2．做匀速圆周运动的物体，2 s内转过的角度为360°，则物体的角速度为多大(　　)
A．π rad/s B．2π rad/s
C．4π rad/s D．6π rad/s
解析：选A　根据角速度的定义得ω＝ rad/s＝π rad/s，故A正确，B、C、D错误。
3.如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则(　　)
A．ωP<ωQ，vPC．ωP<ωQ，vP＝vQ D．ωP＝ωQ，vP>vQ
解析：选B　P、Q两点是同轴转动，故角速度相等，即ωP＝ωQ；根据v＝ωr可知，因rQ>rP，则vP4．图甲是一款感应垃圾桶。物体靠近其感应区，桶盖会自动绕O点水平打开，如图乙所示。桶盖打开过程中，桶盖上的A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则(　　)
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB
C．vA＞vB D．vA＜vB
解析：选D　桶盖上的A、B两点同时绕着O点转动，则角速度大小相等，即ωA＝ωB；根据v＝ωr，又有rB>rA，则vB>vA，故A、B、C错误，D正确。
5.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由于甲、乙、丙三个轮子靠摩擦传动，相互之间不打滑，故三个轮子边缘上的线速度相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，所以ω3＝，A正确。
6．“修正带”是深受同学们欢迎的一种学习用品，某种“修正带”内部结构如图所示。经测量两个齿轮的半径分别为2.0 cm和0.8 cm，其中a点和c点分别位于大、小齿轮边缘，b点位于大齿轮某半径的中点，当齿轮匀速转动时(　　)
A．大齿轮上的a点与大齿轮上b点的周期之比为2∶5
B．大齿轮上的a点与小齿轮上c点的角速度之比为5∶2
C．大齿轮上的b点与小齿轮上c点的线速度之比为1∶1
D．大齿轮上的b点与小齿轮上c点的角速度之比为2∶5
解析：选D　a、b共轴转动，角速度相等，故ωa＝ωb，由T＝知大齿轮上的a点与大齿轮上b点的周期之比为1∶1，A错误；两齿轮边缘点的线速度大小相等，故va＝vc，根据v＝ωr知角速度与半径成反比，则ωa∶ωc＝rc∶ra＝2∶5，B错误；根据题意有ra∶rb∶rc＝10∶5∶4，根据v＝ωr，由于ωa＝ωb，va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，则va∶vb∶vc＝2∶1∶2，C错误；由以上分析知ωa＝ωb，ωa∶ωc＝2∶5，大齿轮上的b点与小齿轮上c点的角速度之比为2∶5，D正确。
7．(多选)如图所示为用绞车拖物块的示意图。拴接物块的细线被缠绕在轮轴上，轮轴逆时针转动从而拖动物块。已知轮轴的半径R＝0.5 m，细线始终保持水平；被拖动物块质量m＝1 kg，与地面间的动摩擦因数μ＝0.5；轮轴的角速度随时间变化的关系是ω＝2t rad/s，g取10 m/s2。物块先后经过A、B、C、D四点，已知AB＝BC＝CD。以下判断正确的是(　　)
A．物块做匀速运动
B．物块做匀加速运动，加速度大小为1 m/s2
C．物块在CD段上的平均速度更接近轮轴边缘的线速度
D．轮轴做匀速圆周运动
解析：选BC　物块速度始终与轮轴边缘线速度大小相等，为v＝ωR＝t m/s，又v＝at，得a＝1 m/s2，故A错，B对；物块做匀加速运动，则轮轴边缘线速度逐渐增大，故D错；物块先后经过AB、BC、CD所用时间满足tAB>tBC>tCD，根据v＝知，当t越小时物块的平均速度越接近轮轴边缘的线速度，C正确。
8．如图所示，直径为0.5 m的地球仪匀速转动，已知地球仪上B点的线速度为 m/s，求：
(1) 地球仪转动的角速度和周期；
(2) 地球仪上A点的线速度。
解析：(1) B点做圆周运动的半径为
RB＝R·cos 60°＝0.125 m，
且vB＝ω·RB，得出角速度ω＝π rad/s。
又由ω＝ ，得出地球仪转动的周期T＝2 s。
(2)A点的线速度为vA＝ω·RA，
得出vA＝ m/s。
答案：(1)π rad/s　2 s　 (2) m/s
B组—重应用·体现创新
9．自行车，又称脚踏车或单车，骑自行车是一种绿色环保的出行方式。如图所示，A、B、C分别是大齿轮、小齿轮以及后轮边缘上的点，则(　　)
A．A点的线速度大于B点的线速度
B．A点的角速度小于B点的角速度
C．C点的角速度小于B点的角速度
D．A、B、C三点的线速度相等
解析：选B　由题意知A、B两点属于链条传动，线速度相等，故A错误；由题图可知rA＞rB，根据ω＝，知ωA＜ωB，故B正确；C、B两点属于同轴转动，则角速度相等，故C错误；根据v＝ωr可得vB＜vC，故D错误。
10．现在许多汽车都应用了自动挡无级变速装置，可不用离合就能连续变换速度，如图为截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚动轮，主动轮、滚动轮、从动轮之间靠彼此之间的摩擦力带动，当位于主动轮和从动轮之间的滚动轮从左向右移动时，从动轮转速降低；滚动轮从右向左移动时，从动轮转速增加。现在滚动轮处于主动轮直径D1，从动轮直径D2的位置，则主动轮转速n1与从动轮转速n2的关系是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选B　角速度ω＝2πn，则主动轮的线速度v1＝ω1＝πD1n1，从动轮的线速度v2＝ω2＝πD2n2。因为主动轮和从动轮的线速度相等，则πD1n1＝πD2n2，所以＝，选项B正确，A、C、D错误。
11.如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过O点且水平向右为x轴正方向。在圆心O点正上方距盘面高为h处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水，则：
(1)每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？
(3)当圆盘的角速度为π时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为s，求容器的加速度a。
解析：(1)离开容器后，每一滴水在竖直方向上均做自由落体运动，每一滴水滴落到盘面上所用时间t＝ 。
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线，则圆盘在t时间内转过的弧度为kπ，k＝1,2,3，…。ωt＝kπ
即ω＝kπ ，其中k＝1,2,3，…。
(3)第二滴水落点与O点的距离为
s2＝at2＋(at)t，①
第三滴水落点与O点的距离为
s3＝a(2t)2＋(2at)t，②
①②两式中：t＝ ，③
又Δθ＝ωt＝π × ＝π，
即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上x轴方向及垂直x轴的方向上
s22＋s32＝s2，④
联立①②③④可得：a＝≈0.117。
答案：(1)
(2)kπ ，其中k＝1,2,3，…
(3)0.117
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