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物理
第讲　实验：用单摆测量重力加速度
考点一　教材原型实验
一、实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，由单摆的周期公式T＝2π，可得出g＝l，测出单摆的摆长l和振动周期T，就可求出当地的重力加速度g。
二、实验器材
带中心孔的小钢球、约1 m长的细线、带有铁夹的铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
三、实验步骤
1．做单摆
将细线穿过中心带有孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架上，让摆球自然下垂。如图所示。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝L＋。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(不超过5°)，然后释放小球，记下单摆做30次或50次全振动的总时间，算出平均做一次全振动的时间，即为单摆的振动周期T。
4．改变摆长，重做几次实验。
四、数据处理
数据处理的两种方法：
方法一：公式法。
根据公式T＝2π，得g＝。将测得的几组周期T和摆长l分别代入公式g＝中算出多组重力加速度g的值，再求出g的平均值，即为当地重力加速度的值。
方法二：图像法。
由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴描点作图，作出的l T2图像理论上是一条过原点的直线，如图所示，求出图像的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝。
五、误差分析
1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点固定，小球质量大、体积小，细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动等。
2．本实验的偶然误差主要来自时间的测量和摆线长度的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计摆球的全振动次数；使用刻度尺测量摆线长度时，要多次测量取平均值以减小误差。
3．利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理数据时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。
六、注意事项
1．小球选用质量大、体积小的钢球。
2．选用1 m左右难以伸缩且尽量轻的细线。
3．悬点位置不能发生变化，悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
4．单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。
5．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
例1　(2024·河北省邯郸市高三下5月检测)某同学在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用20分度游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，游标尺左侧数据由于磨损已经看不清，则该摆球的直径d＝________ cm。
(2)下列选项哪些可以减小实验误差________。
A．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
B．实验摆长越长越好
C．摆长一定的情况下，单摆的振幅尽量大
D．测周期时从小球位于最高点时开始计时
(3)如图乙所示，在选择合适的器材后进行组装实验，测得摆线长为l，单摆n次全振动所用时间为t，用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________(用所测物理量字母表示)。
例2　(2023·河北高考)某实验小组利用图1装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
(1)关于本实验，下列说法正确的是________。(多选)
A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直
B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C．小钢球可以换成较轻的橡胶球
D．应无初速度、小摆角释放小钢球
(2)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图2，小钢球直径d＝________ mm，记摆长l＝L＋。
(3)多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l T2图像，如图3。
根据图线斜率可计算重力加速度g＝________ m/s2(保留三位有效数字，π2取9．87)。
(4)若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
考点二　实验拓展与创新
例3　(2025·广东省高三上月考)某智能手机中的磁传感器功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下：
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。
③运行手机磁传感器功能，手机记录磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。
(1)如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为________。
(2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为________ cm。
(3)得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2 L图像，如图丁所示。根据图中数据可得当地重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，结果保留三位有效数字)。
(4)查表可知宁德地区的重力加速度为9．79 m/s2，则本实验的相对误差为________%(结果保留两位有效数字)。
例4　某班同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这颗古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳(质量不计且不可伸长)，于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段(已预留出打结部分的长度)，然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ．将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ．移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ．从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94．20 s。
(1)根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝________ s(π取3．14)。
(2)经百度查得该地区的重力加速度为9．79 m/s2，可估得该古树的树围C＝________ m。(结果保留两位有效数字)
(3)若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值________(填“>”“<”或“＝”)真实值。
课时作业
1．(2025·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、停表、卷尺等。完成下列问题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至________(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100．0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60．60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为________ m/s2。(取π2＝9．870，结果保留三位有效数字)
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0．800 54．17 3．26
0．900 57．54 3．68
1．000 60．60 4．08
1．100 63．55 4．49
1．200 66．34 4．89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝________(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为________m/s2(结果保留三位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是________________________________。
2．实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
(1)下列最合理的装置是________。
(2)为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有________。
A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B．要使摆球在同一竖直面内运动，不能做圆锥摆运动
C．摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
(3)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。
如图1所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。
在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2 l图像如图2所示。
①该图像的斜率为________。
A．g B．
C． D．
②由此得出重力加速度的测量值为________m/s2。(π取3．14，计算结果保留三位有效数字)
③实验中，该同学测量摆长时使用细线长，而非悬点到石块重心之间的距离，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值________真实值。(填“>”“＝”或“<”)
3．(2024·安徽省高三下模拟)在用单摆测量重力加速度的实验中：
(1)某同学组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球最顶端的长度L0＝97．00 cm，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图甲所示，则摆球直径d＝________ cm。
(2)实验时，他利用如图乙所示装置记录振动周期，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，光敏电阻与某自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的振动周期为T＝________ s。
(3)根据以上测量数据可得重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，结果保留三位有效数字)。
4．(1)某同学在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度为99．50 cm，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为________ cm。
(2)用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达________(选填“最高”或“最低”)点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时计一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为________ s，则单摆的周期为________ s。
(3)他计算得出的重力加速度为________ m/s2(π取3．14，结果保留两位小数)，比实际的重力加速度要大，其原因是________。
A．摆球太重 B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下 D．实验中全振动次数计少了
5．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图a所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图b所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图c所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81．50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54．60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9．870)
6．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动的过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出当地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3．14。回答下列问题：
(1)现有可选择的测量工具如下，本实验不需要的测量工具是________。
A．停表 B．时钟
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果实验中所得到的T2 L图像如图乙所示，那么真正的图像应该是线a、b、c中的________(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图像可知，当地的重力加速度g＝________ m/s2(结果保留三位有效数字)，小筒的深度h＝________ m。
（答案及解析）
例1　(2024·河北省邯郸市高三下5月检测)某同学在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用20分度游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，游标尺左侧数据由于磨损已经看不清，则该摆球的直径d＝________ cm。
(2)下列选项哪些可以减小实验误差________。
A．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
B．实验摆长越长越好
C．摆长一定的情况下，单摆的振幅尽量大
D．测周期时从小球位于最高点时开始计时
(3)如图乙所示，在选择合适的器材后进行组装实验，测得摆线长为l，单摆n次全振动所用时间为t，用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________(用所测物理量字母表示)。
[答案]　(1)1．130　(2)A　(3)
[解析]　(1)由游标卡尺的原理可知，20分度游标卡尺的游标尺上的每1小格实际长度为＝0．95 mm，从图甲中可以看出游标尺的第6小格与主尺上的17 mm对齐，故该摆球的直径为d＝(17－6×0．95) mm＝11．30 mm＝1．130 cm。
(2)组装单摆时，摆线应该选用轻且细且不易伸长的细线，故A正确；根据单摆周期公式T＝2π可知，摆长越大，周期越大，便于测量，减小误差，但摆线越长，单摆所受阻力对实验结果的影响越大，且悬挂点变高会使实验装置变得复杂和不稳定，摆长的测量误差也会变大，所以摆线长度应适度，一般选择1 m左右，并非越长越好，故B错误；单摆只有摆角在5°范围内时才可近似看作简谐运动，故在摆长一定的情况下，单摆的振幅不能太大，故C错误；小球在平衡位置即最低点时速度最大，故测周期时，为减小误差，应从小球位于最低点时开始计时，D错误。
(3)单摆的周期为T＝，单摆的摆长为L＝l＋d，单摆的周期公式为T＝2π，联立可解得重力加速度的表达式为g＝。
例2　(2023·河北高考)某实验小组利用图1装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
(1)关于本实验，下列说法正确的是________。(多选)
A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直
B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C．小钢球可以换成较轻的橡胶球
D．应无初速度、小摆角释放小钢球
(2)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图2，小钢球直径d＝________ mm，记摆长l＝L＋。
(3)多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l T2图像，如图3。
根据图线斜率可计算重力加速度g＝________ m/s2(保留三位有效数字，π2取9．87)。
(4)若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[答案]　(1)ABD　(2)20．035
(3)9．87　(4)不变
[解析]　(1)使用光电门测量时，光电门U形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确。测量摆线长度时，要保证摆线处于伸直状态，故B正确。单摆是一个摆线长度不变、摆线质量不计、摆球可视为质点的理想化模型，研究单摆时，需要使空气对摆球的阻力可以忽略，若用较轻的橡胶球代替小钢球，则摆线质量的影响变大，空气阻力对摆球的影响变大，会增大误差，故C错误。为了保证小钢球在竖直平面内做单摆运动，而不形成圆锥摆，应无初速度释放小钢球；单摆只有在摆角很小的情况下才可视为做简谐运动，才能使用公式T＝2π计算重力加速度，因此应小摆角释放小钢球，故D正确。
(2)由题图2可知，小钢球直径d＝20 mm＋3．5×0．01 mm＝20．035 mm。
(3)由单摆周期公式T＝2π，得l＝·T2，则l T2图像中图线的斜率k＝，可得g＝4π2k，由题图3知，图线的斜率k＝ m/s2＝ m/s2，解得g＝9．87 m/s2。
(4)若将摆线长度L误认为摆长l，因L＝l－＝·T2－，则仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为k＝，所以得到的重力加速度值将不变。
例3　(2025·广东省高三上月考)某智能手机中的磁传感器功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下：
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。
③运行手机磁传感器功能，手机记录磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。
(1)如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为________。
(2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为________ cm。
(3)得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2 L图像，如图丁所示。根据图中数据可得当地重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，结果保留三位有效数字)。
(4)查表可知宁德地区的重力加速度为9．79 m/s2，则本实验的相对误差为________%(结果保留两位有效数字)。
[答案]　(1)　(2)2．00
(3)9．96　(4)1．7
[解析]　(1)易知磁化小球在最低点时距离手机最近，此时手机测得的磁感应强度最大，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，一个周期内磁化小球两次经过最低点，则单摆周期T的测量值为T＝＝。
(2)由图丙可知，摆球直径为d＝20 mm＋0×0．1 mm＝20．0 mm＝2．00 cm。
(3)根据单摆周期公式可得T＝2π，其中r＝＝1．00 cm，整理可得T2＝(L＋r)，对比图丁可得图线斜率k＝＝ s2/m，解得当地重力加速度g＝9．96 m/s2。
(4)本实验的相对误差为η＝＝×100%＝1．7%。
例4　某班同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这颗古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳(质量不计且不可伸长)，于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段(已预留出打结部分的长度)，然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ．将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ．移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ．从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94．20 s。
(1)根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝________ s(π取3．14)。
(2)经百度查得该地区的重力加速度为9．79 m/s2，可估得该古树的树围C＝________ m。(结果保留两位有效数字)
(3)若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值________(填“>”“<”或“＝”)真实值。
[答案]　(1)4．71　(2)5．5　(3)>
[解析]　(1)从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，共经历n＝＝20个周期，总时间为n·T＝t，解得T＝＝4．71 s。
(2)根据单摆的周期公式T＝2π，解得摆长为l＝＝ m＝5．5 m，摆长即为古树的树围，即C＝l＝5．5 m。
(3)山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，而计算所使用的重力加速度偏大，所以该古树树围的测量值>真实值。
课时作业
1．(2025·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、停表、卷尺等。完成下列问题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至________(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100．0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60．60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为________ m/s2。(取π2＝9．870，结果保留三位有效数字)
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0．800 54．17 3．26
0．900 57．54 3．68
1．000 60．60 4．08
1．100 63．55 4．49
1．200 66．34 4．89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝________(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为________m/s2(结果保留三位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是________________________________。
答案：(1)最低点　(2)9．68　(3)4π2k　9．87　(4)见解析
解析：(1)摆球经过最低点时速度最大，在相等的距离误差内引起的时间误差最小，测出的周期误差最小，所以为了减小测量周期的误差，应该在摆球摆至最低点时开始计时。
(2)根据题意可知小球摆动的周期T＝＝2．02 s，摆长L＝100．0 cm＝1．000 m，根据单摆周期公式有T＝2π，解得重力加速度g＝＝9．68 m/s2。
(3)根据单摆周期公式有T＝2π，其中r为摆球半径，整理可得l＝·T2－r，可知l T2图线的斜率k＝，则重力加速度可表示为g＝4π2k，由图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2× m/s2＝9．87 m/s2。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，图像斜率均为，即对g的测量没有影响。
2．实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
(1)下列最合理的装置是________。
(2)为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有________。
A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B．要使摆球在同一竖直面内运动，不能做圆锥摆运动
C．摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
(3)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。
如图1所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。
在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2 l图像如图2所示。
①该图像的斜率为________。
A．g B．
C． D．
②由此得出重力加速度的测量值为________m/s2。(π取3．14，计算结果保留三位有效数字)
③实验中，该同学测量摆长时使用细线长，而非悬点到石块重心之间的距离，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值________真实值。(填“>”“＝”或“<”)
答案：(1)D　(2)BC　(3)①C　②9．86　③＝
解析：(1)根据单摆模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应使用密度较大、体积较小的铁球；为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹固定。故选D。
(2)测量摆长时，应在摆线竖直拉直时测量，故A错误；要使摆球在同一竖直面内运动，不能做圆锥摆运动，故B正确；摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，如摆角太大，单摆运动将不能再看作简谐运动，单摆周期公式不再适用，故C正确；测量周期时，为减小测量误差，应该从摆球运动到最低点时开始计时，故D错误。
(3)①由题图1可知，设M点到石块重心的距离为d，根据单摆的周期公式可得T＝2π，整理得T2＝l＋，故该图像的斜率为k＝，故选C。
②由题图2可知，k＝×102 s2/m＝4 s2/m，又k＝，解得g＝π2＝9．86 m/s2。
③由上述分析有T2＝l＋，可知d是否等于零，即l是否为摆长，并不影响T2 l图像斜率，而题中用斜率计算重力加速度，故重力加速度的测量结果不受影响，测量值＝真实值。
3．(2024·安徽省高三下模拟)在用单摆测量重力加速度的实验中：
(1)某同学组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球最顶端的长度L0＝97．00 cm，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图甲所示，则摆球直径d＝________ cm。
(2)实验时，他利用如图乙所示装置记录振动周期，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，光敏电阻与某自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的振动周期为T＝________ s。
(3)根据以上测量数据可得重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，结果保留三位有效数字)。
答案：(1)2．03　(2)2．000　(3)9．66
解析：(1)由图甲可知，摆球直径为d＝20 mm＋3×0．1 mm＝20．3 mm＝2．03 cm。
(2)根据光敏电阻的特性以及单摆运动的规律，结合图丙可知，该单摆的振动周期为T＝2．246 s－0．246 s＝2．000 s。
(3)单摆的摆长为L＝L0＋＝97．00 cm＋ cm＝98．02 cm，根据单摆的周期公式有T＝2π，得重力加速度g＝，代入数据解得g＝9．66 m/s2。
4．(1)某同学在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度为99．50 cm，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为________ cm。
(2)用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达________(选填“最高”或“最低”)点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时计一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为________ s，则单摆的周期为________ s。
(3)他计算得出的重力加速度为________ m/s2(π取3．14，结果保留两位小数)，比实际的重力加速度要大，其原因是________。
A．摆球太重 B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下 D．实验中全振动次数计少了
答案：(1)1．04　(2)最低　97．5　1．95
(3)10．37　C
解析：(1)由题图甲可知，摆球的直径为1 cm＋4×0．1 mm＝1．04 cm。
(2)摆球在最低点时速度最大，为减小时间测量误差，故应从摆球到达最低点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时计一次数，当数到100次时，单摆全振动的次数为50次，由题图乙可知，所用的时间为1分37．5秒，即97．5 s，故单摆的周期为T＝＝1．95 s。
(3)由(1)(2)可知，该单摆的摆长为l＝99．50 cm＋ cm＝100．02 cm，周期为T＝1．95 s，根据单摆做简谐运动的周期公式T＝2π，解得g＝＝10．37 m/s2。由g＝可知，g值与摆球质量太大、摆角太小无关，故A、B错误；若开始计时时停表过迟按下，使记录时间变小，次数不变，故单摆的周期测量值比实际值小，则g的测量值比实际的重力加速度要大，故C正确；若实验中全振动次数计少了，记录时间不变，则单摆的周期测量值比实际值大，则g的测量值比实际值要小，故D错误。
5．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图a所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图b所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图c所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81．50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54．60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9．870)
答案：(1)0．007(0．006、0．007、0．008均可)　20．033(20．032、20．033、20．034均可)　20．026(20．024、20．025、20．026、20．027、20．028均可，须对应前两空的差值)
(2)大于　(3)82．5　1．82　9．83
解析：(1)题图a中示数为d0＝0 mm＋0．7×0．01 mm＝0．007 mm，题图b中示数为d1＝20 mm＋3．3×0．01 mm＝20．033 mm，则摆球的直径为d＝d1－d0＝20．026 mm。
(2)如图所示，O1为悬点，AB∥OO1，A和B是角度盘上示数为5°的位置。由题意知，角度盘固定在杆上O点时，∠AO1O＝5°，由图可知，将角度盘固定在O点上方，示数为5°时，实际摆角∠BO1O>∠AO1O＝5°。
(3)单摆的摆线长度为l0＝81．50 cm，则摆长为l＝l0＋＝81．50 cm＋ cm＝82．5 cm。
每完成一次全振动，单摆经过最低点两次，故此单摆全振动次数N＝＝30，周期为T＝＝ s＝1．82 s，由单摆的周期公式T＝2π得，该小组测得的重力加速度大小g＝＝9．83 m/s2。
6．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动的过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出当地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3．14。回答下列问题：
(1)现有可选择的测量工具如下，本实验不需要的测量工具是________。
A．停表 B．时钟
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果实验中所得到的T2 L图像如图乙所示，那么真正的图像应该是线a、b、c中的________(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图像可知，当地的重力加速度g＝________ m/s2(结果保留三位有效数字)，小筒的深度h＝________ m。
答案：(1)BC　(2)a　(3)9．86　0．45
解析：(1)本实验需要测量时间以求出单摆的周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离L，则所需要的测量工具是停表和毫米刻度尺，本题选择不需要的测量工具，即为时钟和天平。故选B、C。
(2)由题图甲可得，单摆的摆长l＝L＋h，由单摆的周期公式得T＝2π，整理得T2＝L＋，因为>0，所以真正的图像应该是线a。
(3)根据(2)可知，T2 L图像的斜率k＝，纵截距d＝h，由图乙图线a可知，k＝，d＝1．80，可解得g＝9．86 m/s2，h＝0．45 m。
1(共57张PPT)
第十三章　机械振动
机械波
第3讲　实验：用单摆测量重力加速度
目录
1
2
考点一　教材原型实验
考点二　实验拓展与创新
课时作业
3
考点一　教材原型实验
三、实验步骤
1．做单摆
将细线穿过中心带有孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架上，让摆球自然下垂。如图所示。
五、误差分析
1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点固定，小球质量大、体积小，细线轻质非弹性，振动是在同一竖直平面内的振动等。
2．本实验的偶然误差主要来自时间的测量和摆线长度的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计摆球的全振动次数；使用刻度尺测量摆线长度时，要多次测量取平均值以减小误差。
3．利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差。利用图像法分析处理数据时要特别注意图像的斜率及截距的物理意义。
六、注意事项
1．小球选用质量大、体积小的钢球。
2．选用1 m左右难以伸缩且尽量轻的细线。
3．悬点位置不能发生变化，悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
4．单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。
5．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
例1　(2024·河北省邯郸市高三下5月检测)某同学在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用20分度游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，游标尺左侧数据由于磨损已经看不清，则该摆球的直径d＝________ cm。
1．130
(2)下列选项哪些可以减小实验误差______。
A．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
B．实验摆长越长越好
C．摆长一定的情况下，单摆的振幅尽量大
D．测周期时从小球位于最高点时开始计时
(3)如图乙所示，在选择合适的器材后进行组装实验，测得摆线长为l，单摆n次全振动所用时间为t，用上
述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝_________(用所测物理量字母表示)。
A
例2　(2023·河北高考)某实验小组利用图1装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
(1)关于本实验，下列说法正确的是________。(多选)
A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直
B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C．小钢球可以换成较轻的橡胶球
D．应无初速度、小摆角释放小钢球
ABD
20．035
(3)多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l T2图像，如图3。
根据图线斜率可计算重力加速度g＝________ m/s2(保留三位有效数字，π2取9．87)。
(4)若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将_____ (填“偏大”“偏小”或“不变”)。
9．87
不变
考点二　实验拓展与创新
例3　(2025·广东省高三上月考)某智能手机中的磁传感器功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下：
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往
侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。
③运行手机磁传感器功能，手机记录磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。
(1)如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为
________。
(2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为_______cm。
2．00
(3)得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2 L图像，如图丁所示。根据图中数据可得当地重力加速度g＝________ m/s2(π取3．14，结果保留三位有效数字)。
(4)查表可知宁德地区的重力加速度为9．79 m/s2，则本实验的相对误差为_______%(结果保留两位有效数字)。
9．96
1．7
例4　某班同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这颗古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳(质量不计且不可伸长)，于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段(已预留出打结部分的长度)，然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ．将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ．移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ．从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94．20 s。
(1)根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝________ s(π取3．14)。
(2)经百度查得该地区的重力加速度为9．79 m/s2，可估得该古树的树围C＝______ m。(结果保留两位有效数字)
(3)若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值_____(填“>”“<”或“＝”)真实值。
4．71
5．5
>
课时作业
1．(2025·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、停表、卷尺等。完成下列问题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上
O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成
夹角θ(θ<5°)，释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应
该在摆球摆至________(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100．0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期
的时间(t)为60．60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为________ m/s2。(取π2＝9．870，结果保留三位有效数字)
最低点
9．68
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝_______(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为________m/s2(结果保留三位有效数字)。
l(m) t(s) T2(s2)
0．800 54．17 3．26
0．900 57．54 3．68
1．000 60．60 4．08
1．100 63．55 4．49
1．200 66．34 4．89
4π2k
9．87
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是________________________________________________________________________________________________________________________________________。
2．实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
(1)下列最合理的装置是______。
D
(2)为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有______。
A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B．要使摆球在同一竖直面内运动，不能做圆锥摆运动
C．摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
BC
(3)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。
如图1所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。
在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2 l图像如图2所示。
C
9．86
＝
解析： (1)根据单摆模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应使用密度较大、体积较小的铁球；为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹固定。故选D。
(2)测量摆长时，应在摆线竖直拉直时测量，故A错误；要使摆球在同一竖直面内运动，不能做圆锥摆运动，故B正确；摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，如摆角太大，单摆运动将不能再看作简谐运动，单摆周期公式不再适用，故C正确；测量周期时，为减小测量误差，应该从摆球运动到最低点时开始计时，故D错误。
3．(2024·安徽省高三下模拟)在用单摆测量重力加速度的实验中：
(1)某同学组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球最顶端的长度L0＝97．00 cm，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图甲所示，则摆球直径d＝________ cm。
2．03
(2)实验时，他利用如图乙所示装置记录振动周期，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，光敏电阻与某自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的振动周期为T＝________ s。
(3)根据以上测量数据可得重力加速度g＝_______ m/s2(π取3．14，结果保留三位有效数字)。
2．000
9．66
4．(1)某同学在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度为99．50 cm，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为________ cm。
(2)用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达_______(选填“最高”或“最低”)点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时计一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为________ s，则单摆的周期为_______ s。
1．04
最低
97．5
1．95
(3)他计算得出的重力加速度为______ m/s2(π取3．14，结果保留两位小数)，比实际的重力加速度要大，其原因是_____。
A．摆球太重 B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下 D．实验中全振动次数计少了
10．37
C
________________________________________ mm，则摆球的直径为
______________________________________________________________________________ mm。
5．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图a所示，该示数为___________________________________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图b所示，该示数为
0．007(0．006、0．007、0．008均可)
20．033(20．032、20．033、20．034均可)
20．026(20．024、20．025、20．026、20．027、20．028均可，须对应前两空的差值)
(2)单摆实验的装置示意图如图c所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81．50 cm，则摆长为_______ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54．60 s，则此单摆周期为_______ s，该小组测得的重力加速度大小为_______ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9．870)
大于
82．5
1．82
9．83
解析： (1)题图a中示数为d0＝0 mm＋0．7×0．01 mm＝0．007 mm，题图b中示数为d1＝20 mm＋3．3×0．01 mm＝20．033 mm，则摆球的直径为d＝d1－d0＝20．026 mm。
(2)如图所示，O1为悬点，AB∥OO1，A和B是角度盘上示数为5°的位置。由题意知，角度盘固定在杆上O点时，∠AO1O＝5°，由图可知，将角度盘固定在O点上方，示数为5°时，实际摆角∠BO1O>∠AO1O＝5°。
6．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动的过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出当地的重力加速度g和小筒的深度h，取π＝3．14。回答下列问题：
(1)现有可选择的测量工具如下，本实验不需要的测量工具是______。
A．停表 B．时钟
C．天平 D．毫米刻度尺
(2)如果实验中所得到的T2 L图像如图乙所示，那么
真正的图像应该是线a、b、c中的_____(选填“a”“b”或“c”)。
(3)由图像可知，当地的重力加速度g＝_____ m/s2(结果
保留三位有效数字)，小筒的深度h＝________ m。
BC
a
9．86
0．45

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