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3.3抛物线 同步练习
一、选择题
1．抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2．抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段的中点，若点M的横坐标为p，，则( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
5．已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
6．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
7．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
8．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
9．如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于y轴对称，，则点B到C的焦点的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
10．如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于y轴对称，，则点B到C的焦点的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、多项选择题
11．设抛物线的焦点为F，直线与抛物线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，，，则( )
A.p的值为4
B.
C.
D.的面积与的面积之比为4
12．抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B.1 C.2 D.4
13．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则( )
A.若A的纵坐标为2，则
B.若直线过点F，则的最小值为4
C.若，则直线恒过定点
D.若垂直C的准线于点，且，则四边形的周长为
14．已知抛物线,过点的直线与交于,两点,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.的最小值为16
D.若点M是的外心,其中O是坐标原点,则直线的斜率的最大值为
三、填空题
15．抛物线的准线方程为________.
16．如图，直线经过抛物线的焦点F，点A（位于第一象限）在C上，点B（位于第四象限）在C的准线上，且，则直线的斜率为________.
17．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2,圆,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则的最小值为________.
18．已知点为抛物线上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则________.
四、解答题
19．斜率为的直线l经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A、B两点.
（1）求该抛物线的标准方程和准线方程;
（2）求线段AB的长.
20．已知抛物线的焦点为F，准线为l，M是C上在第一象限内的点，若直线的倾斜角为，点M到l的距离为4.
(1)求C的方程;
(2)设直线与C交于A，B两点，过点作直线轴，与C交于点Q，直线与C交于另一点R.
(i)求的最小值；
(ii)探讨直线与C公共点的个数.
21．已知抛物线，过点作两条直线，分别交抛物线于A，B和C，D（其中A，C在x轴上方）.
(1)当垂直于x轴，且四边形的面积为，求直线的方程；
(2)当，倾斜角互补时，直线与直线交于点M，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围.
22．已知,是抛物线上的两点.
(1)求C的准线方程;
(2)若直线经过C的焦点,且与C交于P,Q两点,求的最小值.
23．如图,O为坐标原点,过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于,两点.
(1)求证：为定值;
(2)求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线的准线方程为.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为抛物线方程为,即,所以,
即,所以抛物线的准线为
故选：C.
3．答案：C
解析：根据抛物线定义，点A，B到焦点F的距离分别等于它们到准线的距离，设，，则，，
由于M为中点，所以，
又因为，
代入得，解得，
故选：C.
4．答案：D
解析：得到，
则焦点坐标为.
故选：D.
5．答案：C
解析：由已知可得抛物线的准线方程为，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，解得，
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等，
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以为焦点，
为准线的抛物线，
所以，点P的轨迹方程为.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为抛物线方程化为标准形式为,
所以,则焦点坐标为.
故选:B.
8．答案：B
解析：因为抛物线方程化为标准形式为,
所以,则焦点坐标为.
故选:B.
9．答案：C
解析：由题可知C的焦点坐标为，
又曲线关于y轴对称，且，所以B的横坐标为2，
代入抛物线方程，，抛物线的准线方程为，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
因为B到准线的距离为
所以点B到C的焦点的距离为2.
故选：C.
10．答案：C
解析：由抛物线的标准方程可知：焦点为，又，
则点，所以点到C的焦点的距离为2.
故选：C.
11．答案：ABD
解析：如图：
设，，
联立
可得，
所以，，
故.
对A：因为，，
所以，，
则，
解得或.
因为，所以，故A正确；
对B：因为，.
又，所以，，
则，故B成立；
对C：因为，故C错误；
对D：因为，故D正确.
故选：ABD
12．答案：C
解析：抛物线，则，
焦点为，准线为，
所以焦点到准线的距离为2.
故选：C
13．答案：BC
解析：由题意得，，，准线方程.
A.由A的纵坐标为2得，，
故，选项A错误.
B.如图，设直线方程为：，
，
由
得，，
∴，
∴，
当时，，选项B正确.
C.如图，设直线方程为：，，
由
得，，
∴，
∴，解得，
∴直线方程为：，
恒过定点，选项C正确.
D.如图，设点B在第四象限.
由题意得，，则.
由准线方程为得，，
故，，
∴，
∴四边形的周长为，选项D错误.
故选：BC.
14．答案：ACD
解析：显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,
由,得,
所以,,,故A正确,B错误;
,
所以,当且仅当时,取到最小值,故C正确;
因为,所以,所以的外心就是弦的中点,
记为,其中,.由,以及,
得,
即,所以直线的斜率.要求直线的斜率的最大值,所以,
所以,当且仅当,
即时“=”号成立,即直线的斜率的最大值为,故D正确.
故选：ACD.
15．答案：.
解析：由题抛物线标准方程为,所以抛物线的准线方程为.
故答案为:.
16．答案：
解析：过点A作准线的垂线，垂足为H.根据抛物线的定义可知.
设，则，，
故.
故答案为：
17．答案：1
解析：因为抛物线的焦点F到其准线的距离为2,
所以,故,
设,,
当直线l斜率不存在时,,则,
直线l斜率存在时,设其方程为,和联立,
整理得:,
故,
由抛物线性质可得:,
所以,
故答案为:1.
18．答案：2
解析：由焦半径公式得，点A到抛物线的焦点F的距离，解得.
故答案为：2
19．答案：（1）抛物线的方程为,其准线方程为;
（2）
解析：（1）由焦点,得,解得
所以抛物线的方程为,其准线方程为,
（2）设,
直线l的方程为
与抛物线方程联立,得,
消去y,整理得,
由抛物线的定义可知,.
所以,线段AB的长为
20．答案：(1)
(2)(i)4
(ii)1
解析：(1)根据抛物线的定义，得.
过M作轴，N为垂足，
则，，又，
所以，
代入，得，
整理得，
解得(舍去)或.
故C的方程为.
(2)(i)由，
解得，即，
又，所以直线的方程为，
代入，
整理得，
则，由，得，
代入，得，即，
所以
，
当且仅当时取等号.
故当时，.
(ii)由在直线上，
得，即.
由在C上，得，
所以
，
所以的方程为，
结合，化简得，
代入，整理得，
因为，
所以直线与C仅有一个公共点.
21．答案：(1)或.
(2)
解析：(1)
法一：当轴，令，
则，，
设直线，，
由于，
则，
由于，
则，
则，
，
则，则，
所以直线的方程为或.
法二：设，倾斜角为，
由对称性知有两条，且关于对称，
不妨设，那么，
则，
则，
由于，
则，
则，
，
则，由对称性，
另一条直线：，
所以直线的方程为或.
(2)法一：设点，，，
因为，
同理：，，
所以，
化简可得：，
同理可得：，
，
，
又因为，直线和直线交于点，
所以，
且，
即，
，且，
化简得：，
于是，
则，
解得，所以点，
由于，则，
所以，则x轴平分，
设的内切圆圆心，
则Q到的距离，
点Q到的距离，
所以，
化简可得：
，
由于，当且仅当取等号（舍），
则，
则，
或由
化简得到：
，
令，当且仅当取等号（舍），
则，
设，
，
则在单调递减，
，
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,是抛物线上的两点,
所以则,整理得,解得.
当时,,解得,不合题意;
当时,,解得.
故C的准线方程为.
(2)由(1)知C的焦点为,
联立得.
设,则,
所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为.
23．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)由题可设直线l的方程为,
与抛物线方程联立得
消去y可得,
其中,
由根与系数的关系得,即为定值.
(2)因为,,所以.
又因为,所以.
设,的斜率分别为,,
则,,有,则.

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