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四边形中的动点问题六大题型
【题型1 与平行四边形有关的动点问题】
（24-25八年级·安徽宿州·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，点D是的边的延长线上一点，点F是边上的一个动点（不与点B重合），以为邻边作平行四边形，又（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（　　）
A． B． C． D．
（24-25八年级·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则 ．
（24-25·浙江金华·八年级·期末）如图，在 中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与 的某边平行时， ．
（24-25八年级·河南郑州·期末）如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第 时，以点为顶点的四边形是平行四边形．

（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在中，，．动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（）秒．
(1)当平分时，求t的值．
(2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发．
①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出t的值．
②若点P在上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，直接写出此时t的值为______．
（24-25八年级·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长；
(2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值．
（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为______．
(2)当时，用含的代数式表示线段的长______．
(3)连接．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，M，N分别为射线，上的两个动点（点M，N始终在平行四边形的外面），连接，，，．
(1)若，，求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，
①四边形为平行四边形吗？请说明理由；
②当时，，直接写出四边形的面积．
【题型2 与矩形有关的动点问题】
（24-25·河北唐山·八年级期末）如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ）
甲：点，的运动速度相同；
乙：
A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
（24-25八年级·广东潮州·期中）如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）

A． B． C． D．
（24-25八年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，相交于点O，且，点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列选项不正确的是（　　）

A．四边形是矩形
B．当点E是的中点时，
C．当时，线段长度的最大值为4
D．当点E在边上，且时，是等边三角形
（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接，当时间是1秒时，的长度是（ ）

A． B．6 C． D．4
（24-25·河南·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是边延长线上一点，，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长的速度沿射线方向运动，同时点N从点D出发，沿射线方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（ ）
A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13
（24-25八年级·四川自贡·期末）如图．在四边形中， ，，，．．点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点当到达点时，、两点停止运动．在此运动过程中，出现 和的次数分别是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
（24-25八年级·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
(1)当点P运动停止时，______，线段的长为______；
(2)①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在矩形中，，，延长到点，使．连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)求的长；
(2)连接，当四边形是平行四边形时，求的值；
(3)连接、，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)点从点开始沿着边向点以的速度移动，点从点开始沿着边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当与四边形的其中一边平行时，求此时的值．
(3)如图，点，分别在边，上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，则长度为 ．
【题型3 与菱形形有关的动点问题】
（24-25八年级·北京·期中）在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为．
(1)证明：；
(2)若在线段上运动，求证：；
(3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论．
（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．
(1)当点H与点D重合时，　　；
(2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)设矩形的对角线与相交于点，
①当时，t的值为　　；
②当时，求出t的值．
（24-25八年级·广西柳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.

(1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．
(1)AB = cm，a = ；
(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为；
(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
（24-25八年级·全国·课后作业）已知点P，Q分别在菱形的边上运动（点P不与B，C重合），且．
(1)如图①，若，求证：；
(2)如图②，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（24-25八年级·广东广州·期中）已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．
(1)如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：．
(2)如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求；
(3)如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：．
（24-25八年级·江苏徐州·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段、、上运动，求的最小值．
（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图，在菱形中，，E，F分别是边、上的点，且．
(1)若点E是的中点，则与之间的数量关系为______；
(2)若点E不是的中点，判断与之间的数量关系并说明理由；
(3)若，直接写出周长的最小值；
(4)当点在边上运动时，小亮发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．
（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象．
(1)__________；
(2)求的值．
（24-25八年级·重庆北碚·期中）如图，在菱形中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围．
【题型4 与正方形有关的动点问题】
（24-25·山东临沂·八年级期末）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是_________；证明此猜想时，可取的中点P，连接，根据此图形易证，则判断的依据是_______．
(2)点E在边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足，，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)设，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？
（24-25八年级·河南周口·期末）正方形的边长为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．交于点，于点，的平分线分别交，于点，，连接，．设点的运动时间为．
（1）在点的运动过程中，与有什么数量关系？请证明你的结论；
（2）当把正方形的面积分成两部分时，请直接写出的值．
（24-25八年级·山西太原·期中）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点.
操作发现
（1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
实践探究
（2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出.
（24-25八年级·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由．
（24-25八年级·河南安阳·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点．
【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________；
【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）
（24-25八年级·吉林四平·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，过点作交于点．以为一边向右作正方形．设点的运动时间为秒．正方形与重叠部分图形的面积为．
(1)当时，________；
(2)当点落在上时，________；
(3)当时，在图2中画出图形，并求出的值；
(4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值．
（24-25八年级·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．
(1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值；
(2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值．
（24-25八年级·吉林·阶段练习）如图，已知正方形的边长为16，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为．
(1)当时，______；
(2)当点在边上运动时，______；
(3)若点是边上一点且，连接，是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
（24-25八年级·吉林·期中）如图， 为正方形的对角线，．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒．
(1)当点P运动到边的中点时，四边形的面积为__________；
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形；
(3)求四边形的面积；
(4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出t的值．
【题型5 与梯形形有关的动点问题】
（24-25八年级·吉林·期中）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为．

(1)当时，P，Q两点之间的距离为__________；
(2)线段与互相平分时，求t的值；
(3)t为何值时，四边形的面积为梯形面积的？
（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
② 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
（24-25八年级·广东广州·期中）如图①，在中，已知分别是上的两点，且．．
（1）求梯形的面积；
（2）如图②，有一梯形与梯形重合，固定，将梯形向右运动，当点D与点C重合时梯形停止运动；
①若某时段运动后形成的四边形中，，求运动路程的长，并求此时的值；
②设运动中的长度为，试用含的代数式表示梯形与重合部分面积．
（24-25八年级·广东广州·期末）如图，在梯形 中，，，，，，动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：

(1)的长度为 ，的长度为 ，（用的式子表示），其中的取值范围为 ．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形，请说明理由；
(3)朱华同学研究发现：按以上变化，四边形在变化过程中不可能为菱形，除非改变动点的运动速度．请探究如何改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求此时点的速度．
（24-25八年级·上海虹口·期末）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是梯形；
(2)如果，当为等腰三角形时，求的长．
（24-25八年级·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．

(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．

（24-25八年级·上海·专题练习）如图1，梯形中，，，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
(2)设E、F为、的中点，求四边形是平行四边形时t的值．
（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
（24-25八年级·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点为上一点，且；点为上一动点，以为边作菱形，且点落在边上，点在梯形的内部或边上，设.
（1）直接写出的长与的度数：______，______；
（2）在点运动过程中，是否存在某个的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若菱形的顶点恰好在边上，则求出点在上的位置和此时的值．
（24-25八年级·海南海口·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
【题型6 平面直角坐标系中与特殊四边形有关的动点问题】
（24-25八年级·甘肃定西·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求点C，B的坐标（结果用根号表示）
(2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形；
(3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
(1)当点在第四象限时（如图1），求证：．
(2)当点落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动. 设动点的运动时间为秒．

(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ，并在图上画图标出点的位置，
（24-25八年级·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当时，求的面积．
(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，正方形的顶点O在坐标原点，定点A的坐标为．

(1)求正方形顶点C的坐标为（ ， ）顶点B的坐标为（ ， ）；
(2)现有一动点P从C点出发，沿线段向终点B运动，P的速度为每秒1个单位长度，同时另一动点Q从点A出发沿A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度．设运动时间为2秒时，将三角形沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，求k的值．
（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D在边上从点C运动到点B，以为边作正方形，连、，在点D运动过程中，请探究以下问题：
(1)若为直角三角形，求此时正方形的边长；
(2)的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由；
(3)设，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．
（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限．
(1)线段的长为_______（用m的代数式表示）．
(2)试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)设正方形的对称中心为M，直线交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．
（24-25八年级·福建福州·期中）如图①所示，以正方形的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在y轴上，线段在x轴上，其中正方形的周长为16．
(1)直接写出B、C两点坐标；
(2)如图②，连接，若点P在y轴上，且，求P点坐标．
(3)如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接．则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由．
（24-25八年级·江苏宿迁·期中））如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接，设点运动的时间为．
(1)的度数为______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)当时，平面内是否存在点M，使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，判断线段、与之间的数量关系，并证明你的结论．
（24-25八年级·吉林四平·期末）如图1，四边形为菱形，．，，．
(1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.5 四边形中的动点问题六大题型
【题型1 与平行四边形有关的动点问题】
（24-25八年级·安徽宿州·期末）如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】记、相交于点，过点做于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，当时最短，即与重合，然后根据等腰三角形和含角的直角三角形的性质即可求出的最小值．
【详解】解：记、相交于点，过点做于点，
四边形是平行四边形，
，，
要最短就是最短，当时最短，
即与重合，
，，
是等腰三角形，
，
，
根据直角三角形中角对应的边等于斜边的一半，
，
最小值，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含角的直角三角形．
（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，，进而得到，，即得，，由平行四边形的性质可得，即可得到，，，据此可判断求解，掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，，
∴一定正确的是，
故选：．
（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，点D是的边的延长线上一点，点F是边上的一个动点（不与点B重合），以为邻边作平行四边形，又（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，数来你掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．过点P作交于H，连接，可证得四边形，是平行四边形，再根据四边形是平行四边形，设，可得，再根据，即可求解．
【详解】过点P作交于H，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴P，E，F共线，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵，
∴．
故选：D．
（24-25八年级·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则 ．
【答案】或或
【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称：由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题．
【详解】如图，连接交于点O，
∵平分的面积，是中心对称图形，
∴经过的中心，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴．
∴当平分的面积时，或或．
故答案为：或或．
（24-25·浙江金华·八年级·期末）如图，在 中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与 的某边平行时， ．
【答案】或或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，折叠问题；分三种情况讨论，①当时，如图所示，作的角平分线交于点，②当时，如图所示，作的外角平分线，同理可得，四边形是平行四边形，③当时，为的中点，分别画出图形，即可求解．
【详解】①当时，如图所示，作的角平分线交于点，
∵作关于的对称线段，
∴
∴四边形是平行四边形，
如图所示，设，则
∴
又∵，
∴
∴
∴
∵，即
解得：
∴
②当时，如图所示，作的外角平分线，
同理可得，四边形是平行四边形
设，则，
∵，即
解得：
∴，
③当时，为的中点，
∴，
综上所述， 或1或6
故答案为：或或．
（24-25八年级·河南郑州·期末）如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第 时，以点为顶点的四边形是平行四边形．

【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形；点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形；画出图形进行解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
设运动时，有两种情况：
如图，点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形，
则，
∴，
解得；
如图，点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形，
则，
∴，
解得；

综上，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在中，，．动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（）秒．
(1)当平分时，求t的值．
(2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发．
①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出t的值．
②若点P在上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，直接写出此时t的值为______．
【答案】(1)
(2)①或或；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）由题意可得，则．由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，列方程可求解；
（2）①根据题意得：，利用平行四边形的性质分四种情况：当点Q没有到达点B时；当点Q到达点B后，返回时；当点Q到达点C后，返回时；当点Q第二次到达点B后，分别求解即可．②由①可知，点P从点A运动到点D，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成3次平行四边形，推导出P从A运动到点D，再返回A，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成7次平行四边形，由，即可得到以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，．
【详解】（1）解：由题意可得，
∴．
在中，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，，
∴，
当点Q没有到达点B时，
，
∴（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，
，
∴，
当点Q到达点C后，返回时，
，
∴，
当点Q第二次到达点B后，
，
∴．
综上所述：t的值为或8或 ．
②由①可知，点P从点A运动到点D，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成3次平行四边形，
当秒时，P到达点D，此时Q也第2次返回点C，
当P从D返回A时，
当时，由得到，
解得，
当时，由得到，
解得，
当时，由得到，
解得，
当时，由得到，
解得，
∴P从A运动到点D，再返回A，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成7次平行四边形，
∵，
∴以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，
，
故答案为：
（24-25八年级·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长；
(2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值．
【答案】(1)
(2)存在，当的值为时；与互相平分
(3)2或8
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答．
（2）连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可．
（3）分两种情况∶①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答
【详解】（1）解： 四边形是平行四边形，
，
，
，
当点在线段延长线上时，
（2）存在，理由如下：
如图1，连接、，

与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
当t的值为时；与互相平分；
（3）分两种情况：
①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，解得：；
②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，解得：；
综上所述，t的值为2或8．
（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为______．
(2)当时，用含的代数式表示线段的长______．
(3)连接．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】(1)10
(2)
(3)存在，
(4)或
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意可知当时，点Q在线段的延长线上，得，即可求解；
（3）连接, ，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案；
（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当时，点Q在线段的延长线上，，
故答案为：；
（3）存在，理由如下：
如图，连接，,

若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与互相平分；
（4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，

由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，

由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，M，N分别为射线，上的两个动点（点M，N始终在平行四边形的外面），连接，，，．
(1)若，，求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，
①四边形为平行四边形吗？请说明理由；
②当时，，直接写出四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①四边形为平行四边形，理由见解析
②16
【分析】本题是平行四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可知、，再证，即可得出结论；（2）①证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论；
②当时，，，进而可得，根据等底等高的三角形面积相等可得，即，再由平行四边形性质可得，，证得，即，即可求得答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，即，
四边形为平行四边形．
（2）解：①若，，四边形为平行四边形，
理由如下：
，，．
，
，
即，
，
四边形为平行四边形；
②当时，，，
，
，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
，，
，
∴，
∴，
．
【题型2 与矩形有关的动点问题】
（24-25·河北唐山·八年级期末）如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ）
甲：点，的运动速度相同；
乙：
A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加甲，根据题意可知，从而推出，，然后根据平行四边形的判定定理进行判断即可；添加乙，根据可证，知道，从而推出，然后结合矩形对边平行，即可判断．
【详解】若添加甲条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，
又点，分别从点，同时出发且运动速度相同
即
四边形为平行四边形；
若添加乙条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，，，
在和中
即
四边形为平行四边形．
故选A．
（24-25八年级·广东潮州·期中）如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
当与全等时，有两种情况：①当时，，②当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】解：当与全等时，有两种情况：
①当时，，
，，
，，
；
动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，
点和点的运动时间为：，
∴；
②当时，，
，，
，，
，
，
综上，v的值为2或．
故选：D．
（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质和翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，由折叠可得，得到，，进而可得，从而判断出点在上运动，又由全等三角形的性质可得，，设 ，则，，由勾股定理得，即得，解方程求出，得到的长度，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，

∴，，，
由折叠得，，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴点到的距离等于，即点在上运动，
∴点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵ 四边形为矩形，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为线段的长，等于，
故选：．
（24-25八年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，相交于点O，且，点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列选项不正确的是（　　）

A．四边形是矩形
B．当点E是的中点时，
C．当时，线段长度的最大值为4
D．当点E在边上，且时，是等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定等．根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定判断D选项即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是矩形，
故A正确，不符合题意．
∵点O，F分别是的中点，
∴是的中位线．
∴
又∵点E是的中点，
∴．
∴，即 ，
故B正确，不符合题意．
当点E与点D重合时，的值最大．
∵，
∴的最大值是8．
∴，即线段长度的最大值是4，
故C正确，不符合题意．
当时，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不是等边三角形，
故D错误，符合题意；
故选D．
（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接，当时间是1秒时，的长度是（ ）

A． B．6 C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，含的直角三角形的性质，作，根据题意得，，进而可得，，，根据题意知，得，即可得．解题关键是勾股定理的正确应用．
【详解】解：作，由矩形中，，，

则，，
则，，，
由题意知，，则，
得．
故选：C．
（24-25·河南·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是边延长线上一点，，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长的速度沿射线方向运动，同时点N从点D出发，沿射线方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（ ）
A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13
【答案】D
【分析】本题考查了矩形、平行四边形的性质及判定的应用．由题得出共四种情况，当从向运动时，在上时；当点在射线上的点右侧时；当点从点向点运动且点在上时；当点从点向点方向运动且点在点右侧时，根据每种情况，分别求出和，令，再求出即可．
【详解】解：由题得，，
四边形是矩形，
∴，
若，则以、、，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
当从向运动时，，
当在上时，即时，
得，
；
当点在射线上的点右侧时，即时，，
，
；
当点从点向点运动且点在上时，即时，
，
，
（舍去）；
当点从点向点方向运动且点在点右侧时，即时，
，
，
；
综上的值为1或3或13．
故选：D．
（24-25八年级·四川自贡·期末）如图．在四边形中， ，，，．．点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点当到达点时，、两点停止运动．在此运动过程中，出现 和的次数分别是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，动点问题，勾股定理，根据题意分别求得 和的情形，分类讨论，即可求解．
【详解】解：设点的运动时间为，
∵，点从点出发，以的速度向点运动，，当点当到达点时，、两点停止运动．
∴秒，，则
∵，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，
∴，
当时，则四边形是平行四边形，
∴
当时，点从到运动，
∴，解得：
当时，点从到运动，
∴，解得：
当时，点从到运动，
∴，解得：
当，点从到运动，
∴，解得：（舍去）
∴能出现三次，
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵ ，，
∴四边形是矩形，
∴，，,
∴中，,
当时，
在中，
∴
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当，点从到运动，，
∴，解得：（舍去）或（舍去）
∴能出现6次，
故选：A．
（24-25八年级·天津蓟州·期末）如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
(1)当点P运动停止时，______，线段的长为______；
(2)①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①；；；②
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用：
（1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的的长即可；
（2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，则，据此列出方程求解即可；
（3）根据题意可得四边形为平行四边形，则，据此列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点P运动9秒后停止，即，
∴，
故答案为：；；
（2）解：①由题意得，，
∵，
∴，
故答案为：；；；
②∵，
∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，
∴此时有，
∴，
解得；
（3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且，
∴此时四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得．
（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在矩形中，，，延长到点，使．连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)求的长；
(2)连接，当四边形是平行四边形时，求的值；
(3)连接、，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)
(2)当四边形是平行四边形时，的值为4
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，梯形面积的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为四边形是矩形，所以，根据勾股定理列式，即可作答．
（2）因为四边形是平行四边形，所以，则，结合运动速度列式计算，即可作答．
（3）进行分类讨论，即当时；当时，分别作图以及根据梯形面积公式列式代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
在Rt中，由勾股定理得，，
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
当四边形是平行四边形时，的值为4；
（3）解：∵，且动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，
∴当时，
由题意知，，
，
当时，则，
，
综上．
（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)点从点开始沿着边向点以的速度移动，点从点开始沿着边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当与四边形的其中一边平行时，求此时的值．
(3)如图，点，分别在边，上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，则长度为 ．
【答案】(1)
(2)当与四边形的其中一边平行时，此时的值为或
(3)
【分析】（1）过作于点，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与和直角三角形的性质，勾股定理解答即可；
（2）利用的代数式表示出相等，，，的长度，再利用分类讨论的思想方法分两种情况，依据平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；
（3）过作于点，过点作于点，过点作于点，设 ，利用等腰直角三角形的性质和折叠的性质表示出线段，，的长度，再利用勾股定理列出方程解答即可．
【详解】（1）解：过作于点，过点作于点，如图，
，，
．
，，，
四边形为矩形，
，，
．
．
（2）由题意得： ， ，
，．
①当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
②当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
综上，当与四边形的其中一边平行时，此时的值为或．
（3）过作于点，过点作于点，过点作于点，如图，
，，
， ，
，，
，
同理可求．
由题意得： ，，
设 ，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
．
，
，
．
长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理和折叠的性质，分类讨论是解题的关键．
【题型3 与菱形形有关的动点问题】
（24-25八年级·北京·期中）在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为．
(1)证明：；
(2)若在线段上运动，求证：；
(3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质；
（1）根据菱形的性质得到，进而根据三角形的外角的性质，即可得到结论；
（2）过点作交于点，连接先证明，再证明是等边三角形．从而得到，进而即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质可知，结合，以及直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵为菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作交于点，连接
∵为菱形，，
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
（3），理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．
(1)当点H与点D重合时，　　；
(2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)设矩形的对角线与相交于点，
①当时，t的值为　　；
②当时，求出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①4；②3
【分析】（1）由四边形是菱形，，可得，，，，，点与点重合时，，有，即得；
（2）①当在边上，即时，根据三角形的面积公式即可解答；②当在边延长线上，即时，设交于，求出，即可得到答案；
（3）①当时，证明是的中位线，得是中点，从而可得与重合，此时，与重合，可得到；
②当时，延长交于，证明是的中位线，从而可得，而在中，，，故，即得．
【详解】（1）解：四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
当点与点重合时，，
，
；
（2）解：①当在边上，即时，如图：

矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积，
，
②当在边延长线上，即时，
设交于，如图：

在中，，，
，，
，
矩形与菱形重叠部分图形的面积，
综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积，
（3）解：①当时，如图：
过点A作，交延长线于点T，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
四边形是矩形，
是的中点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
又是中点，，
与重合，此时，与重合，
；
故答案为：4；
②当时，延长交于，如图：
，
，
是的中点，
是的中位线，
是的中点，
，
，
，
在中，，，
，，
在中，，
，，
，
．
【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．
（24-25八年级·广西柳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.

(1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
【答案】(1)或
(2)当Q点的速度为时，四边形为菱形
【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理．
（1）过点B作于H，证明四边形是矩形，得到，则，在中，由勾股定理得；只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可；
（3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
Q在上运动时间为，
，
运动时间最长为，
当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，
当时，在边上，
此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
即
只需即可，
由题意得，，
，
解得：；
②四边形是平行四边形，如图所示：

同理
只需，四边形是平行四边形
∵，
解得：
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（2）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形
只需满足即可
由题意得，，，
，，
解得：，
当Q点的速度为时，四边形为菱形．
（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．
(1)AB = cm，a = ；
(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为；
(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2，
(2)
(3)存在，的值为或或．
【分析】（1）由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积==，进而求解；
（2）由四边形ADCP的面积，即，即可求解；
（3）①当点P和点O重合时，∠APB为直角，则x=BP=；②当∠BAP′为直角时，则PP′=，则x=BP+PP′= ；③当∠BAP″为直角时，则x=BD+DP″=，即可求解．
【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC、△ACD为全等的两个等边三角形，
设△ABC的边长为，则其面积为，
由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积=，
解得（负值已舍去），
即菱形的边长为2，则AB=2（cm），
由题意知，点P与点O重合时，对于图2的a所在的位置，
则AO=1，故．
故答案为2；．
（2）解：由（1）知点在段运动时，对于图2第一段直线，
而该直线过点、，，
设其对应的函数表达式为，则，解得，
故该段函数的表达式为，
当点在上运动时，四边形的面积为，则点只能在上，
则四边形的面积，即，
解得．
（3）解：存在，理由：
由（1）知，菱形的边长为2，则，，
过点作于点交于点，
、均为等边三角形，则，
①当点和点重合时，为直角，则；
②当为直角时，则同理可得：，则；
③当为直角时，则，
综上，的值为或或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形和菱形的性质、三角形全等和相似、面积的计算等．
（24-25八年级·全国·课后作业）已知点P，Q分别在菱形的边上运动（点P不与B，C重合），且．
(1)如图①，若，求证：；
(2)如图②，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)成立，证明见解析．
【分析】本题考查菱形的性质及全等三角形性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
（1）根据菱形的性质、结合已知得到，证明，由全等三角形的性质可得；
（2）作，，垂足分别为，，由（1）的结论得到，证明，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
如图，作，，垂足分别为，．
由（1）可得，，，
，
在和中，
，
；
（24-25八年级·广东广州·期中）已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．
(1)如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：．
(2)如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求；
(3)如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差即可证，然后根据菱形的性质和勾股定理即可得出，从而得出答案；
（3）连接交于点G，连接，，利用证明，得出，，再根据角的和差求出，然后根据勾股定理即可得证．
【详解】（1）证明：如图1，连接
四边形是菱形
是等边三角形
，
是等边三角形
，
；
（2）解：如图2，连接，交于点M
四边形是菱形
，，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形
，
，
又 ，
；
；
（3）证明：如图3，连接交于点G，连接，
四边形是菱形
是等边三角形
，
，
又，
，
是等边三角形
，
即．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及到等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（24-25八年级·江苏徐州·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段、、上运动，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证，，得到四边形是平行四边形，再根据即可得证结论；
（2）作N关于DC的对称点，过D作于H，由对称性可得，当P、M、共线时，，而的最小值为平行线间距离的长，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵E在的延长线上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）解：作N关于DC的对称点，过D作于H，
由菱形的对称性知，点N关于的对称点在上，
∴，
∴当P、M、共线时，，
∵，
∴的最小值为平行线间距离的长，
即的最小值为的长，
∵是边长为1的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理，平行线间的距离．综合运用相关知识，熟练运用化归思想是解题的关键．
（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图，在菱形中，，E，F分别是边、上的点，且．
(1)若点E是的中点，则与之间的数量关系为______；
(2)若点E不是的中点，判断与之间的数量关系并说明理由；
(3)若，直接写出周长的最小值；
(4)当点在边上运动时，小亮发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)
(4)见解析
【分析】（1）连接，得出为等边三角形，求出，证明，得出；
（2）连接，根据四边形为菱形，得出，，，，证明，得出；
（3）证明为等边三角形，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，求出最小值即可；
（4）根据，得出，根据
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴当最小时，的周长最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
根据解析（2）可知，为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴周长的最小值为；
（4）解：根据解析（2）可知，，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象．
(1)__________；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据图象分析得出点E的位置于x的关系．
（1）根据全等三角形的性质推出四边形为菱形，则，进而得出当点E在上时，点E到的距离不变，由图2可知，当时，y的值不变，即可得出，当时，点E与点B重合，即可得出；
（2）过点D作于点H，根据，求出，根据勾股定理得出，则，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴当点E在上时，点E到的距离不变，
由图2可知，当时，y的值不变，
∵点E的速度为，
∴，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴当时，点E与点B重合，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点D作于点H，
∵，，
∴，即，
解得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：．
（24-25八年级·重庆北碚·期中）如图，在菱形中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
(3)或
【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质：
（1）当点P在，点Q在上运动时，即时，证明是等边三角形，即可求解；当时，同理可解；
（2）当时，，当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解；
（3）观察函数图象即可求解．
正确理解动点问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵菱形
∴
∴总的运动时间为：（秒），
当点P在，点Q在上运动时，即时，连接，
由题意得，
∴是等边三角形，
∴；
当点P在，点Q在上运动时，即时，如图所示：是等边三角形，
∴，
∴；
综上可得：；
（2）解：当时，，当时，，当时，，依次描点再连接
该函数图象如图所示：
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
（答案不唯一）；
（3）解：从图象看，当时x的取值范围为：或．
【题型4 与正方形有关的动点问题】
（24-25·山东临沂·八年级期末）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是_________；证明此猜想时，可取的中点P，连接，根据此图形易证，则判断的依据是_______．
(2)点E在边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
【答案】(1)，ASA；
(2)成立，理由见解析．
【分析】（1）根据提示，利用ASA证明，从而得到；
（2）利用（1）的解题思路，在上取一点P，使，连接，则，同样利用ASA证明，从而得到．
【详解】（1）∵在正方形中，，点E是的中点，点P是的中点
，
，
∵在正方形中，
是等腰直角三角形
平分
在和中
（ASA）
故答案为：，ASA．
（2）①成立，理由如下：
如图，在上取一点P，使，连接，则，
由（1）得：
，
∴是等腰直角三角形
∴
在和中
∴
；
【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定．正确作出辅助线是解题的关键．
（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足，，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)设，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？
【答案】(1)补图见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）依题意补全图形，即可；
（2）连接CE，先证得．再根据直角三角形的性质可得．可得≌，即可求解；
（3）根据题意可得点E在AC的垂直平分线上，可得点E在BD上，从而得到在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，∠CDN=90°，再证得四边形DFCN为梯形．然后根据梯形的面积，即可求解．
【详解】（1）解∶依题意补全图形，如图1所示．
（2）证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵在中，点E是AN中点，
∴．
∵，，，
∴≌，
∴．
∴．
（3）解∶ 连接DE，
∵由（2）得：AE=CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
在正方形ABCD中，BD垂直平分AC，∠ACD=45°，△BCD为等腰直角三角形，
∴点E在BD上，
∴BF=DF=CF，
∴在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，∠CDN=90°，
∴
∵，
∴∠ACN=90°，即CN⊥AC，
∴，
∴四边形DFCN为梯形．
∵，
∴BC=CD=AB=2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形等知识是解题的关键．
（24-25八年级·河南周口·期末）正方形的边长为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．交于点，于点，的平分线分别交，于点，，连接，．设点的运动时间为．
（1）在点的运动过程中，与有什么数量关系？请证明你的结论；
（2）当把正方形的面积分成两部分时，请直接写出的值．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【分析】（1）先证明△FAD≌△FCD得到，由正方形的性质及角平分线的性质可以得到，即可得到答案；
（2）连接AC，根据把正方形的面积分成两部分，可以得到，再根据，，
即可得，从而得到，即可求解.
【详解】解：（1）．
证明如下：∵四边形是正方形，
∴BD是∠ADC的角平分线，
=45°，AD=CD，
又∵DF=DF，
∴△FAD≌△FCD（SAS），
∴
∵，
90°
∵平分，
45°
∵，
．
（2）连接AC，
∵把正方形的面积分成两部分，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵BC=4，
，
.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
（24-25八年级·山西太原·期中）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点.
操作发现
（1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
实践探究
（2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出.
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时，
【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，；
（2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出CE，进而得出AE.
（3）根据题意，分三种情况讨论即可：①当时，②当时，③当时.
【详解】（1）.
理由如下：如图，连接.
∵是正方形的对角线，
∴，，.
在和中，
∴.
∴，.
∵四边形是正方形，
∴.
在四边形中，.
∵，
∴.
∴.
∴.
（2）如图，过点作于点，作于点.
∴.
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，.
∴四边形是正方形.
在和中，
∴.
∴.
∴ .
∵正方形与正方形重叠的面积是，
∴.解得.
∵正方形的边长为6，
∴.
∴.
∴此时的长为.
（3）分三种情况：
①当时，；
②当时，且点与点重合；
③当时，.
【点睛】此题主要考查三角形全等的判定、正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题.
（24-25八年级·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由．
【答案】当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，理由见解析
【分析】当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，由题意可得AQ＝AP＝BP＝4cm，由等腰直角三角形的性质可得BP⊥AC，可得AF∥BP，可证四边形APBQ是平行四边形，且BP⊥AC，AP＝BP，可得四边形APBQ是正方形．
【详解】解：当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC
当P、Q运动2s后，CP＝AQ＝4cm，
∵AC＝8cm，
∴AP＝CP＝4cm，且AB＝BC，
∴BP⊥AC，且AF⊥AC
∴AF∥BP，且AQ＝BP＝4cm，
∴四边形APBQ是平行四边形，且BP⊥AC，AP＝BP
∴四边形AQBP是正方形
【点睛】本题是对正方形判定的考查，熟练掌握正方形的判定定理是解决本题的关键.
（24-25八年级·河南安阳·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点．
【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________；
【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形的性质可知，再根据角平分线的定义，最后利用直角三角形的性质及全等三角形的判定可知即可解答；
（2）在上截取，连接，根据正方形的性质可知，，再根据角平分线的定义及直角三角形的性质可知，，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答；
（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，根据正方形的性质及角平分线的定义可知是等腰直角三角形，再根据线段垂直平分线的定义可知是的垂直平分线进而即可解答．
【详解】解：（1），理由如下：
取的中点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

（2）成立，理由如下：
在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是垂直平分线，
∴点与关于对称，
∴，当A、P、G共线时取等号，故最小值为的长，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的周长的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定、最短路径问题，掌握正方形的性质是解题的关键．
（24-25八年级·吉林四平·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，过点作交于点．以为一边向右作正方形．设点的运动时间为秒．正方形与重叠部分图形的面积为．
(1)当时，________；
(2)当点落在上时，________；
(3)当时，在图2中画出图形，并求出的值；
(4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)1；
(3)图见解析，；
(4)1，或．
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．
（1）正方形与重叠部分图形即是边长为的正方形；
（2）当点落在上时，点恰好与点重合，此时点在的中点处，即可求得的值；
（3）当时，正方形与重叠部分图形是边长分别为和的矩形，即可求出的值；
（4）当是等腰三角形时，进行分类讨论，当时，当时，都是等腰直角三角形，再讨论画图列式求的值即可．
【详解】（1）解：∵，
是等腰直角三角形，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
∵点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，
∴当时，
∴四边形是边长为的正方形，
此时正方形与重叠部分图形就是正方形，
，
故答案为：．
（2）解：由题意得，当点落在上时，点恰好与点重合，如图：
是等腰直角三角形，四边形是正方形，
，
故答案为：．
（3）解：当时，如图：
由题意得：四边形是矩形，，
∴．
（4）解：①如图：
当时， ，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，即此时点落在上，
由（2）得， 此时；
②当时，如图：
∵，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
在中， ，
在中， 即
在中，
解得
③当时，如图：
解得：
综上，当是等腰三角形时，的值为1，或．
（24-25八年级·山东济南·期末）已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．
(1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值；
(2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值．
【答案】(1)的值为
(2)的值为
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用，正确列出关于的方程是解此题的关键．
（1）根据题意用表示出与，证明四边形为平行四边形，得出，由此列出的方程即可得解；
（2）根据题意用表示出与，证明，得出，由此列出的方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意得：，，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，
当，互相平分时，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
即的值为；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，即的值为．
（24-25八年级·吉林·阶段练习）如图，已知正方形的边长为16，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为．
(1)当时，______；
(2)当点在边上运动时，______；
(3)若点是边上一点且，连接，是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)32
(2)128
(3)存在， 的值为10或38
【分析】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
（1）由，可得，然后由，求得答案；
（2）直接由，求得答案；
（3）分两种情况，当点在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质列出关于的方程求解即可．
【详解】（1）解： ，，，
；
故答案为：32；
（2）解：点在边上运动，
；
故答案为：128；
（3）解：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图4，当点在上时，，
，
，
．
如图5，当点在上时，，
，
．
综上所述，或38时，使得与全等．
（24-25八年级·吉林·期中）如图， 为正方形的对角线，．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒．
(1)当点P运动到边的中点时，四边形的面积为__________；
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形；
(3)求四边形的面积；
(4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出t的值．
【答案】(1)4
(2)详见解析
(3)4
(4)或
【分析】（1）利用正方形性质证明，得到，结合当点P运动到边的中点时，则点Q运动到边的中点，利用三角形中位线性质得到四边形是正方形，即可求得四边形的面积；
（2）连接、，由题中运动情况可知，，结合正方形性质，即可证明四边形是平行四边形；
（3）作于点，作于点，证明四边形是正方形，再证明，即可得到四边形的面积，即可解题；
（4）根据将四边形分成面积比为两部分，分以下两种情况讨论，①，②，根据以上两种情况得到，再结合三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】（1）解：四边形是正方形，为对角线，
，，，
由题中运动情况可知，，
，
，
，是的中点，
当点P运动到边的中点时，则点Q运动到边的中点，
，，
，
，
四边形是正方形，
四边形的面积为，
故答案为：．
（2）证明：连接、，
由（1）可知，，，
四边形是平行四边形；
（3）解：作于点，作于点，
，与（1）中相等为，
四边形是正方形，为对角线，
，，
四边形是矩形，
，
，
；
四边形是正方形，
，，
，
，
，
四边形的面积，
四边形的面积为．
（4）解： 将四边形分成面积比为两部分，
①，
，
，
解得；
②，
，
，
解得；
综上所述，或．
【点睛】本题考查正方形性质和判定，全等三角形性质和判定，矩形的判定定理，三角形中位线性质，平行四边形判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．
【题型5 与梯形形有关的动点问题】
（24-25八年级·吉林·期中）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为．

(1)当时，P，Q两点之间的距离为__________；
(2)线段与互相平分时，求t的值；
(3)t为何值时，四边形的面积为梯形面积的？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点P作于点H，则是矩形，利用勾股定理解题；
（2）由与互相平分，可知四边形是平行四边形，根据对边相等列方程解题；
（3）表示四边形的面积，根据题意列方程解题．
【详解】（1）解：当时，
∴，
过点P作于点H，

则是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
（2）当与互相平分时，
则四边形是平行四边形．
∴．
即
解得，
（3）∵四边形的面积为梯形面积的
根据题意，得
解得
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
② 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)；
(2)①；② ；
(3)t为3秒或7秒时．
【分析】（1）根据题意得：，，即可得出答案；
（2）①若，，，即可得出；② 若，，，即可得出；
（3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①若，，，
∴，
故答案为：；
② 若，，，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
∵E是的中点，
∴，
① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用．
（24-25八年级·广东广州·期中）如图①，在中，已知分别是上的两点，且．．
（1）求梯形的面积；
（2）如图②，有一梯形与梯形重合，固定，将梯形向右运动，当点D与点C重合时梯形停止运动；
①若某时段运动后形成的四边形中，，求运动路程的长，并求此时的值；
②设运动中的长度为，试用含的代数式表示梯形与重合部分面积．
【答案】（1）梯形的面积为16；（2）①BD＝4，G′B2；②当0≤x＜时，S＝；当≤x≤时，S＝．
【分析】（1）在Rt△ABC中由AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB＝45°，又由GF∥BC得到∠AGF＝∠AFG＝45°，由此得到AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，然后根据S梯形BCFG＝S△ABC S△AGF进行计算；
（2）①根据平移可知BDG′G是平行四边形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD＝BG＝4，如图③，过点G′作G′M⊥BC于点M，在Rt△G′DM中，求出DM＝G'M＝，接着得到BM＝，然后在Rt△G′BM中，根据勾股定理可以求出G'B2；②在Rt△AGF与Rt△ABC中分别求出GF，BC，当0≤x＜时，其重合部分为梯形，如图②，过G点作GH垂直BC于点H，得GH＝，而BD＝GG′＝x，DC＝，G'F'＝，根据梯形面积公式即可用x表示S；当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③，斜边DC＝，斜边上的高为，根据三角形面积公式即可用x表示S．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠AFG＝45°，
∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，
∴S梯形BCFG＝S△ABC S△AGF＝×6×6 ×2×2＝16；
（2）①∵在运动过程中有DG′∥BG且DG′＝BG，
∴BDG′G是平行四边形，
当DG⊥BG′时，BDG′G是菱形，
∴BD＝BG＝4，
如图③，当BDG′G为菱形时，过点G′作G′M⊥BC于点M，
在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，
∴DM＝G′M且DM2＋G'M2＝DG'2，
∴DM＝G′M＝，
∴BM＝，
连接G′B．
在Rt△G′BM中，G′B2＝BM2＋G′M2＝；
②在Rt△AGF与Rt△ABC中，GF＝，BC＝，
当0≤x＜时，其重合部分为梯形，如图②，
过G点作GH垂直BC于点H，则GH＝，
∵BD＝GG′＝x，
∴DC＝，G′F′＝，
∴S＝；
当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③，
∵斜边DC＝，
∴斜边上的高为，
∴S＝．
【点睛】本题考查了平移的性质、等腰直角三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的应用以及梯形和三角形的面积公式等，在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
（24-25八年级·广东广州·期末）如图，在梯形 中，，，，，，动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：

(1)的长度为 ，的长度为 ，（用的式子表示），其中的取值范围为 ．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形，请说明理由；
(3)朱华同学研究发现：按以上变化，四边形在变化过程中不可能为菱形，除非改变动点的运动速度．请探究如何改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求此时点的速度．
【答案】(1)，，
(2)当时，四边形是平行四边形
(3)使四边形在某一时刻为菱形，此时点的速度为 cm/秒
【分析】（1）根据的运动速度可得，从而可得，根据的运动速度以及分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动即可得到的取值范围；
（2）要使四边形是平行四边形，则，从而得到，解方程即可得到答案；
（3）设点的速度为cm/秒，则，根据勾股定理可得，要使四边形是菱形，则，从而得到方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，
，
，
分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，，
，
故答案为：，，；
（2）解： ，
，
要使四边形是平行四边形，则，
动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，
，
，
由（1）得，
，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
（3）解：设点的速度为cm/秒，
则，
由（1）得：，，
，
，
，
，
要使四边形是菱形，则，
即，
解得：，
使四边形在某一时刻为菱形，此时点的速度为 cm/秒．
【点睛】本题主要考查了列代数式、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，是解题的关键．
（24-25八年级·上海虹口·期末）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是梯形；
(2)如果，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6或16
【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，根据，与相交，得到与不平行，即可证明四边形是梯形；
（2）分，，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明： ，
，
为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，与相交，
与不平行，
四边形是梯形；
（2）解： 为等腰三角形，
如图，当时，
为的中点，
，
，，
；
如图，当时，过点F作，垂足为H，
由（1）知四边形是平行四边形，
，即，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
如图，当时，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
此时，点与点B重合，不符合题意，
综上，当为等腰三角形时，的长为6或16．
【点睛】本题考查梯形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的特征，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键．
（24-25八年级·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．

(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．

【答案】(1)，
(2)存在，cm；理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作于，可得四边形是矩形，根据矩形的对边相等求出，，然后求出，判断出的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）根据正方形的四条边都相等可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据代入数据进行计算即可得解；
（3）过点作于，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得，根据菱形的四条边都相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后表示出、，在和中，利用勾股定理列式表示出和，然后列出方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图，过点作于，

，，
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，；
（2）解：如图，

四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
解得（cm）；
（3）解：如图，过点作于，

在菱形中，，，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
．
【点睛】本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，关键在于作出合适的辅助线，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
（24-25八年级·上海·专题练习）如图1，梯形中，，，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
(2)设E、F为、的中点，求四边形是平行四边形时t的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）A、B、Q、P四点构成的图形是梯形，根据梯形面积公式即可得出S关于t的函数关系式；
（2）过点D作于H，取的中点G，则四边形是矩形，再根据四边形是平行四边形，得出，得出，列出方程求解即可．
【详解】（1）由题意可得：，，
则；
（2）过点D作于H，取的中点G，则四边形是矩形．
∵F是的中点，G是的中点，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即当四边形是平行四边形时，t的值为．
【点睛】本题主要考查了梯形背景下的动点问题，平行四边形的性质以及三角形中位线的性质等，解决问题的关键是正确作出辅助线，构建矩形．
（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程，解方程得到答案；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可；
（3）用时间t表示出梯形ABQP的面积，列方程计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：AP=t cm，CQ=3t cm，
则PD=（24-t）cm，
∵PD∥CQ，
∴PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
此时，24-t=3t，
解得：t=6，
∴t=6时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
∵AP∥BQ，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=，
∴当t=时，四边形ABQP为矩形．
（3）∵由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
，
解得，
此时BQ=26-3t=-4，
∴不存在，使梯形的面积为．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
（24-25八年级·广东惠州·期中）如图，梯形中，，，，，，点为上一点，且；点为上一动点，以为边作菱形，且点落在边上，点在梯形的内部或边上，设.
（1）直接写出的长与的度数：______，______；
（2）在点运动过程中，是否存在某个的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若菱形的顶点恰好在边上，则求出点在上的位置和此时的值．
【答案】（1）cm，45°；（2）存在，x=4cm；（3）在CG=的位置，x=6.5
【分析】（1）过点D作DM⊥BC于M，可得四边形ABMD是矩形，根据矩形的对边相等求出DM=AB，BM=AD，然后求出CM，判断出△CDM的等腰直角三角形，然后等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）根据正方形的四条边都相等可得EF=EH，根据同角的余角相等求出∠AEF=∠BHE，然后利用“角角边”证明△AEF和△BHE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再根据AB=AE+BE代入数据进行计算即可得解；
（3）过点G作GP⊥BC于P，根据两边分别互相平行的两个角相等（或互补）可得∠AEF=∠PGH，根据菱形的四条边都相等可得EF=GH，然后利用“角角边”证明△AEF和△PGH全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AE，HP=AF，然后表示出CP、BH，在Rt△AEF和Rt△BEH中，利用勾股定理列式表示出EF2和EH2，然后列出方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，AB⊥CB，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，
∴CM=BC-BM=14-8=6cm，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
CD=CM=cm，∠DCB=45°；
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠BEH+∠BHE=90°，
∴∠AEF=∠BHE，
在△AEF和△BHE中，
，
∴△AEF≌△BHE（AAS），
∴BE=AF=x，
∵AB=AE+BE=6cm，
∴2+x=6，
解得x=4cm；
（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，
则AB∥GP，
∴∠AEG=∠PGE，
在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，
∴∠FEG=∠HGE，
∴∠AEF=∠PGH，
在△AEF和△PGH中，
，
∴△AEF≌△PGH（AAS），
∴PG=AE=2，HP=AF=x，
∵∠C=45°，
∴CP=PG=2，BH=14-x-2=12-x，CG=PG=，
在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2=22+x2，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6-2）2+（12-x）2，
∵EF=EH，
∴22+x2=（6-2）2+（12-x）2，
解得x=6.5．
∴CG=，x=6.5．
【点睛】本题考查了四边形综合题型，主要涉及梯形的求解，解题的关键在于作出合适的辅助线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，（3）作辅助线构造出全等三角形，然后利用勾股定理列出方程．
（24-25八年级·海南海口·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y = 2t；（2）或；（3）能．4≤t≤5
【详解】解：（1）；
（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图1，若点P从点M向点B运动，有 MB == 4，MP =MQ= 3，
∴PQ = 6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，
∴EM⊥PQ．
∴
∵AB =，
∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为．
②若点P从点B向点M运动，由题意得．
PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．
设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则HP =，AH = 1．
在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．
∴FG = FE = 2．
又∵FD = 2，
∴点G与点D重合，如图2．
此时△EPQ与梯形ABCD 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为．
（3）能．此时，4≤t≤5．过程如下：
当时，P点与B点重合，Q点运动到C点，此时被覆盖线段的长度达到最大值
为等边三角形
Q向右还可以运动1秒，FG的长度不变
【题型6 平面直角坐标系中与特殊四边形有关的动点问题】
（24-25八年级·甘肃定西·阶段练习）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求点C，B的坐标（结果用根号表示）
(2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形；
(3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)经过秒，四边形是平行四边形
(3)不能成为菱形，见解析
【分析】（1）如图，过C作于E，则，，由勾股定理得，，则，由平行四边形，可知，，进而可得；
（2）设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，由题意知，，，，由四边形是平行四边形，可得，即，计算求解即可；
（3）由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时，由，可知平行四边形不能是菱形．
【详解】（1）解：如图，过C作于E，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴；
（2）解：设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，
由题意知，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
解得：，
∴运动开始，经过秒，四边形是平行四边形；
（3）解：不能成为菱形，理由如下；
由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时，
∵，
∴平行四边形不能是菱形．
【点睛】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的 应用，菱形的判定等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的应用，菱形的判定是解题的关键．
（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
(1)当点在第四象限时（如图1），求证：．
(2)当点落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为4或5
(3)存在，点或或或
【分析】（1）由三角形外角和定理和折叠的性质可得，，能够推导出，从而可证明；
（2）①当时，此时点与点重合，；②当点与点重合时，在中，，求得；
（3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形为平行四边形时，或；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，．
【详解】（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或；
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或．
【点睛】本题是四边形的综合题，涉及折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、中点坐标公式、等腰三角形的性质，直角三角形的性质、两点距离公式等知识，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，数形结合解题是关键．
（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动. 设动点的运动时间为秒．

(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ，并在图上画图标出点的位置，
【答案】(1)
(2)时，；时，；时，
(3)；点的位置见解析
【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形为矩形，，，
，，
点是的中点，
，
由运动知，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：①当点在的右边时，如图1，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∵，
；
②当点在的左边且在线段上时，如图2，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∵，
；
③当点在的左边且在的延长线上时，如图3，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∵，
；
综上所述，时，；时，；时，；
（3）解：如图，由知，，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为
，
最小时，四边形的周长最小，
作点A关于的对称点，连接交于，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
∵，
∴的最小值为，
∴四边形的周长最小值为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
（24-25八年级·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当时，求的面积．
(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，，当时，
【分析】（1）由题意知，，由菱形，可得，，如图，延长交轴于，则轴，即，，，由勾股定理得，，进而可求；
（2）由题意知，时，，则，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，，由题意知，，，当时，；此时，可求；则；当时，；此时，可求；则．
【详解】（1）解：由题意知，，
∵菱形，
∴，，
如图，延长交轴于，则轴，即，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（2）解：由题意知，时，，则，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵，
∴当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，，
由题意知，，，
当时，；此时，
解得，；
∴；
当时，；此时，
解得，；
∴；
综上所述，存在，当时，，当时，．
【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，坐标与图形，含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质是解题的关键．
（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，正方形的顶点O在坐标原点，定点A的坐标为．

(1)求正方形顶点C的坐标为（ ， ）顶点B的坐标为（ ， ）；
(2)现有一动点P从C点出发，沿线段向终点B运动，P的速度为每秒1个单位长度，同时另一动点Q从点A出发沿A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度．设运动时间为2秒时，将三角形沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，求k的值．
【答案】(1)，4，1，7
(2)的值为2或4
【分析】（1）过点A作轴于D，过点B作交的延长线于E，过点C作轴于点F，证出，求出，，即可求出点C，点B的坐标；
（2）分两种情况：①当点Q在上时；②当点Q在上时．分别计算即可．
【详解】（1）过点A作轴于D，过点B作交的延长线于E，过点C作轴于点F，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵点A的坐标为，
∴，，
∴点C的坐标为；
∴，点B到y轴的距离为，
∴点B的坐标为；
故答案为：，4，1，7；
（2）由题意，得，
当 时，．
将三角形沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，
只需三角形是等腰三角形即可．
①当点Q在上时，
∵，
∴只存在一点Q，使．
过点Q作于点D，如图，
则，
∵，
∴，
∴；
②当点Q在上时，
∵，
∴只存在一点Q，使C，
∴，
∴．
综上所述，k的值为2或4．
【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，深入理解题意，熟练应用分类讨论思想是解决问题的关键．
（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D在边上从点C运动到点B，以为边作正方形，连、，在点D运动过程中，请探究以下问题：
(1)若为直角三角形，求此时正方形的边长；
(2)的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由；
(3)设，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)不会改变，
(3)当时，
【分析】（1）根据条件，若为直角三角形，正方形的对称中心为点B，点A、B、E在同一直线上，点D、B、F在同一直线上，利用勾股定理求解即可；
（2）过点F作，交的延长线于H，根据矩形的性质可得，且，证明，可得，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）由全等三角形的性质可得，，可得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵为直角三角形，
∴正方形的对称中心为点B，点A、B、E在同一直线上，点D、B、F在同一直线上，
∵，
∴正方形边长．
（2）解：的面积不会改变，
如图，过点F作，交的延长线于H，
∵矩形的顶点B坐标为，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，且，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，如图，过点E作于H，
同理（2）可知
∴，，且，
∴，，
∴，
当时，如图，过点F作于H，连接，
同理可得：，，
∴，
综上所述：当时，．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限．
(1)线段的长为_______（用m的代数式表示）．
(2)试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)设正方形的对称中心为M，直线交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)不变，
【分析】（1）利用坐标、坐标与图形的性质即可求解；
（2）证明可得结论．
（3）过点F作交的延长线于点H，过点M作轴．证明，推出，，求得，进而可得，即可证明是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：．
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：点G的位置保持不变，
理由：过点F作交的延长线于点H，过点M作轴，垂足为N，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又，M是的中点，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了中心对称，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确构造辅助线证明三角形全等．
（24-25八年级·福建福州·期中）如图①所示，以正方形的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在y轴上，线段在x轴上，其中正方形的周长为16．
(1)直接写出B、C两点坐标；
(2)如图②，连接，若点P在y轴上，且，求P点坐标．
(3)如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接．则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由．
【答案】(1)点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）
(2)点P坐标为（0,8）或（0，-8）
(3)
【分析】（1）根据题意可知正方形边长为4，可求坐标；
（2）求出，根据题意可知，可以求出点P的纵坐标；
（3）过点P作交BC于点Q，根据平行线的性质可求解；
【详解】（1）解：∵正方形ABCO的周长为16
∴正方形边长为4，
∴点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）．
（2）解：由题意可知OA=OB=4，
∴，
则
，
设点P的坐标为（0，m），
则OP=，
，
解得，
∴m=8或m=-8，
∴点P坐标为（0,8）或（0，-8）．
（3）解：，理由如下：
如图，过点P作交BC于点Q，
则，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积以及平行线的性质，掌握平行线性质和三角形面积的求法是解题的关键．
（24-25八年级·江苏宿迁·期中））如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接，设点运动的时间为．
(1)的度数为______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)当时，平面内是否存在点M，使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，判断线段、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)，
(2)存在，点M的坐标为或或
(3)．证明见解析
【分析】（1）证明，得出，，则可得出答案；
（2）求出点，点的坐标，分三种情况，由平行四边形的性质以及点的平移可得出答案；
（3）延长至，使，证明，得出，，证明，得出．
【详解】（1）解：由题意知，
，
四边形是正方形，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：，；
（2）解：当时， ，
，四边形为正方形，
，，
由（1）知，
，
，
若为平行四边形的对角线，，，
可得点P向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点D，
∴点向右平移3个单位，向上平移1个单位得到，
∴
若为平行四边形的对角线，，，同理可求
，
若为平行四边形的对角线，，，同理可求
，
综上所述，点的坐标为或或；
（3）解：．
证明：延长至，使，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的平移，平行四边形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
（24-25八年级·吉林四平·期末）如图1，四边形为菱形，．，，．
(1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．

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