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四边形中的定值、最值、中点四边形问题
【题型1 四边形中的定值问题】
1．（24-25九年级·山东菏泽·期中）如图所示，矩形中，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值．
2．（24-25九年级·浙江台州·期中）已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G．
(1)如图1，当点E是中点时， ______；
(2)如图2．
①求证：；
②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
3．（24-25九年级·福建厦门·期中）如图，已知四边形是正方形，点是边上的动点（不与端点重合），点在线段上，，，，为线段的中点，点在线段上（不与点重合），且．
(1)求证：；
(2)随着点的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．
4．（24-25九年级·江苏南京·期中）如图，点是线段上一动点，，以，为对角线分别作出菱形和菱形且．
(1)求证：长度为定值．
(2)连接，若时，求的面积．
(3)若再连接DF，分别取六边形ADFBEC各边中点，当点P从点A运动到点B时，各边中点运动路径的总长度为________．
5．（24-25九年级·福建福州·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD2+3DE2是定值．
6．（24-25九年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求四边形的周长和面积．
(3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
7．（24-25九年级·四川成都·期末）如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系．
【深入研究】
（2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值．
【拓展延伸】
（3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由．
8．（24-25九年级·山东济南·期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b．
(1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系；
(2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF；
(3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值．
9．（24-25九年级·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且G点在矩形ABCD内部，延长BG交DC于点F．
(1)求证：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的长；
(3)若DC＝n DF，那么n 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
10．（24-25九年级·山东临沂·期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
（1）如图1，梦想飞扬小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明；
深度探究：
（2）如图2，智慧创新小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
①当时，可以求出的长度．请写出解答过程；
②当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
【题型2 四边形中的最小值问题】
11．（24-25九年级·江苏扬州·期末）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形．

(1)请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由．
(2)作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ．
12．（24-25九年级·云南昆明·期末）如图，，，平分．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
13．（24-25九年级·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的最小值．
14．（24-25九年级·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两邻边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上一动点，连，过点B作交y轴于点F，连，以，为邻边构造平行四边形，已知．
(1)求证：；
(2)当E为的中点时，求点F的坐标
(3)当点E在正方形边上运动的过程中，求的最小值
15．（24-25九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
把两个边长都等于的等边三角形拼成菱形（如图），有一个含角的三角尺，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与，重合．
(1)将三角尺绕点按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点，时（如图①），通过观察或测量，的长度，你能得出什么结论？证明你的结论；
(2)在旋转过程中，四边形的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；
(3)若将（1）中三角尺的角的顶点在上移动且与点，都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点，时（如图②），那么，之间的数量关系为__________．
16．（24-25九年级·江苏扬州·期中）在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒
(1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形．
(2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动．
①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值；
②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ．
17．（24-25九年级·河南三门峡·期末）如图，点C在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．
(1)求的度数；
(2)点P是线段上的一个动点，连接、．若，．求的最小值．
18．（24-25九年级·山东济宁·期中）（1）如图①，四个小矩形拼成一个大矩形，点P在线段上，试判断矩形与矩形面积的大小关系，并简单说明理由；
（2）如图②，矩形的顶点P在直角三角形的斜边上，若，利用第（1）小题的探究方法和结论，求矩形的面积．
（3）如图③，在中，P是斜边上一动点，作，交于点G，作，交于点F，若，求的最小值．

19．（24-25九年级·河北石家庄·期末）如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点．
(1)如图2，当点，重合时，
①求证：四边形是菱形；
②设点为线段上一点，求的最小值．
(2)求的面积的取值范围．
20．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，，与相交于点 P．

(1)【动手操作】在图1中画出线段，；
(2)【问题探究】若．
①利用图2 探究的值；
②过点P作，垂足分别为M，N，连接，试求的最小值．
【题型3 四边形中的最大值问题】
21．（24-25九年级·浙江·期中）如图1，已知：在菱形中，，E，F分别是上的动点，且．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积；
(3)如图2，连接，求面积的最大值．
22．（24-25九年级·湖北咸宁·期中）如图1，将矩形放置于平面直角坐标系中的第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取的中点M，连接，与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点．求证：点P为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
23．（24-25九年级·山东济南·期末）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
(1)在图中，的度数是___________；
(2)如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度；
(3)如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值．
24．（2016·广东广州·一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．
(1)试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
(2)求EF的最大值与最小值．
25．（24-25九年级·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、．
(1)如图2，点E落在对角线上，与相交于点H，
①连接，求证：四边形是平行四边形；
②求线段的长度；
(2)在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ．
26．（24-25九年级·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到．
(1)直接写出正方形的边长；
(2)如图1，若点D为中点，延长交于点H．
①求的长；
②连并延长交于点F，求的长；
(3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长．
27．（24-25九年级·河北保定·期中）已知等边三角形的边长为12，D为射线上一动点（点不与，重合），以为边作菱形，使，连接．
(1)如图，当点在边上时，求证：，
(2)在点的移动过程中，当时，求的长度
(3)设与菱形的面积分别为，，直接写出的最大值．
28．（24-25九年级·福建莆田·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足．
(1)求点的坐标；
(2)取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
29．（24-25九年级·广东广州·期末）正方形的边长为6，E，F分别为边上的点，连接，将沿折叠，C对应的点为．
(1)当点F与点B重合时，
①如图1，，M为的中点，连接，，
求证：四边形为菱形；
②如图2，延长交于点N，连接，，与分别交于点P，Q，猜想线段，，满足的数量关系，并加以证明：
(2)当点F与点B不重合时，如图3，E为的中点，连接，求四边形面积的最大值．
30．（24-25九年级·四川成都·期中）在矩形中，．
(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证： ；
(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；
(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．
【题型4 四边形中的中点四边形问题】
31．（24-25九年级·江苏常州·期中）如图，、、分别是各边的中点．
(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．
32．（24-25九年级·江苏淮安·期中）D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．

(1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
33．（24-25九年级·江苏南通·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”．
(1)如图，“中点四边形”的形状是 ；
(2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明）
34．（24-25九年级·广东佛山·阶段练习）如图，点D，E分别是的边的中点，点O是所在平面上一个动点，连接，点G，F分别是的中点，顺次连接点D，G，F，E．

(1)如图，当点O在的外部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)当点O在的内部时，要使四边形是正方形，则与满足的条件是：．
（直接写出结果即可）
35．（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？
(1)当______时，四边形为菱形；
(2)当______时，四边形为矩形；
(3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论．
36．（24-25九年级·吉林·阶段练习）【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；

【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ．
37．（24-25九年级·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．
38．（24-25九年级·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：

反思交流：
(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据　 ；依据　 　 ；
②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
(2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由；
(3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　．
39．（24-25九年级·江西上饶·阶段练习）我们定义：若E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形是矩形，则四边形是四边形的中矩四边形．
(1)如图1，四边形是菱形，E，F，G，H分别是四边形各边的中点，求证；四边形是四边形的中矩四边形．

(2)如图2，以锐角的两边，为边，在外作等腰和等腰，其中，F，G，H，M分别为，，，的中点．

①求证：四边形是四边形的中矩四边形．
②若四边形的面积为8，，求的值．
40．（24-25九年级·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性质探究】：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系；
【问题解决】：
（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；
【拓展应用】：
如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．
（4）试探索与的数量关系，并说明理由．
（5）若，求的最小值．

【题型5 四边形中的新定义问题】
41．（24-25九年级·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．
【解决新问题】
(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”）
(2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．
42．（24-25九年级·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；
(2)如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，．
判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由；
如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由：
(3)如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．
43．（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．
(1)①写出一种你学过的伪矩形： ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
(2)如图1，在伪矩形中，，，，求的长．
(3)如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积．
44．（24-25九年级·江苏南京·期末）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形中，，若平分，则四边形是近似菱形．

(1)如图②，在四边形中，，，．
求证：四边形是“近似菱形”，
(2)如图③，已知线段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且与互补．
要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(3)在（2）的条件下，“近似菱形”中的取值范围是________________．
45．（24-25九年级·北京通州·期中）定义：若点P为四边形内一点，且满足，则称点P为四边形的一个“互补点”．
(1)如图1，点P为四边形的一个“互补点”，若，则 ；
(2)如图2，点P是菱形对角线上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形的一个“互补点”．
46．（24-25九年级·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”．
(1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度；
(2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积．
47．（24-25九年级·福建三明·期中）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．邻等四边形中，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形中，，对角线平分，求证：四边形是邻等四边形；
(2)如图2，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点，并分别用，，，……表示；
(3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角．若，，求邻等四边形的周长．
48．（24-25九年级·湖南长沙·期中）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）；
(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”；
(3)如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．
49．（24-25九年级·山东东营·期末）附加题：
我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形．
(1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形．
(2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______．
(3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
50．（24-25九年级·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形．
(2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长．
(3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．中小学教育资源及组卷应用平台
四边形中的定值、最值、中点四边形问题
【题型1 四边形中的定值问题】
1．（24-25九年级·山东菏泽·期中）如图所示，矩形中，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值．
【答案】当点在上运动时，的值不发生变化，为24
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，根据勾股定理求出，求出，，求出的面积，根据三角形面积公式得出，由此即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键．
【详解】解：当点在上运动时，的值不发生变化，
理由是：连接，
，
∵在矩形中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即当点在上运动时，的值不发生变化，为24．
2．（24-25九年级·浙江台州·期中）已知菱形中，，点E在边上，作，与相交于点F．与对角线分别相交于点H，G．
(1)如图1，当点E是中点时， ______；
(2)如图2．
①求证：；
②的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②是，1
【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，由E是中点，可得，即，，，然后求解作答即可；
（2）①如图2，连接，由（1）可知，是等边三角形， 证明，进而可得；②如图3，连接，由菱形，，可得，证明，则，同理，，，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵E是中点，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①证明：如图2，连接，
由（1）可知，是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②解：如图3，连接，
∵菱形，
∴，，
由①可知，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴的值为定值，且定值为1．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（24-25九年级·福建厦门·期中）如图，已知四边形是正方形，点是边上的动点（不与端点重合），点在线段上，，，，为线段的中点，点在线段上（不与点重合），且．
(1)求证：；
(2)随着点的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不发生变化，AB﹣AN＝2
【分析】（1）首先根据点为的中点，得出，进而可得，，然后根据三角形的内角定理可得出，从而得出结论；
（2）首先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再证和全等，从而得出，然后计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：点为的中点，
，
，
，
，，
，
，
即：，
，
即：；
（2）解：猜想的值不发生变化，，理由如下：
，，，
，，，
，
为直角三角形，即：，
由（1）可知：，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的值不发生变化，值为2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，乘法公式，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解正方形的性质，勾股定理逆定理是解决问题的关键．
4．（24-25九年级·江苏南京·期中）如图，点是线段上一动点，，以，为对角线分别作出菱形和菱形且．
(1)求证：长度为定值．
(2)连接，若时，求的面积．
(3)若再连接DF，分别取六边形ADFBEC各边中点，当点P从点A运动到点B时，各边中点运动路径的总长度为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定和性质、以及勾股定理等知识点；
（1）利用菱形性质先证明和都是等边三角形，得，，由此即可得出；
（2）过点C作，垂足为H，证明，由勾股定理求出，在利用三角形面积计算即可，
（3）延长交与点Q，取中点M，取中点N，取中点，取中点K，根据起点和中点位置求出各点运动路径长即可．
【详解】（1）证明：在菱形和菱形，，，
又∵，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴：长度为定值，
（2）如图，过点C作，垂足为H，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵在中，，
∴的面积
（3）解：延长、交与点，取中点，取中点，取中点，取中点，连接，如图：
∵和都是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当点P在起点A时，中点N与中点重合，当P在终点B时，中点N与中点重合，点N在线段上运动，故点运动路径的长度为，
当点P在起点A时，M与点A重合，当P在终点B时，M与中点重合，故点运动路径的长度为，
同理、、、的中点运动路径的长度为4，
综上所述：当点P从点A运动到点B时，各边中点运动路径的总长度为．
5．（24-25九年级·福建福州·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD2+3DE2是定值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）只需要证明△ABE≌CDF和△ADE≌CBF，即可得到BE=DF，ED=BF，从而得证；
（2）设，，，过E作EM⊥AD于M，再利用得到，即可得到，即可得到，再用勾股定理求出得到，最后利用勾股定理分别求出，从而得到，即可证明.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，AB∥CD
∴∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF
∴△ABE≌CDF（SAS）
∴BE=DF
同理△ADE≌CBF（SAS）
∴ED=BF
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）设，，，过E作EM⊥AD于M
∵EM⊥AD，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由勾股定理得：
∴
∴的值为定值
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
6．（24-25九年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求四边形的周长和面积．
(3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为：，的面积为：；
(3)①；②的值为定值，这个定值为；
【分析】（1）利用菱形的性质得：，由两组对边分别平行的四边形可得结论；
（2）设对角线与相交于点．根据直角三角形角的性质得的长，由勾股定理得的长和的长，根据平行四边形的性质可得其周长和面积；
（3）①先根据三角形的周长计算，确定的最大值和最小值即可；
根据轴对称的最短路径问题可得：当在处时，的值最小，最小值是，由图形可知：当在点处时，的值最大，构建直角三角形计算即可；
②的值为定值，这个定值为，根据面积公式可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
即．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：设对角线与相交于点．
∵四边形是菱形，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴的周长为：，
的面积为：；
（3）①∵，
∵和关于直线对称，
∴当在处时，的值最小，最小值是，
当在点处时，的值最大，如图，
过作，交的延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
中，，
由勾股定理得：，
∴的最大值是：，
∵为边上的一个动点（不与端点重合），
∴，
即；
②的值为定值，这个定值为；
理由是： ．
【点睛】考查了菱形的性质，直角三角形度角的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积和周长公式，解（1）的关键是熟练掌握平行四边形的判定，解（2）的关键是计算和的长，解（3）的关键是作辅助线，构建直角三角形．
7．（24-25九年级·四川成都·期末）如图，四边形是正方形，，点P是上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转，得到．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究与的数量关系．
【深入研究】
（2）连接，在点P的运动过程中，试探究的值．
【拓展延伸】
（3）与相交于点F，在点P的运动过程中，试探究的周长是否为定值，若是，求出的周长；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）（3）是定值，理由见详解
【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由外角的性质可证；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
将绕点按顺时针方向旋转，得到．
，，
，
；
（2）如图，在上截取，连接，
，，
，
，，
，
又，，
，
，
；
（3）的周长是定值，理由如下：
如图，延长至，使，连接，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
的周长，
的周长是定值．
8．（24-25九年级·山东济南·期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b．
(1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系；
(2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF；
(3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)不变，
【分析】（1）证明△ABE≌△ACF，可得结论；
（2）根据SAS证明三角形全等即可；
（3）证明四边形的面积=△ABC的面积，即可解决问题．
【详解】（1）解：结论：AE=AF．
理由：如图①中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；
（2）证明：如图②中，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=DA=6，∠B=∠D=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°=∠B，AC=AB，
∵a+b=6，即BE+DF=6=BC，
∴BE=CF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（3）解：不变，四边形AECF的面积为，
理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=×62=9．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
9．（24-25九年级·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且G点在矩形ABCD内部，延长BG交DC于点F．
(1)求证：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的长；
(3)若DC＝n DF，那么n 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD=；
(3)4
【分析】（1）利用HL证明△EGF≌△EDF，即可得到结论；
（2）设CF=x，则DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，求得BF =18-x，根据勾股定理得BC2+CF2=BF2，列得（4x）2+x2=（18-x）2，求出x即可得到AD的长；
（3）由DC＝n DF得到DF、BF的长，根据勾股定理得BC2+CF2=BF2，列得BC2+()2=()2，求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接EF，
由折叠得AE=EG，∠EGB=∠A=90°，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE=EG，
∵∠D=90°，
∴∠D=∠EGF=90°，
∵EF=EF，
∴△EGF≌△EDF，
∴GF=DF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=BG=9，AD=BC，
设CF=x，则DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，
∵GF=DF，
∴GF=9-x，
∴BF=BG+GF=9+9-x=18-x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴（4x）2+x2=（18-x）2，
解得x=或x=（舍去），
∴AD=4x=；
（3）n 是定值．
∵DC＝n DF，
∴，
∴FC=DC-DF=DC-=，
∵DF=GF，AB=BG=CD，
∴BF=BG+GF=，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴BC2+()2=()2，
∴，
∴，
∴n =4．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握全等三角形的判定及性质结合勾股定理进行论证是解题的关键．
10．（24-25九年级·山东临沂·期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
动手实践：
（1）如图1，梦想飞扬小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明；
深度探究：
（2）如图2，智慧创新小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
①当时，可以求出的长度．请写出解答过程；
②当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）①，过程见解析；②的周长不变，为定值12．
【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论；
（2）①设，则，然后利用勾股定理求解即可；
②连接，，过点A作于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）①设，则，
由勾股定理得，，
解得，
∴；
②的周长不变，为定值12．理由如下：
如图，连接，，过点A作于点M，

由折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周长
，
∴的周长为12．
【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【题型2 四边形中的最小值问题】
11．（24-25九年级·江苏扬州·期末）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形．

(1)请只用无刻度的直尺画出菱形，保留作图痕迹，并说明理由．
(2)作出（1）中菱形后，若点P是边上一动点，点Q是菱形对角线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结，交于点G，作射线，交于点N，连结，根据平行四边形的对角线互相平分，可知，然后证明，可得，由此可证四边形是平行四边形，进一步推得四边形是菱形；
（2）连结，，过点D作于点H，根据菱形的性质可知垂直平分，即得，所以，当点P在点H处，且点Q在上时，取最小值，最小值为的长，再求出的长，即得答案．
【详解】（1）连结，交于点G，作射线，交于点N，连结，则四边形就是所求作的图形；
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）连结，，过点D作于点H，
四边形是菱形，
垂直平分，
，
，
当点P在点H处，且点Q在上时，取最小值，最小值为的长，
，，
是等边三角形，
，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，几何作图，线段垂直平分线的性质及轴对称的性质等知识，利用平行四边形的对角线互相平分作图及轴对称的性质是解题的关键．
12．（24-25九年级·云南昆明·期末）如图，，，平分．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称-最短路线问题，掌握菱形的判定方法，会用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键．
（1）证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可；
（2）先求出的长，然后利用将军饮马模型求出的最小值，即可求出周长的最小值．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分．
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，，如图：

由（1）知，四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形关于对角线所在直线对称，
，
周长，
周长的最小值为，
在中，
，
周长的最小值为．
13．（24-25九年级·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质和判定，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．
（1）首先证明出四边形为平行四边形，然后由即可由证明出四边形是矩形；
（2）首先根据矩形的性质得到，然后判断出当时，取得最小值，取得最小值，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图所示，连接
∵四边形是矩形
∴
∴当最小时，最小
∴当时，取得最小值
∵，，
∴
∴当时，
∴
∴
∴的最小值为，即的最小值为．
14．（24-25九年级·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两邻边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上一动点，连，过点B作交y轴于点F，连，以，为邻边构造平行四边形，已知．
(1)求证：；
(2)当E为的中点时，求点F的坐标
(3)当点E在正方形边上运动的过程中，求的最小值
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据垂直得出，再证明即可；
（2）由得出，求出，即可得出答案；
（3）根据（1）可知：，设，得出，在中，，求出，根据非负数的性质可得的最小值，再根据平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵E为的中点，，
∴，
∴，
∴；
（3）根据（2）可知：，
设，
∵E为x轴正半轴上一动点，
∴，
在中，，
∴，
由非负数的性质可得：的最小值为：18，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形，利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，化为最简二次根式，掌握这些知识点是解题的关键．
15．（24-25九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
把两个边长都等于的等边三角形拼成菱形（如图），有一个含角的三角尺，使三角尺的角的顶点与点重合，两边分别与，重合．
(1)将三角尺绕点按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点，时（如图①），通过观察或测量，的长度，你能得出什么结论？证明你的结论；
(2)在旋转过程中，四边形的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；
(3)若将（1）中三角尺的角的顶点在上移动且与点，都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边，相交于点，时（如图②），那么，之间的数量关系为__________．
【答案】(1)，证明见解析
(2)有变化，四边形的周长最小值为：
(3)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质等知识，利用已知得出，灵活的应用全等的判定是解决问题的关键．
（1）由旋转知，，根据等边三角形的性质得，，得出，即可得出答案；
（2）由得到，，进而得到，当、最短时，即、，四边形的周长最小，根据勾股定理求出，即可求解；
（3）利用菱形的性质得出，再利用，，得出，即可得出答案．
【详解】（1），
证明：由旋转知，，
和是边长相等的等边三角形，
，，
．
；
（2）解：四边形的周长是变化的，
由（1）得，
，，
，
当、最短时，即、，四边形的周长最小，
此时，
，
四边形的周长最小值为；
（3）证明：过点作、，垂足分别为、．
，
在菱形中，平分，
，
，，
，
，
，
又 ，，
，
．
16．（24-25九年级·江苏扬州·期中）在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒
(1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形．
(2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动．
①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值；
②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ．
【答案】(1)或
(2)①，②10
【分析】（1）连接，证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，从而得到当时，四边形为矩形，再证明四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理求出的长，即可；
（2）①连接，根据线段垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理求出，，再证明，可得，从而得到，再由，可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由四边形的面积是矩形面积的一半，可得，即可求解；
②如图，作点关于的对称点，过点作于，连接，，则，，，根据勾股定理，可得，证明四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，即当点，，三点共线时，四边形的周长最小，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
、分别是，中点，
，，
、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
或，
解得：或，
综上所述，当或时，四边形是矩形；
故答案为：或；
（2）解：①如图2，连接，
垂直平分，
，
在中，
即，
解得：，
，
根据题意得：，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形的面积是矩形面积的一半，
，，
，
，
解得：；
②如图3，作点关于的对称点，过点作于，连接，，则，，，
∵在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动
∴
，
，
四边形是矩形，
，，
∴
、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
，
∵，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
∵
四边形为平行四边形，
四边形的周长为，
即当点，，三点共线时，四边形的周长最小，最小值为．
故答案为：10．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17．（24-25九年级·河南三门峡·期末）如图，点C在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．
(1)求的度数；
(2)点P是线段上的一个动点，连接、．若，．求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等边三角形和正方形的性质，得到，，再根据等边对等角的性质，即可求出的度数；
（2）作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接，由轴对称的性质可知，，，，先证明是等腰直角三角形，得到，进而得出，过点作于点，则是等腰直角三角形，得到，即点与点重合，然后利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：是等边三角形，四边形是正方形，
，，，，
，，
；
（2）解：如图，作点关于的对称点，连接与交于点，连接与交于点，连接，
由轴对称的性质可知，，，
，
即当点、、三点共线时，有最小值，为的长．
是等边三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
过点作于点，则是等腰直角三角形，
，
，
即点与点重合，
，
在中，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的额性质，正方形的性质，轴对称的额性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用轴对称的性质求线段最值是解题关键．
18．（24-25九年级·山东济宁·期中）（1）如图①，四个小矩形拼成一个大矩形，点P在线段上，试判断矩形与矩形面积的大小关系，并简单说明理由；
（2）如图②，矩形的顶点P在直角三角形的斜边上，若，利用第（1）小题的探究方法和结论，求矩形的面积．
（3）如图③，在中，P是斜边上一动点，作，交于点G，作，交于点F，若，求的最小值．

【答案】（1）矩形与矩形面积相等，理由见解析；（2）3750；（3）
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意的面积与的面积相等，与的面积相等，与的面积相等，然后结合图形即可解答．
（2）设根据长方形面积与（1）中得结论结合，求出的值即可解答．
（3）如图：连接,由题意可得：四边形是矩，则；根据垂线段最短可得当时，最小，即最小；然后运用勾股定理和等面积法即可解答．
【详解】解：（1）矩形与矩形面积相等，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴的面积与的面积相等，与的面积相等，与的面积相等，
∴剩下两个长方形的面积也相等，即矩形与矩形面积相等．
(2)如图：连接,
设，
则长方形的面积为，
由(1)中的结论可得，，解得：，即长方形的面积为3750．
（3）如图：连接,
由题意可得：四边形是矩形，
∴,
根据垂线段最短可得：当时，最小，即最小，
∵，
∴,
∴,即，解得：，
∴最小的最小值为．
19．（24-25九年级·河北石家庄·期末）如图1，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点．
(1)如图2，当点，重合时，
①求证：四边形是菱形；
②设点为线段上一点，求的最小值．
(2)求的面积的取值范围．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①由折叠的性质得到，，利用平行四边形的性质推出，进而得到，推出，即可证得四边形是菱形；
②先证明，得到，进而得到，当A，C，Q三点共线时，最小，此时，连接，证得是等边三角形，得到，求出，勾股定理求出，即可得到的最小值为；
（2）当点，重合时，，的面积最小，过点D作于点H，利用30度角的性质及勾股定理求出，，得到；当点P与点D重合时，过点M作于点G，设，证明，得到，利用30度角的性质及勾股定理求出，，列得，求出，即，求出，由此得到的面积的取值范围是．
【详解】（1）解：①当点，重合时，，
由折叠得，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②连接
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A，C，Q三点共线时，最小，此时，
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（2）当点，重合时，，
∴的面积最小，
过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当点P与点D重合时，过点M作于点G，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即，
∴
∴的面积的取值范围是．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
20．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，，与相交于点 P．

(1)【动手操作】在图1中画出线段，；
(2)【问题探究】若．
①利用图2 探究的值；
②过点P作，垂足分别为M，N，连接，试求的最小值．
【答案】(1)图见解析
(2)①2；②
【分析】（1）根据题意作线段即可；
（2）①如图2，证明，则，，求解作答即可；②如图2，则四边形是矩形，取的中点，连接，则，，即点在以为直径的上，当三点共线时，最小，最小值为：，由勾股定理计算求解，进而可得的最小值．
【详解】（1）解：如图1，
（2）①解：如图2，
四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为2；
②解：如图2，则四边形是矩形，取的中点，连接，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
点在以为直径的上，
当三点共线时，最小，最小值为：，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了画线段，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆，勾股定理等知识．熟练掌握画线段，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆，勾股定理是解题的关键．
【题型3 四边形中的最大值问题】
21．（24-25九年级·浙江·期中）如图1，已知：在菱形中，，E，F分别是上的动点，且．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积；
(3)如图2，连接，求面积的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由，可得，可证，得到；
（2）由是等边三角形，求出，由可得四边形的面积与相等即可；
（3）要使的面积最大，则的面积最小，求得的面积最小值即可；
【详解】（1）连接，
∵四边形是菱形，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）过点A作于点G，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴四边形的面积
（3）连接，要使的面积最大，则的面积最小，
∵
∴是等边三角形，
∴
当时，最短，则的面积最小，
过点A作于点H，则．
由勾股定理得，，
∴的面积最大值=.
【点睛】本题考查菱形、等边三角形的性质，通过证三角形全等，得以证明是等边三角形，根据垂线段最短进而求出最小面积是准确求解本题的关键．
22．（24-25九年级·湖北咸宁·期中）如图1，将矩形放置于平面直角坐标系中的第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取的中点M，连接，与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点．求证：点P为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质及绝对值的非负性得，，即可求出点的坐标；
（2）利用对称的性质、等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就可得出和垂直，再得出两组对边分别平行证出平行四边形，由平行四边形性质即可得出求证；
（3）利用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出和的长，再利用三角形三边关系得出当、、三点共线时的长度最大，进而求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如图，连接，
∵与关于所在直线对称，
∴，
∴，
∴，
又为中点，
∴，
∴，
∴，
又在中，，
即，
∴，
即，
∴
又
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点P为的中点；
（3）如图，连接，取的中点，
连接、．
由（2）知，点P坐标为
∵，，
∴，则，
∴点Q的坐标为，
又∵，
∴，
三角形两边之和大于第三边，即，
∴当、、三点共线时，，此时的长度最大，
则的最大值．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、对称图形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和三角形三边关系等知识点，牢固掌握以上知识点并能综合应用是做出本题的关键．
23．（24-25九年级·山东济南·期末）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
(1)在图中，的度数是___________；
(2)如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度；
(3)如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，最大值为．
【分析】（）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，然后求出，再根据计算即可得解；
（）过点作交的延长线于点可得四边形是正方形，然后设，根据上面的结论表示出，再求出，然后在中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解；
（）过点作，取，连接，，推导出，由可证，可得，当三点共线时，取最大值．
【详解】（1）根据旋转知: ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
故答案为：；
（2）过点作交的延长线于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
根据上面结论可知，
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）如图，过点作，取，连接，，如图
∵，，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴线段有最大值时，只需最大即可，
在中，，
当三点共线时，取最大值，此时，
在等腰直角三角形中，，，
∴，
∵，最大，即最大值为，
此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
24．（2016·广东广州·一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．
(1)试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
(2)求EF的最大值与最小值．
【答案】（1）见解析（2）EF的最大值为4，最小值为．
【详解】试题分析：（1）AE+CF=4，DF+CF=4，则DF=AE,根据题目已知条件可通过角边角证明,从而证明BE=BF（2）可先证明 BEF为等边三角形．那么BE=BF=EF,点E在AD上运动，当BE AD时，BE最短，当E与A或D重合时最长．
解：（1）BE=BF，证明如下：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，
∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，
∵AE+CF=4，
∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，
又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，
∵EF=BE，
∴EF的最大值为4，最小值为．
25．（24-25九年级·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、．
(1)如图2，点E落在对角线上，与相交于点H，
①连接，求证：四边形是平行四边形；
②求线段的长度；
(2)在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ．
【答案】(1)①见解析 ②
(2)
【分析】（1）①证明， 得出由平行四边形的判定可得出结论；
②证明，得出，由勾股定理可得出答案；
（2）由旋转的性质画出图形，由三角形面积可求出答案.
【详解】（1）①证明： 如图，
∵四边形形是矩形，
，
∵旋转，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
②设， 则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
又 ，
，
，
．
（2）∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，
∴旋转过程中，是定值，
当三点共时， 三角形的面积最大，如图，
此时
．
故答案为： ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（24-25九年级·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到．
(1)直接写出正方形的边长；
(2)如图1，若点D为中点，延长交于点H．
①求的长；
②连并延长交于点F，求的长；
(3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长．
【答案】(1)6
(2)①2；②
(3)
【分析】（1）根据根据二次根式被开方数的非负性即可作答；
（2）①由翻折得，，进而推出，设，根据勾股定理即可求得；
②同角的余有相等，进而推出，，作答即可；
（3）由翻折，由，当、、共线时，最大，，，即可作答．
【详解】（1）解： ，
，，
，
，
，即，
正方形的边长为6；
（2）由（1）知正方形达长为6，
∵是的中点，∴，
①由翻折得，，
，
连接，
则，
，
，
，
设，
则，
在中，
由，
即，
解得，
的长为2；
②由，，
得垂直平分，
，
又，
（同角的余有相等），
又，，
，
，
，
即的长为；
（3）由翻折知，
又是的中点，
，
由，
当、、共线时，最大，
如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
点运动的路径长为．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及正方形的性质，三角形全等的判定与性质，折叠性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定和性质．
27．（24-25九年级·河北保定·期中）已知等边三角形的边长为12，D为射线上一动点（点不与，重合），以为边作菱形，使，连接．
(1)如图，当点在边上时，求证：，
(2)在点的移动过程中，当时，求的长度
(3)设与菱形的面积分别为，，直接写出的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)当时，求的长度为或；
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，菱形的性质得出，，进而得出，根据证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分类讨论即可求解；
（3）连接，过点作于点，依题意得出是等边三角形，则，设，则，勾股定理得出，进而得出，同理可得，进而可知当当时，取得最小值，即可得出的最大值．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，，
即
在和中
∴
（2）解：∵等边三角形的边长为12，
∴，
∵
∴
当点在线段上时，如图所示，
此时，
当点在线段的延长线上时，如图所示，
此时，
综上所述，当时，求的长度为或；
（3）如图所示，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，，
∴是等边三角形，
，
设，则，
∵，
∴，
∴，
，
同理，
，
当取得最小值时，有最大值，
∴当时，取得最小值，
此时，
∴
即的最大值为
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
28．（24-25九年级·福建莆田·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足．
(1)求点的坐标；
(2)取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件，算术平方根的非负性以及偶次幂的非负性求得的值，即可求解；
（2）证明，得到（），则，即可求解；
（3）当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解．
【详解】（1）解：∵满足即．
∴，
∴，即
（2）与关于所在直线对称，
，，
连接，
，
，，
设，，
在中，，即，
，
；
，，
，
同理，
，
，，
（），
，
点为的中点；
（3）取的中点，连接，．
，
∴
，点是的中点，
∴，
∵，则，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值 ．
故答案为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
29．（24-25九年级·广东广州·期末）正方形的边长为6，E，F分别为边上的点，连接，将沿折叠，C对应的点为．
(1)当点F与点B重合时，
①如图1，，M为的中点，连接，，
求证：四边形为菱形；
②如图2，延长交于点N，连接，，与分别交于点P，Q，猜想线段，，满足的数量关系，并加以证明：
(2)当点F与点B不重合时，如图3，E为的中点，连接，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)①见详解；②，证明见详解
(2)
【分析】（1）①由折叠性质知，根据四边形是正方形，得出．当点F与点B重合，时，，根据直角三角形的性质和折叠性质得出，即可得为等边三角形，根据等边三角形性质得出，即可证明四边形为菱形；
②根据四边形是正方形，得出．结合折叠可得，，证明，得出，，过点作且，连接，证明，得出，再证明，得出，在中，得出，根据勾股定理即可求解；
（2）如图，连接，根据题意得出，即可求出，在中，根据勾股定理算出，过作，得出，根据，得出当时，最大，最大为3，即可得，再根据，即可求解．
【详解】（1）①证明：由折叠性质知，
∵四边形是正方形，
∴．
当点F与点B重合，时，，
∵为中点，
∴中，，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形；
②，
证明：如图，∵四边形是正方形，
∴．
结合折叠可得，，
，
，
，
，
，
过点作且，连接，
，
，
，
，
，
，
且，
，
，
在中，，
，
即；
（2）解：如图，连接，
∵为中点．
∴，
，
在中，，
过作，
，
，
∴当时，最大，最大为3，
∴，
∵，
∴．
【点睛】该题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线．
30．（24-25九年级·四川成都·期中）在矩形中，．
(1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点F处（如图①），设与相交于点G，求证： ；
(2)将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在边上（如图②），点A的对应点为，连接交于点．当时，求、的长；
(3)点M在线段上，点N在线段上，（如图③）若按折叠后，点落在矩形的边上点，请求的最大值和最小值．
【答案】(1)证明见解答
(2)的长是，OF的长是
(3)的最大值为6，最小值为
【分析】（1）由矩形的性质得，则，由折叠得，所以，则；
（2）连接、，由 ，得，则 ，因为垂直平分，所以，由勾股定理得，求得，则，由 ，求得，而 ，则；
（3）当点与点重合时，的值最小，由垂直平分，得，则 ，所以；当点与点重合时，的值最大，此时，所以的最大值为6，最小值为．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
由折叠得，
（2）解：如图②，连接、，
，
由折叠得点与点关于直线对称，
垂直平分
解得，
解得，
∴的长是，的长是．
（3）解：如图③，当点与点重合时，的值最小，
∵点与点关于直线对称，
∴垂直平分，
；
如图④，当点与点重合时，的值最大，
且
∴的最大值为6，最小值为．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
【题型4 四边形中的中点四边形问题】
31．（24-25九年级·江苏常州·期中）如图，、、分别是各边的中点．
(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．
【答案】(1)四边形为平行四边形，证明见解析
(2)，四边形为矩形，证明见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据矩形的判定定理证明．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵，，分别是各边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2），四边形为矩形，
理由如下：由（1）得：四边形为平行四边形，
又∵°，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
32．（24-25九年级·江苏淮安·期中）D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E．

(1)如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
【答案】(1)见解析
(2)时，平行四边形是菱形
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、三角形中位线及菱形的性质，解题的关键是得到证明平行四边形的条件．
（1）由于分别是边的中点, 可得是的中位线，同理可得是的中位线，由三角形中位线定理即可得到是平行四边形；
（2）根据，，，可以得到，即可得到平行四边形是菱形．
【详解】（1）证明: ∵分别是边的中点,
且，
同理，且，
∴且
∴四边形是平行四边形；
（2）当时，平行四边形是菱形.理由为：
分别是边的中点,
∴，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形．
33．（24-25九年级·江苏南通·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”．
(1)如图，“中点四边形”的形状是 ；
(2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明）
【答案】(1)平行四边形
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质和判定，矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
（1）连接，得出是的中位线，即，，同理可得，，，即可证明；
（2）连接、，根据三角形中位线可得四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可证明．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵E、H分别是边、的中点，
∴是的中位线
∴，，
同理，，，
∴, ,
∴“中点四边形”的形状是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
（2）如图，
已知：矩形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点
求证：四边形是菱形
证明：连接、．
∵E、F分别是边、的中点
∴是的中位线
∴，
同理，可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵四边形是矩形
∴
∴
∴四边形是菱形．
34．（24-25九年级·广东佛山·阶段练习）如图，点D，E分别是的边的中点，点O是所在平面上一个动点，连接，点G，F分别是的中点，顺次连接点D，G，F，E．

(1)如图，当点O在的外部时，求证：四边形是平行四边形；
(2)当点O在的内部时，要使四边形是正方形，则与满足的条件是：．
（直接写出结果即可）
【答案】(1)见详解
(2)且
【分析】（1）利用三角形中位线定理得出且，进而得出四边形是平行四边形；
（2）利用正方形的判定方法邻边相等的矩形是正方形得出即可．
【详解】（1）证明：如图1，
∵点、分别是、边的中点，
，且，
同理，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形．

（2）解：如图2，当且时，平行四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
，，，
当时，，
∵G、F为，的中点，
∴，
当时，，
∴，
∵D、G分别为、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
35．（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，可证中点四边形是平行四边形，如果我们对四边形的对角线与添加一定的条件，则可使中点四边形成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？
(1)当______时，四边形为菱形；
(2)当______时，四边形为矩形；
(3)当和满足什么条件时，四边形为正方形？请回答并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定，熟练的掌握三角形的中位线定理并在推理论证中正确的运用是解题的关键．
（1）根据三角形得中位线定理， ，结合题意，则可得到四边形是菱形；
（2）根据三角形的中位线定理，可得，，，结合题意四边形是矩形，可得；
（3）结合（1）（2）易得四边形为正方形．
【详解】（1）解：∵、、、分别是四边形各边的中点，
∴、分别是和的中位线；
∴， ；
当时，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
故答案为：
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵、、、分别是四边形各边的中点，
∴、分别是和的中位线；
∴，，
∴，
即：，
∴当时，四边形为矩形．
（3）当时，由（1）得四边形是菱形；
当时，由（2）四边形是矩形；
∴四边形是正方形；
故当且时，四边形是正方形．
36．（24-25九年级·吉林·阶段练习）【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；

【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ．
【答案】[操作一]见解析；[操作二]60
【分析】[操作一]根据作图过程得到，，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证明菱形；
[操作二]根据菱形的性质和勾股定理得到，再根据三角形中位线定理证明出四边形是平行四边形，进一步得到四边形是矩形，从而利用面积公式计算即可．
【详解】解：[操作一]
由作图可知：，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
[操作二]
∵，
∴，
∴，即，
∵E、F分别是，中点，
∴，
同理：，，，，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解中点四边形的定义，依据中位线定理证明矩形．
37．（24-25九年级·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据中位线的性质可得，，，，，，，；即有，，证得四边形是平行四边形，结合，问题得解；
（2）由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，可得，从而得到，，再由矩形的面积公式计算，即可．
（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
∴、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得：，，，，，；
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行多边形是矩形，
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，
∴．
又∵，，
∴，，
∴．
（3）解：∵四边形中，，，且，
∴；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
即四边形的面积是．
【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
38．（24-25九年级·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：

反思交流：
(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据　 ；依据　 　；
②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由；
创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
(2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由；
(3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　．
【答案】(1)①三角形的中位线定理；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②菱形，理由见解析；
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)正方形
【分析】（1）①根据三角形中位线定理解答即可；
②根据菱形的判定方法进行解答即可；
（2）连接，，证明，得出，再根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（3）连接，，交于点O，交于点K，交于点J，证明，再证明，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线定理；
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②菱形；理由如下：
如图1中，

根据题意可知，四边形为平行四边形，
，，
，
∵，，
，
∵，
，
四边形是菱形．
（2）解：结论：四边形是菱形．
理由：如图，连接，，
，
，
即：，
，，
∴，
，
，
由问题情境可知：四边形是平行四边形
四边形是菱形．
（3）解：结论：正方形．
理由：如图，连接，，交于点O，交于点K，交于点J．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
39．（24-25九年级·江西上饶·阶段练习）我们定义：若E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形是矩形，则四边形是四边形的中矩四边形．
(1)如图1，四边形是菱形，E，F，G，H分别是四边形各边的中点，求证；四边形是四边形的中矩四边形．

(2)如图2，以锐角的两边，为边，在外作等腰和等腰，其中，F，G，H，M分别为，，，的中点．

①求证：四边形是四边形的中矩四边形．
②若四边形的面积为8，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②32
【分析】（1）证明：如图，连接，，证明，，，可得，四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，从而可得结论；
（2）①如图，连接，交于点，记与的交点为，证明四边形是平行四边形，，可得，证明，可得，从而可得结论；②证明四边形是正方形，可得，（负根舍去），证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，

∵E，F，G，H分别是菱形各边的中点，
∴，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴四边形是四边形的中矩四边形．
（2）①如图，连接，交于点，记与的交点为，

由题意得：，，
∴四边形是平行四边形，
∵等腰和等腰，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，而，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形是四边形的中矩四边形．
②∵，
∴，
∵F，G，H，M分别为，，，的中点．
∴，，
∴，而四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∵四边形的面积为8，
∴，
∴，（负根舍去）
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定，正方形的判定，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定与性质，理解新定义的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
40．（24-25九年级·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性质探究】：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系；
【问题解决】：
（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；
【拓展应用】：
如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．
（4）试探索与的数量关系，并说明理由．
（5）若，求的最小值．

【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ．
【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；
（2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论；
（3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；
（4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；
（5）如图，记、的中点分别为E、F，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案．
【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，
理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形；
（2），．理由如下：
∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，，，，
∴，．
（3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，

∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，
∴、，，分别是、、、的中位线，
∴，，，，，，，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
（4）如图，记、的中点分别为E、F，

∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵M，F分别是，的中点，
∴，
∴；
（5）如图， 连接交于O，连接、，

当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，
∴的最小值，
由性质探究（1）知：，
又∵M，N分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴的最小值，
由拓展应用（4）知：；
又∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
【题型5 四边形中的新定义问题】
41．（24-25九年级·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．
【解决新问题】
(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”）
(2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．
【答案】(1)是
(2)四边形是补等四边形，证明见解析
【分析】（1）连接，根据菱形性质得出再结合，通过证明，结合角的等量代换，即可作答．
（2）作因为角平分线的性质 ，得出，又因为垂直平分，得出，再证明，结合角的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：连接，如图：
∵四边形是菱形，
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴四边形是补等四边形，
故答案为：是；
（2）解：四边形是补等四边形．
理由如下：作
∴．
∴
∵平分，
∴．
∵垂直平分，
∴
∴
∴．
∴
∴四边形是补等四边形．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
42．（24-25九年级·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；
(2)如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，．
判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由；
如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由：
(3)如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．
【答案】(1)④
(2)①四边形是“神奇四边形”，见解析；②四边形是“神奇四边形”，见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可；
（2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证；
②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证；
（3）延长交于点S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理列方程求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等，
∴正方形是“神奇四边形”，
故答案为：④．
（2）解：①四边形是“神奇四边形”，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是“神奇四边形”．
②四边形是“神奇四边形”，理由如下：
∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可得，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，且，
∴四边形是“神奇四边形”．
（3）解：延长交于点S，
由折叠的性质得，，，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义、折叠的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键．
43．（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．
(1)①写出一种你学过的伪矩形： ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
(2)如图1，在伪矩形中，，，，求的长．
(3)如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积．
【答案】(1)①等腰梯形；②C
(2)
(3)
【分析】（1）①根据题意，写出对角线相等的四边形，例如等腰梯形，即可求解；
②根据中位线的性质可得，进而根据伪矩形的定义，可得，进而即可得出结论；
（2）根据伪矩形的定义，可得，进而勾股定理，即可求解．
（3）作，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）①写出一种你学过的伪矩形：等腰梯形；
故答案为：等腰梯形．
②如图所示，伪矩形中，，
分别为四边中点，
∴
∴
∴四边形是菱形；
∴顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是菱形，
故选：C．
（2）在伪矩形中，
，，，
；
（3）解：作，垂足为，
伪矩形中，，，
，
，，，
，，
，
这个伪矩形的面积为
44．（24-25九年级·江苏南京·期末）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形中，，若平分，则四边形是近似菱形．

(1)如图②，在四边形中，，，．
求证：四边形是“近似菱形”，
(2)如图③，已知线段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且与互补．
要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(3)在（2）的条件下，“近似菱形”中的取值范围是________________．
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析
(3) 且
【分析】（1）根据“近似菱形”的定义，平行线的性质和等边对等角，证明，进而得出结论；
（2）作菱形，以D为圆心，为半径画弧，交于点C，连接，则四边形为求作的“近似菱形”；
（3）根据菱形的性质得出，，进而得出，再证明，当最小时，最小，当时，，当时，不符合“近似菱形”的定义，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴四边形是“近似菱形”．
（2）解：作法：

①作菱形；
②以D为圆心，为半径画弧，交于点C；
③连接．
则四边形为求作的“近似菱形”；
（3）解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当最小时，最小，当时，，
∴
当时，不符合“近似菱形”的定义，
∴ 且．
【点睛】本题考查“近似菱形”的定义，平行线的性质，等边对等角，正确理解新定义是解题的关键．
45．（24-25九年级·北京通州·期中）定义：若点P为四边形内一点，且满足，则称点P为四边形的一个“互补点”．
(1)如图1，点P为四边形的一个“互补点”，若，则 ；
(2)如图2，点P是菱形对角线上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形的一个“互补点”．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点P为四边形的一个“互补点”的定义，可得出，从而根据周角的定义可求出结果；
（2）根据菱形的性质可证得，再证明，可证得，同理得出，然后证明，即可求证．
【详解】（1）解：∵点P为四边形的一个“互补点”，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，连接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，即
∴点P为菱形的一个“互补点” ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，关键是理解题意，确定“互补点”的实际意义．
46．（24-25九年级·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”．
(1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度；
(2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积．
【答案】(1)60
(2)，
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据沙漏四边形即平行四边形的特征得出，，，，在根据矩形的性质得出，得出为等边三角形，即可得出夹角的度数；
（2）根据四边形ABCD是沙漏四边形，得，在证，根据，，得，利用四边形BEDF是沙漏四边形，得，利用勾股定理得出，根据三角形面积计算公式即可得出结论．
【详解】（1）四边形ABCD是沙漏四边形，
，，，
四边形ABCD是矩形，
，
，
为等边三角形，
故答案为：60．
（2） ，
，
四边形ABCD是沙漏四边形，
，，，
，
，，
，，
，，，
∵四边形BEDF是沙漏四边形，
，
，
，
在中，
，
47．（24-25九年级·福建三明·期中）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．邻等四边形中，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形中，，对角线平分，求证：四边形是邻等四边形；
(2)如图2，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点，并分别用，，，……表示；
(3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角．若，，求邻等四边形的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论；
（2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点；②，结合图形再确定满足的格点；
（3）如图，过作于，则四边形是矩形，由矩形的性质得，，，进而利用勾股定理求得，从而即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为邻等四边形．
（2）解：，，即为所求；

（3）解：∵四边形是邻等四边形，，为邻等角．
∴，
如图，过作于，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴即
∴，
∴邻等四边形的周长为．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
48．（24-25九年级·湖南长沙·期中）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）；
(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”；
(3)如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．
【答案】(1)④
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由“宁美四边形”的定义即可得出结论；
（2）证，得，再由“宁美四边形”的定义即可得出结论；
（3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，再次利用勾股定理，即可解决问题．
【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“宁美四边形”，
故答案为：；
（2）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是“宁美四边形”；
（3）图，延长交于S，
由翻折的性质可知，，，，，
四边形是正方形，边长为，
，，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即线段的长为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
49．（24-25九年级·山东东营·期末）附加题：
我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形．
(1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形．
(2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______．
(3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明、、三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长；
（3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明、、三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论．
【详解】（1）解：由旋转得：，，
，
，
四边形是等补四边形．
故答案为：是；
（2）解：如图2，，，
将绕点顺时针旋转得，
，，，
，
，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
（负值舍去）；
故答案为：4．
（3）解：，
将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3，
，，，
，
，
、、三点共线，
，
当时，的面积最大，为．
则四边形面积的最大值为．
50．（24-25九年级·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形．
(2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长．
(3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．
【答案】(1)矩
(2)
(3)答案不唯一，见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得，可得四边形是矩形；
（2）由勾股定理可求，由“”可证，可得，由折叠的性质可得，，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）双层四边形为矩形，
理由如下：由折叠的性质可得，，
，
，
，
同理可得，
四边形是矩形，
故答案为：矩；
（2）四边形为矩形，
，，，
，，
又为平行四边形，
，，
由折叠得，，
，
在与中，
，
，
，
由折叠得，，
，
又，
，
又，，
．
（3）有以下三种基本折法：
折法1中，如图所示：
由折叠的性质得：，，，，，
四边形是叠合正方形，
，
，
，；
折法2中，如图所示：
由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，
，
四边形是叠合正方形，
，正方形的面积，
，
，
设，则，
梯形的面积，
，
，
，
，
，
解得：，
，．
折法3中，如图所示，作于，
则，分别为，的中点，
则，，正方形的边长，
，，
．
综上所述：或11或．
【点睛】本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

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