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四边形中的五大折叠问题专项训练
【题型1 平行四边形中的折叠问题】
1．（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处，若的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查翻折性质，平行四边形性质，根据题意可得，，继而得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得：，
∵将向上翻折，点正好落在上的点处，的周长为，的周长为，
∴，，
∴，即，
∴，即，
∴，
故选：C．
2．（2024·安徽合肥·八年级期末）已知中，，，将沿翻折，点的对应点为，交于，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质等；由平行四边形的性质得，，从而可得，由由翻折得：，即可求解；掌握相关的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，，
由翻折得：
，
，
；
故选：C
3．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，将沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，得出，则，设，则，，，平行得到，求出的值，推出，即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵沿翻折得到，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角相等；折叠前后对应边相等，对应角相等．
4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度．
【答案】30
【分析】根据平行四边形的性质得出，由折叠可知，，进而推出，，则，以为边构造等边三角形，连接， 通过证明，得出，进而得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
以为边构造等边三角形，连接，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，等腰三角形，利用相关性质解答．
5．（2024·福建漳州·八年级期末）如图，将的两边与分别沿翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为 ．

【答案】
【分析】本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先证明和是等边三角形，可得，再由折叠性质求解即可．
【详解】解：由翻转变换的性质可知，，，
四边形是平行四边形，
和是等边三角形，
，
，
故答案为：
6．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，中，把沿翻折得到，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，则是等腰三角形，由“”可证，可得，可证是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在中，点E是边上一点，延长交的延长线于点F，将沿翻折得到，延长交于点M．
(1)如图1，若E为的中点．
①求证：；
②连接，求证：．
(2)如图2，连接交于点H，若G是的中点，．请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①证明过程见解析；②证明过程见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，，再由E为的中点，可得，再根据全等三角形的判定即可得证；
②连接，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而可得，根据等角对等边可得，再根据等腰三角形的性质即可得证；
（2）过点作交于点K，首先推导出，由折叠的性质可得，，，进而得出，可得，，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴；
②如图，连接，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
由①可得，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点作交于点K，
由（1）②得，，，
由折叠的性质得，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形外角的性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
8．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据折叠及已知条件得出AE＝GE，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，证明∠FAE＝∠CEB，再根据平行线的判定得出，即可证明结论；
（2）由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，根据△GCE的周长为20，得出GE＋CE＋GC＝20，即可得出BE＋CE＋BC＝20，再根据平行四边形的性质求出AF＝CE，AE＝CF＝5，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵点E是AB边的中点，
∴AE＝BE，
∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，
∴BE＝GE，∠CEB＝∠CEG，
∴AE＝GE，
∴∠FAE＝∠AGE，
∵∠CEB＝∠CEG＝ ∠BEG，∠BEG＝∠FAE＋∠AGE，
∴∠FAE＝ ∠BEG，
∴∠FAE＝∠CEB，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，
∵△GCE的周长为20，
∴GE＋CE＋GC＝20，
∴BE＋CE＋BC＝20，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，AE＝CF＝5，
∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝AE＋BE＋BC＋CE＋CF＝5＋20＋5＝30．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定，是解题的关键．
9．（24-25·江苏镇江·八年级期末）如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．
（1）求证：△ACE≌△DBF；
（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG． 求证：四边形BGCE是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；
(2)利用翻折变换的性质得出∠DBG=∠DBF，再利用平行线的判定方法得出CE∥BG，进而求出四边形BGCE是平行四边形
【详解】（1）如图1，
∵OB＝OC，
∴∠ACE＝∠DBF，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS）；
（2）如图2，
∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF，
∴∠ACE＝∠DBG，
∴CE∥BG，
∵CE＝BF，BG＝BF，
∴CE＝BG，
∴四边形BGCE是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质和翻折变换(折叠问题)，综合利用判定的性质是解题关键
10．（17-18八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，点P在BC边上，连接AP和PD，点E在DC边上，连接BE与DP和AP分别交于点F和点G，若AB=PC，BP=DC，∠DFE=45°.
（1）如图1，求证：四边形ABED为平行四边形；
（2）如图2，把△PFG沿FG翻折，得到△QFG（点P与点Q为对应点），点Q在AD上，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括平行四边形ABED，但包括特殊的平行四边形）．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AGFQ是平行四边形，四边形QGFD是平行四边形.
【分析】（1）证明△ABP≌△PCD，可以得出△PAD为等腰直角三角形，得出∠ADP=45°，可得AD∥BE，再证出AB∥DE即可解决问题；
（2）根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】解：（1）∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=PC，BP=DC，
∴△ABP≌△PCD，
∴PA=PD，
∠APD=∠PDC，
∵∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠APD=90°，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠ADP=45°，
∵∠DFE=45°，
∴∠ADP=∠DFE，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形．
（2）∵∠PGF=∠PAD=45°，∠PFG=∠ADP=45°，
∴△PFG，△FGQ都是等腰直角三角形，
∴四边形PFQG是正方形，
∵∠AGF=135°，∠QFG=∠PFG=45°，
∴∠AGF+∠QFG=180°，
∴AG∥QF，
∵AQ∥FG，
∴四边形AGFQ是平行四边形，
同法可证，四边形QGFD是平行四边形，
【点睛】本题考查翻折变换、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【题型2 菱形中的折叠问题】
1．（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】此题考查了菱形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，求出菱形的边长是解题的关键．利用折叠的性质和菱形的性质求出菱形的边长为，过点D作于点H，则，进一步求出，即可求出菱形的面积．
【详解】解：∵菱形纸片中，，
∴，
∵将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，
∴，
∴，，
设菱形的边长为，则，
∴，
∴，
解得，
即菱形的边长为，
过点D作于点H，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴菱形的面积为．
故选：A．
2．（24-25八年级·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片中，，点E在边上(不与B、C重合)，将沿直线折叠得到，连接．以下选项中正确的是（ ）
A． B．
C．当平分时， D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据折叠的性质即可判断A选项；由折叠的性质，菱形的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识得到，即可判断B选项；证明是等边三角形，进一步得到，证明是等腰直角三角形，由勾股定理求出，即可判断C选项，即可得到答案．
【详解】解：A.∵将沿直线折叠得到，
，
只有时，才成立，
故选项不正确；
B.由折叠得：，
四边形是菱形，
，，
∴，
，
，，
，
故选项不正确；
C．如图，由折叠得：，，
平分，
，
、分别平分、，
∵三角形三条内角平分线交于一点，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型．
3．（24-25·山西太原·八年级期末）图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．21 C．15 D．12
【答案】C
【分析】由的对应边恰好落在直线上可知，再证明是等边三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，．
∵的对应边恰好落在直线上，
∴到、的距离相等，
∴，点是边的中点，
∴四边形、四边形是平行四边形，，
∴．
由折叠知，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为∶．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
4．（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，为边上的一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在边上的处．若垂直对角线，则 度．
【答案】72
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角．利用菱形的性质设，求得，，，利用平角的性质计算即可求解．
【详解】解：连接，
∵菱形，
∴，，，
设，
∵垂直对角线，
∴，
∴，
由折叠的性质知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：72．
5．（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ．
【答案】
【分析】由菱形，可得，，则，由折叠的性质可知， ，，，则，，，可得，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可知， ，，，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，，
由勾股定理得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
6．（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ．
【答案】1
【分析】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用菱形的性质是解题关键．
连接，交于点O，根据折叠的性质及菱形的性质得出，，再由等量代换确定，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：连接，交于点O，如图所示：
将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案为：1．
7．（24-25八年级·浙江·阶段练习）综合与探究
【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．
【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：．
【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长．
【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长．
【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2
【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有；
[类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得；
[问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可．
【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴．
[类比探究]∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上，
∴，，
∴，
∴，
∵点与点C，E共线，
∴，
即，
[问题解决]延长交的延长线于点，
由（2）得，
∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，
设，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵恰好落在的中点处，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质．
8．（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点
(1)尺规作图，画出折痕；
(2)判断四边形是什么特殊四边形？并证明；
(3)求折痕的长度？
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形．证明见解析
(3)．
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）直接作线段的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质可得，证明，可得，得出四边形是平行四边形．由折叠可知，，即可得证；
（3）由勾股定理得出，则，设，则，再由勾股定理求出，，即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
设与交于点，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
由折叠可知，，
∴四边形是菱形
（3）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴．
由（2）知，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
9．（24-25·吉林松原·八年级期末）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点E为射线上一点，将沿折叠，点A的对应点为点F．

(1)若，直接写出的长（用含a的代数式表示）；
(2)若点E与点C重合，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形．理由见解析
(3)或
【分析】
（1）由直角三角形斜边上的中线性质即得答案；
（2）先证明是等边三角形，再证明四边形四边相等，即得答案；
（3）分点E在线段上和其延长线上两种情况，根据及折叠的性质，可求得，进一步可分别求得答案．
【详解】（1）在中，，
是斜边上的中线，即点D是的中点，，
；
（2）（2）四边形是菱形；
理由如下：
如图②，，，
，
，
∵点D是的中点，即，
，，
是等边三角形，
，
由折叠得， ，，
，
四边形是菱形，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）如图③，点E在线段上时，
，
，
由折叠得，
，
，
；
如图④，点E在线段的延长线上时，
，
，
由折叠得，
，
，
；
综上所述，或．

【点睛】
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
10．（24-25八年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______．
【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，，，则的面积为______．
【答案】【感知】16；【探究】（1）见解析；（2）．
【感知】由四边形是平行四边形得，则，求得，即可得到答案；
【探究】【感知】由平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而进而即可求解；
【探究】（1）四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得到，，，则，，，即可得到结论；
（2）过点作交于点，则，进步得到，，求得、的长，由折叠可知，，，设，则，由勾股定理列式解得，得到的长，可求得结论．
【详解】【感知】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠可知，，，，
，
，
，
四边形的周长为；
故答案为：．
【探究】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上，
，，，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：过点作交于点，则，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
∴，
，
由折叠可知，，，
设，则，
由勾股定理得，
，
解得，
即，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【题型3 矩形中的折叠问题】
1．（24-25八年级·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出，得到，进而证明，得即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可知：直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵对折至，折痕为，
∴，
∴，
故选：．
2．（24-25·安徽合肥·八年级期末）如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
设，根据矩形的性质和轴对称的性质求出，，，的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出和的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵
∴点F在上，如图所示，
四边形是矩形，，，
，，，
设，则，
将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，
，，
∴，
∴，
∵，
∴．
解得．
故选：A．
3．（24-25八年级·湖南长沙·期末）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】连接，交于点，根据翻折的性质知，，，垂直平分，说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：连接，交于点，
在矩形中，，，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵点为的中点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．
4．（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为 ．

【答案】
【分析】连接，由勾股定理求出，由折叠的性质可得，由垂直平分线的性质可得，设，则，由勾股定理可得，求出的值即可得到的长，再由勾股定理求出的长，再证明即可得到答案．
【详解】解：连接，记的交点为，
四边形是矩形，，，
，，，
，
由折叠的性质得：，
垂直平分，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，是解题的关键．
5．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】设，连接，，则，由四边形是矩形，点为中点，得，，， ，所以，由折叠得，，，，所以，，，则，再证明，得，，可证明，则，所以，，则，由勾股定理得，则得到问题的答案．
【详解】解：设，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，点为中点，
∴，，，，
∴，
由折叠得，，，，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（24-25八年级·浙江宁波·期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶
第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ．
【答案】10
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的判定性质，正方形的判定和性质，勾股定理，弄清相关线段间的关系，能灵活运用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质，正方形的性质，翻折的性质用表示，，再利用勾股定理列方程解出即可．
【详解】解：由题意可知：四边形是正方形，四边形和四边形都是矩形，
，，，
是由折叠得到的，
，
在中，，即，
在中，，即，
联立解得：，
故答案为：10．
7．（24-25八年级·湖南郴州·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合．

(1)连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由．
(2)若，，求四边形的周长与面积．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)，
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由矩形的性质得出，由折叠的性质可得：，，得到，推出，继而得出，即可得出四边形是平行四边形，从而得证；
（2）由矩形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，
由勾股定理计算得出，再由菱形的周长和面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴四边形的周长，
四边形的面积．
8．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若
(1)求的长；
(2)证明；
(3)如图2，为中点，连接．求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形性质与折叠性质可得，，设，则，根据勾股定理即可求解；
（2）根据折叠性质，平行线性质可得结论；
（3）过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
由折叠可知，，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
则；
（2）证明：由折叠可知，
在矩形中，，
，
；
（3）如图，过点B作于点H，
由矩形折叠可知，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
9．（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
矩形中，，，点在边上，且不与点重合，直线与的延长线交于点．
(1)如图①，当点是的中点时，猜想与的关系为__________，证明你的结论；
(2)如图②，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点．
①猜想与的数量关系为__________，在（1）条件下可求__________；
②连接，周长的最小值为__________．
【答案】(1)，见详解
(2)① ②6
【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即；
②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，，在中，由勾股定理得，的最小值，即可得周长的最小值；
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
点是的中点，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
矩形中，，，
，
点是的中点，
，
由折叠得，，，
设，则，
，
在中，，
，解得，即；
②由折叠得，，
的周长，
连接，，
，
当点恰好位于对角线上时，最小，
在中，，，
，
的最小值，
周长的最小值；
10．（24-25八年级·山东德州·期末）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：
第一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段．
(1)请问图中，和有什么关系？证明你的结论．
(2)在第（1）题图中，延长交于点，延长交于点，连接，判断四边形的形状并证明．
(3)在第（2）题图中，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为）．若已知，求的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)四边形是菱形，证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，先证明为等边三角形，可得，由等边三角形的性质及矩形的性质即可求出的度数，即可得到结论；
（2）由折叠的性质可得，证得，由全等三角形的性质可得，由矩形的性质可得，推出，进而可得，四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证；
（3）先根据黄金矩形求出，然后根据30度角的性质和勾股定理求出，进而求得．
【详解】（1）解：如图，连接，
由折叠可得：，，垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
四边形为矩形，
，
，
．
（2）解：由折叠知，
，
，
又，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（3）解：如图：
是矩形纸片，，
，
黄金矩形以为宽，，
，
，
，
，
由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，30度角的性质和勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定，能够根据折叠的性质证出是解题的关键．
【题型4 正方形中的折叠问题】
1．（24-25八年级·海南海口·期末）如图，将正方形纸片对折，得到折痕，把纸片展平，再沿折叠使点A落在折痕上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
根据正方形的性质和折叠的性质得，，，再根据直角三角形的性质定理得，，即可求出答案．
【详解】四边形是正方形，
，
将正方形纸片对折，得到折痕，
，，
沿折叠使点A落在折痕上的处，
，，
，
连接，
在和中
，
，
，
是等边三角形，
，
故选：D．
2．（24-25八年级·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质得出．
取中点P，连接、、，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案．
【详解】如图，取中点P，连接、，

∵正方形的边长为4，
∴，
∴
由折叠的性质可知，，Q为中点，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
3．（24-25八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，利用证明，得出，，即可判断①．根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理得出，可得不是等边三角形，可得判断②．证明垂直平分，利用三角形内角和及等边对等角得出即可判断③．根据得出，求出即可判断④．综上即可得答案．
【详解】解：连接，
∵将正方形边沿折叠到，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，即，故①正确，
∵，，
∴，
设，则，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，，
∴不是等边三角形，
∴，故②错误，
∵，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴垂直平分，
∴，故③正确，
∵，，
∴，故④正确，
综上所述，正确的选项是①③④，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理及线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
4．（24-25八年级·山东东营·期末）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，令与交于点，由折叠的性质可得：，垂直平分，证明，得出，由勾股定理得出，再由三角形面积公式得出，即可得解．
【详解】解：如图，令与交于点，
，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴
由折叠的性质可得：，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ．
【答案】3.2
【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键．
【详解】解：在矩形中，，，，
由折叠可知，，，，，
∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，
∴设，，
∴，，则，
∴，则，
则，
∴（负值舍去），
则，
故答案为：3.2．
6．（24-25八年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明，只要分两种情形讨论即可：当时，连接．构建方程即可；当点F在中点时，满足条件．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形的边长为，点E是边的中点，
∴，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴，
当时，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点三点共线，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
如图，当点F为的中点时，
由折叠的性质得：．
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
即垂直平分，
∵四边形是正方形，
∴垂直平分，
∴，此时为等腰三角形，满足条件，
此时；
综上所述，的长为或．
故答案为：或
7．（24-25八年级·河南周口·阶段练习）如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．
(1)试判断与的数量关系并证明你的结论；
(2)若，，则的长为________．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据折叠性质得到、关于对称，结合正方形性质推得后用“角边角”证即可求解；
（2）由折叠性质得，由勾股定理得后利用全等三角形性质和三角形面积公式求得，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：，证明如下：
根据折叠性质得：、关于对称，
即，且平分，
，
，
正方形中，，，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：平分，
，
中，，
，
，，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、正方形性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是善于利用折叠性质得出垂直且平分．
8．（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究：
数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接．
(1)操作发现：
根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______；
(2)迁移探究：
当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：
如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______．
【答案】(1)15
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠得出，， ，证明，取的中点，连接，证明为等边三角形，得出，求出，即可得出结果．
（2）连接，根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，，，，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，求出，即可得出结论；
（3）根据，得出点N在上，根据折叠得出，，，，根据勾股定理求出， 得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：根据折叠可知：，，，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
取的中点，连接，如图所示：
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
根据折叠可知：，，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形的边长为4，
∴根据折叠可知：，
即与间的距离为2，
设点N到的距离为h，
∵，
∴，
∴，
∴点N在上，如图所示：
根据折叠可知：，，，，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
9．（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)问四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
(3)①若三点在一条直线上，求证：．
②若为的中点，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)菱形．理由见解析
(3)①见解析；②2
【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由正方形的性质得出，由折叠可知，，结合，即可得证；
（2）由折叠知，，由平行线的性质得出，从而得出，进而得出，即可得证；
（3）①连接，证明得出，证明，得出，求出，即可得解；②设，，则，，，，，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴；
（2）解：四边形为菱形．理由如下：
由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
（3）解：①连接
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三点在同一直线上，，
∴，
∴，
②设，，则，，，，，
在中，，
即，
解得，
∴．
．
10．（24-25八年级·河南新乡·期末）【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E．
【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ．
（2）当平分时，连接，求．
【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）正方形；（2）；（3）或
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，最后再证明是正方形；
（2）过点E作于点G，可得为等腰直角三角形，设，在中，由勾股定理得：，解得：，故由代入求解即可；
（3）①点F在线段上，根据“平行线+角平分线”可以得到等腰三角形，即 ，对运用勾股定理得，则，点F在线段延长线上，同理可求．
【详解】解：（1）如图：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴此时，
∵翻折，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）过点E作于点G，则
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
设
∵翻折，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即，
∴；
（3）①点F在线段上，当F、E、D三点共线时，如图：
∵翻折
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴中，由勾股定理得，
∴，
②点F在线段延长线上，当F、E、D三点共线时，如图：
同理可求：，
∴，
综上：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
【题型5 坐标系中的折叠问题】
1．（24-25八年级·辽宁盘锦·期中）如图，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，，，点D在边上，将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处，且，某正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，勾股定理，含的直角三角形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
连接，求出是等边三角形，推出，根据且点D在边上，推出A和D重合，连接交x轴于E，根据勾股定理求出的坐标，即可求得正比例函数的解析式．
【详解】解： 连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处，
∴
又∵点D在边上，
即点D与点A重合，
连接交x轴于E，
则，
∵
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理得，
则，
即的坐标是，
设正比例函数的解析式为，
∵正比例函数图象经过，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
2．（24-25八年级·河南开封·期末）如图在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标系中的点，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
证明出，设，则，对运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，
由翻折得，，
∵四边形是矩形，顶点的坐标是，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
故选：C．
3．（24-25·河南安阳·八年级期末）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再由正方形的性质求解即可；
【详解】由题意可得，当四边形是正方形时，，
∴，
由折叠的性质，可得，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
故选C；
4．（24-25·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
5．（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴正半轴上，点D在边上，将矩形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若，则 ，点D的坐标是 ．
【答案】 6
【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质可知，，再利用折叠的性质得，，由勾股定理求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：，，
，，
四边形是矩形，
，，
将该长方形沿折叠，点恰好落在边上的处．
，，
由勾股定理得，，
，
设，则，
在 中，
，
解得，
，
故答案为：6，．
6．（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在菱形中，点C在x轴上，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点O重合），将沿直线折叠，使点O落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，直线的解析式是 ．

【答案】或
【分析】分、和，分类讨论即可．
【详解】①当时，连接，作于H，于H，

∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴， ，
∴，
∵M为边的中点，
∴，，
∵折叠，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴D、E、N三点共线，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
解得，即，
∴，
设直线解析式为，
则，解得，
∴；
②当时，，此时E和A重合，N和C重合，是等腰三角形，，
∴，
把M，N坐标代入，得
，解得，
∴；
③当时， 此时E在的垂直平分线上
∵，，
∴是等边三角形，
∴的垂直平分线过点A，
∴
又，
∴
又，
∴E和A重合，
∴此种情况和②一样．
综上，直线解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
7．（24-25八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是． 点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点F处
(1)F点的坐标是________，D点的坐标是________．
(2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，则P点的坐标是________
(3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或或
【分析】（1）由，且，求出、的长，再由折叠的特征求出的长，由勾股定理求出的长即可得到点的坐标；过点D作于G ，则，，所以，由折叠得，，由勾股定理，得，即，求解得，妈可得点D坐标．
（2）连接交于点，由矩形的性质得点分别为、的中点，利用中点坐标即可求出点P坐标；
（3）由（1）得，，由（2）得，，由折叠得，，分四种情况：①当四边形是菱形，点与点重合，②当四边形是菱形，与点重合，③当四边形是菱形，④当四边形是菱形，分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：（1）如图1，矩形的边、分别在轴、轴上，且，
，，
，且，
，，
由折叠得，，
，
根据勾股定理得，
，
．
过点D作于G ，
∵矩形，
∴
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠得，，
由勾股定理，得
即
∴
∴．
（2）解：连接交于点，如图，
四边形是矩形，
点分别为、的中点，
由（1）得，，，，
，
设，则，，
，，
．
（3）解：由（1）得，，由（2）得，，由折叠得，，
①当四边形是菱形，如图，
点与点重合，则，
∴
∴；
②当四边形是菱形，与点重合，如图，
∴；
③当四边形是菱形，如图，
设，
作于点，则，，，
，
由，得，
解得，，
，
∴，
④当四边形是菱形，如图，
连结，交y轴于，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴
，
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】此题重点考查矩形的折叠问题、菱形的判定与性质、勾股定理、线段的中点坐标等知识与方法，解第（3）题时要进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题难度较大，属于考试压轴题．
8．（24-25八年级·广东广州·期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
(1)点的坐标是______，点的坐标是______；
(2)在上找一点，使最小，求点坐标．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）由折叠可得，，利用勾股可得，即得，得到点的坐标是，设，则，在中由勾股定理得，解方程可得，即得点的坐标；
（）作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，即得，由两点之间线段最短，可得此时最小，由对称可得点，利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入函数解析式即可求解；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象上点的坐标，利用轴对称找到点的位置是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可得，，，
∵四边形是长方形纸，
∴，，，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：，；
（2）解：作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，
∴，由两点之间线段最短，可得此时最小，
∵点和点关于对称，
∴点，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴点坐标为．
9．（24-25八年级·江苏无锡·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为．
(1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E．
①当时，点D的坐标是______；
②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标；
(2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式．
【答案】(1)①；点D的坐标为，点的坐标为
(2)
【分析】（1）①由折叠的性质可得，结合可得；②连接，先证 ，推出，设点D的坐标为，用勾股定理解可得点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设出点的坐标，结合，利用两点间距离公式列方程，即可求解；
（2）连接，，，设，用勾股定理解求出m与t的关系，进而用含t的代数式表示出；设，用勾股定理解，，用含t，n的式子分别表示出，，由折叠可知垂直平分，推出，进而可得n与t的关系，用含t的代数式表示出，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：①正方形边长为2，点C的坐标为，
，
由折叠的性质可得，
又 ，
，
，
点D的坐标是，
故答案为：；
如图，连接，
点E是线段的中点，
，
由折叠的性质可得，，
又 ，
，
在和中，，
，
，
设点D的坐标为，则，
，
，
在中，，
，
解得，
点D的坐标为，
设直线的解析式为，
将和代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，，
，
解得或（舍去），
点的坐标为；
（2）解：如图，连接，，，
设，则．
设，则，
在中，，
，
解得，
；
设，则，
在中，，
在中，，
由折叠可知垂直平分，
，
，即，
解得，
；
，
即．
【点睛】本题考查坐标与图形，正方形折叠问题，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等，第二问有一定难度，根据折叠得出垂直平分，进而得出是解题的关键．
10．（24-25·黑龙江佳木斯·八年级期末）平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在或或时，，，，，为顶点的四边形是正方形．
【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标；
（2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案；
（3）若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案．
【详解】（1）解：由折叠可得，
∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）①如下图，当点在点右侧时，

根据题意，， ，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，

根据题意，， ，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）解：若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，
可分情况讨论：
①如下图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴即；
②如下图，过点作于点，则四边形、均为矩形，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴ ，
∴，
∴即，，
∴即，
∵四边形是正方形，
∴即；
③如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴， ，
∴
∵四边形是正方形，
∴即．
综上所述，存在或或时，，，，为顶点的四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，综合性强，难度较大，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
四边形中的五大折叠问题专项训练
【题型1 平行四边形中的折叠问题】
1．（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处，若的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·八年级期末）已知中，，，将沿翻折，点的对应点为，交于，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，将沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则 度．
5．（2024·福建漳州·八年级期末）如图，将的两边与分别沿翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为 ．

6．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，中，把沿翻折得到，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在中，点E是边上一点，延长交的延长线于点F，将沿翻折得到，延长交于点M．
(1)如图1，若E为的中点．
①求证：；
②连接，求证：．
(2)如图2，连接交于点H，若G是的中点，．请判断与的数量关系，并说明理由．
8．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．
9．（24-25·江苏镇江·八年级期末）如图1，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．
（1）求证：△ACE≌△DBF；
（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG． 求证：四边形BGCE是平行四边形．
10．（17-18八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，点P在BC边上，连接AP和PD，点E在DC边上，连接BE与DP和AP分别交于点F和点G，若AB=PC，BP=DC，∠DFE=45°.
（1）如图1，求证：四边形ABED为平行四边形；
（2）如图2，把△PFG沿FG翻折，得到△QFG（点P与点Q为对应点），点Q在AD上，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括平行四边形ABED，但包括特殊的平行四边形）．
【题型2 菱形中的折叠问题】
1．（24-25九年级·四川绵阳·期末）如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．8
2．（24-25九年级·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片中，，点E在边上(不与B、C重合)，将沿直线折叠得到，连接．以下选项中正确的是（ ）
A． B．
C．当平分时， D．以上都不对
3．（24-25·山西太原·八年级期末）图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（ ）
A．24 B．21 C．15 D．12
4．（24-25九年级·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，为边上的一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在边上的处．若垂直对角线，则 度．
5．（24-25九年级·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ．
6．（24-25九年级·浙江宁波·期中）如图所示菱形为边上一点，将沿边折叠，恰好边与所在直线重合，A点落到延长线上F点，过点F作的垂线，垂足为G，若，则 ．
7．（24-25九年级·浙江·阶段练习）综合与探究
【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．
【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：．
【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长．
【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长．
8．（24-25九年级·江苏南京·阶段练习）在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点
(1)尺规作图，画出折痕；
(2)判断四边形是什么特殊四边形？并证明；
(3)求折痕的长度？
9．（24-25·吉林松原·八年级期末）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点E为射线上一点，将沿折叠，点A的对应点为点F．

(1)若，直接写出的长（用含a的代数式表示）；
(2)若点E与点C重合，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，直接写出的度数．
10．（24-25九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______．
【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，，，则的面积为______．
【题型3 矩形中的折叠问题】
1．（24-25九年级·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（24-25·安徽合肥·八年级期末）如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
3．（24-25九年级·湖南长沙·期末）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．3
4．（24-25九年级·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为 ．

5．（24-25九年级·浙江杭州·阶段练习）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ．
6．（24-25九年级·浙江宁波·期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶
第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ．
7．（24-25九年级·湖南郴州·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合．

(1)连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由．
(2)若，，求四边形的周长与面积．
8．（24-25九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若
(1)求的长；
(2)证明；
(3)如图2，为中点，连接．求的长．
9．（24-25九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
矩形中，，，点在边上，且不与点重合，直线与的延长线交于点．
(1)如图①，当点是的中点时，猜想与的关系为__________，证明你的结论；
(2)如图②，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点．
①猜想与的数量关系为__________，在（1）条件下可求__________；
②连接，周长的最小值为__________．
10．（24-25九年级·山东德州·期末）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：
第一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段．
(1)请问图中，和有什么关系？证明你的结论．
(2)在第（1）题图中，延长交于点，延长交于点，连接，判断四边形的形状并证明．
(3)在第（2）题图中，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为）．若已知，求的长．
【题型4 正方形中的折叠问题】
1．（24-25九年级·海南海口·期末）如图，将正方形纸片对折，得到折痕，把纸片展平，再沿折叠使点A落在折痕上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
3．（24-25九年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
4．（24-25九年级·山东东营·期末）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为 ．
5．（24-25九年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ．
6．（24-25九年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ．
7．（24-25九年级·河南周口·阶段练习）如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．
(1)试判断与的数量关系并证明你的结论；
(2)若，，则的长为________．
8．（24-25九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究：
数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接．
(1)操作发现：
根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______；
(2)迁移探究：
当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：
如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______．
9．（24-25九年级·浙江宁波·期末）如图，点分别是正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连接．
(1)求证：．
(2)问四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
(3)①若三点在一条直线上，求证：．
②若为的中点，求的值．
10．（24-25九年级·河南新乡·期末）【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E．
【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ．
（2）当平分时，连接，求．
【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由．
【题型5 坐标系中的折叠问题】
1．（24-25九年级·辽宁盘锦·期中）如图，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，，，点D在边上，将四边形沿直线翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的和处，且，某正比例函数图象经过，则这个正比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级·河南开封·期末）如图在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25·河南安阳·八年级期末）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
5．（24-25九年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴正半轴上，点D在边上，将矩形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处．若，则 ，点D的坐标是 ．
6．（24-25九年级·福建厦门·期末）如图，在菱形中，点C在x轴上，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点O重合），将沿直线折叠，使点O落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，直线的解析式是 ．

7．（24-25九年级·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是． 点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点F处
(1)F点的坐标是________，D点的坐标是________．
(2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，则P点的坐标是________
(3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
8．（24-25九年级·广东广州·期末）长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
(1)点的坐标是______，点的坐标是______；
(2)在上找一点，使最小，求点坐标．
9．（24-25九年级·江苏无锡·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形边长为2，点C的坐标为．
(1)如图1，动点D在边上，将沿直线折叠，点B落在点处，连接并延长，交于点E．
①当时，点D的坐标是______；
②若点E是线段的中点，求此时点D与点的坐标；
(2)如图2，动点D，G分别在边上，将四边形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点O，A重合），点C落在点处，交于点E．设，四边形的面积为S，直接写出S与t的关系式．
10．（24-25·黑龙江佳木斯·八年级期末）平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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