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二次函数36种经典问法
已知，如图，抛物线 与x轴交于A、B 两点, 与y轴交于点C, OA=OC=3，顶点坐标为D。
1.求此抛物线的解析式。
解: 由OA=OC=3,
得A (-3, 0), C (0, - 3),
把A，C坐标代入 中，
故
结论1：
适用于一般形式：
条件：已知三点的坐标，直接代入三点的坐标，建立三元一次方程组求解。
结论2：
适用于顶点式：
条件：①已知顶点坐标；②已知对称轴；③已知函数最值；④已知两个对称点.直接代入，建立二元一次方程组求解。
结论3：
适用于 两 根式： (a≠0)条件：①已知函数图像与x轴的两个交点 (x , 0), (x , 0); ②已知函数图像上的一个点坐标；直接代入条件，建立一元一次方程求解。
结论4：
关于x轴对称：
如：抛物线 关于x轴对称，x不变，y变为它的相反数，因此抛物线的解析式： (a≠0), 即
结论5：
关于y轴对称：
如：抛物线 关于y轴对称，y不变，x变为它的相反数，抛物线的解析式： (a≠0), 即
结论6：
平移：
左加右减→x，上加下减→y
如：抛物线 向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度后解析式： c+n。
2.判断△ACD的形状，并说明理由。
解：由 得定点坐标D (-1, - 4),
又A(-3,0), C(0,-3),
由两点之间的公式，得
则
故△ACD为直角三角形。
3.求四边形ABCD 的面积。
解：先整△ACD是直角三角形 (同2)，则
A (-3,0), B (1,0) C (0, - 3),则AB=4,OC=3,
得 故
解题方案
分割法二次函数面积题型有详细讲解
4.在对称轴上找一点 P，使△BCP 的周长最小，求出点 P 的坐标及△BCP 的周长。
解: 由A (-3,0), C (0, - 3)得AC: y=-x-3,
得对称轴x=-1,
∵点A、B关于x=-1对称,
∴AC与x=-1的交点即为点P,则
A (--3, 0), B (1, 0) C (0, - 3),
得
故△BCP 的周长为:
解题方案
5.在直线AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴, 交AC于点M, 当点 N在什么位置时，线段 MN的长度最大，并求出最大值。
解: 设N(t, t +2t-3)
由AC: y=-x-3, 则M(t, - t-3)
则
故当 时，MN有最大值
此时，
解题方案 利用数形结合思想设坐标，构建二次函数模型求出最大值。
6.在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N，使得△ACN的面积最大，求出最大值。解:过N 作直线直线l∥y轴,交 AC 于M, 交x轴于H, 作CP⊥l于点P, 则l⊥x轴,
故当 MN取最大值时，△ACN面积最大。
解题方案 铅垂线法，建模二次函数解决三角形面积最大值，这本书中有专题讲解。
7.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使得四边形ABCN 的面积最大，求出最大值。
解：由于△ABC的面积是定值，则转化为上题的解。
故
8.在 y轴上是否存在一点E，使得△ADE为直角三角形，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: ①若∠EAD=90°, 如图, 作 MN∥y轴, EM⊥MN, DN⊥MN。
设E(0, t), 则EM=3, DN=2, MA=t,AN=4,
由∠EMA=∠EAD=AND=90°,
则△EMA∽△AND(AAS)
得
故
②若∠EDA=90°, 如图, 作 DH⊥y轴于H,
设E(0, t), 则AN=4, DN=2, DH=1,HE=t+4,
由∠EHD=∠EDA=AND=90°,则△AND∽△DHE(AAS),
得
故
③若∠AED=90°, 如图,
设E(0, t), 则AO=3, OE=-t, DH=HE=t+4,
由∠AOE=∠AED=EHD=90°,
则△AOE∽△EHD(AAS),
得
∴t=-1或t=-3,
故E (0, - 1) 或 (0, - 3),
综 上 所 述,E的 坐 标 为:
(o, - ), (0, - 1)或 (0, - 3),
9.在y轴上是否存在一点F，使得△ADF为等腰三角形，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 由A (-3, 0), D (-1, - 4)
得：
设F(0, t),则.
①若AD=AF, 则
②若DA=DF,则
③若FA=FD, 则
综上所述，F点坐标为 (0， ),
或(
10.在抛物线上是否存在一点 N，使得 S△ABN=S△ABC,若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。
解:由C(0,-3), 得OC=3,则△ABC中, AB边上的高为OC=3,又S△ABN=S△ABC,
则抛物线上到 AB 距离为3 的点均满足条件，
设N(m, n)由AB在x轴上, 则n=±3,①n=3时,
②n=-3时,
或m=0(舍),综上所述，N点坐标为 或(
11.在抛物线上是否存在一点H，使得 S△BCH=S△ABC,若存在,求出点 H 的坐标;若不存在，请说明理由。
解: 由 BC 为△BCH 和△ABC 的共边,且S△BCH=S△ABC,
则点 H 在过点 A 且与 BC 平行的直线l上,
由B (1, 0), C (0, - 3),
得BC: y=3x--3,
又A (-3, 0), 则l: y=3x+9,
联 立 或 (舍),
故 H (4, 21)
解题方案
“共边且面积相等”的两个三角形的顶点分布在与共边平行且等距离的两条直线上。
12.在抛物线上是否存在一点 Q，使得 S△AOQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 由A(-3,0), C(0, - 3),
得AC: y=-x-3,
若
则Q点在∠AOC 的角平分线上或过点O且且与AC平行的直线上，
①由∠AOC=90°, 则其角平分线为: y=x,
②过O且与AC平行的直线为: y=-x,
故Q坐标为
13.在抛物线上是否存在一点 E，使BE平分△ABC的面积，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 由A (-3,0), C (0, - 3),
则AC的中点
连接BF与抛物线交于点E，
由AF=CF,则
即BF平分△ABC的面积,
由B (1, 0),
得.BF:
联」
(与B重合，舍去)，
故
中点坐标公式
若A(x , y ), B(x , y )
则AB中点
14.在抛物线上找一点 F,作 FM⊥x轴,使得AC平分△AFM的面积。
解: 由A(-3,0), C (0, - 3),得AC: y=-x-3,
如图, 作FM⊥x轴于M, 交AC于E,设 则E(t, - t-3),若AC平分△AFM, 则 E为FM 中点,即 得
则t=-1或t=-3(与A 重合, 舍去),故F(-1, - 4)
备注：坐标和线段之间的转化。 当两点在y轴上或在与y轴平行的直线上，上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标； 当两点在x轴上或在与x轴平行的直线上，右面点的横坐标减去左面点的横坐标；
15.在抛物线对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求K、L的坐标。
解: 设 K(-1, m), 由 A (--3, 0), B(1, 0), 得AB=4,
①若以 AB 为边, 则 KL ∥AB 且 KL=AB,
yк=yL,
i)若K在L 的右侧，则 得
又L在抛物线上，得. 则m=12,故K (--1, 12), L (-5, 12)
ii)若K在L 的左侧,则 得
又L在抛物线上，得 则m=12,故K (-1, 12), L (3, 12)
②若以 AB 为对角线，由AB 中点为对称轴与x轴中点，
则K、L关于x轴对称，且在对称轴上，又L在抛物线上，
故L 即为定点坐标(-1, - 4),则 K (--1, 4)
16.抛物线对称轴与直线AC相交于点M，在坐标系内有一点E，若使以A、M、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点 E 的坐标。
解：由 得对称轴
x=-1, 顶点D (-1, - 4),
又AC: y=-x-3得M(-1, - 2)
设E(xE,yE),
①以AM为对角线，则
故E(-3, 2)
②以AD为对角线，则
故E(-3, - 2)
③以MD为对角线，则
故E (1, - 6)
17.在抛物线上是否存在一点 P，使得∠POC=∠PCO 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在，请说明理由。
解: 若∠POC=∠PCO, PO=PC,即P在OC的中垂线上，
由C (0, - 3),则OC的中点
故
18.点P 是抛物线上一动点,作PH⊥x轴H,是否存在这样的点 P，使得△PAH 和△OBC相似 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 由B (1, 0), C (0, 一3), 得 OC=3OB,
设P (t, t +2t-3), H (t,0),则 又△PAH 和△OBC 均为直角三角形且相似，
①PH=3AH,则 i)t +2t-3=-3(t+3), t=--2或t=-3(舍);
ii)t +2t--3=3(t+3), t=4或t=-3(舍);
②AH=3PH, 则 或t=--3(舍);
或t=-3(舍);
综上所述, P点坐标为 (-2, --3),(4, 21),
19.在线段 AC 上是否存在一点 M，使得△AOM和△ABC相似 若存在, 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 若△AOM和△ABC相似,
由A (-3, 0), B (1, 0), C (0, - 3),
得
AC: y=-x-3, BC: y=3x-3,
①当OM∥BC时, △AOM∽△ABC,
即 得
作MN⊥x轴于点N,
由OA=OC=3, 得∠OAC=45°,
则
得 即
由M在直线AC上，得 故
②当△AMO∽△ABC时,
即 得.
作MN⊥x轴于点N,
同理AN=2, ON=1,
则
故M(--1, - 2),
综上所述,M的坐标为 (-1,-2)或
20.若点 P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向B 点运动，同时点Q从O点出发，以相同的速度沿OC向C 点运动，当一点到达终点时另一点停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出 S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值。
解: 由AP=t, OP=3-t, OQ=t,
且0≤t≤3,
故
则当 时，S△OPQ：有最大值
21.点E是y轴上一个动点，点F 是坐标平面内一个动点，是否存在点 E、F，使得 A、D、E、F构成矩形。若存在,求出 E、F的坐标；若不存在，请说明理由。
解：由第8题可知，
E的坐标为(0, - 1), (0, - 3), (0, 或
①当∠ADE=90°, AE为对角线
②当∠DAE=90°, DE为对角线lE(o,
③当∠AED=90°, AD为对角线E(0, - 1),
F (-4, -3),
F(-4, -1),
综上所述，
22.点E是y轴上一个动点，点F 是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点 E、F，使得A、D、E、F构成菱形。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。
解：由第9题可知，
E点坐标为 或 (0, - 1)。
①AD=AE时,. AD、AE为菱形两条邻边时，
故f(a,-10++++10)或
②DA=DF时,.
DA、DF为菱形两条邻边时，
故…
③EA=ED时, E (0, - 1),
EA、ED为菱形两条邻边时，
23.点P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 P, 使得|PA-PC|的值最大, 若存在,求出点 P 的坐标，并求出|PA-PC|的最大值；若不存在，请说明理由。
解: 连接AC, 在△PAC中, |PA-PC|连接PB, BC,
根据抛物线对称性，有PA=PB，
在△PBC中, |PB--PC|即|PA--PC|=|PB-PC|当 P、B、C三点共线时, 有 PB-PC=BC,
故|PB-PC|≤BC,
即|PA--PC|的最大值为BC,
由B (1, 0), C (0, - 3),
得BC: y=3x-3, BC=,
又点P在y=3x-3的图像上,
且横坐标x=-1,
故P (-1, - 6)
24.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得点 P 到直线AC 的距离最大。若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 由A (-3,0), C (0, - 3),得AC=3 , AC: y=-x-3,作PH⊥AC于H,
则
故S△PAC面积最大时，PH取最大值，
前面经典第6问，可得S△PAC最大值为
故
解题方案
作辅助线，构造直角三角形；
学会转化，线段最大转化为面积最大。
拓展：在抛物线上是否存在一点 P，使得 或 (m为实数)。
25.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点P，使得点 P 到直线AC 的距离为 ，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 在y轴上取点E (0, - 5), 作EF⊥AC于F, 则CE=2,
又OA=OC,
则∠OAC=∠OCA=∠ECF=45°,
故
过点E作l∥ AC，则直线l上所有点到AC距离均为
由AC: y=-x-3,则l: y=-x--5,
联立 得 ,
故P (-1, - 4) 或 (-2, - 3)
解题方案
作辅助线，构造等腰直角三角形；
联立方程，解决问题。
拓展：在直线AC上方也存在一条直线到AC 的距离为
26.在直线AC上是否存在一点P，使得BP+OP 最小，若存在，求出点 P 的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由。
解：作点B关于直线AC 的对称点B'，连接BB'交AC于M,
则PB=PB',
由AC: y=-x-3,OA=OC,
则
由
则B'(-3, - 4),
则.
故
联立
即所求P点坐标为
27.在直线AC上是否存在一点P，使得BP+ 的值最小。若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由。
解：如图，作直线l与AC 的夹角为 作PM⊥l, 则
故
作BN⊥l于N 交AC 于点P,
此即为所求P点， 最小值为BN，
sin 75°的几何推导
如图,在Rt△ABC中,
在BC取一点D,连接AD, 使得AD=BD,则
由
则
设AC=1,
则
故
28.点E 是线段AC 上一动点，点 P 是线段AB 上一动点，PE∥BC，是否存在这样一点P，使得△PEC的面积最大。若存在，求出点 P 的坐标，并求出△PEC 的面积的最大值；若不存在，请说明理由。
解: 设P (t, 0), AP=t+3, BP=1-t,AC: y=-x-3, BC: y=3x-3,由PE∥BC, 设PE: y=3x+b,把P (t,0), 代入y=3x+b,即PE: y=3x-3t,
联立
即
故
∴当t=-1时, S△PBc最大值
29.点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点, 作PE⊥x轴交AC于点E, 作 PF⊥AC于点F，是否存在一点，使得△PEF的周长最大，若存在，求出点 P 的坐标，并求出△PEF 周长最大值；若不存在，请说明理由。
解: 由OA=OC, 得∠OAC=45°, 又 PE⊥x,PF⊥AC,
则∠PEF=∠EPF=45°, PE= PF=
则 △PEF 周 长为 PE + PF + EF =
故PF取最大值时即可，
由第24题可知
故△PEF周长最大值为
30.点E 是坐标轴上的一个动点，是否存在一点E，使得△ACE 是等腰直角三角形，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: OA=OC=3, 得∠OAC=∠OCA=45°,①当∠EAC=90°时, ∠EAO=45°,则OA=OE, 故E (0, 3);
②当∠ECA=90°时, ∠ECO=45°,则OC=OE, 故E (3, 0);
③当∠AEC=90°时, E与O重合,故E(0, 0);
31.点E是坐标轴上一个动点，点F 在坐标平面内, 是否存在点 E、F, 使得A、C、E、F构成正方形。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。
解：由第30题可知，
由OA=OC=3,得∠OAC=∠OCA=45°,①当∠EAC=90°时, ∠EAO=45°,则OA=OE, 故E (0, 3), F (3, 0);②当∠ECA=90°时, ∠ECO=45°,则OC=OE, 故E(3, 0), F (0, 3);③当∠AEC=90°时, E与O重合,故E (0, 0), F (0, 0);
32.已知抛物线对称轴交于x轴于点E，以E为圆心，半径为 作圆E，试判断直线BC与圆E 的位置关系，并说明理由。
解: 如图, 连接EC, 作EH⊥BC,
由B (1, 0), C(0,-3),
得OB=1, OC=3, BC=
又 得E(-1,0),
则OE=1, BE=2,
即
故E到 BC的距离等于半径，直线BC与圆E相切关系。
33.已知点E是直线AC 上的一动点，点 P 是抛物线上的一动点，PE∥AB，是否存在点 P,使得A、B、F、P 构成平行四边形。若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 由 A (--3, 0), B (1, 0), 得 AB=4,
又A(-3,0), C (0, - 3),
AC: y=-x--3,
由PE∥AB,则 P、E的纵坐标相同,
设E(t, -t-3),
①若E在P 的左侧，
则xp=xE+4即xp=t+4,
得 +21,
则t +10t+21=-t--3,
得t=-8或t=-3(舍去),
故P (-4,5)
②若E在P 的右侧，
则 即.xp=t-4,
得
则t -6t+5=-t-3,
此方程无解，点P 不存在。
综上所述,P点坐标为 (-4,5)
34.已知抛物线对称轴交于x轴于点E，M为x轴上的一动点，P为抛物线上一个动点，且PM∥ED, 是否存在一点 P, 使得P、M、E、D构成平行四边形。若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解： 由 得D (-1, - 4), E (-1, 0), DE=4,依题意得PM=ED=4,
设M(t,0), 则 得
①若 得 故点 P 坐标
②若 得t=-1,此时 P 点与D 点重合，舍去；综上所述，P点坐标为
35.已知M为x轴上的一动点，P为抛物线上一个动点，且PM∥AC，是否存在一点P, 使得 P、M、A、C构成平行四边形。若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解: 由A (-3, 0), C (0, - 3), 得AC
依题意得： 作PH⊥x轴,则 PH=MH=3,设P (t, t +2t-3),则M(t+3,0),故 得 点P的坐标为
36.已知抛物线的顶点 D，任意直线 EF 与抛物线交于E、F两点, 若DE⊥DF, 直线EF是否过某一定点，若过某一定点，求出定点的坐标；若不过某一定点，请说明理由。
解: 设直线EF: y= kx+b, E (x , y )
F(x , y ),联立
得x +(2-k)x--(b+3)=0,
则
如图, 过D作MN⊥x轴, EM⊥MN,
FN⊥MN,
由∠EMD=∠EDF=∠DNF=90°,
则△EMD∽△DNF,
由D (-1, - 4), E (x ,y )
F(x ,y ),
得
由
则
又
故
代入上式，得
整理，得
故k-b=3或k-b=4,
即b=k-3或b=k-4,
i)b=k-3, 则y= kx+k-3,
即y=k(x+1)-3,
故直线经过定点 (-1,--3)
ii) b=k-4, 同理,
直线经过 (--1, --4) 舍去, 与点 D重合。

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