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高二下学期五月份月考数学模拟试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知正项等比数列的前和为，若，则（ ）
A.8 B. C.1 D.8或
2.某学校组建了五个精品社团：摄影社，朗诵社，编导社，播音社和舞蹈社，采取校外专业老师授课，校内专职老师管理模式，深受广大同学欢迎．报名当天，四个同学去填报名表，考虑到时间冲突，决定每人只报一项，请问收上的报名表有多少可能（ ）
A. B. C. D.
3.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.函数在上单调递增 D.
5.记，则（ ）
A.64 B.63 C.32 D.31
6.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列满足，若数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知a，b为实数，若对任意的，函数有2个零点，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9.我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》 《九章算术》 《孙子算经》 《五曹算经》 《夏侯阳算经》 《孙丘建算经》 《海岛算经》 《五经算术》 《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》 《九章算术》 《孙子算经》 《五经算术》 《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ）
A． B． C． D.
10.甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则（ ）
A.服从二项分布 B.
C.比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D.随机变量的数学期望为
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.在定义域上是增函数 B.的值域为
C. D.若，，，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知，则______，______.
13.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、两点，线段的垂直平分线交轴于，点为的平分线上任意一点，记与的面积分别为、，则______．
14.已知函数有两个极值点，若存在最小值，且满足不等式，则的取值范围为_______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知函数.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性.
16.（15分）数列满足，（）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求正整数的最小值．
17.（15分）如图，从左到右有5个空格．
(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法 （用数字作答）
(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法 （用数字作答）
(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）．
18.（17分）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．
(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（参考数据：若，则，，．）
(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
19.（17分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函数，在公共定义域D上，满足，那么就称为的“活动函数”．
已知函数．
①若在区间上，函数是的“活动函数”，求a的取值范围；
②当时，求证：在区间上，函数的“活动函数”有无穷多个．
参考答案
1.D
解析：设公比为，讨论显然，再根据已知，结合等比通项公式及前n项和公式列方程组求基本量，进而求.设等比数列公比为，则有：
∴若时，显然为常数列，则，不合题意，故；
∴，解得或，即或.
故选：D
2.C
解析：根据分布乘法计数原理直接计算可得结果.每个同学报名时都有种选择，则报名表共有种可能.
故选：C.
3.D
解析：求得导函数，根据函数单调性与导数的关系得到,对于上恒成立，利用正弦函数的性质得到的取值范围.解：由已知得，即,对于上恒成立，
∴，
故选：D.
4.D
解析：根据图象和正态分布密度曲线的性质得：X，Y的正态分布密度曲线分别关于直线对称，由此逐一判断可得选项.由正态分布密度曲线的性质得：X，Y的正态分布密度曲线分别关于直线对称，
对于A：由图象得，所以，故A不正确；
对于B：由图象得X的正态分布密度曲线较Y的正态分布密度曲线“廋高”，所以，所以，故B不正确；
对于C：由图象得：当时，函数在上单调递减，故C不正确；
对于D：根据原则：，，，无论 取何值时，有，故D正确，
故选：D.
5.D
解析：，
令，代入可得，
令，代入可得，
所以，
故选：D.
6.B
解析：由题意可知，设，，所以
，所以，两边同时除以得，又因为为双曲线的离心率，所以，故选B．
故选：B.
7.D
解析：由递推关系求得数列的通项，从而求得，将问题中每一项进行裂项，从而累加得到结果.由题意知，所以，
当时，
，当时，
. 故
故选：.
8.A
解析：由题设，问题转化为与在上有两个交点，结合函数的性质画出、的草图，易知上两函数相切时只有一个交点，要使存在两个交点，则切点处的函数值，即可求参数范围.由题设，函数有2个零点，即与在上有两个交点，
∵的对称轴为且在上单调递减，的值域为且，
∴它们的图象如下图示，
在上，，即，而，
∴若时，在处有切点，此时.
∴只需在处有，则与在上有两个交点，
∴，整理得，又，
∴.
故选：A
9.BD
解析：根据题意，分2类来安排: ①在6本书中选出3本视作一个整体连同剩余的3本,分配给4人，②6本选出2本，剩余4本再选出2本，分别视作2个元素连同剩余的2本书，分配给4人，由分类加法计数原理计算可得答案；或先分组再分配，6本书分为4组，分1，1，1，3或1，1，2，2.根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给4个人，共有种分法，
第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书分配给4个人，共有，
由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为；
或者先分组再分配，6本书分为4组，
若为1，1，1，3，则有种，再分配给4个人有种，
若为1，1，2，2，则有种，再分配给4个人有种，
则一共有种分配方法.
故选：BD.
10.BCD.
解析：对于A，的可能取值为，而二项分布的随机变量取值是从0开始的连续自然数，
因此不服从二项分布，A错误；
对于B，表示比赛结束时，赛了3局，要么是甲胜3局，要么是乙胜3局，
因此，B正确；
对于C，比赛结束时，甲、乙的积分之比为，则甲乙共赛4局，第4局甲胜，前3局甲输1局，
概率为，C正确；
对于D，，，
，，D正确.
故选：BCD.
11.BD
解析：对于A，函数的定义域为，
，则在上均单调递增，
由于函数图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误；
对于B，结合函数的单调性，作出函数的大致图象，
结合图象可知的值域为，B正确；
对于C，由于，故，
故，
故，C错误；
对于D，由题意知，
又，即
而，，故，结合在上单调递增，
可得，D正确，
故选：BD
12.15
解析：空一：根据二项式的通项公式进行求解即可；
空二：利用赋值法进行求解即可.空一：因为，所以该二项式的通项公式为：，
令，所以；
空二：在中，
令，所以，
令，所以，因此，
故答案为：15；
13.或
解析：因为P为的平分线上任意一点，所以，
设线段的垂直平分线与线段交于点，分别过点、作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，再过点作，垂足为．
因为，，所以，所以．
设，（不妨设），
由抛物线定义得，，所以．
而，所以．
故答案为：.
14.
解析：，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以，．
不妨设，易知为极大值点，为极小值点，
若存在最小值，则，即，
因为，所以．
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
所以的取值范围为．
故答案为：．
15.解析（1）因为，所以，
则，所以，
所以.
（2），
当时，，，
所以恒成立，
所以在上的单调递减.
16.解析：（1）由已知可得：，故：，
所以数列是等差数列，
首项，公差.
（2）由（1）可得
，
∴，
∵，
∴
，
∴，
解得，
∴，即正整数的最小值为17.
17.解析：（1）分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法；
②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有种情况，
则一共有种不同的填法；
（2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，
第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，
同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，
则五个格子共有种不同的涂法；
（3）法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈，
第1步：从5家企业中选一家，
第2步：从3位校长中选2位，
第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长，
第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业，
因此有种．
法二：五家企业记为A，B，C，D，E，把这五家企业分为3份，
如，，，
含有E的这一份要从A，B，C，D取一家组成2家，如取A得，
前面分三份会出现，因此有，
然后再分给3位校长，
因此总排法有种．
18.解析：（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，
的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，
∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：
（百元）．
∵，，
∴中位数在内，设中位数为x百元，
则，解得．
∴估计中位数为13百元．
（2）由（1）知，
∵，，
∴，
∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．
（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），
∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，．
∴Y的概率分布列为
Y 0 1 2 3
P
∴．
19.解析：（1）当时，，，
当，时，有，
在区间，上为增函数，
，．
（2）①在区间上，函数是，的“活动函数”，则，
令，对恒成立，
且对恒成立，
，
1)若，令，得极值点，，
当，即时，在，上有，
此时在区间，上是增函数，并且在该区间上有，，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上是增函数，有，也不合题意；
2)若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，解得，所以．
又因为，在上为减函数，
，所以，
综上，的范围是．
②当时，，，
则，，
因为，在为增函数，
所以．
设，则，
所以在区间上，函数的“活动函数”有无穷多个．

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