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专题 勾股定理
知识点1：勾股定理
1.直角三角形的性质（重点记住并理解的知识）：
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
2.勾股定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
3.勾股定理的作用
（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
（2）用于解决带有平方关系的证明问题；
（3）与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
知识点2：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c22.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3.勾股定理的逆定理的综合应用
综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．
4．互逆命题的概念
　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
A.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
B.命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）和假命题（错误的命题）。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
C.公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
D.定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
E.证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.直角三角形的判定方法
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。
（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的前提下，学会利用这个定理解决实际问题。可以通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。
理解勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．
(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．
《勾股定理》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A.5cm，9cm，12cm B.7cm，12cm，13cm
C.30cm，40cm，50cm D.3cm，4cm，6cm
2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )
A.3.8米 B.3.9米 C.4米 D.4.4米
3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
4.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是( )
A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
5.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是(　　)
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝(　　)
A. B.4 C.4或 D.以上都不对
7.已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝900，则( )
A.b2＝a2＋c2 ； B.c2＝a2＋b2； C.a2＋b2＝c2； D.a＋b＝c
8.如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )
A.5：8 B.3：4 C.9：16 D.1：2
9.如图，CB＝1，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是( )
A. B.﹣ C. D.﹣
10.三角形的两边长为6和8，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长为( )
A.9 B.10 C.2或9 D.2或10
11.直角三角形的三边为a﹣b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为(　　)
A.61 B.71 C.81 D.91
12.如图，点P是菱形AOBC内任意一点，∠C＝45°，OP＝2，点M和点N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.2
二、填空题（每空3分，共18分）
13.在Rt△ABC中，∠C＝90o， AC＝6，BC＝8，则AB边的长是 .
14.如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE. DE为8cm，BE＝3cm，则点A距离桌面的高度为 ．
15.如图，正方形的边长是1个单位长度，则图中B点所表示的数是　 　；若点C是数轴上一点，且点C到A点的距离与点C到原点的距离相等，则点C所表示的数是　 　.
16.如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为 ．
17.在△ABC中，AB＝，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为　　 .
18.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .
三、解答题（7个小题，共66分）
19.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝15，BD＝25，求AC的长.
20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积．
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4.
(1)若BC＝2，求AB的长；
(2)若BC＝a，AB＝c，求代数式(c﹣2)2﹣(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)的值.
22.如图①，一架梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上.如图②所示，测得BD＝0.5m，求梯子顶端A下滑的距离.
23.龙梅和玉荣是好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散.龙梅的速度是0.5米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她们行走的方向是否成直角 如果她们现在想讲和，那么以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇
24.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数)
25.如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.
(1)当△ODP是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
(2)求△ODP周长的最小值.(要有适当的图形和说明过程)
答案
1.C.
2.B
3.B
4.A
5.B.
6.A.
7.A
8.A
9.D
10.D
11.C.
12.B.
13.答案为：10.
14.答案为：AD＝5cm.
15.答案为：﹣；.
16.答案为：﹣1.
17.答案为：1或9.
18.答案为：()n-1.
19.解：过D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠1＝∠2，
∴CD＝DE＝15，
在Rt△BDE中，BE＝20，
∵CD＝DE，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE.
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，
即(AC＋20)2＝AC2＋(15＋25)2，解得AC＝30.
20.解：作AH⊥BC于H.
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝5，
∴AH＝12，
∴S△ABC＝BC×AH＝60
21.解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4.
∴AB＝2；
(2)Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝4，
∴c2﹣a2＝16，
∴(c﹣2)2﹣(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)，
＝c2﹣4c＋4﹣(a2＋8a＋16)＋4c＋8a＋12，
＝c2﹣4c＋4﹣a2﹣8a﹣16＋4c＋8a＋12，
＝c2﹣a2，
＝16.
22.解：在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝1.5m，
故AC＝2m，
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝(1.5＋0.5)＝2m，
故EC＝1.5m，
故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5m，
答：梯子顶端A下落了0.5m.
23.解：龙梅行走的路程为0.5×240＝120(米)，玉荣行走的路程为×240＝160(米)，
两人相距200米，因为1202＋1602＝2002，
根据勾股定理的逆定理可知，两人行走的方向成直角.
因为＝(秒)＝(分钟)，所以分钟后她们能相遇.
24.解：将半圆面展开可得：
AD＝4π米，DE＝DC﹣CE＝AB﹣CE＝18米，
在Rt△ADE中，AE＝22米．
即滑行的最短距离约为22米．
25.解：(1)当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3，
P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，
∴OE＝ED＝2.5；
当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，
∴P3C＝2；
当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG＝3，
∴OG＝8.
∴P1(2，4)，P2(2.5，4)，P3(3，4)，P4(8，4)；
(2)作点D关于BC的对称点D′，连接OD′交BC于P，则这时的△POD的周长最小，
△POD的周长＝OD′＋OD，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝5，DD′＝8，
∴OD′＝，
∴△POD的周长＝＋5.

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