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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣x﹣2＝0 B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
2．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0
C．x2﹣＝5 D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
3．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（x2﹣）÷x＝x﹣1
C．x2+x+1＝（x+）2+ D． +＝﹣1
4．若x＝1是方程（m+2）x2﹣2x+m2﹣2m﹣6＝0（m为常数）的根，则m的值为（　　）
A．﹣2或3 B．﹣2 C．3 D．1
5. 若关于x的方程（m﹣1）x2+5x+2=0是一元二次方程，则m的值不能为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．0
6.若α、β是方程x2+2x-2017=0的两个实数根，则αβ的值为（ ）
A.2017 B.2 C.-2 D.-2017
7．一元二次方程ax2+bx+c＝0，若有两根1和﹣1，那么a+b+c＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．如果a，b满足（a2+b2）2+（a2+b2）﹣2＝0，那么a2+b2的值为（　　）
A．1 B．﹣2或1 C．2 D．﹣1
9．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2
C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+82＝（x﹣3）2
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　）
A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长
二、填空题(每题3分，共24分)
11．一元二次方程2x2+6x＝﹣5化成一般式为 　 　．
12．若代数式x2+4x+6可以表示为（x+1）2+a（x+1）+3的形式，则a＝　 　．
13．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．若方程ax2+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是　 　．
15．一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 　 　．
15．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是　 　．
16．关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，则实数k的取值范围为　 　．
17．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是　 　．
18．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 　 　．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2（5x﹣1）2＝5（5x﹣1）；
（3）（x+3）2﹣（2x﹣3）2＝0； （4）3x2﹣4x﹣1＝0．
20．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23. 2021年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
24. 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数为　 　，P所表示的数为　 　（用含t的代数式表示）；
（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？
（3）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF如图2所示．求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形APEF面积的一半？请直接写出结论：t＝　 　秒．
参考答案与试题解析
选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A C A B A C B
二．填空题（共8小题）
11．解：由2x2+6x＝﹣5移项得到：2x2+6x+5＝0，
故答案是：2x2+6x+5＝0．
12．解：（x+1）2+a（x+1）+3
＝x2+2x+1+ax+a+3
＝x2+（2+a）x+a+4，
由题意知2+a＝4且a+4＝6，
解得a＝2，
故答案为：2．
13．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有实数根，
∴△≥0且k﹣2≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0
解得k≤4且k≠2．
故答案为：k≤4且k≠2．
14．解：∵方程ax2+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
故答案为：a≠0．
15．解：方程x（x+1）＝0，
可得x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．
16．关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，则实数k的取值范围为　k≤0　．
【分析】根据一元二次方程有实数根和根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+k＝0有实数根，
∴△＝82﹣4×6×k≥0，
解得：k≤0，
故答案为：k≤8．
17．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是　25%　．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其大于0且小于1的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意，得：80×（1﹣x）2＝45，
解得：x6＝0.25，x2＝7.75（舍去），
∴平均每次降价的百分率是25%，
故答案为：25%．
18．解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝72．
故答案为：x（x﹣1）＝72．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
可得x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）方程整理得：2（5x﹣1）2﹣5（5x﹣1）＝0，
分解因式得：（5x﹣1）[2（5x﹣1）﹣5]＝0，
可得5x﹣1＝0或10x﹣7＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.7；
（3）分解因式得：（x+3+2x﹣3）（x+3﹣2x+3）＝0，
可得3x＝0或﹣x+6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6；
（4）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．解：设方程另一个根为x1，
根据题意得2x1＝﹣6，解得x1＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0．
解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6，
∴k＝﹣6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23．【答案】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
24．解：（1）因为点B在点A的左边，AB＝12，点A表示4，则点B表示的数为4﹣12＝﹣8；
动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为4﹣t；
故答案为：﹣8；4﹣t．
（2）依题意得，点P表示的数为4﹣t，点Q表示的数为﹣8+2t，
①若点P在点Q右侧时：（4﹣t）﹣（﹣8+2t）＝3，解得：t＝3
②若点P在点Q左侧时：（﹣8+2t）﹣（4﹣t）＝3，解得：t＝5
综上所述，点P运动3秒或5秒时与Q相距3个单位长度
（3）①如图1，P、Q均在线段AB上
∵两正方形有重叠部分
∴点P在点Q的左侧，PQ＝（﹣8+2t）﹣（4﹣t）＝3t﹣12
∵PE＝AP＝4﹣（4﹣t）＝t
∴重叠部分面积S＝PQ PE＝（3t﹣12） t
∵重叠部分的面积为正方形APEF面积的一半，
∴，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4.8．
②如图2，P、Q均在线段AB外
∴AB＝12，AF＝AP＝t，
∴重叠部分面积S＝AB AF＝12t
∴，
解得：t1＝0（舍去），t2＝24．
故答案为：4.8或24．

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