资源简介

7.2.1　平行线的概念
【基础堂清】
知识点1　平行线的概念及画法
1在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系可能是 ( )
A.垂直或平行　　　　B.垂直或相交
C.平行或相交 D.平行、垂直或相交
2根据语句画出图形:直线AB,CD是相交直线,P是直线AB,CD外的一点,直线EF经过点P且与直线AB平行,与直线CD相交于点E.
知识点2　平行线的基本事实
3如图,在直线a的同侧有P,Q,R三点,若PQ∥a,QR∥a,则P,Q,R三点　 　(填“在”或“不在”)同一条直线上.
4如图,PC∥AB,QC∥AB,则点P,C,Q在一条直线上.理由:　 　.
知识点3　平行线的基本事实的推论
5　[教材P35第3题(1)变式]下面推理正确的是 ( )
A.因为a∥d,b∥c,所以c∥d
B.因为a∥c,b∥d,所以c∥d
C.因为a∥b,a∥c,所以b∥c
D.因为a∥b,c∥d,所以a∥c
【能力日清】
6如图,将一张长方形纸片对折三次,则产生的折痕与折痕间的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.平行或垂直 D.无法确定
7把图中互相平行的线写出来.
【素养提升】
8　如图,在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA.
(2)过点P画l2∥OB.
(3)用量角器量一量l1与l2的夹角,其与∠O有怎样的关系
参考答案
1.C
2.解:答案不唯一)如图所示.
3.在
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5.C 6.C
7.解:AB∥CD,MN∥OP,EF∥GH.
8.解:(1)(2)如图所示.
(3)l1与l2的夹角有两个:∠1,∠2.∠1=∠O,∠2+∠O=180°,所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补.7.2.2　课时1　平行线的判定方法1、2
【基础堂清】
知识点1　同位角相等,两直线平行
1如图,直线a,b被直线c所截,∠1=55°,下列条件能推出a∥b的是 ( )
A.∠3=55° B.∠2=55°
C.∠4=55° D.∠5=55°
2看图填空,并在括号内说明理由:
∵∠B=∠D,∠1=∠D(已知),∴∠B=∠1,
∴　 　∥　 　(　 　).
知识点2　内错角相等,两直线平行
3如图,分别将木条a,b与木条c钉在一起,若∠1=50°,∠2=80°,要使木条a与木条b平行,则木条a需要顺时针转动的最小度数为 ( )
A.30° B.50° C.80° D.130°
4小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在桌面上,其中边BC,DF在同一条直线上,可以得到　 　∥　 　,依据是　 　.
【能力日清】
5　[教材P14练习第1题(1)(2)变式]如图,有四个条件:①∠1=∠2;②∠1=∠3;③∠2=∠3;④∠2=∠4.其中能判定AB∥CD的条件有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6将一副直角三角尺(∠ACB=∠DCE=90°,∠3=45°,∠D=30°)拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE且交DE于点F,试判断CF与AB是否平行,并说明理由.
【素养提升】
7　如图,∠CDA=∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,且∠ADE=∠AED,试说明:
(1)AB∥CD;
(2)DE∥BF.
参考答案
1.A
2.AB CD 同位角相等,两直线平行
3.A
4.AC DE 内错角相等,两直线平行
5.A
6.解:CF与AB平行.
理由如下:
∵CF平分∠DCE,
∴∠1=∠2=∠DCE.
∵∠DCE=90°,
∴∠1=45°.
∵∠3=45°,
∴∠1=∠3,
∴CF∥AB.
7.解:(1)∵DE平分∠CDA,
∴∠ADE=∠EDC.
∵∠ADE=∠AED,
∴∠EDC=∠AED,
∴AB∥CD.
(2)∵BF平分∠CBA,
∴∠ABF=∠ABC.
∵∠AED=∠ADE=∠ADC,
而∠CDA=∠CBA,
∴∠AED=∠ABF,
∴DE∥BF.7.2.2 课时2 平行线的判定方法3
【基础堂清】
知识点1　同旁内角互补,两直线平行
1　[教材P35第2题变式]如图,工人师傅在工程施工中,需在同一平面内制作一个弯形管道ABCD,使其拐角∠ABC=150°,∠BCD=30°,则 ( )
A.AB∥BC
B.BC∥CD
C.AB∥DC
D.AB与CD相交
2如图,∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,试说明AB∥CD.
知识点2　平行线判定的综合应用
3如图,工人师傅移动角尺在工件上画出直线CD与EF,并且CD与EF平行,其中的道理是 ( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.以上结论都不正确
4　[教材P15练习第1题(3)变式]如图,下列说法中,正确的是 ( )
A.因为∠A+∠D=180°,所以AD∥BC
B.因为∠C+∠D=180°,所以AB∥CD
C.因为∠A+∠D=180°,所以AB∥CD
D.因为∠A+∠C=180°,所以AB∥CD
5如图,请写出一个能判定AD∥BC的条件(不添加辅助线):　 　.
6如图,点A在直线DE上,AB⊥AC于点A,∠1与∠C互余,DE和BC平行吗 判断并说明理由.
【能力日清】
7补全下面的解题过程:
如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,试说明AB∥CD.
解:∵BE平分∠ABD(　 　),
∴∠ABD=2∠α(　 　).
∵DE平分∠BDC(已知),
∴∠BDC=　 　(　 　),
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)(　 　).
∵∠α+∠β=90°(已知),
∴∠ABD+∠BDC=180°(　 　),
∴AB∥CD(　 　).
8如图,这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.
9在学习平行线的判定条件时,涉及同位角、内错角、同旁内角.如图1,在“三线八角”中类比内错角,具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”,试回答下面的问题.
探究定义:(1)如图1,请写出另外一对“外错角”.
猜想判定:“外错角”相等,两直线平行.
(2)如图2,∠1与∠2是直线a,b被直线c截出的一对“外错角”,且∠1=∠2,试说明a∥b.
10如图,GM,HN分别平分∠BGE,∠DHF,且∠1+∠2=90°,试说明AB∥CD.
【素养提升】
11　如图,直线EF与直线AB,CD分别相交于点M,O,OP,OQ分别平分∠COE,∠DOE,且分别与AB交于点P,Q,已知∠OPQ+∠DOQ=90°.
(1)若∠DOQ∶∠DOF=2∶5,求∠FOQ的度数.
(2)试说明AB∥CD.
参考答案
1.C
2.解:∵∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,
∴∠A+∠AEF=180°,∠C+∠CEF=180°,
∴AB∥EF,CD∥EF,
∴AB∥CD.
3.A 4.C
5.∠EAD=∠B或∠DAC=∠C或∠DAB+∠B=180°
6.解:DE∥BC.
理由:∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°.
∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°,
∴∠1+∠CAE=90°.
∵∠1与∠C互余,即∠1+∠C=90°,
∴∠CAE=∠C,
∴DE∥BC.
7.解:已知;角平分线的定义;2∠β;角平分线的定义;等量代换;等量代换;同旁内角互补,两直线平行.
8.解:OB∥AC,OA∥BC.
理由如下:
∵∠1=50°,∠2=50°,
∴∠1=∠2,∴OB∥AC.
∵∠2=50°,∠3=130°,
∴∠2+∠3=180°,
∴OA∥BC.
9.解:(1)∠2和∠7.
(2)∵∠1=∠3(对顶角相等),∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠3(等量替换),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
10.解:∵GM,HN分别平分∠BGE,∠DHF,且∠1+∠2=90°,
∴∠BGE+∠DHF=180°.
∵∠BGE+∠BGF=180°,
∴∠BGF=∠DHF,∴AB∥CD.
11.解:(1)∵OQ平分∠DOE,
∴∠EOQ=∠DOQ.
∵∠DOQ∶∠DOF=2∶5,
∴∠EOQ∶∠DOQ∶∠DOF=2∶2∶5.
∵∠EOQ+∠DOQ+∠DOF=180°,
∴∠EOQ=×180°=40°,
∴∠FOQ=180°-∠EOQ=140°.
(2)∵OP,OQ分别平分∠COE,∠DOE,
∴∠POM=∠COM,∠QOM=∠DOM,
∴∠POM+∠QOM=(∠COM+∠DOM),
∴∠POQ=∠COD=×180°=90°,
∴∠PQO+∠OPQ=90°.
∵∠OPQ+∠DOQ=90°,
∴∠PQO=∠DOQ,
∴AB∥CD.7.2.3　课时1　平行线的性质(1)
【基础堂清】
知识点1　两直线平行,同位角相等
1如图,直线a∥b,直线m与a,b相交,若∠1=115°,则∠2的度数为 ( )
A.115° B.105°
C.75° D.65°
2　[教材P17练习第1题变式]如图,直线a∥b,且直线a,b被直线c所截,若∠1=30°,则∠2=　 　°.

知识点2　两直线平行,内错角相等
3 【中考真题】当光从空气射入水中时,传播方向发生了偏折,这种现象叫作光的折射.如图,若∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
4如图,直线a∥b,直线AB⊥AC,若∠1=50°,则∠2的度数为 ( )
A.50° B.45°
C.40° D.30°
5如图,AD∥BC.
(1)若AD是∠EAC的平分线,∠B=30°,求∠C的度数.
(2)如果∠B=∠C,那么AD平分∠EAC吗 请判断,并说明理由.
知识点3　两直线平行,同旁内角互补
6【中考真题】如图,一条公路的两侧铺设了AB,CD两条平行管道,通过管道AC连通,若∠1=120°,则∠2的度数是 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
7　如图1,这是某公司生产的自行车的实物图,图2是它的部分示意图,AB∥CD,BC∥AE,∠CAE=120°,∠BAE=65°.
(1)图2中以A为顶点的角有哪几个 请分别写出来.
(2)求∠ACB和∠DCB的度数.
【能力日清】
8如图,将一张对边互相平行的纸条沿EF折叠,若∠EFB=35°,则下列结论不正确的是 ( )
A.∠C'EF=35°
B.∠AEF=145°
C.∠BGE=70°
D.∠BFD=145°
9材料:
平面镜反射的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等.如图1,一束平行光线AB与DE射向同一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4.
理解:
(1)∠1与∠3的大小关系是　　　　,理由是　　　　　　　　　　 　;反射光线BC与EF的位置关系是　　　　,理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　.
应用:
(2)如图2,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被平面镜b反射,若b反射出的光线n平行于m,且∠1=35°,求∠2的度数.
【素养提升】
10　已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,请结合下图,探索这两个角之间的关系.
(1)如图1,AB∥CD,BE∥DF,则∠1与∠2的数量关系是　 　.
(2)如图2,AB∥CD,BE∥DF,则∠1与∠2的数量关系是　 　.
(3)由(1)(2)可得出结论:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角　 　.
(4)若两个角的两边分别平行,且一个角比另一个角的3倍少60°,则这两个角分别是多少度
参考答案
1.A 2.150
3.B 4.C
5.解:(1)∵AD是∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD.
∵AD∥BC,
∴∠B=∠EAD,∠C=∠CAD,
∴∠C=∠B.
∵∠B=30°,
∴∠C=30°.
(2)AD平分∠EAC.
理由:∵AD∥BC,
∴∠B=∠EAD,∠C=∠CAD.
∵∠B=∠C,
∴∠EAD=∠CAD,
∴AD平分∠EAC.
6.B
7.解:(1)图2中以A为顶点的角有∠EAB,∠BAC和∠EAC.
(2)∵BC∥AE,
∴∠ACB+∠CAE=180°,
∴∠ACB=180°-∠CAE=180°-120°=60°,
∠BAC=∠CAE-∠BAE=120°-65°=55°.
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC=55°,
∴∠DCB=∠ACB+∠ACD=115°.
8.D
9.解:(1)相等;两直线平行,同位角相等;平行;同位角相等,两直线平行.
(2)如图,
∵∠1=35°,
∴∠3=∠1=35°,
∴∠4=180°-35°-35°=110°.
∵m∥n,
∴∠2+∠4=180°,
∴∠2=70°.
10.解:(1)相等.
(2)互补.
(3)相等或互补.
(4)设一个角的度数为x,则另一个角的度数为3x-60°,
当x=3x-60°时,解得x=30°,∴这两个角的度数分别为30°,30°;
当x+3x-60°=180°时,解得x=60°,∴这两个角的度数分别为60°,120°.
综上所述,这两个角的度数分别为30°,30°或60°,120°.7.2.3 课时2 平行线的性质(2)
【基础堂清】
知识点　平行线的性质的综合应用
1如图,CD∥AB,∠1=∠2,则下列说法错误的是 ( )
A.∠1=∠4 B.∠1=∠5
C.∠2=∠3 D.∠1=∠3
2　[教材P19习题7.2第3题变式]如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐弯处的∠A的度数为76°,第二次拐弯处的角是∠B,第三次拐弯处的∠C的度数为153°,这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠B的度数为 ( )
A.101° B.102°
C.103° D.104°
3三角尺是我们学习数学的好帮手.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,则∠CBD的度数为 ( )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
4如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF,若∠1=62°,求∠2的度数.
5　如图,这是一种可调节角度的躺椅及其简化的结构示意图,已知AB∥CD,O是AB上一点,OE与CD相交于点G,OF与CD相交于点D,DM∥OE,DM与AB相交于点N.当OE⊥OF,∠ODC=32°时,躺椅的舒适度最高,求此时∠AOE和∠MNB的度数.
【能力日清】
6一个小区大门的栏杆如图所示,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,那么∠ABC+∠BCD=　 　°.
7图1是一辆滑轮摄影轨道车,图2和图3为其侧面示意图.固定底座DE⊥GH于点E,BC与CD是轨道车的“手臂”,可通过改变∠BCD的度数调节车的高度.在调节过程中,放摄像机的杆AB始终平行于DE.
(1)如图2,调节轨道车的“手臂”,使BC∥GH,此时∠BCD=25°,求∠CDE的度数.
(2)若图3中∠BCD=45°,求∠ABC与∠CDE的度数之和.
【素养提升】
8　如图,直线l1∥l2,直线EF和直线l1,l2分别交于C,D两点,点A,B分别在直线l1,l2上,点P在直线EF上,连接PA,PB.
(1)如图1,若点P在线段CD上,∠PAC=15°,∠PBD=40°,则∠APB的度数为　 　.
(2)如图1,若点P在线段CD上(不与点C,D重合),直接写出∠PAC,∠APB,∠PBD之间的数量关系.
(3)如图2,若点P在线段DC的延长线上或在其反向延长线上,写出∠PAC,∠APB,∠PBD之间的数量关系,画出图形,并说明理由.
参考答案
1.B 2.C 3.B
4.解:∵AB∥CD,∠1=62°,
∴∠1+∠BEF=180°,
∴∠BEF=118°.
∵EG平分∠BEF,
∴∠BEG=59°.
∵AB∥CD,
∴∠2=∠BEG,
∴∠2=59°.
5.解:∵AB∥CD,∠ODC=32°,
∴∠BOD=∠ODC=32°.
∵OE⊥OF,
∴∠EOF=90°,
∴∠AOE=180°-∠EOF-∠BOD=58°.
∵DM∥OE,
∴∠AND=∠AOE=58°,
∴∠MNB=∠AND=58°.
6.270
7.解:(1)如图1,过点C作CP∥AB,且点P在BC的下方.
∵DE⊥GH,AB∥DE,
∴AB⊥GH.
∵BC∥GH,
∴AB⊥BC,
∴∠BCP=∠B=90°,
∴∠DCP=∠BCP-∠BCD=90°-25°=65°.
∵AB∥DE,CP∥AB,
∴CP∥DE,
∴∠CDE=180°-∠DCP=180°-65°=115°.
(2)如图2,过点C作CP∥AB,且点P在BC的下方.
∵CP∥AB,
∴∠ABC=∠BCP=∠BCD+∠DCP.
∵AB∥DE,∴CP∥DE,
∴∠CDE+∠DCP=180°,
∴∠CDE+∠ABC=180°+∠BCD=225°.
8.解:(1)55°.
提示:如图1,过点P作PG∥l1.
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC=15°,∠BPG=∠PBD=40°,
∴∠APB=∠APG+∠BPG=∠PAC+∠PBD=15°+40°=55°.
故答案为55°.
(2)∠PAC=∠APB-∠PBD.
提示:如图1,∵l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD,
∴∠APB=∠APG+∠BPG=∠PAC+∠PBD,
∴∠PAC=∠APB-∠PBD.
(3)∠PAC=∠PBD-∠APB或∠PAC=∠APB+∠PBD.理由如下:
①如图2,当点P在线段DC的延长线上时,
过点P作PG∥l1,
∴l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD,
∴∠PAC=∠APG=∠BPG-∠APB,
∴∠PAC=∠PBD-∠APB.
②如图3,当点P在线段DC的反向延长线上时,
过点P作PG∥l1,
∴l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD,
∴∠PAC=∠APG=∠APB+∠BPG,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
综上所述,当点P在线段DC的延长线上或在其反向延长线上时,∠PAC=∠PBD-∠APB或∠PAC=∠APB+∠PBD.7.2.3 课时3 平行线的判定与性质综合
【基础堂清】
1　[教材P36第8题(2)变式]如图,∠1+∠B=180°,∠2=45°,则∠D的度数是 ( )
A.25° B.45° C.50° D.65°
2电子屏幕上显示的数字“9”如图所示,已知AB∥CD,∠B=∠D=98°,∠1=82°,则∠E的度数是 ( )
A.98° B.88° C.72° D.82°
3如图,∠1=∠2,AC平分∠DAB,且∠D∶∠DAB=2∶1,则∠D的度数是 ( )
A.120° B.130°
C.140° D.150°
4如图,若∠1=∠2,∠B=30°,则∠3的度数　 　.
【能力日清】
5将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,现有下列结论:①∠1=∠3;②如果∠2=30°,那么AC∥DE;③如果∠2=30°,那么BC∥AD;④如果∠2=30°,那么∠4=∠C.其中正确的有 ( )
A.①②③ B.①②④
C.③④ D.①②③④
6如图,∠B+∠C=180°,∠A=54°,∠D=38°,则∠AED的度数为　 　.
7如图,已知CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,∠DGC=105°,∠BCG=75°,则∠1+∠2
的度数为　 　

【素养提升】
8如图,A,E,B三点共线,C,F,D三点共线,AD分别与CE,BF相交于点G,H,且∠1=∠2,∠B=∠C.
(1)判断EC与BF的位置关系,并说明理由.
(2)若∠BFC=3∠B-40°,求∠C的度数.
参考答案
1.B 2.D 3.A
4.30°
5.B
6.92° 7.180°
8.解:(1)BF∥EC.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),
∴BF∥EC(同位角相等,两直线平行).
(2)∵BF∥EC(已证),
∴∠BFC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠B=∠C,∠BFC=3∠B-40°,(已知)
∴∠BFC=3∠C-40°,
∴3∠C-40°+∠C=180°,
解得∠C=55°.

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