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2025年中考数学专题突破系列：实际问题与二次函数
1．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本．
(1)求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
(2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
2．惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
(3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？
3．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的售量可增加20千克．设每千克核桃应降价x元，则：
(1)降价后，每千克核桃获利 元，平均每天可售出 千克核桃（用含x的代数式表示）；
(2)该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？
(3)设该商店销售这种核桃每天获利w（元），当核桃每千克降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
4．鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度为16米，且抛物线过点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔米（中心线宽度不计），则两辆宽为米，高为米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由．
5．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为x米，围成的矩形面积为．
(1)平行于墙的边为_______米．（用含x的代数式表示）
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出x的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
6．综合与实践
问题背景：
某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案．
设计方案：
①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为；
②上、下桥拱最高点，之间的距离为10；
③桥拱在桥面上的距离的长度为25．
解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题：
(1)求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式；
(2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标．
7．图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示．
(1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象；
(2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于．
8．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上．
(1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？
(2)在矩形中，设，．
①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？
9．中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．

(1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ．
(2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度．
10．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系为
(1)求每天销售利润与的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元/件．求该商场销售这种商品每天获得的最大利润为多少元？
(3)临近春节，该商场组织这种商品参加“迎新春，大返现”活动，每销售一件商品便向顾客返现元，返现后发现，这种商品每天销售量不少于件，且该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．求的取值范围．
11．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．
(1)求和的解析式；
(2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）；
(3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
12．护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离．
(3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？
13．3月29日，“联农兴商促消费，产销对接助振兴”，2024湖北农产品产销对接武陵山（宜昌）片区行活动在长阳土家族自治县开幕，多家省内农产品生产流通企业和全国各地采购商现场洽谈、产销对接，现场意向签约额达数亿元．为推广产品，某厂家决定为采购商让利，已知该厂家的产品的成本为每件20元，如图是采购单价（元）与采购数量（件）的关系图象．

(1)请写出当时，采购单价（元）与采购数量（件）的函数解析式；
(2)某采购商采购了一批该厂家的产品，共付款55200元，则采购商的采购数量是多少件？
(3)为践行“大美宜昌”理念，该厂家决定每卖出一件产品就捐款元，在采购数量为件的情况下，该厂家的所获最大利润为28800元，求的值．
14．如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．
(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．
(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．
15．如图，一位身高的篮球运动员在距离篮下处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为．求他跳离地面的高度．
16．如图，将一小球从斜坡点O以一定方向击出，斜坡可以用一次函数刻画，球飞行的水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表：
飞行时间t/s 0 1 2 3 …
飞行水平距离x/m 0 40 80 120
飞行高度y/m 0 25 40 45 …
探究发现x与t之间成一次函数关系，y与t之间成二次函数关系．
(1)直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)小球达到最高点时飞行的水平距离是多少
(3)小球从飞出到落到斜坡上要用多少时间
《2025年中考数学专题突破系列：实际问题与二次函数》参考答案
1．(1)
(2)70元
(3)80元
【分析】本题主要考查一次函数，一元二次方程，二次函数的综合，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．
（1）根据每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件的数量关系列式求解即可；
（2）运用销售量乘以每件的利润，由此列式即可求解；
（3）设每月总利润为w，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵依题意，得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：∵依题意得：，
即，
解得：，
∵，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）解：设每月总利润为w，依题意得，
，
∵，此图象开口向下，
∴当时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
2．(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为50元
(3)当售价为60元时，经销商能获得最大利润，最大利润为9000元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
（3）设利润为w，则，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔每个售价为元，
依题意，得，
整理，得，
解得，，
因要尽可能让顾客得到实惠，
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
（3）设该品牌头盔每个售价为y元，月利润为w元，
则
，
∴当售价为60元时，最大利润为9000元．
3．(1)，
(2)每千克核桃应降价11元
(3)当核桃每千克降价7元或8元时，每天的销售利润最大，最大利润为3125元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，二次函数的应用．
（1）利用每千克核桃的销售利润=售价-进价，即可用含x的代数式表示出每千克核桃的销售利润；利用平均每天的销售量每千克核桃降低的钱数，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量；
（2）利用总利润每千克的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该专卖店打算尽快降低这种核桃库存，即可得出每千克核桃应降价11元．
（3）根据提意，列出w与x的函数关系式，有函数的性质求最值，并求出售价．
【详解】（1）解：∵每千克核桃应降价x元，
∴降价后，每千克核桃获利即元，平均每天可售出千克核桃．
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵该专卖店打算尽快降低这种核桃库存，
∴；
答：每千克核桃应降价11元；
（3）解：由题意得，，
∵
∴时，可取得最大值，最大利润（元），
答：当核桃每千克降价7元或8元时，每天的销售利润最大，最大利润为3125元．
4．(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米，计算当时的函数值与比较，即可求解．
【详解】（1）由题意得抛物线过原点设抛物线的函数表达式为，
把，代入表达式，得，解得：．
抛物线的表达式为：；
（2）能，理由如下：
由（1）可知：；
如图，由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米，
当时，，
米，
这辆货车能并排行驶．
5．(1)
(2)能，理由见解析
(3)当时，s的最大值为800
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据可求出；
（2）根据矩形花圃面积能否为得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【详解】（1）解：∵篱笆长，
∴米，米，
∴米．
故答案为：；
（2）解：能，
整理得：，
此时，，
，
，
，
；
（3）解：
，
有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800．
6．(1)
(2)见解析，点的坐标为，点的坐标为
【分析】本题考查二次函数的应用．得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本题的关键．
（1）由得A、B、E的坐标，从而得出点F、点C、点D的坐标，设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为，再运用待定系数法求解即可；
（2）先画出图形，设点的坐标为，得点的坐标为．点的坐标为，可得，，由矩形的周长为57.5可得方程，解方程求出m的值可得结论．
【详解】（1）解：由题意，得，．
，，
．
当时，，
解方程，得，，
，，
，
又，
，
，．
设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为，
由图象经过点，可得，解方程，得．
下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为；
（2）解：矩形如图所示．
，（点在点的左侧）均在直线上，
设点的坐标为，则点的坐标为．
由矩形，得轴，
点的坐标为，
，，
由矩形的周长为57.5，得，
解得：，（不合题意，舍去），
点的坐标为，点的坐标为．
7．(1)3；2；补全图象见解析；
(2)当时，的面积为S（）的值不小于．
【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键．
（1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可；
（2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答．
【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象，
当时，Q从B点正好运动到C点，
，
点Q运动的速度（cm/s），
当时，，即，
（cm），
（cm），
（cm），
当时，，
当时，P从A运动到B点，停止，
，补全图象如图所示：
故答案为：3；2；补全图象见解析．
（2）①当时，（cm），（cm），
，
，即，
令，解得，，
由图象可知，解得：，
又，
；
②当时，，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于．
8．(1)这个正方形的边长是
(2)①；②当时，取最大值，最大值是
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，
（1）先证明，设正方形的边长为，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）①由（1）可得：，进而求得函数关系式；
②根据得出函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴,
，
，
设正方形的边长为，
，
解得：，
答：这个正方形的边长是；
（2）①在矩形中，，，
∴，
∴，
，
，
∴，即；
②由题意得：，
当时，取最大值，最大值是．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题关键．
（1）根据桥拱与抛物线形状相同，可直接确定a的值；
（2）由题意可确定点B的横坐标为，从而可求出y的值，即得出的长．
【详解】（1）解：∵桥拱与抛物线的形状相同，
∴；
（2）解：由（1）可知函数解析式为．
∵水面的宽度为，
∴点B的横坐标为．
将代入，得：，
∴桥拱顶点到水面的高度．
10．(1)
(2)元
(3)
【分析】（）根据利润（售价进价）销售量列出函数式即可；
（）根据二次函数的性质解答即可求解；
（）根据每天销售量不少于件可得，又由题意可得，可得当时，的值随的增大而增大，由二次函数的性质得到，据此即可求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
即；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，当时，的值随着的增大而增大，
∵，
∴当时，的值最大，，
答：该商场销售这种商品每天获得的最大利润为元；
（3）解：∵种商品每天销售量不少于件，
∴，
∴，
又由题意得，，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，的值随的增大而增大，
∵返现后发现，该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，
∴，
∴，
∵，
∴的取值范围为．
11．(1)
(2)
(3)锅盖不能正常盖上，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式．
（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
（2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得的值即可得答案；
（3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案．
【详解】（1）解：由于抛物线、都过点、，
设、的解析式为：，；
抛物线还经过，
则有：，解得：，
即：抛物线；
抛物线还经过，
则有：，解得：
即：抛物线；
（2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，
解得：，
此时水面的直径为；
（3）解：锅盖不能正常盖上，
理由如下：当时，抛物线，
抛物线，
而，
锅盖不能正常盖上．
12．(1)；
(2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为；
(3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键．
（1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可；
（2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答；
（3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可．
【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
水柱所在抛物线的函数表达式为．
（2）联立，
解得：或，
，
喷到处的水柱距出水口的水平距离为．
（3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，
平移后的抛物线表达式为，
对于，当时，，
解得：，
，
将代入，
得，
解得：．
水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米．
13．(1)
(2)1200件
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，一元二次方程，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是列出函数解析式，确定自变量的范围．
（1）设的解析式为：，将，代入其中利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出，可列出．解方程求得结果；
（3）设厂家的利润为，由题意得，根据，得到对称轴的大概位置，进而确定顶点在自变量取值范围内，从而得出结果．
【详解】（1）解：设的解析式为：，
将，代入其中可得：，解得：，
∴当时，；
（2）解：∵当时，，此时总款是，
当时，，此时总款是，
∵，
∴，
由得，，
整理得：．
∴，（舍去），
答：采购商的采购数量是1200件；
（3）解：设厂家的利润为，由题意得，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，（舍去），
∴．
14．(1)
(2)见解析
(3)存在，最小值，最大值
【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，，
∴，，，
∵点E在的中点
∴，
∴，，
∵点B、E、F在同一直线上，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图：过B作交于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴．
（3）解：存在，的最小值，最大值．
如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则
设．
∵四边形和四边形都是矩形，
，
∴，
∴，
∵，
，
，即，
，
∴在中，，
即，
当时，y有最小值为．
，
∴当时，y有最大值为，
∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，可知该抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入抛物线解析式并求解，即可获得解析式，将代入抛物线解析式，然后根据题意求解即可．
【详解】解：根据题意得，顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∵点在此抛物线上，
∴，
解得，
∴所求抛物线的解析式为，
当时，，
∴他跳离地面的高度为．
16．(1)x与t之间的函数关系式为；y与t之间的函数关系式为
(2)小球达到最高点时飞行的水平距离是120米
(3)小球从飞出到落到斜坡上要用
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，从图象和表格中获取数据是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式即可；
（2）将二次函数解析式配方后得顶点坐标和的值，再代入一次函数解析式可求出小球达到最高点时飞行的水平距离；
（3）将斜坡的函数解析式转化统一为关于的函数，联立得方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：设x与t之间的函数关系式为，
把代入，得，，
∴x与t之间的函数关系式为；
设y与t之间的函数关系式为，
把，代入，得：
，
解得，，
∴y与t之间的函数关系式为；
（2）解：∵，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当时，有最大值为45，
∴米，
即：小球达到最高点时飞行的水平距离是120米；
（3）解：因为一次函数中，
∴，
联立方程得，，
解得，（不合题意，舍去）或，
即，小球从飞出到落到斜坡上要用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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