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2025年中考数学专题突破系列：实际问题与反比例函数
1．一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足．
(1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围；
(2)请画出函数图象；
(3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？
2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
(1)写出与之间的函数表达式．
(2)当气体的体积为时，压强是多少？
(3)当压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？
3．用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g．
(1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式；
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
4．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/根 20 15 12 10
(1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系．
(2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式．
(3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？
5．长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分．
(1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
6．实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由．
7．如图是一架自制天平，为支点，左侧托盘固定，托盘上放置个砝码，右侧托盘可以在横梁段滑动（点不与点重合）．已知，，个砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左侧托盘砝码的质量右侧托盘物体的质量．（托盘与横梁的质量忽略不计）
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)由于一支铅笔太轻无法称量，小明进行如下操作：左侧托盘放置个砝码，右侧托盘放置支铅笔，再将托盘由点向点滑动，发现托盘移动到与点的距离为时，天平恰好平衡，求一支铅笔的质量．
8．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
时间x/ 5 10 15 20 25 …
水量y/ 17 32 47 62 77 …
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．
(1)探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量与时间的函数关系？请求出该解析式；
(2)应用：成年人每天大约需饮水1600，请估算这个水龙头一周（按7天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数．（精确到整数位）
9．如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表：
托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 20 24 30 40 60
加入的水的质量 15 19 25 35 55
把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式；
②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________；
(3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围．
10．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
(1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围）
(2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
(3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
11．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
(1)求关于的函数表达式；
(2)王林原来佩戴275度的近视眼镜，在电脑店复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，请问王林的近视度数有何变化？
12．我们知道，蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻成反比例．
(1)先补全表格再确定与之间的函数关系式；
(2)请你在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，并直接写出以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过时，用电器的电阻应控制在什么范围内？
13．教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图．
(1)直线的函数关系式为______．
(2)①如图，t的值为______；
②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______．
(3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由．
14．通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求当和时，图象所对应的函数表达式；
(2)体育老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由．
15．项目式学习
项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量．
项目素材：
素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）．
素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．
问题解决：
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______；
(2)求这个空矿泉水瓶的质量．
《2025年中考数学专题突破系列：实际问题与反比例函数》参考答案
1．(1) ；a的取值范围为；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键．
（1）按照等量关系“一洼地存的雨水量排完需要的时间每分的排水量”列出函数关系，并由排水时间求得a的取值范围；
（2）根据自变量的取值范围结合反比例函数的图象直接画出即可；
（3）由（1）求得的函数关系式，代入，解得t的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
当时，，此时，
当时，，此时，
∵，
∴a的取值范围为；
（2）解：根据题意，列表如下：
a 2 3 4
t 10 5
画出函数图象，如下：
（3）解：当时，，
即排水时间需要．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，函数值、自变量值的计算方法是关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入计算即可；
（3）根据题意把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，
∴设反比例函数解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，；
（3）解：与之间的函数表达式为，
∴当时，，
解得，，
∴结合函数图象可知，为了安全起见，气球的体积应大于．
3．(1)小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为；
(2)把分别代入这两个函数表达式，可得小红共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意并且正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，后根据题意代入求出和即可；
（2）由题意可知当时，求出此时小红和小敏所用的水量，进而进行比较即可．
【详解】（1）解：设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，
将和分别代入两个关系式得：
解得：，
∴小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，
小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为；
（2）把分别代入两个函数得：
解得：，
（L），（L）．
答：小红共用30L水，小敏共用20L水，所以小敏的方法更值得提倡．
4．(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数
(2)
(3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元．
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系．
（1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可；
（2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可；
（3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示：
猜想：y与x之间具有反比例函数关系．
（2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数），
把代入，得，
将，，分别代入，均成立，
所以y与x之间的函数关系式为.
（3）解：，
当时，w随x的增大而增大，
又因为，
所以当时，，
所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元．
5．(1)段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为
(2)草莓一天内最适合生长的时间有15小时
【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可．
【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为．
把代入，得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．
（2）解：设直线的函数关系式为．
把代入，
得
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
6．(1)
(2)第二天早上能驾车去上班，见解析
【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
（1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
直线过，
，
，
直线的解析式为，
当时，，即，
设双曲线的解析式为，
将点代入得：，
；
（2）解：由得，
当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为10小时，
，
第二天早上能驾车去上班．
7．(1)，
(2)
【分析】（）根据杠杆原理可求出函数解析式，进而求出自变量的取值范围即可；
（）设一支铅笔的质量为， 根据杠杆原理列出方程解答即可求解；
本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵，，右侧托盘可以在横梁段滑动，
∴， 即；
（2）解：设一支铅笔的质量为，
∴，
解得，
∴一支铅笔的质量为．
8．(1)能准确的反映水量与时间的函数关系，
(2)天
【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据表格中数据特点进行分析，即可得到水量与时间的函数关系，再利用待定系数法求解，即可解题；
（2）先算出时间，再将时间代入（1）中与的函数关系式中求解得到一周的漏水量，进而求出饮用的天数，即可解题．
【详解】（1）解：，，，
不能准确的反映水量与时间的函数关系，
能准确的反映水量与时间的函数关系，
根据表中数据有，
解得，
；
（2）解：（），
当时，，
（天），
答：这个水龙头一周（按7天计）的漏水量可供一位成年人饮用天．
9．(1)见解析
(2)①；②减小，减小，
(3)
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）用光滑的曲线顺次连接各点即可；
（2）①由题意可以猜测是反比例函数，利用待定系数法求出关于x的函数表达式即可；②根据题意可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，由表格可知，关于x的函数表达式；
（3）由得，，进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）解：①由题意可以猜测是反比例函数，
设，代入，得，
解得，
故；
②当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，关于x的函数表达式为；
故答案为：减小，减小，
（3）解：由得，，
由得，
解得，
10．(1)
(2)到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元
(3)该化工厂资金紧张期共有5个月
【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）把代入即可得到结论；
（3）对于，当时，得，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：，
由图可知：在函数图像上，
，
，
当时，
当时，设函数为，
由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元，
，
由图可知，过点，
，
，
，
综上：，
（2）解：在函数中，令，得，
解得：，
答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．
（3）解：在函数中，
当时，，
∵，y随x的增大而减小，
∴当时，，
在函数中，
当时，得
解得：
∴且x为整数；
∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．
答：该化工厂资金紧张期共有5个月
11．(1)
(2)王林的近视度数增加了125度
【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，运用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）先设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，由函数图象可得，当时，，代入即可求解；
（2）将代入即可求得焦距为米时近视眼镜的度数，再与275度作比较即可求解．
【详解】（1）解：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的反比例函数表达式为．
由图象可知，当时，，
∴，解得，
∴反比例函数表达式为．
（2）解：当时，，
（度）．
答：王林的近视度数增加了125度．
12．(1)见解析，
(2)见解析,
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据表格信息得出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）因为，所以，，设，得到，即可得到函数关系式；
（2）根据表格信息用描点法画出函数图象，根据题意得，，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，，
填表如下：
设，
把代入得：，
与之间的函数关系式；
（2）解：如图，描点，连线，
，，
，
．
13．(1)
(2)① ②
(3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析
【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可．
（2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可；
②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围．
（3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为，
设直线的函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
所以．
（2）解：①根据题意，得反比例函数经过点，
设反比例函数的解析式为，
故，
解得，
故，
当时，
故，
故答案为：；
②解：根据解析式为，，
当时，；
当时，；
故温度为60摄氏度以上时的时间范围是，
故答案为：．
（3）解：根据解析式为，，
当时，；
当时，；
故温度为50摄氏度以上时的时间范围是，
即有，
根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于，
若接通电源的时间是当天上午的，到一共为，
经过5次循环，剩余时长为，
恰好在的时段中，此时温度不高于，
故可以在接通电源．
14．(1)当时的函数解析式为，当时的函数解析式为；
(2)老师的教学设计能实现
【分析】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识．
（1）可以利用待定系数法解答本题，由函数的图象设出函数的解析式，将图象上的点和代入后构造二元一次方程组，解方程组即可求出函数关系式；设反比例函数的解析式为，由代入求解即可．
（2）将分别代入和得出x的值，再将这两个x的值的差求出，若是大于18则说明教学设计能实现．
【详解】（1）解：设当时的函数解析式为，当时的函数解析式为，
将图象上的点和代入，代入，
∴，，
∴，
，
∴当时的函数解析式为，当时的函数解析式为；
（2）解：能实现，
将代入中得，
将代入中得，
∵，
∴老师的教学设计能实现．
15．(1)；
(2)这个空矿泉水瓶的质量为
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得与的关系式，取值范围是；
（2）设空瓶的质量为，向空瓶中加入的水，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程，求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：由题意可知，即，的取值范围是，即，
故答案为：；；
（2）解：设这个空矿泉水瓶的质量为，
根据题意，得，
解得，
所以这个空矿泉水瓶的质量为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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