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2025年中考数学专题突破系列：实际问题与一元一次方程
1．甲、乙两车从A，B两地同时出发，沿着同一条路线相向而行，下表是甲、乙两车行驶时的一些信息．
信息一 信息二 信息三
相遇时，乙车走的路程比甲车走的路程多 甲车的平均速度是乙车的平均速度的倍 甲、乙两车出发后相遇
求甲、乙两车的平均速度．
2．春节期间，电影“哪吒之魔童闹海”火出了圈，某商家看到商机，果断购进哪吒和敖丙两款玩具．
(1)商家花费元一次性购买了两款玩具共个，已知哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是元、元，求购买了哪吒玩具和敖丙各多少个？
(2)由于电影热度的下降和价格波动，现该商家第二次分别花费元、元购买哪吒玩具和敖丙玩具，已知购买哪吒玩具的数量是敖丙玩具数量的倍，每个敖丙玩具比每个哪吒玩具的价格少3元，求该商家第二次买多少个敖丙玩具？
3．“一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表：
文创产品 进价 售价
折扇 10 15
帆布袋 16 25
某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？
4．中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？
5．某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元．
(1)甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？
(2)根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？
6．在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满；
(1)请求出该校共有多少名学生参加活动？
(2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？
7．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点同时从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)当运动时，判断此时四边形的形状，并说明理由；
(2)若，且点的运动速度不变，要使四边形为正方形，则点的运动速度是______；
(3)当时，需运动多少时间？
8．如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？
9．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为．
【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数．
(1)______，______，______；
(2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______；
②当时，求的值．
(3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？
10．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（注：获利=售价进价）
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
11．四边形 各个顶点坐标依次为．
(1)求出这个四边形的面积；
(2)在x轴上找一点E，连接，使直线平分四边形的面积，请直接写出E点坐标；
(3)陈老师手里只有一把不带刻度的直尺和三角板，同学们能否帮助陈老师做出一条过C点且平分四边形面积的直线，如果能，请直接画出直线并保留作图痕迹，说明画法依据；如果不能请说明理由．
12．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地行驶到C地，甲车出发1小时后乙车从C地出发，沿公路行驶到B地．甲、乙两车匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地，乙车到达目的地后原地休息．甲、乙两车之间的距离y（）与甲车行驶时间x（）的函数关系如图所示，请结合图像信息，解答下列问题：
(1)A、C两地的距离为_________，甲车行驶速度为_________，乙车行驶速度_________；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式；
(3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍．
13．已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，点P在线段上且，线段与交于点Q．
①_______；
②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为_______．
14．同学们都知道：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为．例如表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)若，则______．
(2)表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______．
(3)请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______．
(4)继续探索：是否有最小值？如果有，最小值是多少？此时的取值是多少？如果没有，说明理由．
(5)若动点A，，分别从数轴上表示，，的位置沿数轴正方向运动，速度分别为个单位每秒，个单位长度每秒，个单位长度每秒．若点A，点（为数轴原点）中间的点为，点和点中间的点为，点和点中间的点为，若为常数，则的值是多少？
15．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题：
冰箱类型 A B C
购进的台数（台） 8 6
每台冰箱的销售价（元） 2000 3000
(1)商场购进A型号冰箱______________台；
(2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜．
①每台C型号冰箱的销售价是_______________元；
②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数）
③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台．
《2025年中考数学专题突破系列：实际问题与一元一次方程》参考答案
1．甲车的平均速度为，乙车的平均速度为
【分析】本题主要 考查了一元一次方程的实际应用，设乙车的平均速度为，则甲车的平均速度为，再根据2小时相遇时，乙车比甲车多走建立方程求解即可．
【详解】解：设乙车的平均速度为，则甲车的平均速度为，
由题意得，，
解得，
∴，
答：甲车的平均速度为，乙车的平均速度为．
2．(1)买哪吒玩具和敖丙玩具分别为个、个
(2)商家第二次购买敖丙玩具个
【分析】本题考查了方程的应用．正确的列出等量关系是解题的关键．
（1）通过设未知数，利用购买玩具的数量关系和总价关系建立方程即可求解；
（2）通过设未知数，利用购买玩具的数量倍数关系和价格关系建立分式方程即可求解；
【详解】（1）解：设买了哪吒玩具x个，得解得
（个）
答：买哪吒玩具和敖丙玩具分别为个、个．
（2）解：设商家第二次购买敖丙玩具y个，得解得
经检验：既是所列方程的解，又符合问题实际．
答：商家第二次购买敖丙玩具个．
3．卖出帆布袋30个，卖出折扇63个
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，
设卖出帆布袋个，则卖出折扇个，根据两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，列方程求解即可．
【详解】解：设卖出帆布袋个，则卖出折扇个，
由题意得：，
解得：，则，
答：卖出帆布袋30个，卖出折扇63个．
4．她答对了道题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，根据题意，解得，即可得到答案．
【详解】解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，
根据题意得，
解得，
答：她答对了道题．
5．(1)甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
(2)该网店共有种进货方案
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次不等式组的应用．
设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，根据该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元，可列一元一次方程：，解方程即可求出两种文化衫的单价；
设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，根据该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，可列关于的一元一次不等式组，解不等式组可得：，又因为为正整数，从而可得：，，，所以共有种进货方案．
【详解】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
6．(1)该校共有270名学生参加活动
(2)租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）该校原计划租车x辆，根据两种租车方式的总人数相等列方程求解即可；
（2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意列出不等式，化简为，根据，分别取，，，，求出相应租车费用进行比较即可．
【详解】（1）解：该校原计划租车x辆，
根据题意得：，
解得，
（人），
答：该校共有270名学生参加活动．
（2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆，
所以，
化简得，
由（1）可知，
必须租2种车，
，
当时，，n最少为1，总租金为 ；
当时，，n最少为2，总租金为；
当时，，n最少为4，总租金为；
当时，，n最少为5，总租金为；
综上所述，租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算．
7．(1)四边形为平行四边形，证明见解析
(2)
(3)6或7
【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）根据题意得到，根据平行四边形的判定定理得出结论；
（2）根据正方形的定义得，由列方程求解即可；
（3）由存在两种情况：一种是四边形是平行四边形；一种是四边形是等腰梯形，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
当时，
∵，
∴；
又，
∴，
又,
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴,
∴,
∴；
∴点的运动速度为
故答案为：；
（3）解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，即，
∴，
解得：，
②当四边形为等腰梯形时，
即
∴，
解得：，
即当或时，．
8．(1)
(2)162
(3)当时，取得最大值，最大值为180
【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论；
（2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值；
（3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解．
【详解】（1）解：∵的长为米，
∴米，
∴（平方米），
故答案为：；
（2）解：由题意，得，
解得，
（平方米），
的值为162平方米；
（3）解：．
墙长为18米，正前方有两个1米宽的门，
.
，
抛物线开口向下，
当时，随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为．
9．(1)，13，7
(2)①；②或6；
(3)点M追上点Q后再经过2秒或秒，．
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答；
（2）①根据题意直接列出代数式即可；
②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可；
（3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵a为的倒数，
∴，
∵，，且，
∴，，
∴，．
故答案为：，13，7；
（2）解：①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为．
故答案为：；
②当时，，
∴，
解得或6；
（3）解：点M未追上点Q时，点M表示的数为，
当点M追上点Q时，，
解得，
即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为，
∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，
∴点M表示的数为，
当时，，
∴，
解得或，
∴，，
∴点M追上点Q后再经过秒或2秒，．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键．
10．(1)该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件
(2)共可获得利润1900元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；
（1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据单价×数量=总价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件．
（2）解：（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．
11．(1)80
(2)
(3)见详解
【分析】（1）过点A作于F，过点B作于E，把四边形分成两个直角三角形和一个梯形，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据在x轴上找一点E，连接，使直线平分四边形的面积，设点E的坐标为，结合面积公式列式计算，即可作答．
（3）由（2）得的面积等于四边形面积的一半，根据平行线之间距离处处相等，和的面积相等，则和的面积相等．即的面积等于四边形面积的一半．
本题考查了割补法求面积，平行公理，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点A作于F，过点B作于E，
∴，，
∴四边形的面积
；
（2）解：依题意，设点E的坐标为，
∵直线平分四边形的面积，
∴，
∴，
即
∴（正值已舍去）
∴E点的坐标为；
（3）解：连接，过点E作交于一点，直线即为所求，如图所示：
证明如下：
由（2）得的面积等于四边形面积的一半，
∵
∴和的面积相等（平行线之间距离处处相等），
∴，
∴和的面积相等．
即的面积等于四边形面积的一半．
12．(1)420；100；60
(2)
(3)小时或小时
【分析】本题主要考查了函数图像、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键．
（1）由图像可知，A、C两地的距离为，B、C两地的距离为，再分别确定乙车行驶速度时间和甲车行驶时间，然后根据“速度路程时间”求解即可；
（2）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由图像可知，A、C两地的距离为，
B、C两地的距离为，则乙车行驶速度为，
∵乙车比甲车早小时到达目的地，
∴甲车行驶总时间为，
∴甲车行驶速度为．
故答案为：420；100；60；
（2）由（1）可知，甲车行驶速度为，
则点的纵坐标为，即，
两车相遇的时间为，
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴线段所在直线的函数解析式为；
（3）设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍，
当甲车到达B地前，可有，
解得，
当甲车到达B地后，可有，
解得，
∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍．
13．(1)见解析
(2)①；②或4或9
【分析】本题考查平行线的判定和性质，几何中角度的计算等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论；
（2）①根据求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①∵，，
∴；
故答案为：
②当时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：
则：，
∴；
当时，如图，则：，
∴，
∴；
综上：的值为或4或9．
故答案为：3或4或9
14．(1)或
(2)、、、、
(3)
(4)，最小值为
(5)2
【分析】（1）根据绝对值的意义可分当时，当时，然后分类求解即可；
（2）由题意分当对应的数在与之间（包含与），即时，当对应的数在的左边或右边时，显然或，进而分类讨论进行求解即可；
（3）由题意可得当对应的数在与之间（包含与），即时，当对应的数在的左边或右边时，显然或，进而问题可求解；
（4）同理可得：的最小值是，当且仅当时取最小值，的最小值是，当且仅当时取最小值，进而问题可求解；
（5）设时间为，则点A可表示，点可表示，点可表示，的中点为，的中点为，的中点为，然后可得，，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由可分：
当时，则有；当时，则有；
故答案为1或5；
（2）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和为，
如图，
当对应的数在与之间（包含与），即时，
，
这样的整数有、、、、，
当对应的数在的左边或右边时，显然或，
此时不合题意．
故答案为：、、、、；
（3）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，
如图，
当对应的数在与之间（包含与），即时，
，
当对应的数在的左边或右边时，显然或，
此时，
综上所述：的最小值是，当且仅当时，取最小值，
又，当且仅当时，取最小值0，
当且仅当时，取最小值；
（4）解：同理可得：的最小值是，当且仅当时取最小值，
的最小值是，当且仅当时取最小值，
，当且仅当时，取最小值，
当且仅当时，
；
（5）解：设时间为，则点A可表示，点可表示，点可表示，
的中点为，的中点为，的中点为，
在的左边，在的左边，
在的左边，在的左边，
，，
，
为常数，
，
．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用是解题的关键．
15．(1)6
(2)①2500；②1900元，；③3或6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解；
（2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案．
【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）；
故答案为：6．
（2）解：①设C型冰箱销售价为元，
根据题意得，
解得，
故答案为：2500；
②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，
根据题意得，，
解得，
（元），
每台C型号冰箱的盈利率为：，
答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是．
③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元），
一台A型号冰箱的利润为（元），
B型号冰箱的成本价为（元），
一台B型号冰箱的利润为（元），
假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元，
那么需要销售种型号（台），不符合题意；
假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元，
那么需要销售种型号（台），不符合题意；
假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元，
那么需要销售种型号（台），符合题意；
假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元，
那么需要销售种型号（台），不符合题意；
假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元，
那么需要销售种型号（台），不符合题意；
假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元，
那么需要销售种型号（台），符合题意；
综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台；
故答案为：3或6．
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