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2025年中考数学专题突破系列：一次函数的实际应用
1．某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）．
(1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式．
(2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？
(3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？
2．2025太湖游轮旅游产品正式上线，一艘游轮从无锡出发前往苏州，线路如图1所示．当游轮到达“三山景点”时，一艘货轮沿着同样的线路从无锡出发前往苏州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离无锡的路程关于的函数图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．当游轮从“三山景点”再次出发时，游轮与货轮之间的距离缩短了．
(1)写出图2中C点的实际意义是__________；
(2)求图2中对应的函数解析式及自变量x的取值范围；
(3)求游轮、货轮相遇时x的值．
3．周末，小萌骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发半小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小萌离家1小时20分钟后，妈妈从家驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们行驶的路程与小萌离家时间的函数图象．已知小萌骑车的速度始终不变，妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍．请根据相关信息，回答下列问题：
(1)小萌在甲地游玩的时间是_____________h；
(2)小萌骑车的速度是_____________；
(3)求直线的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；
(4)小萌出发_____________h后被妈妈追上．
4．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示，数值越高表示注意力越集中．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间变化的图像如图所示．上课开始时注意力指数为30，时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数．
(1)当时，求与之间的函数表达式；
(2)当时，求与之间的函数表达式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲完这道题不能超过多少分钟？
5．某校即将迎来一百二十周年校庆，校方决定举办一场别开生面的文艺演出，有唱歌、舞蹈、舞台剧等节目．为此学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装120元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打8折，但校方需要承担1000元的运费；B公司给出的优惠条件是校方不用承担运费，购买服装不超过70套时不打折，超过70套时，超出的部分每套打7折．
(1)分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用（元）和（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式；
(2)如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少．
6．某工厂需招聘一批工人，现有A，B两家劳务派遣公司均可提供该工厂所需工人，费用如下：
A公司：工人的月工资4000元/人，每月另需固定支付管理费用20000元；
B公司：工人的月工资4500元/人，无需另外支付管理费用．
该工厂计划选择A，B中的一家公司招聘工人，设共需招聘x名工人，若不计其他支出，选择A公司每月的总费用为元，选择B公司每月的总费用为元．
(1)分别求，关于x的函数关系式；
(2)要使每月支付的总费用较少，该工厂应选择哪家公司？说明理由．
7．在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元．
(1)，两个工种的工人各有多少人？
(2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额．
8．“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？
9．昆明被誉为“春城”，四季如春的气候是它最迷人的招牌.据统计，2025年春节期间，昆明市累计接待国内游客万人次．这里不仅是享誉世界的“春城”和“花都”，更有种类繁多的特色小吃.烧饵块是昆明的传统小吃，外皮酥脆，内馅丰富，咬一口满嘴米香．凉米线是昆明的传统小吃，米线滑嫩，调料丰富，咬一口满嘴鲜香.“烧饵块”“凉米线”摊位前排满了游客，若购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元．
(1)求凉米线，烧饵块每份的售价．
(2)据调查，某商家制作1份凉米线需要成本4元，1份烧饵块需要成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？
10．2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点．
(1)求，两地之间的距离及的值；
(2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；
(3)求两机器人出发多长时间时相距1米？
11．2025年包头马拉松赛将于5月开赛，越来越多来自国内外的马拉松爱好者相聚包头．本市某知名小吃店为了迎接本次活动，计划购买甲，乙两种食材制作小吃．甲，乙两种食材的数量与总费用有如下关系：
甲种食材数量（千克） 乙种食材数量（千克） 甲，乙两种食材总费用（元）
2 3 166
4 1 182
(1)求甲，乙两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买这两种食材共24千克，其中购买甲种食材的数量不少于乙种食材数量的2倍，当甲，乙两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？最少为多少元？
12．某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/ 80
②填空：军车行驶的速度为______；
③填空：a的值为______；
④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式；
(2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可）
13．小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示．
(1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式；
(2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间．
14．中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表：
价格 甲 乙 丙
批发价（元／套） 25 ________ ________
零售价（元／套） 30 25 35
(1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价；
(2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少干130夽时，求的最大值．
15．在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人扭秧歌带来了新年惊喜；某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知每个“灵巧”模型的进价比“迅捷”模型多5元，同样花费200元，购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个．
(1)“灵巧”和“迅捷”模型的进价各是多少元？
(2)该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型个，销售这批模型的利润为元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
《2025年中考数学专题突破系列：一次函数的实际应用》参考答案
1．(1)
(2)个月
(3)个月
【分析】本题考查了反比例函数混合与一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．
（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出第五个月的利润，然后根据每月的利润比前一个月增加万元，设出函数解析式，根据待定系数法即可求出函数解析式；
（2）把万元代入函数解析式求得的值，由此即可求出机器全部更新后所经过的月数，该厂月利润才能达到去年月的水平；
（3）求出机器更新换代期间和机器全部更新后利润为万元的月数，再求出两个月数的差，即可求出答案．
【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，即，
当时，，当时，，
；
（2）当时，，
解得：，
，
机器全部完成更新个月后，利润达到万元；
（3）对于，当时，；
对于，当时，，
，
资金紧张的时间为个月．
2．(1)第5小时时，游轮到达苏州，此时距离无锡
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据函数图象可直接进行求解；
（2）由图1可知三山景点到苏州的距离为，所以离开三山景点到苏州所需的时间为，则，设直线的解析式为，进而利用待定系数法可进行求解；
（3）由图象可知及（2）可知货轮的速度为，则有然后求出直线的解析式，进而联立即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
图2中C点的实际意义是第5小时时，游轮到达苏州，此时距离无锡；
（2）解：由图1可知：三山景点到苏州所需的时间为，
∴在离开三山景点时，，
∴，
设直线的解析式为，则有，
，解得：，
∴直线的解析式为，自变量的取值范围为；
（3）解：由题意得：在货轮出发前，游轮行驶的时间为，
∴，
∴货轮的速度为，
∴货轮到达苏州的时间为，
∴的横坐标为，即，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴游轮、货轮相遇时，．
3．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用、列函数关系式，解题的关键是根据题意结合函数图像进行求解．
（1）结合函数图像即可求出小萌在甲地游玩的时间；
（2）结合函数图像，由速度=路程时间即可求解；
（3）运用待定系数法，通过点，即可求出直线的函数解析式；
（4）先运用待定系数法和点，求出直线的函数解析式，再和直线的函数解析式联立建立二元一次方程组，求出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：小萌在甲地游玩的时间是，
故答案为：；
（2）小萌骑车的速度：，
故答案为：；
（3）小萌骑车的速度为，
设直线的函数解析式为，
把点代入得：，
解得，
则直线的函数解析式为；
（4）妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍，
妈妈驾车的速度：，
设直线的函数解析式为，
把点代入得：，
解得，
则直线的函数解析式为，
联立，
解得，
交点，
小萌出发后被妈妈追上，
故答案为：．
4．(1)
(2)
(3)本节课讲完这道题不能超过
【分析】主要考查了一次函数和反比例的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
（1）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；
（2）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；
（3）分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得的取值范围后相减即可得到答案．
【详解】（1）解：设当时，与之间的函数表达式为，
将代入得，
解得，
当时，与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
设当时，与之间的函数表达式为，
将代入得，
当时，与之间的函数表达式为；
（3）解：当时，，
解得；
当时，，
解得，
，
答：本节课讲完这道题不能超过．
5．(1)，；
(2)当购买180套服装时，购买B公司的服装比较合算．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题思路一般是先根据数量关系求出解析式再进行比较得到最优方案．
（1）根据两家公司不同的优惠条件可以分别表示出购买A，B两公司服装所付的总费用（元）和（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式；
（2）根据条件把分别代入两个关系式算出费用再比较可以求出结论．
【详解】（1）解：学校购买A，B两公司服装所付的总费用（元）和（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式分别是：
，
；
，；
（2）解：当时，
元；
元；
；
当购买180套服装时，购买B公司的服装比较合算．
6．(1)，
(2)当时，工厂选择A，B两家公司的总费用相同；当时，工厂选择B家公司的总费用较少；当时，工厂选择A家公司的总费用较少
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据两个公式的计费方式，列出一次函数关系式即可；
（2）分别求出时自变量的取值和取值范围，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：；；
（2）解：由，得，解得；
由，得，解得；
由，得，解得；
所以，当时，工厂选择A，B两家公司的总费用相同；当时，工厂选择B家公司的总费用较少；当时，工厂选择A家公司的总费用较少．
7．(1)工种的工人有人，工种的工人有人
(2)招聘工种工人人时，每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子、等式或不等式是解题的关键．
（1）设工种的工人有人，工种的工人有人，利用“，两个工种的工人共人”和“每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元”分别列式即可；
（2）设此次招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，则招聘工种工人人，则可列出，利用全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，列不等式确定的范围，结合一次函数的增减性即可解答．
【详解】（1）解：设工种的工人有人，工种的工人有人，
根据题意，得，
解得：，
答：工种的工人有人，工种的工人有人；
（2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，
则，
∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，
∴，
解得：，
对于，，
∴随的增大而减小，
∴ 当时，每月所付的工资总额最小，
最小为（元），
答：此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元．
8．(1)
(2)此时每套辅导书的售价为30元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
（1）根据题意列出y关于x的一次函数即可．
（2）根据总利润为列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，
与之间的函数关系式为：；
（2）由题意可得：
整理得：，
解得：，，
要最大限度让利消费者，
，
答：此时每套辅导书的售价为30元．
9．(1)每份凉米线的售价是7元，每份烧饵块的售价是10元
(2)商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设每份凉米线的售价是x元，每份烧饵块的售价是y元，根据“购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元”列出方程组，即可求解；
（2）设售出m份凉米线，则售出份烧饵块，根据“某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设总利润为w元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每份凉米线的售价是x元，每份烧饵块的售价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每份凉米线的售价是7元，每份烧饵块的售价是10元；
（2）解：设售出m份凉米线，则售出份烧饵块，
根据题意得：，
解得：，
设商家售完这1000份特色小吃获得的总利润为w元，
则，
即，
，
随m的增大而减小，
当时，w取得最大值，最大值为（元），
答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元．
10．(1)s的值为12，a的值为1.5
(2)，图象见解析
(3)两机器人出发2秒或5秒时相距1米
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据路程速度时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4秒钟的行程后2秒的行程A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值；
（2）根据路程速度时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可；
（3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可．
【详解】（1）解：A，B两地之间的距离（米），
根据题意，得，
解得，
∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．
（2）解：前4秒时，，
当时，，
则后2秒时，，
∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
其图象如图所示：
（3）解：乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米．
11．(1)甲种食材的单价为38元，乙种食材的单价为30元
(2)当甲，乙两种食材分别购买16千克，8千克时，总费用最少，最少为848元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
（1）设甲种食材单价为元，乙种食材单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设小吃店购买甲种食材千克：则购买乙种食材千克，总费用为元，根据题意，得，再根据购买甲种食材的数量不少于乙种食材数量的2倍，列出不等式，得出，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种食材单价为元，乙种食材单价为元．
根据题意，得，
解得，
答：甲种食材的单价为38元，乙种食材的单价为30元．
（2）解：设小吃店购买甲种食材千克：则购买乙种食材千克，总费用为元，根据题意，得，
购买甲种食材的数量不少于乙种食材数量的2倍，
，
解得，
，
的值随着值的增大而增大，
当取最小值时，
有最小值，
当时，，此时．
答：当甲，乙两种食材分别购买16千克，8千克时，总费用最少，最少为848元．
12．(1)①表格见详解；②60；③2；④
(2)或
【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键；
（1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式；
（2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为，
∴行驶的距离为，
由图象可补充表格如下：
军车离开营地的时间/
军车离营地的距离/ 80 80
②由图象得：军车行驶的速度为；
故答案为：60；
③由②得：；
故答案为：2；
④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为，
当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
综上所述：y与x的关系式为；
（2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为．
由题意得：学校离基地的距离为，
∴学校师生乘坐大巴车的速度为，
当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则，
解得；
∵，
∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车，
∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇，
∴，
解得；
综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或．
13．(1)
(2)加热的时间为分钟
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）设出解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出水在加热过程中与的函数关系式，再根据题意可得油温比水温高，据此建立方程，解方程后求出此时的水温，若水温不超过，则解方程所得的结果即为加热时间，若超过，则此时油温为，据此求出加热时间即可．
【详解】（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；
（2）解：设水在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；
由题意得，，
解得，
∵当时，，即此时水温为，不符合实际，
∴只有当水温为时，油和水继续加热，
∴，
解得，
∴加热的时间为分钟．
14．(1)乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元
(2)当时的值最大，
【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
（1）分别设乙，丙每套的批发价为未知数，列二元一次方程组并求解即可；
（2）求出第一次的销售额及第二次乙，丙每套的批发价，设第二次购进甲套，购进乙，丙各套，根据题意写出和的数量关系式并用含的代数式把表示出来，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可．
【详解】（1）解：乙每套的批发价为元，丙每套的批发价为元．
根据题意，得，
解得，
∴乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元．
（2）解：第一次的销售额为（元），
第二次乙每套的批发价为（元），
第二次丙每套的批发价为（元 ），
设第二次购进甲套，购进乙，丙各套，
根据题意，得，
经整理，得，
∴，
∴，
∵，
∴随的减小而增大，
∵为非负整数，
∴且为 6 的整数倍，
∴当时的值最大，．
15．(1)“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元
(2)购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程、分式方程的应用，
（1）设“迅捷”模型进价为每个x元，可表示“灵巧”模型进价，再根据购进“迅捷”模型的数量比“灵巧”模型多2个，列出分式方程，求出解并检验即可；
（2）购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值．
【详解】（1）解：设“迅捷”模型进价为每个x元，则“灵巧”模型进价为每个元，
依题意得，
∴
解得或（舍去）．
经检验，是原分式方程的解．．
答：“灵巧”模型的进价为每个25元,“迅捷”模型的进价为每个20元．
（2）∵购进“灵巧”模型a个，则购进“迅捷”模型个，总利润为
．
∵购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“灵巧”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为元．
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