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2025年中考数学专题突破系列：二元一次方程组相关计算
1．解方程组：
(1)
(2)
2．解下列方程组．
(1)
(2)
3．解下列方程组：
(1)
(2)
4．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
5．解方程：
(1)
(2)
6．解下列方程组：
(1)
(2)
7．解方程组：
(1)；
(2)．
8．解方程组：
(1)；
(2)．
9．解方程组：
(1)
(2)
10．解下列方程组：
(1)；
(2)．
11．解方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
12．解方程组：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
13．解方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
14．用合适的方法解方程组
(1)
(2)
15．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由．
16．已知关于x、y的方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？
17．已知关于、的方程组的解是，求的值．
18．已知方程组的解是求方程组的解．
19．已知关于x，y的方程组（m是常数）．
(1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值；
(2)若x，y满足，试化简：；
(3)若x，y满足，，求的取值范围．
20．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知，满足方程组，求的值．
21．在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得，
∵且，
∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题：
(1)【学以致用】解二元一次方程组：．
(2)【能力提升】解二元一次方程组：．
(3)【拓展训练】，求x和y的值．
《2025年中考数学专题突破系列：二元一次方程组相关计算》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）根据加减消元法，将方程组两式相加，先求得的值，再代入即可求得的值；
（2）根据代入消元法，由①得，将③代入②即可解得的值，再代入③即可求得的值．
【详解】（1）解：
①②，得，
解得，
将代入②，得，
原方程组的解为．
（2）解：
由①得，
将③代入②，整理得，
解得，
将代入③，得，
原方程组的解为．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
方程组的解为；
（2）解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
去括号，得，
解得：，
把代入③，得，
方程组的解为．
3．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法．
（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：
得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，
得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴原方程组的解为．
4．(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、利用平方根解方程，立方根的定义等知识，解二元一次方程组的关键思想是消元，常见的消元方法有加减消元法和代入消元法．
（1）利用代入消元法把方程代入方程，求出未知数的值，再把的值代入方程，求出未知数的值即可；
（2）方程把方程中未知数的系数化为，用消去未知数，求出未知数的值，再把未知数的值代入方程，求出未知数的值即可；
（3）把方程整理可得：，再两边同时开平方，即可得到方程的解；
（4）方程两边同时乘以，可得：，两边同时开立方可得：，移项、合并同类项即可求出方程的解．
【详解】（1）解：，
把方程代入方程，
可得：，
解得：，
把代入方程，
可得：，
方程组的解为；
（2）解：，
方程可得：，
可得：，
解得：，
把代入方程，
可得：，
解得：，
方程组的解为；
（3）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
两边直接开平方得：，
方程的解为：；
（4）解：，
方程两边同时乘以，
可得：，
方程两边同时开立方，
可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：．
5．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
将①代入②，得，
解得，
将代入①，得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
∴原方程组的解为．
6．(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法．
（1）根据二元一次方程组的代入法消元法即可求出答案；
（2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求出答案．
【详解】（1）解：，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是；
（2）解：，
，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是．
7．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
①＋②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入① ：，
解得：，
方程组的解为．
8．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：把①代入②，得，解得．
把代入①，得
∴方程组的解为；
（2）解：，得，③
，得，解得．
将代入②，得，解得，
∴方程组的解为．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键．
（1）用代入消元法解方程组；
（2）用加减消元法解方程组．
【详解】（1）解：
由①得：③
将③代入②，得：
将代入③，得：，
∴方程组的解为：．
（2）解：
，得：，
化简得：
将代入①，得：
∴方程组的解为：．
10．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（1）用加代入元法解二元一次方程即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
原方程组可变为，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
11．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
（3）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
（4）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为；
（2）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为；
（3）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为；
（4）解：方程整理得，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为．
12．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）利用加减法解答即可求解；
（）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解；
（）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解；
（）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组整理得，
得，，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（3）解：方程组整理得，
得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（4）解：方程组整理得，
得，，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组；
（3）用加减消元法解二元一次方程组；
（4）用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为：．
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（3）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（4）解：，
原方程组可变为，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解三元一次方程组．
（1）用特殊方法解二元一次方程组即可．
（2）用消元法把三元一次方程组转化成二元一次方程组即可求解．
【详解】（1）解：设，，
则原方程组变成，
解得：，
把代入，，
得：
解得：，
∴原方程组的解为：．
（2）解：
由①②，得，
即④，
把④代入③式， 可得出，
把代入①，②可得出：
，
解得：，
∴原方程组的解为：．
15．(1)；
(2)；
(3)不对，理由见解析
【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．
（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得；
（2）解：将代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（3）解：将代入，得：
，
化简得：，
该说法错误．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可；
（2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据（1）的结论求出，再求出整数m即可．
本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】（1）
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：
∵关于x、y的方程组的解满足，．
∴，
∴；
（2）
合并得，
∵不等式的解为
∴
∴
又∵
∴
∵m为整数，
∴．
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，熟练掌握解方程的方法并能灵活运用是解题的关键．把代入关于、的方程组即可；
【详解】解：把代入关于、的方程组得：，
则，
所以原式．
18．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案．
【详解】解：由题意得：方程组的解为，
解得：．
故答案为：．
19．(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键．
（1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于的一元一次方程，即可求解；
（2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解；
（3）根据（2）的结论，得出不等式组，解不等式组得出，然后计算，即可求解．
【详解】（1）解：联立
解得：
代入得，
解得：；
（2）解：
得，
解得：
将代入①得
∴
∵
∴
解得：，
∴，，
∴
；
（3）由（2）可得
∵，，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴，
∵，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用整体代换的方法进行求解即可；
（2）结合题目所给的解答方法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
将②变形为：，即，
将①代入③得：，
解得：，
把代入①得，
故原方程组的解是：；
（2）解：原方程组可化为：，
将①代入②得：，
解得：．
21．(1)
(2)
(3)，
【分析】此题考查了解二元一次方程组，读懂题意是解题的关键．
（1）设，那么，则，，代入于②中，得到，解得，即可得到答案；
（2）设，那么，代入于②中，得，解得，即可得到答案；
（3）由题意可得，，得到则得到由得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：
设，那么，则，，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（2）
设，那么，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（3）∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
解得，
∴，
则
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