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2025年中考数学专题突破系列：解一元二次方程与分式方程
1．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
2．用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
3．解方程∶
(1) ；
(2)．
4．解方程：
(1)
(2)
5．解方程
(1)
(2)
6．解一元二次方程：
(1) （用公式法解）
(2)．
7．解下列方程：
(1)；
(2)．
8．解方程：
(1)．
(2)．
9．选择合适的方法解方程
(1)；
(2)．
10．解方程：
(1)
(2)（公式法）
11．解方程
(1)．
(2)（用配方法解）．
12．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．解方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）
15．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
16．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)
17．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．解分式方程：
(1)；
(2)．
20．解方程
(1)
(2)
21．解方程
(1)；
(2)．
22．解方程：
(1)；
(2)．
23．解分式方程：
(1)．
(2)．
24．解方程：
(1)；
(2)．
《2025年中考数学专题突破系列：解一元二次方程与分式方程》参考答案
1．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
，；
（2）解：
或
，
2．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程；
（1）可得，，，求出利用公式法求解即可；
（2）因式分解得的形式可得或，即可求解；
掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）
解：，，，
，
，
，；
（2）
解：，
或，
，．
3．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考考查了解一元二次方程的知识，掌握因式分解法以及配方法是解答本题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：
，
即：或，
，；
（2）解：
，
，．
4．(1)或；
(2)或
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解解一元二次方程的方法是解题的关键；
（1）根据因式分解法求解即可；
（2）根据因式分解法求解即可；
【详解】（1）解：
，
或，
解得：或
（2）
，
，
则或，
解得：或
5．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，；
（2）解：，
化为一般形式为：，
，，，
∴，
∴，
∴．
6．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
把方程的各项系数分别代入求根公式，用公式法解方程即可；
用提公因式法分解因式，可得：，根据两个因数的乘积为，这两个因数中至少有一个因数为，可得：或，从而得到方程的解．
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
解得，；
（2）解：，
提公因式得：，
或，
解得：，．
7．(1)，
(2)没有实数根
【分析】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用适当的方法解一元二次方程；
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先化简方程，再根据根的判别式确定方程没有实数根即可．
【详解】（1）解：（1）
解得：，．
（2）解：
因为，所以原方程没有实数根．
8．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）求出的值，再代入公式求出即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴，
∴，
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）公式法求解一元二次方程即可
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
或
10．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：（公式法）．
整理得，
，，，
，
∴，
解得，．
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴，
解得：
（2）解：
∴
∴
∴，
解得：
12．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）先把5移到方程的右边，然后方程两边同时加上9，进而得出，然后开平方解方程即可．
（2）提公因式，利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
配方，得，
即，
或，
，．
（2）解：，
，
或，
，．
13．(1)，
(2)，
【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
（1）直接利用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
或，
，；
（2）解：
或，
， ．
14．(1)或；
(2)或．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握配方法和公式法是解题的关键．
（1）利用配方法运算求解即可；
（2）利用公式法运算求解即可．
【详解】（1）
解：
∴或；
（2）
解：∵，，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴或．
15．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（）利用公式法解答即可求解；
（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解；
【详解】（1）解：，，，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）先整理，移项，再根据因式分解法解方程即可；
熟练掌握直接开平方法和因式分解法解方程是解决此题的关键．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
则，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
则，
∴或，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
则或，
∴，；
（4）解：∵，
则，
∴或，
∴，．
18．(1)
(2)无解
【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤解方程即可；
（2）根据解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原分式方程无解．
19．(1)（增根），原方程无解
(2)
【分析】本题考查分式方程的解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验．
（1）先把方程两边乘，去分母得一整式方程解出即可，
（2）方程两边同乘，得整式方程再解出即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
（2）解：
方程两边同乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
20．(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程解法步骤：去分母、化为整式方程求解、验根、下结论等，熟练掌握分式方程解法是解决问题的关键．
（1）先去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案；
（2）先去分母，再化成关于未知数的一元一次方程求解，验根即可得到答案．
【详解】（1）解：，
方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解为；
（2）解：方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，即是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题；
（2）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，得
，
解得：，
检验：时，，
∴是该分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘，得
解得：，
检验：时，，
∴是该分式方程的解．
22．(1)
(2)分式方程无解
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
去分母得到：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是分式方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是增根，分式方程无解．
23．(1)
(2)无解
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
（1）根据分式方程的解法即可求出答案．
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【详解】（1）解：
；
当时，，
故是该分式方程的解；
（2）解：
，
当时，；
故该方程无解
24．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为一般方程是解题的关键，最后记得要检验．
（1）先将分式方程化为一般方程，再利用去分母、去括号、移项合并同类项、将系数化为1的步骤即可得出答案，最后检验是不是原方程的根；
（2）先将分式方程化为一般方程，再利用去分母、去括号、移项合并同类项、将系数化为1的步骤即可得出答案，最后检验是不是原方程的根．
【详解】（1）解：
去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
将系数化为1，得
经检验是原方程的解；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
经检验是增根，原方程无解．
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