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1.2.1直角三角形的性质与判定
刷基础
知识点1 直角三角形的性质
[2024湖南怀化期中]在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A= ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
2[2023 辽宁沈阳期中]直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是 ( )
A.120° B.135°
C.150° D.160°
3[2023贵州黔东南州期中]如图,以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为 .
知识点2 直角三角形的判定
4如图，网格中的△ABC 的顶点都在格点上，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为 ( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
5[2024湖北武汉期中]已知△ABC的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC 是直角三角形的是 ( )
A.∠A:∠B:∠C=3:4:5
D.∠A=∠B-∠C
6[2023北京海淀区期中]如图，某住宅小区在施^工后留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米,AB=13米,BC=12米,∠ADC=90°,小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元
知识点3 逆命题与逆定理
7下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④相等的角是对顶角.其中逆命题是真命题的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8[2024河南漯河校级质检]下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A.三边对应相等的两个三角形全等
B.直角三角形两锐角互余
C.互为相反数的两个数的绝对值相等
D.等腰三角形的两个底角相等
易错点 已知直角三角形两边长求第三边长时，未分类讨论致错
9若一个直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为 ( )
A.13 B.13 或
C.13或15 D.15
刷提升
1[2024吉林四平调研，中]下列命题的逆命题是1真命题的是 ( )
A.对顶角相等 B.等角对等边
C.内错角相等 D.如果a=b,那么|a|=|b|
2[中]在直角三角形ABC 中,∠A:∠B:∠C=2:m:4,则m的值是 ( )
A.3 B.4 C.2或6 D.2或4
3[2023 山东淄博淄川区模拟，中]如图，AB=BC=CD=DE=5,AC=6,CD⊥BC,点A,C,E在同一条直线上，则CE的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4[2024四川眉山校级质检，中]如图，长方体的底面是边长为2cm 的正方形，高为6 cm.如果用细线从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm.
5[2024湖南长沙校级质检,中]如图,△ABC 的角平分线 CD,BE 相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG 于 G,则下列结论中:①∠CEG=2∠DCB; ③CA 平分∠BCG;④∠ADC = ∠GCD. 正确 的结论是 .(填序号)
6如图所示的网格是由相同的小正方形组成的，网格中有一个三角形PAB，点A，B，P是网格线的交点,则∠PAB+∠PBA= °.
7[2023 山东日照调研,中]如图,∠ABC=90°,FA⊥AB 于点 A,点 D 在直线 AB 上,AD=BC,AF=BD.
(1)如图(1),若点 D 在线段AB 上,判断DF与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图(2)，若点D 在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立，并说明理由.
8[2023 辽宁沈阳模拟，难]如图,已知在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=16,D是AC上的一点,CD=3,点 P 从点 B出发沿射线 BC 以每秒2个单位长度的速度运动.设点 P 的运动时间为t秒.连接AP.
(1)当t=3时，求AP的长度(结果保留根号)；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点 D 作DE⊥AP 于点 E.在点 P 的运动过程中,当t为何值时,DE=CD
课时1 直角三角形的性质与判定
刷基础
1. B 【解析】在 中,∠C=90°,∴ ∠A+∠B=90°.∵ ∠B=2∠A,∴ ∠A+∠B=∠A+2∠A=90°,∴∠A=30°.故选 B.
2. B 【解析】如图,在Rt△ABC 中,. AM,BM 分别平分∠CAB,∠CBA,∴∠MAB= .直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是 故选B.
【解析】 是直角三角形， 阴影部分的面积为 故答案为
4. A 【解析】∵ 小方格边长为1,. ∵在 中， 是直角三角形.故选 A.
5. A 【解析】. 故选项A符合题意.. 是直角三角形，故选项 B 不符合题意. ∴设a,b,c分别为k, 是直角三角形，故选项C不符合题意. 是直角三角形，故选项D 不符合题意.故选 A.
6.【解】如图,连接AC.在 中， 空地的面积为 (平方米)，∴铺满这块空地需花费 (元).
7. B 【解析】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；②若 则 的逆命题是若a= b,则 ，是真命题；③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题，所以逆命题是真命题的有3个.故选B.
8. C 【解析】A选项，逆命题为全等的两个三角形的三边对应相等，正确，不符合题意；B选项，逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意；C选项，逆命题为绝对值相等的两个数互为相反数，错误，符合题意；D选项，逆命题为如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形，正确，不符合题意.故选C.
刷易错
9. B 【解析】当12 是斜边长时，第三边长为 当12 是直角边长时，第三边长为 故选 B.
刷提升
1. B 【解析】对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，A选项不符合题意；等角对等边的逆命题是等边对等角，是真命题，B选项符合题意；内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，是假命题，C选项不符合题意；如果 那么 的逆命题是如果 那么 是假命题，D选项不符合题意.故选B.
2. C 【解析】设 的度数分别为2x, mx,4x(x>0°). 当 为直角时， 4x,解得 当 为直角时， 解得 故选C.
3. D 【解析】如图,过 B 作. 过 D 作 ，垂足分别为G，H，
在△BGC 与 △CHD 中, ∴△BGC≌△CHD (AAS),∴ CH = BG = 4.∵CD=DE=5,DH⊥CE,∴ CE=2CH=8.故选 D.
【解析】如图，将长方体的侧面沿AB展开,取A'B'的中点C,取AB的中点C',连接B'C',AC，则AC+B'C'为所求的最短细线长.由勾股定理可得 故所用细线最短需要 故答案为
5.①②④ 【解析】∵ EG∥BC,∴ ∠CEG=∠ACB. 又∵ CD 是△ABC 的角平分线,∴∠CEG= ∠ACB = 2 ∠DCB, 故 ① 正确.∵∠ABC+∠ACB=90°,CD 平分∠ACB,BE平分 故②正确.∵ ∠CEG=∠ACB,而∠GEC 与∠GCE 不一定相等，∴∠ACB与∠ECG不一定相等，即CA不一定平分∠BCG,故③错误.∵ ∠A=90°,∴ ∠ADC +∠ACD = 90°. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD = ∠BCD, ∴ ∠ADC +∠BCD=90°.∵ EG∥BC,且CG⊥EG,∴易得∠GCB = 90°, 即 ∠GCD + ∠BCD = 90°,∴∠ADC=∠GCD,故④正确.故答案为①②④.
6.45 【解析】设每个小正方形的边长均为 1.如图,延长AP至格点D，连接BD，则 ∠PAB+∠PBA=45°.故答案为45.
7.【解】(1)DF=CD,CD⊥DF.理由:∵AF⊥AB,∴ ∠DAF = 90°. 在 △ADF 和 △BCD 中,
(SAS), ∴ DF = CD, ∠ADF = ∠BCD.
∵∠ABC=90°,∴∠BCD+ ∠CDB = 90°,
∴∠ADF+∠CDB = 90°,∴ ∠CDF = 90°,
∴CD⊥DF.
(2)成立,理由如下:∵AF⊥AB,∴∠DAF=90°.在△ADF和△BCD中.
∴ △ADF ≌ △BCD (SAS), ∴ DF = CD,∠ADF=∠BCD.∵ ∠ABC=90°,∴ ∠DBC=90°,∴ ∠BCD + ∠CDB = 90°, ∴∠ADF+
刷素养·
8.【解】(1)根据题意,得 在 中，根据勾股定理，得 故AP的长为
(2)在 中， 根据勾股定理，得 若 BP,则 解得 若 则 解得 若 则 解得 故当 为等腰三角形时，t的值为 或16或5.
(3)①点 P 在线段
BC 上 时, 如 图
(1), 连 接 PD.
∴ 易得 .在 中，由勾股定理，得 解得
②点 P 在线段 BC的延长线上时，如图(2),连接PD.同
①得 AE+PE=4+2t-16=2t-12.在 Rt△APC 中,由勾股定理，得 解得t=11.
综上所述，在点 P 的运动过程中，当t的值为5或11时,DE=CD.

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