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三角形的证明单元考点训练
一、选择题(共35分)
1[2024 河北唐山二模]如图,甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点 P 的正南方向匀速航行，乙船沿点 P的北偏东 70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的( )
A.北偏东 10°方向 B.北偏东30°方向
C.北偏东35°方向 D.北偏东40°方向
2 新考向传统文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何 ”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边的长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大 题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为
( )
A.7.5平方千米 B.15平方千米
C.75平方千米 D.750平方千米
3[2023 辽宁本溪模拟]下列说法正确的个数是( )
①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题；③每个定理都有逆定理；④定理一定有逆命题;⑤命题“若a=b,则 的逆命题是假命题.
A.1 B.2 C.3 D.4
4[2023 四川达州模拟]如图,△ABC的三边AB,BC,CA 的长分别是30,40,50,∠ABC 和∠ACB的平分线交于O,则 S△ABO: S△BCO : S△CAO等于( )
A.1:1:1 B.1:2:3
C.2:3:4 D.3:4:5
5[2023 山东淄博张店区期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点 D 在边 BC上,点 E 在∠C 内部,且△ADE 是等边三角形,∠CBE=60°.若BC=5,BE=3,则△ABD的面积为 ( )
6[2023广东深圳龙岗区模拟]如图，在△ABC和△BCD中,AC=DC=3,AD 是∠BAC的平分线,BD⊥AD，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ( )
A.6 B. C.3 D.2
7如图,在等边△ABC中,D,E分别为AB,AC边上的动点,BD=2AE,连接DE,以 DE 为边在△ABC 内作等边△DEF,连接CF,当点 D 从点A向点 B 运动(不运动到点 B)时,∠ECF 大小的变化情况是 ( )
A.不变 B.变小
C.变大 D.先变大后变小
二、填空题(共20分)
8已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°.下面给出了打乱顺序的运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;
②因此假设不成立，所以∠B<90°；
③假设在△ABC中,∠B≥90°;
④由 AB =AC,得∠B = ∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是 (填序号)
9[2024四川绵阳期末]如图,在△ABC 中,AB边的垂直平分线 PQ 与△ABC 的外角平分线交于点P,过点 P作 PD⊥BC 于点 D,PE⊥AC 于点E.若BC=6,AC=4,则CE的长度是 .
10[2024 江苏徐州调研]如图，在直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A 在x轴上,顶点 B 在y轴上,∠ACB=90°,OB∥AC,点C 的坐标为(1,2),点D 和点 C关于直线AB 成轴对称,且AD交y轴于点 E，则点 E 的坐标为 .
11[2023江西上饶模拟]如图,△ABC中,∠CAB=60°,∠B=75°,AB=2,AD 平分∠BAC交 BC于点D,E为AB上一动点(点E 不与B重合),△DBE关于直线DE 对称的图形为△DFE，若点 F 落在△ABC 的边上,则DE 的长为 .
三、解答题(共45分)
12[2023 陕西西安高新区期中]如图，点 P 是∠MON内一点,PA⊥OM 于点 A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA.
(1)求证:OP平分∠MON;
(2)若∠MON=60°,OA=2,求△PAB的面积.
3[2023 广东韶关期末]已知:如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,AD,BE 相交于点O,点M，N分别是线段AD，BE的中点.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:△MNC 是等边三角形.
14【问题】
如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA,EF垂直平分AC,交AC于点 E,交 BC 于点F,连接AF,AD.当∠B=30°,∠BAF=90°时,求∠DAC的度数.
【探究】
若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉，其他条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗 请说明理由.
【拓展】
若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉，再将“∠BAF=90°”改为“∠BAF=α”,其余条件不变,则∠DAC= .
1. C 【解析】如图，根据题意得. .乙船在甲船的北偏东： 方向，故选C.
2. A 【解析】 该三角形为直角三角形，∴这块沙田面积为 (平方米) (平方千米).故选 A.
3. B
4. D 【解析】如图,过O 分别作
∵BO平分
∵CO 平分
故选 D.
5. C 【解析】如图,在BC 的延长线上取点F, 使 ∠AFD = 60°.∵△ADE 是等边三角形,∴ AD = DE = AE,∠ADE=60°. ∵ ∠ADB = ∠AFD + ∠DAF =∠ADE + ∠EDB, ∴ ∠DAF = ∠EDB.又∠CBE = 60°,∴ ∠AFD = ∠DBE = 60°,∴ △AFD≌△DBE(AAS),∴ FD= BE =3,AF=BD.设CF=x,则CD=3-x,BD=5-(3-x)=x+2. ∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACF=90°,∴∠CAF=90°-60°=30°,∴AF=2CF=2x,∴2x=x+2,∴x=2,∴CF=2,∴AF=BD=4, 故选 C.
6. B 【解析】如图,延长BD,AC 相交于点H.设AD 交 BE 于 点 O.
∵AD⊥BH,∴ ∠ADB=
∠ADH=90°,∴∠ABD+
∠BAD=90°,∠H+∠HAD=90°.∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠HAD,∴ ∠ABD =∠H,
∴AB=AH.∵AD⊥BH,∴BD=DH.∵DC=CA,
∴ ∠CDA = ∠CAD. ∵ ∠CAD +∠H = 90°,
∠CDA+∠CDH=90°,∴ ∠CDH=∠H,∴CD=
CH=AC.又∵ AE =EC,BD = DH,AC=CH,
∵AC=CD=3,∴当DC⊥AC 时,△ACD的面积最大，最大面积为 故选 B.
7. A 【解析】在 AC 上截取CN=AE,连接FN,如图所示.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴∠A=60°,AB=AC.∵BD=
2AE,∴AD=EN.∵△DEF 是
等边三角 形, ∴DE= EF, ∠DEF = 60°.
∵∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-60°-
∠AED=120°-∠AED,∠NEF=180°-∠DEF-
∠AED=180°-60°-∠AED= 120°-∠AED,
∴ ∠ADE = ∠NEF. 在 △ADE 和 △NEF
中
∴ △ADE≌ △NEF (SAS), ∴ AE = FN,∠FNE=∠A = 60°,∴FN=CN,∴ ∠NCF=
∠NFC. ∵∠FNE = ∠NCF +∠NFC = 60°,
∴ ∠NCF=30°,即∠ECF=30°.故选 A.
8.③④①② 【解析】运用反证法证明这个命题的四个步骤:③假设在△ABC 中,∠B≥90°;④由 AB =AC,得∠B =∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°;①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°矛盾；②因此假设不成立,所以∠B<90°,故答案为③④①②.
9.1【解析】连接AP,BP,如图.∵ CP 平分∠DCE, PD ⊥ BC,PE⊥AC,∴ PD=PE.
在Rt△CPD 和 Rt △CPE 中, ∴ Rt△CPD≌Rt△CPE (HL),∴CD = CE.
∵ PQ 是AB 的垂直平分线,∴AP=BP.在
Rt△APE 和Rt△BPD 中,
Rt△BPD(HL),∴AE=BD,∴ CE=AE-AC=BD-AC = (BC-CD)-AC = BC-CE-AC,∴2CE=BC-AC=6-4=2,∴CE=1,故答案为1.
【解析】∵ OB∥AC,∴ ∠ABE=点D和点 C 关于直线AB 成轴对称,∴ ∠BAC=∠BAD,DB=CB,∴ ∠ABE=∠BAD,∴BE=AE.∵C(1,2),∠ACB=90°,OB∥AC,∴易知OA=1,OB=2.设OE=x,则BE=AE=2-x. 在 Rt△AOE 中,根据勾股定理得 即 解得 点 E 的坐标为 故答案为
11.1或 或 2 【解析】∵ AD 平分. 由对称的性质得 而DB 是定长,∴ 点 F 在以点 D 为圆心，DB 长为半径的圆上.当点 F 在边AB上时，如图，此时点F 在点 的位置. 当点F 在边AC 上时，有两种情况：①当E，F在 的位置时,作DH⊥AC.∵AD 平分 又 . 即 是等腰直角三角形. ②当E,F在E ,F 的位置时(E 与A重合), 当F在边BC上时，对应的 E 点不在AB上，此情况不存在.综上，DE的长为1 或 或2.故答案为1 或 或2.
12.(1)【证明】∵ ∠PAB=∠PBA,∴PA=PB.∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴OP平分∠MON.
(2)【解】∵ ∠MON=60°,OP 平分∠MON, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),∴OA=OB=2,∴△AOB 是等边三角形,. 在Rt△AOP中,∵OA=2,∠AOP=30°,∴易得
13.(1)【证明】∵△ABC,△CDE都是等边三角形， 60°,∴ ∠ACB+∠BCD = ∠DCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中. ∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE.
(2)【解】∵ △ACD≌△BCE,∴ ∠ADC =∠BEC.∵△DCE 是等边三角形,∴∠CED=∠CDE=60°,∴ ∠ADE+∠BED = ∠ADC+ ,即∠DOE 的度数是60°.
(3)【证明】∵ △ACD≌△BCE,∴ ∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC.
又∵点 M,N 分别是线段AD,BE 的中点,
在△ACM和△BCN中,
∴ △ACM≌△BCN,∴ CM = CN,∠ACM =∠BCN.又∠ACB=60°,∴ ∠ACM+∠MCB=60°,∴ ∠BCN+∠MCB=60°,∴ ∠MCN =60°,∴△MNC 是等边三角形.
14.【解】【问题】∵ AB = BD, ∠B = 30°,
∵EF 垂直平分AC,∴AF=CF,∴∠CAF=∠C.∵∠B+∠AFB+∠BAF= 180°,∠BAF=90°,∴∠AFB=180°-90°-30°=60°.
∵ ∠AFB =∠C+∠CAF =2∠C,∴∠C=∠CAF=30°,
∴ ∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°.
【探究】∠DAC 的度数不会改变.理由如下： 、垂直平分AC,∴AF=CF,
∴ ∠CAF=∠C.∵ ∠B+∠AFB+∠BAF=
180°,∠BAF= 90°,∴ ∠AFB =90°-∠B.
∵ ∠AFB =∠C+∠CAF =2∠C,∴ ∠C =
【拓展】∵ AB = BD,∴ ∠BAD = ∠BDA =
∵EF垂直平分AC,∴AF=CF,
∴∠CAF=∠C.
∵∠B+∠AFB+∠BAF=180°,∠BAF=α,
∴ ∠AFB=180°-α-∠B.
∵∠AFB= ∠C+∠CAF= 2∠C,∴∠C =
故答案为

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