资源简介 南平市 2025 届高中毕业班第三次质量检测数学试题参考答案及评分标准说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。3.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分.1.B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.A 8.B二、选择题:每小题 5 分,满分 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.AC 10.BCD 11.BCD三、填空题:每小题 5 分,满分 20 分.12. 7 .5 4 213 14. 4 3 , (第一个空 2 分,第二个空 3 分)3 3四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分 13 分)π解:(1)证明:由正弦定理,得 sin C sin( + B) = sin Asin C , …… 2 分3因为0 C π ,所以 sin C 0 ,所以 sin(π + B) = sin A . …… 3 分3又因为 a = b ,所以 A = B,π π所以 + B + A = π, + 2A = π .3 3A = π解得 . …… 6 分3又因为 a = b ,所以△ABC 为等边三角形. …… 7 分(2)在△ACD 中,由余弦定理,得 AC2 = DA2 + DC2 2DA DC cos ADC ,解得 AC2 = 21. ……10 分四边形 ABCD 的面积 3S = S△ABC + S△ACD = 21+1 3 3 sin 5π = 6 3 ,4 2 6数学参考答案 第 1 页 共 7 页所以四边形的 ABCD 面积为6 3 . ……13 分16.(本题满分 15 分)解:(1) f (x) = ex 1 2, …… 1 分令 f (x) = 0 ,解得 x =1+ ln 2 . …… 2 分当 x ( ,1+ ln 2)时, f (x) 0 , f (x) 单调递减;当 x (1+ ln 2,+ )时, f (x) 0 , f (x) 单调递增.所以 f (x) 的单调减区间为 ( ,1+ ln 2),单调增区间为 (1+ ln 2,+ ) . … 6 分x+ln x 1(2)解法一:设 g(x) = xf (x) + x ln x ( x 0 ),则 g(x) = e (x + ln x) , … 9 分设 t = x + ln x 1( t R ),要证 g(x)≥0 ,t即证 e (t +1)≥0. ……10 分t t设 h(t) = e (t +1) ,令 h (t) = e 1= 0,得 t = 0 , ……12 分t ( ,0) 时, h (x) 0 , h(x) 单调递减;t (0,+ ) 时, h (x) 0, h(x) 单调递增.所以 h(t) et (t +1)≥0min = h(0) = 0,所以 .则 xf (x) + x ln x≥0,得证. ……15 分解法二: 设 g(x) = xf (x) + x ln x ( x 0 ),则 g (x) = (x +1)ex 1 1 1 . …… 7 分xg (x) = (x +1)(ex 1即 1 ) …… 8 分 xt (x) = ex 1 1因为 x 0 ,所以函数 在 (0,+ ) 上单调递增,且 t(1) = 0. ……12 分x当 x (0,1) 时, t(x) 0 则 g (x) 0 , g(x) 单调递减;当 x (1,+ ) 时, t(x) 0 则 g (x) 0, g(x) 单调递增.g(x) = g(1) = 0 ,所以 xf (x) + x ln x≥0min ,得证. ……15 分17.(本题满分 15 分)解:(1)解法一:因比赛局数为 4(若到第 4 局未分胜负比赛也终止),所以第四局甲队或乙队可胜可负,则只需考虑前两局比赛即可. …… 2 分数学参考答案 第 2 页 共 7 页前两局甲队和乙队各胜 1 局负 1 局,所以所求概率 p0 = 2 1 2 = 4 . …… 4 分3 3 9解法二:若 4 局比赛结束甲队赢得比赛,甲乙两队的得分情况为 3:1,1 2 2 1 4此时对应的概率 P1= 2 ( ) = . …… 1 分3 3 3 81若 4 局比赛结束乙队赢得比赛,甲乙两队的得分情况为 1:3,2 2 1 2 16此时对应的概率 P2= 2 ( ) = . …… 2 分3 3 3 81若 4 局比赛结束时甲乙两队的得分情况为 2:2,2 2 1 2 16此时对应的概率 P3= 4 ( ) ( ) = . …… 3 分3 3 81p = 4 + 16 16所以所求概率为 0 + =4…… 4 分81 81 81 9解法三:当比赛结束时比赛局数最多为 4 局时,比赛结束时比赛局数为 4 局的对立事件是比赛结束时比赛局数为 2 局,…… 2分所以所求概率为 p0 =1 (1)2 (2)2 = 4 …… 4 分3 3 9(2)设“在比赛终止时甲队得 2 分”为事件 A,设“甲队赢得比赛”为事件 B.若 2 局比赛结束且甲队赢得比赛,则甲乙两队的得分情况为 2:0,P(AB) = 1 1 1所以 = . …… 5 分3 3 9若 4 局比赛终止时甲队得 2 分,则甲乙队的得分情况为 2:2,此时 P(AB) = 4 (2)2 (1)2 = 16 . …… 6 分3 3 811 16 25所以 P(A)= + = . …… 7 分9 81 811P(AB)P(B A) = = 9所以 =9.P(A) 25 25819答:已知比赛终止时甲队得 2 分,甲队赢得比赛的概率为 …… 8 分25(3)依题意, X ~ B(20,4) , …… 9 分9k 4 k 5 20 k其中 P(X = k) = C20 ( ) ( ) ,k=0,1,2,……,20. ……10 分 9 9 P(X = k)≥P(X = k +1),当 k ≥1 时,由 P(X = k)≥P(X = k 1),数学参考答案 第 3 页 共 7 页 C k (4)k (5 20 k k+1 4 k+1 5 19 k 20) ≥C20 ( ) ( ) ,9 9 9 9得 ……12分 C k (4)k (5)20 k20 ≥Ck 1(4)k 1(5)21 k , 9 9 20 9 975 84解得 ≤k≤ . ……14 分9 9又 k N ,所以能完成常见动作招式的人数最有可能(即概率最大)是 9.……15 分18.(本题满分 17 分)x2 y2解:(1)设椭圆的方程为 + =1 (a b 0)2 2 , a b由题意知,点 P (c,1)在椭圆上,c2所以 +1 =1 ,a2 b21 c2 a2 c2 b2=1 = =b2 a2 a2 a2,所以 b2=1. …… 1 分a因为 a = 2 ,所b2 = 2 , …… 2 分2 y2所以所求椭圆方程为 x + =1. …… 3 分4 2(2)解法一:①由条件可知,直线 l1 、 l2 斜率存在且不为 0 和 1 ,设 l : x = ty +1 (t 0,t 1)1 , A(x1, y1 ), B (x2 , y2 ), x2 y2 + =1 (t2 + 2) y2联立 4 2 ,整理得 + 2ty 3 = 0, …… 4 分 x = ty +1y 2t 3所以 1 + y2 = y y =2 , 1 2 2 , …… 5 分 t + 2 t + 2y + y所以 y = 1 2 = t, xM = tyM +1=2M 2 2 , 2 t + 2 t + 2M 2 , t 2 2 . …… 6 分 t + 2 t + 2 1 2t2 2 t , t 同理可得,CD 的中点 N , , 即 N 1 1 2t2 +1 2t2 . …… 7 分 + 2 + 2 +1 t2 t2 2直线MT :1x = 2t + 2 y + 2,直线CD:x = y +1,t t数学参考答案 第 4 页 共 7 页 2t2x = + 2 y + 2, t N ( 2t2, t联立 解得 )2t 2 +1 2t 2, +1x = 1 y +1, t所以 N 为CD 的中点. ……10 分解法二:①由条件可知,直线 l1 、 l2 斜率存在且不为 0 和 1 ,设 l : x = ty +1 (t 0,t 1)1 , A(x1, y1 ), B (x2 , y2 ), 2 y2 x + =1 2联立 4 2 ,整理得 (t + 2) y2 + 2ty 3 = 0, …… 4 分 x = ty +1y 2t 3所以 1 + y2 = , y1y2 =2 2 , …… 5 分 t + 2 t + 2y + y t 2所以 yM =1 2 = , xM = tyM +1= 2 ,2 t2 + 2 t + 2M 2 , t 2 2 . …… 6 分 t + 2 t + 2 1 2t2 t 同理可得,CD 的中点 N 2 ,t , 即 N ,2 . …… 7 分 1 + 2 1 + 2 2t +1 2t2 +1 t 2 2 t tk = t k 2t2 +1 t因为 MT 2 , N T = = , 2t + 2 2t2 2 2t2 + 22t2 +1所以M ,N ,T 三点共线, N ,N 重合,所以 N 为CD 的中点. ……10 分解法三:设 l : y = k(x 1) (k 0,k 1) , A(x1, y1 ) B (x1 , 2 , y2 ). 2 y2 x + =1, 2 2联立 4 2 整理得, (1+ 2k ) x 4k 2x + 2k 2 4 = 0, …… 4 分 y = k(x 1),x + x = 4k2x x = 2k2 4所以 , , 1 2 1 2 …… 5 分1+ 2k 2 1+ 2k 2x + x 2k2 k所以 xM =1 2 = , yM = k(xM 1) = 2 ,2 1+ 2k 2 1+ 2k M 2k2 k , . …… 6 分 1+ 2k2 1+ 2k 2 数学参考答案 第 5 页 共 7 页 2 2( 1 ) ( 1 ) k k 2 k 同理同理可得CD 的中点 N ,2 2 ,即 ,2 2 .… 7 分 1+ 2 (1 ) ( 1 ) k + 2 k + 2 1+ 2 k k kk = k k2 + 2因为 MT 2 , kN T = =k2 , 2k + 2 2 2 2k + 2k 2 + 2所以M ,N ,T 三点共线, N ,N 重合,所以 N 为CD 的中点. ……10 分②因为 OT = 2,则△MON 的面积11 = tS = OT y y tM N 2 ……11 分 2 t + 2 1 + 2t 2t 1 t 1= t3 t t t= =2t4 2 2. ……13 分+ 5t + 22t2 + 2 + 5 2 t 1 + 9t2 tu 1 11 S = = ≤ =2令u = t 0 ,则 2u2 + 9 2u + 9 9 12 , ……15 分 tu 2 2u u9当且仅当 2u = ,即u = 3 2 时,△MON 的面积取最大值 2 . ……17 分u 2 1219.(本题满分 17 分)解:(1)按分割方式,可将长方体分割成 8 个完全相同的小长方体,故小长方体个数 s=8 . …… 1 分此时小长方体的顶点数、棱数、面数分别为 v =8 , e =12 , f =6 (i =1,2, ,8)i i i ,8 8 8所以 vi =V + a=64 , ei = E + b=96, fi = F + c=48 ,i=1 i=1 i=1因此 a = 56,b = 84 , c = 42 .故 s=8 ,a = 56,b = 84 ,c = 42 . …… 4 分(2)正四面体是“m —等和多面体”. …… 5 分分割方式:设该正四面体的外接球球心为O ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,将该正四面体分割成四个完全相同的小正三棱锥:O ABC ,O ABD,O ACD ,O BCD .…… 7 分数学参考答案 第 6 页 共 7 页此时小正三棱锥的顶点数、棱数、面数分别为v (i =1,2,3,4)i =4 , ei =6 , fi =4 ,4 4 4所以 vi =V + a=16 , ei = E + b=24, fi = F + c=16,i=1 i=1 i=1所以 a =12 ,b =18 , c =12 .正四面体的顶点数、面数、棱数满足m =V + F + E =14 .所以m =14 , s=4 ,a =12 ,b =18 ,c =12 . …… 12 分说明:①本题为开放题答案不唯一,只要满足分割后的多面体完全相同即可.②判断是“m —等和多面体”,则m 的结果给分,若没有判断直接给m 的值不给分.③先描述分割方式,再求 s,a,b,c 才能给分,未描述直接求 s,a,b,c 的值不给分.(3)由欧拉公式可知,简单多面体的顶点数、棱数、面数满足V E + F = 2 .分割后的小多面体的顶点数、棱数、面数满足v e + f = 2 (i =1, 2, , s)i i i ,s则 (vi ei + fi ) = 2s ,i=1 s s s 即 vi ei + fi = 2s . …… 13 分 i=1 i=1 i=1 s s s又因为 vi =V + a , ei = E + b, fi = F + c ,i=1 i=1 i=1代入可得 (V +a) (E + b)+ (F + c) = 2s . …… 15 分又因为V E + F = 2 ,a c + b + 2所以 s= .2s a b c s= a c + b + 2所以分割后小多面体的个数 与 , , 的等量关系为 . …… 17 分2数学参考答案 第 7 页 共 7 页 展开更多...... 收起↑ 资源预览