浙江省2025年中考数学模拟考试 考卷+答题卡+解析卷

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浙江省2025年中考数学模拟考试 考卷+答题卡+解析卷

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浙江省2025年中考数学模拟考试
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.在,,,四个数中,绝对值最小的数是(  )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.今年中国某省政府工作报告明确提出,2025年,将着力稳面积、提单产、增效益,全年粮食播种面积1.1亿亩、产量888亿斤以上,“888亿”用科学记数法表示为( )
A. B.
C. D.
4.我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展,其中Deepseek(深度求索)在2025年以各项性能在全球排名前列,成为了各大国家争相学习的对象.据统计,某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为:27,25,29,30,26,28,30.那么这组数据的中位数和众数分别是( )
A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29
5.如图,已知点,,,,连接,,将线段绕着某一点旋转一定角度,使其与线段重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为(  )
A. B. C. D.
6.已知:如图,在中,是弦,点A是的中点,,则的度数为( )
A. B. C. D.
7.已知关于x的方程的两根分别为m,,则关于x的方程的根是( )
A. B.
C. D.
8.如图,边长为1的小正方形网格中,点,,,在格点上,连接,,点在上且满足,则的值是( )
A. B.2 C. D.
9.已知是的函数,若存在实数,(),当时,对应函数值的取值范围是,则称为该函数的一个“君子数对”.例如对于函数,当时,对应函数值的取值范围是,则称为函数的一个“君子数对”.下列结论中,①反比例函数()有无数个“君子数对”;②是二次函数的“君子数对”;③是二次函数的“君子数对”;正确的是( )
A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②
10.如图所示,在矩形纸片中,,点分别是矩形的边上的动点,将该纸片沿直线折叠.使点落在矩形边上,对应点记为点,点落在处,连接与交于点.则下列结论成立的是( )
①;
②当点与点重合时;
③的面积的取值范围是;
④当时,.
A.①③ B.③④ C.②③ D.②④
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知,满足,则的平方根为 .
12.分解因式: .
13.不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球,个黑球,个白球,从袋子中随机摸出个球,摸出的两个球颜色不同的概率为 .
14.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的侧面积是 .
15.如图,为等腰直角三角形,,为边上的中线,于点,连接.则 .
16.如图,在边长为6的正方形中,为对角线上一点,连接,过点作的垂线交边所在的直线于点,连接,交对角线所在直线于点,若,则线段 .
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(8分)计算:.
18.(8分)按指定方法解一元二次方程
(1)(配方法)
(2)(公式法)
19.(8分)如图,已知中,,,且平分.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
20.(8分)随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步,聊天机器人的智能化水平显著提高,能够更准确地理解用户意图并给出相应回答.预计2025年,我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元.有关人员开展了对A,B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查,并从中各随机抽取20份数据,进行整理、描述和分析(评分分数用表示,满分100分,分为四个等级:不满意、比较满意、满意、非常满意),下面给出了部分信息.
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据:84,86,86,87,88,89.
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据:
66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98,98,98,98,99,100.
抽取的对A,B两款聊天机器人的评分统计表
聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 96
B 88 87.5
根据以上信息,解答下列问题
(1)上述图表中,_____________,_____________,_____________.
(2)根据以上数据,你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱?请说明理由(写出一条理由即可).
(3)在此次调查中,有400人对A款聊天机器人进行评分,300人对B款聊天机器人进行评分.请通过计算,估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人.
21.(8分)在中,.
(1)尺规作图:在线段上求作一点D,使得(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若,,求的长.
22.(10分)教室里的饮水机接通电源,就进入自动程序,开机加热时每分钟上升,加热到,停止加热,水温开始下降,此时水温与开机后用时x成反比例关系,直至水温降至,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序,若在水温为时,接通电源后,水温和时间x的关系如图.
(1)直线的函数关系式为______.
(2)①如图,t的值为______;
②饮水机第一次关机前,当水温达到以上时,则x的取值范围为______.
(3)为了在上午第三节下课时()能喝到不超过的水,则接通电源的时间可以是当天上午的吗?说明理由.
23.(10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若此拋物线上有且只有3个点到直线的距离等于,求此3个点的坐标;
(3)以,,,四个点为顶点作矩形,将此抛物线在矩形内部(含边界)的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d,当时,求出a的值.
24.(12分)如图,为的切线,A为切点,过点A作的垂线,垂足为C,交于点B,延长与交于点D,连接交于点E.
(1)求证:为的切线;
(2)求证:;
(3)若,求的值.中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学模拟考试
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.在,,,四个数中,绝对值最小的数是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了实数的大小比较,绝对值,掌握绝对值的规律:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;的绝对值是是解题的关键.根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值,再进行比较即可.
【详解】解: ,,,,且,
绝对值最小的数是,
故选:A.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法,合并同类项,幂的乘方,算术平方根,掌握相应的运算法则是关键.根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案.
【详解】解:A、,选项错误,不符合题意;
B、,选项错误,不符合题意;
C、,选项正确,符合题意;
D、,选项错误,不符合题意.
故选:C.
3.今年中国某省政府工作报告明确提出,2025年,将着力稳面积、提单产、增效益,全年粮食播种面积1.1亿亩、产量888亿斤以上,“888亿”用科学记数法表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法,用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,为整数,按要求表示即可得到答案,确定与的值是解决问题的关键.
【详解】解:888亿,
故选:A.
4.我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展,其中Deepseek(深度求索)在2025年以各项性能在全球排名前列,成为了各大国家争相学习的对象.据统计,某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为:27,25,29,30,26,28,30.那么这组数据的中位数和众数分别是( )
A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29
【答案】C
【分析】本题考查了中位数和众数,根据中位数和众数的概念,即可解答,熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,一组数据按从小到大(或从大到小)排序后,位于最中间的数(或中间两数的平均数)是这组数据的中位数.
【详解】解:重新排序得到:25,26,27,28,29,30,30.
根据题意可得中位数为,众数为,
故选:C.
5.如图,已知点,,,,连接,,将线段绕着某一点旋转一定角度,使其与线段重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转,画出平面直角坐标系,作出新的,的垂直平分线的交点P,点P即为旋转中心.
【详解】解:平面直角坐标系如图所示,旋转中心是P点,,
故选:D.
6.已知:如图,在中,是弦,点A是的中点,,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
【详解】解:连接.
点A是的中点


故选∶B.
7.已知关于x的方程的两根分别为m,,则关于x的方程的根是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解,理解分式方程的解,熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键.先将将方程转化为,再根据已知得,,再由,解得,由,解得,据此即可得出答案.
【详解】解:将方程转化为:,
方程的两根分别为m,,
,,
由,解得:,
由,解得:,
方程的根是:,,
故选:.
8.如图,边长为1的小正方形网格中,点,,,在格点上,连接,,点在上且满足,则的值是( )
A. B.2 C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理,锐角三角函数,解题的关键在于正确掌握相关知识.利用勾股定理得到,再结合等面积法求出,进而得到,最后根据余弦的定义求解,即可解题.
【详解】解:由题知,,

又,



故选:D.
9.已知是的函数,若存在实数,(),当时,对应函数值的取值范围是,则称为该函数的一个“君子数对”.例如对于函数,当时,对应函数值的取值范围是,则称为函数的一个“君子数对”.下列结论中,①反比例函数()有无数个“君子数对”;②是二次函数的“君子数对”;③是二次函数的“君子数对”;正确的是( )
A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②
【答案】D
【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数及二次函数图象与性质,解题的关键是弄清楚“君子数对”的定义.根据“君子数对”的定义结合有关函数的图象与性质进行解答即可.
【详解】①当时,对应函数值的取值范围是,
则函数图象过点或点,
对于反比例函数(),
当函数图象过点时,则有两个点符合要求,即
此时有两个“君子数对”;
当函数图象过点时,由于反比例函数()的图象关于直线对称,而也关于直线对称,则有无数个点符合要求,
此时有无数个“君子数对”;
故①正确;
②当时,,当时,,
又 的对称轴是直线,且,
当时,随的增大而减小,且,
是二次函数的“君子数对”,
故②正确;
③,
又 的对称轴是直线,且,
当时,且
不是二次函数的“君子数对”,
故③错误;
故选:D
10.如图所示,在矩形纸片中,,点分别是矩形的边上的动点,将该纸片沿直线折叠.使点落在矩形边上,对应点记为点,点落在处,连接与交于点.则下列结论成立的是( )
①;
②当点与点重合时;
③的面积的取值范围是;
④当时,.
A.①③ B.③④ C.②③ D.②④
【答案】D
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形,所以EF⊥BG且BN=GN,若BN=AB,则BG=2AB=6,又因为点E是AD边上的动点,所以3②如图,过点E作EH⊥BC于点H,再利用勾股定理求解即可;
③当点E与点A重合时,的面积有最小值,当点G与点D重合时的面积有最大值.故<<.
④因为,则EG=BF=6-=.根据勾股定理可得ME= ,从而可求出△MEG的面积.
【详解】解:①根据题意可知四边形BFGE为菱形,
∴EF⊥BG且BN=GN,
若BN=AB,则BG=2AB=6,
又∵点E是AD边上的动点,
∴3故①错误;
②如图,过点E作EH⊥BC于点H,则EH=AB=3,
在Rt△ABE中

解得:AE=,
∴BF=DE=6-=.
∴HF=-=.
在Rt△EFH中
=;
故②正确;
③当点E与点A重合时,如图所示,的面积有最小值= =,
当点G与点D重合时的面积有最大值==.
故<<.
故③错误.
④因为,则EG=BF=6-=.根据勾股定理可得ME= ,
∴.
故④正确.
故选D.
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定,菱形的判定与性质,勾股定理,翻折的性质等知识,掌握相关知识找到临界点是解题的关键.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知,满足,则的平方根为 .
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和平方根,能根据二次根式有意义的条件求出是解此题的关键.根据二次根式有意义的条件得出且,求出,再求出,最后根据平方根的定义求出答案即可.
【详解】解:要使有意义,必须且,
解得:,

所以的平方根是.
故答案为:.
12.分解因式: .
【答案】
【分析】本题考查了因式分解,先运用提公因式法进行因式分解,再运用完全平方公式进行因式分解,即可作答.
【详解】解:,
故答案为:.
13.不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球,个黑球,个白球,从袋子中随机摸出个球,摸出的两个球颜色不同的概率为 .
【答案】
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及用概率公式求概率,掌握以上知识点是解答本题的关键.
画出树状图得到种等可能的结果,其中摸出的两个球颜色不同的结果有种,再根据概率公式求解即可.
【详解】解:画树状图为:
共有种等可能的结果,其中摸出的两个球颜色不同的结果数为,
所以摸出的两个球颜色不同的概率,
故答案为:.
14.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的侧面积是 .
【答案】
【分析】本题考查的是圆锥的侧面展开图,三视图的含义,理解题意,掌握由三视图还原几何体是解本题的关键.先由三视图还原几何体为圆锥,再利用勾股定理求解母线长,再利用扇形面积公式进行计算即可.
【详解】解:由三视图可得:该几何体是圆锥,底面直径为8,高为3,如图,
∴,,而,
∴,,
∴该几何体的侧面积是.
故答案为:.
15.如图,为等腰直角三角形,,为边上的中线,于点,连接.则 .
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定和性质是关键.
根据题意,设,则,运用勾股定理得到,等面积法得到,再证,得到,则,如图,过点作延长线于点,则,可证,得到,求出,由此即可求解.
【详解】解:∵为等腰直角三角形,,
∴设,
∵为边上的中线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
如图所示,,
∴,
∴,即,
解得,,
如图,过点作延长线于点,则,
∵,
∴,且,
∴,
∴,
∴,
∴,

故答案为: .
16.如图,在边长为6的正方形中,为对角线上一点,连接,过点作的垂线交边所在的直线于点,连接,交对角线所在直线于点,若,则线段 .
【答案】或
【分析】根据分两种情况①当点在线段上时,②当点在延长线上时,作辅助线,结合正方形性质,矩形的性质和判定,勾股定理,等腰三角形性质,证明三角形全等,结合全等三角形性质建立方程求解,即可解题.
【详解】解:①当点在线段上时,
过点作,
四边形为正方形,
,,
四边形为矩形,


为正方形对角线,



设,又正方形边长为6,








,,
同理可证,,
又,
,解得,

②当点在延长线上时,
由①同理可得,
又,

综上所述, 或,
故答案为:或.
【点睛】本题考查正方形性质,矩形的性质和判定,勾股定理,等腰三角形性质,全等三角形性质和判定,解题的关键在于作辅助线构造全等三角形,并结合全等三角形性质建立方程.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(8分)计算:.
【答案】
【分析】本日考查了实数的混合运算,二次根式的运算,特殊角的三角函数值,掌握相关运算法则是解题关键.先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂,再计算乘法,最后计算加减法即可.
【详解】解:

18.(8分)按指定方法解一元二次方程
(1)(配方法)
(2)(公式法)
【答案】(1),
(2),
【分析】本题考查了解一元二次方程,解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程.解一元二次方程的基本思路是:将二次方程转化为一次方程,即降次.
(1)将常数项移至方程的右边,然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后,再开方,即可得出结果;
(2)先求解,再利用求根公式计算即可.
【详解】(1)解:
移项,化“1”得:,
配方,得:,
即,
由此可得:,
,;
(2)解:
,,,

方程有两个不等的实数根,

即,.
19.(8分)如图,已知中,,,且平分.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质及三角形的内角和,证明线段相等的问题比较常用的方法是证明所在的三角形全等.
(1)先求证,再证明;
(2)先求得,再由可得,再求解即可.
【详解】(1)证明:平分,

在和中,

(2)解:,




20.(8分)随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步,聊天机器人的智能化水平显著提高,能够更准确地理解用户意图并给出相应回答.预计2025年,我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元.有关人员开展了对A,B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查,并从中各随机抽取20份数据,进行整理、描述和分析(评分分数用表示,满分100分,分为四个等级:不满意、比较满意、满意、非常满意),下面给出了部分信息.
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据:84,86,86,87,88,89.
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据:
66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98,98,98,98,99,100.
抽取的对A,B两款聊天机器人的评分统计表
聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 96
B 88 87.5
根据以上信息,解答下列问题
(1)上述图表中,_____________,_____________,_____________.
(2)根据以上数据,你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱?请说明理由(写出一条理由即可).
(3)在此次调查中,有400人对A款聊天机器人进行评分,300人对B款聊天机器人进行评分.请通过计算,估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人.
【答案】(1)10,88.5,98
(2)A款,因A款中位数88.5大于B款的87.5,所以A款好(理由不唯一)
(3)85人
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识,正确理解中位数、众数的意义,熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键;
(1)用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值,根据中位数的定义可得b的值,根据众数的定义可得c的值;
(2)通过比较A,B款的评分统计表的数据解答即可;
(3)由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案.
【详解】(1)解:由题意得:A款“满意”所占百分比为,
∴“不满意”所占百分比为,
∴;
∵A款的评分非常满意有个,“满意”的数据:84,86,86,87,88,89;
∴把A款的评分数据从小到大排列,排在中间的两个数是88、89,
∴,
在B款的评分数据中,98出现的次数最多,
∴;
故答案为:10,88.5,98;
(2)解:A款聊天机器人更受用户喜爱,理由如下:
因为两款的评分数据的平均数都是88,但A款评分数据的中位数比B款高,所以A款聊天机器人更受用户喜爱(理由不唯一);
(3)解:B款中“不满意”的有3人,所占百分比为,
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有(人).
21.(8分)在中,.
(1)尺规作图:在线段上求作一点D,使得(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作垂直平分线,等边等角,勾股定理,解直角三角形;
(1)作的垂直平分线交于点,连接,即可求解;
(2)由(1)可得,解,得出,设,在中,,勾股定理建立方程解方程,即可求解.
【详解】(1)解:如图所示,
∵在的垂直平分线上
∴,
∴;
(2)解:由(1)可得
在中,,,
∴,


在中,

解得:

22.(10分)教室里的饮水机接通电源,就进入自动程序,开机加热时每分钟上升,加热到,停止加热,水温开始下降,此时水温与开机后用时x成反比例关系,直至水温降至,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序,若在水温为时,接通电源后,水温和时间x的关系如图.
(1)直线的函数关系式为______.
(2)①如图,t的值为______;
②饮水机第一次关机前,当水温达到以上时,则x的取值范围为______.
(3)为了在上午第三节下课时()能喝到不超过的水,则接通电源的时间可以是当天上午的吗?说明理由.
【答案】(1)
(2)① ②
(3)接通电源的时间可以是当天上午的,理由见解析
【分析】(1)设直线的函数关系式为,利用待定系数法解答即可.
(2)①根据题意,得反比例函数经过点,设反比例函数的解析式为,确定解析式,后代入求值即可;
②根据解析式为,,分别计算当时的x的值,即可得到范围.
(3)根据解析式为,,当时,;当时,;确定循环时长,解答即可.
本题考查了一次函数与反比例函数的应用,待定系数法,正确理解题意是解题的关键.
【详解】(1)解:根据题意,得温度升到用时间为,
设直线的函数关系式为,
根据题意,得,
解得,
所以.
(2)解:①根据题意,得反比例函数经过点,
设反比例函数的解析式为,
故,
解得,
故,
当时,
故,
故答案为:;
②解:根据解析式为,,
当时,;
当时,;
故温度为60摄氏度以上时的时间范围是,
故答案为:.
(3)解:根据解析式为,,
当时,;
当时,;
故温度为50摄氏度以上时的时间范围是,
即有,
根据题意,得饮水机循环开机时间为,且每个循环周期中,和时段中温度低于,
若接通电源的时间是当天上午的,到一共为,
经过5次循环,剩余时长为,
恰好在的时段中,此时温度不高于,
故可以在接通电源.
23.(10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若此拋物线上有且只有3个点到直线的距离等于,求此3个点的坐标;
(3)以,,,四个点为顶点作矩形,将此抛物线在矩形内部(含边界)的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d,当时,求出a的值.
【答案】(1)
(2)或或
(3)或或或
【分析】本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数的图象及性质,矩形的性质,数形结合解题是关键.
(1)用待定系数法即可求解;
(2)根据题意,可得出此抛物线上有且只有 3 个点到直线的距离等于时,抛物线的顶点到直线的距离等于,即可求出的值,从而求出抛物线上到直线的距离等于的点的坐标;
(3)结合函数图象,分情况讨论,把两个临界点的距离差表示出来,分别求出即可.
【详解】(1)解:∵抛物线经过点,.
∴,解得,
故抛物线的表达式为;
(2)解:∵抛物线,
∴抛物线的顶点坐标为,
∴当时,抛物线上有且只有3个点到直线的距离等于,
当时,,解得,,
综上所述点的坐标为或或;
(3)解:由(3)知抛物线的顶点坐标为,以,,,四个点为顶点作矩形,
当时,,如图,
此抛物线在矩形内部(含边界)的部分最高点的纵坐标为0,当时,函数有最低点,最低点纵坐标为,

解得(舍去)或.
∴当时;
当时,如图:
第一种情况当离对称轴近时,结合函数图像可知拋物线顶点为内部最低点,纵坐标为,
a为横坐标时,为内部最高点,纵坐标为,
∴,解得(舍去)或,
∴当时,
第二种情况当离对称轴近时,结合函数图像可知抛物线顶点为内部最低点,纵坐标为,
为横坐标时,为内部最高点,纵坐标为,
∴,解得或(舍去)
∴当时,
当时,如图
结合函数图像可知,此抛物线在矩形内部(含边界)的部分最高点的纵坐标为0,当a为横坐标时,为内部最低点,纵坐标为,
∴,解得(舍去)或.
∴当时,
综上所述:当时,a的值为或或或.
24.(12分)如图,为的切线,A为切点,过点A作的垂线,垂足为C,交于点B,延长与交于点D,连接交于点E.
(1)求证:为的切线;
(2)求证:;
(3)若,求的值.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)连接,可推出,是的垂直平分线,从而,进而推出,从而,进一步得出是的切线;
(2)可证明,进而推出;
(3)可推出,,从而,,,进而推出,,,从而,设,则..,,根据列出方程,求得的值,进一步得出结果.
【详解】(1)证明:如图,连接,
为的切线,




是的垂直平分线,

,,



是的切线;
(2)证明:由(1)得,
,,





(3)解:如图,连接,
由(1)知:,






是的直径,


由(2)知:,

,,,
,,



设,则,,
由(2)得:,

,(舍去),


【点睛】本题考查了切线的性质和判定,等腰三角形的判定,垂径定理,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,一元二次方程的解法等知识,解决问题的关键是设未知数,列出一元二次方程.1
浙江省2025年中考数学模拟考试
数学·答题卡
姓 名:__________________________
准考证号: 贴条形码区
注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名,准考证号填写清楚,并认真核准
考生禁填: 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号,在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2.选择题必须用 2B铅笔填涂;非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂
答题,不得用铅笔或圆珠笔答题;字体工整、笔迹清晰。
3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出区域书写的答案
选择题填涂样例:
无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [/]
第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂)
一、选择题(每小题 3分,共 30分)
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题 3分,共 18分)
11._________________ 12.___________________
13.__________________ 14.__________________
15.__________________ 16.__________________
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
三、(本大题共 8个小题,共 72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(8分)
18. (8分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
19. (8分)
20.(8分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
21.(8分)
22.(10分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
23. (10分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!
24. (12分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效!中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学模拟考试
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.在,,,四个数中,绝对值最小的数是(  )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.今年中国某省政府工作报告明确提出,2025年,将着力稳面积、提单产、增效益,全年粮食播种面积1.1亿亩、产量888亿斤以上,“888亿”用科学记数法表示为( )
A. B.
C. D.
4.我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展,其中Deepseek(深度求索)在2025年以各项性能在全球排名前列,成为了各大国家争相学习的对象.据统计,某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为:27,25,29,30,26,28,30.那么这组数据的中位数和众数分别是( )
A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29
5.如图,已知点,,,,连接,,将线段绕着某一点旋转一定角度,使其与线段重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为(  )
A. B. C. D.
6.已知:如图,在中,是弦,点A是的中点,,则的度数为( )
A. B. C. D.
7.已知关于x的方程的两根分别为m,,则关于x的方程的根是( )
A. B.
C. D.
8.如图,边长为1的小正方形网格中,点,,,在格点上,连接,,点在上且满足,则的值是( )
A. B.2 C. D.
9.已知是的函数,若存在实数,(),当时,对应函数值的取值范围是,则称为该函数的一个“君子数对”.例如对于函数,当时,对应函数值的取值范围是,则称为函数的一个“君子数对”.下列结论中,①反比例函数()有无数个“君子数对”;②是二次函数的“君子数对”;③是二次函数的“君子数对”;正确的是( )
A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②
10.如图所示,在矩形纸片中,,点分别是矩形的边上的动点,将该纸片沿直线折叠.使点落在矩形边上,对应点记为点,点落在处,连接与交于点.则下列结论成立的是( )
①;
②当点与点重合时;
③的面积的取值范围是;
④当时,.
A.①③ B.③④ C.②③ D.②④
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知,满足,则的平方根为 .
12.分解因式: .
13.不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球,个黑球,个白球,从袋子中随机摸出个球,摸出的两个球颜色不同的概率为 .
14.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的侧面积是 .
15.如图,为等腰直角三角形,,为边上的中线,于点,连接.则 .
16.如图,在边长为6的正方形中,为对角线上一点,连接,过点作的垂线交边所在的直线于点,连接,交对角线所在直线于点,若,则线段 .
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(8分)计算:.
18.(8分)按指定方法解一元二次方程
(1)(配方法)
(2)(公式法)
19.(8分)如图,已知中,,,且平分.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
20.(8分)随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步,聊天机器人的智能化水平显著提高,能够更准确地理解用户意图并给出相应回答.预计2025年,我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元.有关人员开展了对A,B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查,并从中各随机抽取20份数据,进行整理、描述和分析(评分分数用表示,满分100分,分为四个等级:不满意、比较满意、满意、非常满意),下面给出了部分信息.
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据:84,86,86,87,88,89.
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据:
66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98,98,98,98,99,100.
抽取的对A,B两款聊天机器人的评分统计表
聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 96
B 88 87.5
根据以上信息,解答下列问题
(1)上述图表中,_____________,_____________,_____________.
(2)根据以上数据,你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱?请说明理由(写出一条理由即可).
(3)在此次调查中,有400人对A款聊天机器人进行评分,300人对B款聊天机器人进行评分.请通过计算,估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人.
21.(8分)在中,.
(1)尺规作图:在线段上求作一点D,使得(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若,,求的长.
22.(10分)教室里的饮水机接通电源,就进入自动程序,开机加热时每分钟上升,加热到,停止加热,水温开始下降,此时水温与开机后用时x成反比例关系,直至水温降至,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序,若在水温为时,接通电源后,水温和时间x的关系如图.
(1)直线的函数关系式为______.
(2)①如图,t的值为______;
②饮水机第一次关机前,当水温达到以上时,则x的取值范围为______.
(3)为了在上午第三节下课时()能喝到不超过的水,则接通电源的时间可以是当天上午的吗?说明理由.
23.(10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若此拋物线上有且只有3个点到直线的距离等于,求此3个点的坐标;
(3)以,,,四个点为顶点作矩形,将此抛物线在矩形内部(含边界)的部分最高点与最低点纵坐标之差记为d,当时,求出a的值.
24.(12分)如图,为的切线,A为切点,过点A作的垂线,垂足为C,交于点B,延长与交于点D,连接交于点E.
(1)求证:为的切线;
(2)求证:;
(3)若,求的值.

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