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第二十七章相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则的第四比例项是（ ）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
2．如图，线段AB的两个端点坐标分别是A（2，6），B（6，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB为原来的后得到线段CD，端点C的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，2）
C．（，2） D．（2，）
3．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．54
7．已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a=3，c=4，则b的值是（）
A．2 B．5 C． D．
8．如图，∽，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）．

A． B． C． D．
9．如图，在中，D，E分别是、的中点，若，则＝（ ）

A．4 B．8 C．2 D．16
10．如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．下列选项中，四条线段a，b，c，d是成比例线段的为（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
12．下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
二、填空题
13．如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是 ．
14．△ABC的三条边之比为，与其相似的另一个△最大边长为18cm，则另两边长的和为 ．
15．已知点C是线段的黄金分割点，即，那么 .
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF＝ ．
17．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为 ．
三、解答题
18．如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
(1)画出，并直接写出点的坐标；
(2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
19．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．
20．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
21．如图，在中，，正方形的边长是，且四个顶点都在的各边上，，求的长．
22．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
23．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且．
（1）∠1与∠2相等吗？为什么？
（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
24．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点，再在河的这一边选定点和点，使得，然后选定点，使，确定与的交点，若测得米，米，米，请你求出小河的宽度是多少米？
《第二十七章相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D D C C D B C
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】根据比例线段的概念进行求解即可得答案.
【详解】解：a+b=2+3=5cm，
设第四比例项是x，则，
解得：x=cm，
故选D.
【点睛】本题考查了比例线段的概念，熟练掌握第四比例项的概念以及求解方法是解题的关键.
2．C
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的，
∵点A的坐标为(2，6)，
∴点C的横坐标为，
点C的纵坐标为，
即C（，2）
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换的概念和性质，解题的关键是掌握位似变换在平面直角坐标系中的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
3．B
【详解】∵△RPQ∽△ABC，
∴，即，
∴△RPQ的高为6．
故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选B．
4．D
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项．
【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，，所以三边之比为．
A、三角形的三边分别为，，4，三边之比为，故本选项不符合；
B、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项不符合；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为，故本选项不符合；
D、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项符合．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定， 属于基础题， 掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键， 难度一般 ．
5．D
【分析】位似变换必须满足对应点的连线相交于一点，由此分析即可．
【详解】解：（1）传动带上的电视机，和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换；
（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换；
故选：D．
【点睛】本题考查位似变换的定义，掌握位似变换的要点是对应点的连线相交于一点是解题关键．
6．C
【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD，从而得出边长之比，得到，进而求出正方形的边长．
【详解】解：设正方形零件的边长为x
在正方形EFGH中，EF∥BC，EH∥AD
∴∠AEF=∠ABC，∠EAF=∠BAC；∠BHE=∠BDA，∠B=∠B
∴△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD
∴
∴
∴
解得：x＝48
即：正方形零件的边长为48；
故选：C．
【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段b是线段a和c的比例中项”进行解答即可得．
【详解】解：∵线段b是线段a和线段c的比例中项，
∴
即，
解得：或（舍），
故选C．
【点睛】本题考查了比例中项，解题关键是熟记比例中项的定义．
8．D
【分析】利用相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
故选择：D.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比是解题的关键.
9．B
【分析】先根据三角形中位线定理得到，再证得，然后根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵D、E分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和判定、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
如图：由题意可得，，，根据平行线等分线段定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图：
由题意可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
11．B
【分析】本题主要考查了比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：A．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
B．，这四条线段成比例，符合题意；
C．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
D．，这四条线段不成比例，故不符合题意．
故选：B．
12．D
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【详解】解：A、∵，∴选项A不成比例；
B、∵，∴选项B不成比例；
C、∵，∴选项C不成比例；
D、∵，∴选项D成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是掌握判断四条线段是否成比例的方法．
13．
【分析】根据面积比等于相似比的平方，先求出AE的长度，然后再求AD即可．
【详解】解：由平移可知，AC∥DF，
∴△AEM∽△DEF，
∵面积的比等于相似比的平方；
∴，
∵，
∴；解得（负值舍去），
∴移动的距离AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键是发现相似三角形，明确面积比等于相似比的平方．
14．21
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可求得△A′B′C′的另两边长，然后求和即可.
【详解】解：设△A′B′C′的最短边的长为x，另一边为y，
∵△ABC∽△，
∴，，
∴x=6，y=15，
∴x+y=6+15=21.
故答案为21.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
15．
【分析】根据已知可得化简可得.
【详解】因为点C是线段的黄金分割点，即，
那么
故答案为
【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．
16．/
【分析】根据矩形的性质得，根据勾股定理得，再证明得，证明得，分别计算DF和DE的长即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴DF，
同理可得，
∴，
∴，
∴ED，
∴EF＝ED+DF，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
17．
【分析】先设出矩形的边长，将和表示出来，再通过作对称点确定的周长最小时的点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可．
【详解】解：设 ，，
，
四边形为矩形，
，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
，
，
当三点共线时，的周长最小，
此时点应位于图中的点处；
在矩形中，，
点位于的延长线上，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的推论等内容，解题关键是能正确找到满足题意的点位置，同时要牢记平行线分线段成比例的推论，即平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
18．(1)见解析，
(2)
(3)
【分析】1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据平移规律，确定变换后的坐标即可．
（3）利用分割求面积，解答即可．
本题考查了坐标的平移，分割法计算面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求，且．
（2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且．
（3）解：由，
故的面积为：．
19．9
【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积．
【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝，
∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2，
∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2，
∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式．
20．
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知，．
由，得，
即．
∴．
开平方，得（舍去）．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
21．BC= 21cm
【分析】只要证明△BDG∽△FEC，可得=，推出=，求出BD即可解决问题．
【详解】∵四边形EFGD是正方形，∴DE=EF=DG=6cm，∠GDE=∠DEF=90°，∴∠BDG=∠CEF=90°．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠CFE=90°，∴∠B=∠CFE，∴△BDG∽△FEC，∴=，∴=，∴BD=12，∴BC=BD+DE+EC=12+6+3=21（cm）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．2.
【详解】试题分析：此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．
试题解析：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△的两边长分别为1，1.5，可以看出，△的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
23．（1）相等，理由见解析；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）由，得到△ABC∽△AED，推出∠BAC＝∠EAD，即可得到∠1＝∠2；
（2）由得，根据两边对应成比例且夹角相等得到△ABE∽△ACD．
【详解】（1）∠1与∠2相等．理由如下：
在△ABC和△AED中，∵，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠2．
（2）△ABE与△ACD相似．理由如下：
由得：．在△ABE和△ACD中，∵，∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．
24．小河的宽度是210米.
【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴.
答：小河的宽度是210米.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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