资源简介

山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷
1．（2025高一下·青岛月考）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：依题意，不共线，
A、不存在使，所以和可以组成基底.
B、不存在使，所以和可以组成基底.
C、，所以和不能构成基底.
D、不存在使，所以和可以组成基底.
故答案为：C.
【分析】利用不共线的两个向量可以为基底逐项验证即可求解.
2．（2025高一下·青岛月考）已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解： 在 上的投影向量的坐标为
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求出答案.
3．（2025高一下·青岛月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则外接圆的半径为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，，
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
设外接圆的半径为，
则由正弦定理得，得，
故答案为：D
【分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解
4．（2025高一下·青岛月考）已知函数图像的一个对称中心为，则为了得到函数的图像，只需将函数的图像（　　）
A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：已知函数图像的一个对称中心为，
则，，
解得，，
又，
所以，
所以，
因为，
所以为了得到的图像，只需将函数的图像向左平移1个单位长度，
故答案为：A．
【分析】先利用函数图像的一个对称中心为即可得，再利用平移变换即可求解.
5．（2025高一下·青岛月考）已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：已知，且，则，
两边平方可得，即，
所以，，又，
所以与的夹角为.
故答案为：C.
【分析】先将已知条件等式变形可得，两边平方可得，再利用向量夹角公式即可求解.
6．（2025高一下·青岛月考）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知，
在上，，
即有且仅有1个零点，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】先利用三角恒等变换化简可得，再利用正弦型函数的性质及区间零点个数求参数范围即可求解.
7．（2025高一下·青岛月考）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为60m
B．h关于t的函数解析式为
C．h关于t的函数解析式为
D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：A、因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误；
BC、设，则，
令时，则，，
又，解得，
所以，故B，C错误 ；
D、，
当距地面高度超过38m时，即，即，
即，解得，
又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确，
故答案为：D.
【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径即可判断A；分别求出得解析式即可判断B，C；令，求出的取值范围即可判断D.
8．（2025高一下·青岛月考）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
，
所以，
故答案为：B.
【分析】，，再利用平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
9．（2025高一下·青岛月考）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（　　）
A．若，有一个解 B．若，无解
C．若，有两个解 D．若，有一个解
【答案】B,C,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为且，由正弦定理，即，
当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确；
当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确；
当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确；
当，即，则，由，此时只有一解，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先利用正弦定理求得，再利用的取值范围，分类讨论即可求解.
10．（2025高一下·青岛月考）下列命题中正确的是（　　）
A．非零向量 满足，则 与 的夹角为
B．已知非零向量，若，则 的夹角为锐角
C．若 是 所在平面上的一点，且满足，则 为等腰三角形
D．在 中，若点 满足，则 为 的垂心
【答案】A,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的综合题
【解析】【解答】解：A、已知如图所示：
作 ，则，又 ，则由题意知是等边三角形，则可设与的夹角为，所以A正确；
B、设 与的夹角为，则由得 ，
又因为 ，所以 ，所以B错误；
C、取AB中点为E，连接CE如图所示：
因为，
所以CE⊥BA，又E为AB中点，所以CA =CB， 故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以C正确；
对于D，由
同理可得 ，所以P为的垂心，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据向量的加法与减法法则，易判断是等边三角形即可判断A；根据向量的数量积定义即可判断B；根据向量的数量积判断得 ，又根据E为AB中点即可判断C；结合向量的运算得 ， ，即可判断D.
11．（2025高一下·青岛月考）对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．关于该变换，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．存在，使得
D．设，，，．．．，，则
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的综合题
【解析】【解答】解：设，由得，，，
A.∵，∴，
∴，
∴，故A选项正确；
B.∵，∴，
∴，
∴，故B选项正确；
C.∵，
，
∴，故C选项错误；
D.当时，，，故，
∵，∴，
∴，
∴，故D选项正确．
故答案为：ABD．
【分析】利用向量平行的坐标运算即可判断A；利用向量垂直的坐标公式即可判断B；利用向量夹角的坐标公式即可判断C；利用条件可得，计算，利用数量积的坐标运算即可判断D.
12．（2025高一下·青岛月考）向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】解：∵向量，若向量与向量夹角为钝角，∴，且与 不共线，
即 且，即 且.
故答案为：.
【分析】先利用可得，再利用与 不共线即可求解.
13．（2025高一下·青岛月考）在中，是边上一点，的面积为，为锐角，则　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵在中，，D是AB边上一点，CD=2，
的面积为，为锐角，
∴，解得：，
∴，
由余弦定理有：，∴，
由正弦定理，
又因为
故答案为：．
【分析】先利用题意得，再利用余弦定理求出，正弦定理可求出，即可求解.
14．（2025高一下·青岛月考）中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足．射线与边交于点．若，，则角的值为　 　，面积的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：已知表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
根据向量加法的几何意义可知在三角形的角平分线上，
即是三角形的角平分线，
由可得，，得，
则为锐角，所以，又，
根据三角形的面积公式有，
整理得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以三角形面积的最小值为．
故答案为：①；①．
【分析】先由题意可得是三角形的角平分线，再利用余弦定理得，最后利用三角形面积公式以及基本不等式即可求解．
15．（2025高一下·青岛月考）（1）已知，是夹角为的两个单位向量，，．求与的夹角；
（2）已知，，求与的夹角
【答案】解：（1）因为，是夹角为的两个单位向量，故，
则．
则．
，
故，而，故．
（2）因为向量，，所以，
则，
所以，
又，
所以与的夹角为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先利用题意可得，再利用向量的夹角公式即可求解；
（2）先利用向量的坐标运算可得，再利用向量的夹角公式代入计算，即可求解.
16．（2025高一下·青岛月考）已知的内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的面积等于，，求的值．
【答案】解：（1）∵，由余弦定理得，∵，∴．
（2）因为，
所以，又，故，
于是，
∴，，
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，即可求解；
（2）先利用三角形的面积公式可得，再利用余弦定理可得即可求解.
17．（2025高一下·青岛月考）已知函数的部分图像如图，，．
（1）若已知图中点A的横坐标．
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）若，求x的取值范围；
（2）求的值．
【答案】（1）解：（ⅰ）已知图中点A的横坐标，，，．
，将点代入得：，所以，，
所以，，因为所以时，．
．
（ⅱ）若，则，
，，解得，，
即x的取值范围为，．
（2）解：由图可知，，又，
将点代入得：，所以，
解得，，因为，即，
所以所以当时，，
，又，
，，
由图可知
，
，

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）（i）由图可知，求出，再求出，将点代入即可求，即可得的解析式；（ii）结合正弦函数的图象解不等式即可求解．
（2）先由求出，再将点代入，求，再由列出等式，即可求解．
（1）（ⅰ）图中点A的横坐标，，，．
，将点代入得：，所以，，
所以，，因为所以时，．
．
（ⅱ）若，则，
，，解得，，
即x的取值范围为，．
（2）由图可知，，又，
将点代入得：，所以，
解得，，因为，即，
所以所以当时，，
，又，
，，
由图可知
，
，
18．（2025高一下·青岛月考）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.
（1）若∠ABC＝30°，求DC；
（2）记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.
【答案】解：在四边形ABCD中，因为AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，如图所示：
所以∠ADC＝120°，
在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，
AC＝2，由正弦定理得：，
解得：.（2）因为∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，
四边形内角和360°得∠ADC＝150°﹣θ，
∴在△ADC中，由正弦定理得：，解得：，
在△ABC中，由正弦定理得：，解得，
∴S△BCD
，
∵0°＜θ＜150°，
∴﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，
∴当2θ﹣60°＝90°即θ＝75°时，S取最小值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意可求∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝30°，∠ADC＝120°，再利用正弦定理即可求解；
（2）由题意可得可得∠CAD＝30°，可求∠ADC＝150°﹣θ，在△ADC中，利用正弦定理可得，在△ABC中解得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD，结合范围0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函数的性质即可求解.
19．（2025高一下·青岛月考）“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”．
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得
所以，
所以，
所以，则，
所以，
得.
（2）解：设，因为
，
所以，
由，
得，则，
由余弦定理得，
所以，
则，解得，
所以的周长为.
（3）解：不妨设，则，
由余弦定理得：
，①
，②
，③
因为，
所以，
则，所以，
由②③得：，
则，
因为，
所以，解得或(舍)，
所以，则.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将题中的已知条件转换成仅含有角的关系，再利用两角和的正弦公式和辅助角公式以及已知条件，从而得出角A的值.
（2）设，由数量积定义可得，再由三角形的面积公式可得，从而得出bc的值，结合余弦定理可得的值，最后由三角形的周长公式得出的周长.
（3）不妨设，则，再由余弦定理和勾股定理，从而解方程组得出实数的值.
（1）因为，
由正弦定理得
即：，
所以
所以，即，所以，得；
（2），
因为，
所以，
由得：
，即，
由余弦定理得，即，
则，解得．
所以的周长为；
（3）不妨设，则.由余弦定理得：
，①
，②
，③
因为，所以，即，则，
由②③，，则
即
因为，所以，解得或(舍)
所以，得.
1 / 1山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷
1．（2025高一下·青岛月考）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2025高一下·青岛月考）已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·青岛月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则外接圆的半径为（　　）
A．2 B． C．1 D．
4．（2025高一下·青岛月考）已知函数图像的一个对称中心为，则为了得到函数的图像，只需将函数的图像（　　）
A．向左平移1个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移1个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．（2025高一下·青岛月考）已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·青岛月考）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·青岛月考）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为60m
B．h关于t的函数解析式为
C．h关于t的函数解析式为
D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m
8．（2025高一下·青岛月考）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高一下·青岛月考）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（　　）
A．若，有一个解 B．若，无解
C．若，有两个解 D．若，有一个解
10．（2025高一下·青岛月考）下列命题中正确的是（　　）
A．非零向量 满足，则 与 的夹角为
B．已知非零向量，若，则 的夹角为锐角
C．若 是 所在平面上的一点，且满足，则 为等腰三角形
D．在 中，若点 满足，则 为 的垂心
11．（2025高一下·青岛月考）对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．关于该变换，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．存在，使得
D．设，，，．．．，，则
12．（2025高一下·青岛月考）向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为　 　.
13．（2025高一下·青岛月考）在中，是边上一点，的面积为，为锐角，则　 　．
14．（2025高一下·青岛月考）中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足．射线与边交于点．若，，则角的值为　 　，面积的最小值为　 　．
15．（2025高一下·青岛月考）（1）已知，是夹角为的两个单位向量，，．求与的夹角；
（2）已知，，求与的夹角
16．（2025高一下·青岛月考）已知的内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的面积等于，，求的值．
17．（2025高一下·青岛月考）已知函数的部分图像如图，，．
（1）若已知图中点A的横坐标．
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）若，求x的取值范围；
（2）求的值．
18．（2025高一下·青岛月考）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.
（1）若∠ABC＝30°，求DC；
（2）记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.
19．（2025高一下·青岛月考）“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”．
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）若，求实数的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：依题意，不共线，
A、不存在使，所以和可以组成基底.
B、不存在使，所以和可以组成基底.
C、，所以和不能构成基底.
D、不存在使，所以和可以组成基底.
故答案为：C.
【分析】利用不共线的两个向量可以为基底逐项验证即可求解.
2．【答案】B
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解： 在 上的投影向量的坐标为
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，，
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
设外接圆的半径为，
则由正弦定理得，得，
故答案为：D
【分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解
4．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：已知函数图像的一个对称中心为，
则，，
解得，，
又，
所以，
所以，
因为，
所以为了得到的图像，只需将函数的图像向左平移1个单位长度，
故答案为：A．
【分析】先利用函数图像的一个对称中心为即可得，再利用平移变换即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：已知，且，则，
两边平方可得，即，
所以，，又，
所以与的夹角为.
故答案为：C.
【分析】先将已知条件等式变形可得，两边平方可得，再利用向量夹角公式即可求解.
6．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知，
在上，，
即有且仅有1个零点，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】先利用三角恒等变换化简可得，再利用正弦型函数的性质及区间零点个数求参数范围即可求解.
7．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：A、因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误；
BC、设，则，
令时，则，，
又，解得，
所以，故B，C错误 ；
D、，
当距地面高度超过38m时，即，即，
即，解得，
又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确，
故答案为：D.
【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径即可判断A；分别求出得解析式即可判断B，C；令，求出的取值范围即可判断D.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
，
所以，
故答案为：B.
【分析】，，再利用平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
9．【答案】B,C,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为且，由正弦定理，即，
当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确；
当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确；
当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确；
当，即，则，由，此时只有一解，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先利用正弦定理求得，再利用的取值范围，分类讨论即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的综合题
【解析】【解答】解：A、已知如图所示：
作 ，则，又 ，则由题意知是等边三角形，则可设与的夹角为，所以A正确；
B、设 与的夹角为，则由得 ，
又因为 ，所以 ，所以B错误；
C、取AB中点为E，连接CE如图所示：
因为，
所以CE⊥BA，又E为AB中点，所以CA =CB， 故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以C正确；
对于D，由
同理可得 ，所以P为的垂心，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据向量的加法与减法法则，易判断是等边三角形即可判断A；根据向量的数量积定义即可判断B；根据向量的数量积判断得 ，又根据E为AB中点即可判断C；结合向量的运算得 ， ，即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的综合题
【解析】【解答】解：设，由得，，，
A.∵，∴，
∴，
∴，故A选项正确；
B.∵，∴，
∴，
∴，故B选项正确；
C.∵，
，
∴，故C选项错误；
D.当时，，，故，
∵，∴，
∴，
∴，故D选项正确．
故答案为：ABD．
【分析】利用向量平行的坐标运算即可判断A；利用向量垂直的坐标公式即可判断B；利用向量夹角的坐标公式即可判断C；利用条件可得，计算，利用数量积的坐标运算即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】解：∵向量，若向量与向量夹角为钝角，∴，且与 不共线，
即 且，即 且.
故答案为：.
【分析】先利用可得，再利用与 不共线即可求解.
13．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵在中，，D是AB边上一点，CD=2，
的面积为，为锐角，
∴，解得：，
∴，
由余弦定理有：，∴，
由正弦定理，
又因为
故答案为：．
【分析】先利用题意得，再利用余弦定理求出，正弦定理可求出，即可求解.
14．【答案】；
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：已知表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
根据向量加法的几何意义可知在三角形的角平分线上，
即是三角形的角平分线，
由可得，，得，
则为锐角，所以，又，
根据三角形的面积公式有，
整理得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以三角形面积的最小值为．
故答案为：①；①．
【分析】先由题意可得是三角形的角平分线，再利用余弦定理得，最后利用三角形面积公式以及基本不等式即可求解．
15．【答案】解：（1）因为，是夹角为的两个单位向量，故，
则．
则．
，
故，而，故．
（2）因为向量，，所以，
则，
所以，
又，
所以与的夹角为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先利用题意可得，再利用向量的夹角公式即可求解；
（2）先利用向量的坐标运算可得，再利用向量的夹角公式代入计算，即可求解.
16．【答案】解：（1）∵，由余弦定理得，∵，∴．
（2）因为，
所以，又，故，
于是，
∴，，
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，即可求解；
（2）先利用三角形的面积公式可得，再利用余弦定理可得即可求解.
17．【答案】（1）解：（ⅰ）已知图中点A的横坐标，，，．
，将点代入得：，所以，，
所以，，因为所以时，．
．
（ⅱ）若，则，
，，解得，，
即x的取值范围为，．
（2）解：由图可知，，又，
将点代入得：，所以，
解得，，因为，即，
所以所以当时，，
，又，
，，
由图可知
，
，

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）（i）由图可知，求出，再求出，将点代入即可求，即可得的解析式；（ii）结合正弦函数的图象解不等式即可求解．
（2）先由求出，再将点代入，求，再由列出等式，即可求解．
（1）（ⅰ）图中点A的横坐标，，，．
，将点代入得：，所以，，
所以，，因为所以时，．
．
（ⅱ）若，则，
，，解得，，
即x的取值范围为，．
（2）由图可知，，又，
将点代入得：，所以，
解得，，因为，即，
所以所以当时，，
，又，
，，
由图可知
，
，
18．【答案】解：在四边形ABCD中，因为AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，如图所示：
所以∠ADC＝120°，
在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，
AC＝2，由正弦定理得：，
解得：.（2）因为∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，
四边形内角和360°得∠ADC＝150°﹣θ，
∴在△ADC中，由正弦定理得：，解得：，
在△ABC中，由正弦定理得：，解得，
∴S△BCD
，
∵0°＜θ＜150°，
∴﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，
∴当2θ﹣60°＝90°即θ＝75°时，S取最小值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意可求∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝30°，∠ADC＝120°，再利用正弦定理即可求解；
（2）由题意可得可得∠CAD＝30°，可求∠ADC＝150°﹣θ，在△ADC中，利用正弦定理可得，在△ABC中解得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD，结合范围0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函数的性质即可求解.
19．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得
所以，
所以，
所以，则，
所以，
得.
（2）解：设，因为
，
所以，
由，
得，则，
由余弦定理得，
所以，
则，解得，
所以的周长为.
（3）解：不妨设，则，
由余弦定理得：
，①
，②
，③
因为，
所以，
则，所以，
由②③得：，
则，
因为，
所以，解得或(舍)，
所以，则.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将题中的已知条件转换成仅含有角的关系，再利用两角和的正弦公式和辅助角公式以及已知条件，从而得出角A的值.
（2）设，由数量积定义可得，再由三角形的面积公式可得，从而得出bc的值，结合余弦定理可得的值，最后由三角形的周长公式得出的周长.
（3）不妨设，则，再由余弦定理和勾股定理，从而解方程组得出实数的值.
（1）因为，
由正弦定理得
即：，
所以
所以，即，所以，得；
（2），
因为，
所以，
由得：
，即，
由余弦定理得，即，
则，解得．
所以的周长为；
（3）不妨设，则.由余弦定理得：
，①
，②
，③
因为，所以，即，则，
由②③，，则
即
因为，所以，解得或(舍)
所以，得.
1 / 1

展开更多......

收起↑