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3.4圆周角和圆心角的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】
A．90° B．180° C．270° D．360°
2．如图，正方形中，过点A，B交边于点E，连结交于点F，连结，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )
A． B． C． D．
4．四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D=80°，那么∠B等于（　　　）
A．80° B．100° C．120° D．160°
5．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　 　）

A．20° B．30° C．35° D．40°
6．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（　　）
A．25° B．35° C．15° D．20°
7．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
8．已知下列四个命题：
①过原点O的直线的解析式为y＝kx（k≠0）；②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等．其中不正确的命题是（ ）
A．只有①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
9．如图，△ABC 内接于⊙O，∠B＝45 ， AC＝4 ，则⊙O的半径为（ ）
A． B．4 C． D．5
10．如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
12．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　）
A． B．5 C． D．5
二、填空题
13．如图所示，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，∠DOE=70°，则∠BOD=
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为
15．如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE= .
16．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为 .
17．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是 ．
三、解答题
18．如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数．
19．如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，的半径为1，A、B、C是上的三个点，点P在劣弧AB上，，PC平分．
(1)求证：；
(2)当点P位于什么位置时，的面积最大？求出最大面积．
21．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
22．如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
24．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆交于点D，AC，BD相交于点P，连接CD.
求证：AB∶BD＝BP∶PC.
《3.4圆周角和圆心角的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B A A D C A C
题号 11 12
答案 A D
1．B
【详解】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．故选B．
2．B
【分析】连接，，根据四边形是正方形，得, 是的直径，即有,根据圆周角得性质得 ，可有，设 ，则,， ,,设，则 ,由勾股定理得： 则可得 ， ，则可以得出 。
【详解】解：如图示，连接，，
∵四边形是正方形，
∴,
∴经过O点，是的直径，
∴,
∵，,
∴，
设，则,
,
,
设，则,
由勾股定理得：
即：
解之得：，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，圆的性质等知识点，能连接，得出， 是解题的关键。
3．B
【分析】此题考查了圆周角定理，熟记的圆周角所对的弦为直径是解题的关键．由半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．即可求得答案．
【详解】解：∵的圆周角所对的弦是直径，
∴B选项是半圆环形．
故选：B．
4．B
【分析】直接根据圆的内接四边形对角互补求解即可．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°；
∵∠D=80°，
∴∠B=180°﹣∠D=100°；
故选：B．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
5．A
【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
【详解】连接OC，

∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=35°，
∴∠COD=2∠A=70°，
∴∠D=90° 70°=20°.
故选A.
【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键.
6．A
【分析】根据直径得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB=25°，进而解答即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．
7．D
【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．
【详解】解：由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD==，
∴tan∠1=，
∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键．
8．C
【分析】根据相关概念逐项分析即可．
【详解】①当过原点O的直线与x轴重合时，此直线的解析式为y＝0，k＝0，故①错误；
②此题忽略了锐角和钝角三角形高的位置不相同的情况，故②错误；
③此题可先通过全等三角形证得两对应边的夹角相等，从而由SAS判定两个三角形全等，故③正确；
④圆内接四边形（所有内角都不是90°）的对角不相等，但是它们都对着同一条弦（即四边形的对角线），故④错误；
则不正确的结论有①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象与解析式，全等三角形的判定及圆周角的概念，熟练掌握各基本结论并仔细推理是解题关键．
9．A
【分析】利用同弧所对圆周角与圆心角关系求出圆心角∠AOC，在等腰中可求出半径OA．
【详解】连接OA，OC．
∴在中，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角与圆周角，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．
10．C
【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
【详解】解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
11．A
【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°．
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．
∵AD=6，∴AB=AD=3．
故选A．
12．D
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【详解】连接OC、OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AB为弦，点C为的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，AE=，
∴AB=，
故选D．
【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
13．125
【详解】DE∥AB，
∠E=∠BOE,
∠DOE+2∠D=180°，
∠DOE=70°,
∠D=55°.
∠BOD=70°+55°=125°.
14．4
【分析】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，利用两点之间线段最短得到此时P′M+P′N的值最小，然后证明△OMN′为等边三角形得到MN′＝OM＝4，从而可判断PM+PN的最小值.
【详解】作N点关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P′，如图，则P′N＝P′N′，
∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，
∴此时P′M+P′N的值最小，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠NOB＝20°，
∵N点关于AB的对称点N′，
∴∠N′OB＝20°，
∴∠MON′＝60°，
∴△OMN′为等边三角形，
∴MN′＝OM＝4，
∴P′M+P′N＝4，即PM+PN的最小值为4.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了最短路径问题的解决方法.
15．
【详解】试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE=.
考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理
16．1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
17．
【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD=CD=OC=2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．
【详解】解：如图所示，
∵PC是∠APB的角平分线，
∴∠APC=∠CPB，
∴，
∴AC=BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵EF是△ABC的中位线，
∴；
∴OC⊥EF，OD=OC=2．
连接OE，根据勾股定理，得：DE==，
∴EF=2ED=，
故答案为：．
【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．
18．或
【分析】本题考查圆周角定理，首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，判断出，最后根据圆周角定理，判断出弦所对的圆周角是多少即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角的度数是：；
∵弦所对的优弧的度数为：，
∴弦所对的圆周角的度数是：；
综上，可得弦所对的圆周角的度数是或．
19．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
为直径，
，
又点是的中点
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
又四边形内接于圆，
，
又，
，
又，
，
，
即：，
解得：，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
20．(1)见解析
(2)当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，
【分析】（1）在PC上截取，连接AD，先根据角平分线的定得到，则由圆周角定理得到，，即可证明为等边三角形，△ABC是等边三角形 ， 得到，，，再证明 得到，即可证明；
（2）由题意得：当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，连接AO，利用等边三角形的性质求出，则，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，在PC上截取，连接AD
PC平分，且，
，
∴，，
为等边三角形，△ABC是等边三角形 ，
，，，


（2）解：由题意得：当点P位于劣弧AB的中点时，的面积最大，连接AO：
由（1）可知，当P为劣弧AB的中点时，
为的直径，设PC与AB交于点E，
又的半径为1，
∴，
∴，
，
∴的最大面积为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
21．∠ADC＝25°
【分析】由⊙O中，OA⊥BC，利用垂径定理，即可证得弧AB=弧AC，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ADC的度数．
【详解】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴弧AB=弧AC，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
【点睛】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)根据点为的中点和垂径定理可证CD=BF，再利用即可证得结论；
(2)解法一：连接，设的半径为，由列出关于的方程就能求解；
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明，得，再证明，得，进而可得和的长，易证，列比例式可求得的长，也就是的长；
解法三：连接，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得，再证明，然后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】证明：(1)∵是的中点，∴，
∵是的直径，且，∴，
∴，∴，
在和中，
∵，
∴；
(2)解法一：如图，连接，设的半径为，
中，，即，
中，，即，
∵，∴，∴，
∴，
即，
解得：(舍)或3，
∴，
∴；

解法二：如图，过作交AD延长线于点，连接、，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，∴，∴，
∵是的直径，∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴．

解法三：如图，连接，交于，
∵是的中点，∴，∴，
∵，∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性质和判定以及勾股定理等知识．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
23．（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，则可得∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD即可得证结论．
【详解】（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【点睛】本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
24．证明见解析
【分析】根据同弧上的圆周角相等可知∠ DAC＝∠ DBC，从而可得△ ABP∽ △ DCP，再由角平分线与圆内接四边形的性质，易得∠ DCB＝∠ DBC，从而得到DB=DC，那么由相似三角形对应边成比例可得AB∶DC＝PB∶PC，经过等量替换，即可得到AB∶BD＝PB∶PC．
【详解】∵AD是∠ EAC的平分线，
∴∠ EAD＝∠ DAC．
∵∠ EAD是圆内接四边形ABCD的外角，
∴ ∠ EAD＝∠ DCB．
又∵∠ DAC＝∠ DBC，
∴∠ DCB＝∠ DBC，
∴ DB＝DC．
在△ ABP和△ DCP中，
∵∠ BAP＝∠ CDP，∠ APB＝∠ DPC，
∴ △ ABP ∽ △ DCP，
∴ AB∶DC＝PB∶PC．
又∵ BD＝DC，
∴ AB∶BD＝PB∶PC．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．同弧或等弧所对的圆周角相等．圆的内接四边形对角互补．
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