资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
3.5确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列命题是真命题的是( )
A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的弧是等弧 D．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
3．下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的外心不一定在三角形的外部
B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分
C．两个三角形可能有公共的外心
D．任何梯形都没有外接圆
4．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
5．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．有下列说法：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，其中错误的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
8．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A．线段的中点及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
9．如图，在中，．小丽按照下列方法作图：
①作的角平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是的外心 B．点E是的内心
C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等
10．有下列四个命题，其中正确的有( )
①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线
12．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
二、填空题
13．点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； 的三个点确定一个圆．
14．直角三角形的两直角边分别为和 1 ，那么它的外接圆的直径是
15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为 ．
16．在中，，，，则的外心在的 （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 ．
17．若中，，则它的外接圆的直径为 ．
三、解答题
18．如图，在中，．
（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC =6，BC =8，求AD的长．
19．如图，已知等边△ABC．
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；
（2）若AB＝2，求△ABC的外接圆半径R．
20．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖.
例如：图1中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.
回答下列问题：
(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______ cm;
(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm;
(3)长为2 cm，宽为1 cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm.这两个圆的圆心距是_____ cm.．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
22．如图△ABC，用圆规和没有刻度的直尺作出△ABC的外接圆．（用黑水笔描清楚作图痕迹）
23．如图，所在的直线垂直平分线段，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？
24．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、
(1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______．
(2)外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______．
《3.5确定圆的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D B A D C A C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C．
考点：确定圆的条件．
2．D
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆；平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；根据能够完全重合的弧是等弧和旋转角的定义可得答案．
【详解】解：A.任意三点确定一个圆，是假命题；
B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，是假命题；
C.长度相等的弧是等弧，是假命题；
D.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，是真命题；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了命题与定理以及圆的相关知识．熟练掌握相关定理与判定方法是解题关键．
3．D
【详解】A.根据三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，则三角形的外心的位置有三种情况．正确；
B.根据垂径定理的推论可以运用反证法证明可知，该选项错误；
C.因为一个圆有无数个内接三角形，所以两个三角形可能有公共的外心．正确；
D.等腰梯形一定有外接圆．错误．
故选D．
4．D
【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP＝≠PA，于是得到结论．
【详解】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，
∴排除C选项，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
5．B
【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．
【详解】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．
故选B
【点睛】本题考查正多边形的定义、性质、圆与正多边形的关系，掌握正多边形的性质、圆的内接正多边形的性质是解题关键.
6．A
【分析】根据圆的确定条件，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆的定义，垂径定理逐项判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
圆的两条平行弦所夹的弧相等，故②正确；
任意一个三角形有且仅有一个外接圆，故③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故④错误；
直径是圆中最长的弦，故⑤正确．
综上可知错误的个数有2个．
故选A．
【点睛】本题考查圆的确定条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系等知识，解题关键是熟记相关知识点，准确进行判断．
7．D
【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】解：
取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点
在中，
是等边三角形
在中，
．
【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
8．C
【详解】试题分析：三点在同一直线时，过三点不能确定一个圆，根据即可判断A、B、D，根据三角形确定三角形的三个顶点不在同一直线上，即过三角形的三个顶点可以作一个圆，且只有一个圆，即可判断C．
解：A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误；
B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误；
C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确；
D、矩形的对角线交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了确定圆的条件的应用，注意：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
9．A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”，可得是底边BC的垂直平分线，进而即可得到答案．
【详解】∵在中，，
∴的角平分线也是底边BC的垂直平分线，
∵的垂直平分线，交于点E，
∴点E是的外心，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的外心的定义，掌握“三角形各边上的垂直平分线的交点是三角形的外心”是解题的关键．
10．C
【分析】解：①圆的对称轴是直径所在的直线； 故此选项错误；
②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．
故选：C．
【详解】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
11．B
【分析】根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D进行判定．
【详解】解：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；
B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 相等，故选项B正确；
C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；
D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的判断和圆的确定、圆心角定理以及垂径定理等知识，熟练掌握定义是解题关键．
12．D
【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．
解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
13．不在同一直线上（不共线）
【分析】根据确定圆的条件填空即可求解．
【详解】解：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
故答案为：不在同一直线上（不共线）
【点睛】本题考查了确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键．
14．2
【分析】根据圆周角是直角所对的弦是直径，可判断该直角三角形的斜边即为圆的直径.
【详解】∵圆周角是直角所对的弦是直径
∴此直角三角形的斜边即为它的外接圆的直径
故直径=
故答案为2.
【点睛】此题考查的是圆周角是直角所对的弦是直径和直角三角形的外接圆的直径的求法.
15．5
【分析】如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设交于．半径为，
，平分，
，，
，
在中，则有，
解得，
故答案为：5．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16． 边上
【分析】根据直角三角形的外心在斜边上，即可判断外心的未知，根据勾股定理求出的长度，即可求出半径．
【详解】解：如图：的外心在的斜边上，
∵，
∴为直径，
∵，，
∴，
∴半径为：．
故答案为：边上，．
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各个相关内容并灵活运用．
17．26cm
【分析】根据题意易得AB即为的外接圆的直径，然后由勾股定理可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴AB即为的外接圆的直径，即它的外接圆的直径为26cm；
故答案为26cm．
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆，熟练掌握三角形的外接圆是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
（2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD．
【详解】（1）作图如下：
（2）连接AD，OD，如图所示
由（1）知：平分，且°
∴°
∴°
在中，，
∴，即
在中，
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）作∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于O点，然后以O点为圆心，OB为半径画圆即可；
（2）延长AO交BC于H，如图，根据等边三角形的性质得到AH⊥BC，BH＝CH＝，∠OBH＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB即可．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）延长AO交BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝ BC＝AB＝，∠OBH＝30°，
∴ ，
∴OH＝BH＝1，
∴OB＝2OH＝2，
即△ABC的外接圆半径R为2．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握三角形的三条内角平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键．
20．（1) ；(2)；(3) ， 1.
【详解】试题分析：（1）边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，则r应大于等于正方形对角线的一半，即半径最小为；（2）当圆外接三角形时圆的半径最小，如图，根据勾股定理可求得圆的半径是；（3）根据对称性可知两圆的交点分别是AD和BC的中点，将矩形分成两个相等的小正方形，圆的最小半径就是小正方形的对角线的一半，圆心距就是小正方形的边长.
（1)以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r的最小值＝;
(2) 边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB＝1，BD＝，
所以AD＝，因为三角形是正三角形，
所以∠ABC＝60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD＝OB，
设OA＝OB=x，则OD＝x，
在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：，
解得：x＝.
(3)如图：矩形ABCD中AB＝1，BC＝2，
则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，
由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，
则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，
所以圆的半径r＝, 两圆心距＝ 1.
21．（1）；（2）A（﹣5，0）、B（1，0）；（3）∠PDF=60°．
【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为，然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=，于是可求得m的值；
（2）由（1）的可知点A、B的坐标；
（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．
【详解】解：（1）∵，
∴=m（x+5）（x﹣1）．
令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，
∵m≠0，∴x=﹣5或x=1，
∴A（﹣5，0）、B（1，0），
∴抛物线的对称轴为x=﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为为，
∴﹣9m=，∴m=，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）；
（3）∠PDF=60°．理由如下：
如图所示，∵OP的解析式为，
∴∠AOP=30°，
∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°，
∴∠DPF+∠FOD=180°，
∴点O、D、P、F共圆，
∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60°．
22．见解析
【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作线段AB的垂直平分线EF，直线EF交MN于点O，连接OB，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】此题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解三角形的外心是三角形两边的垂直平分线的交点．
23．最少用2次，见解析
【分析】根据垂径定理的推论可得，所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
【详解】解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，解题的关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
24．(1)
(2)，
【分析】(1)利用位似变换的性质分别做出各顶点的对应点即可，在利用位似变换的性质求出的坐标．
(2)线段、的垂直平分线的交点即为所求，在利用勾股定理求出半径即可．
【详解】（1）解：如图
根据位似变换的性质，
故答案为
（2）解：如图，点即为所求，
点坐标为
半径
故答案为，
【点睛】本题考查了位似变换，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑