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3.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为(　 　)
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm
2．在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
3．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为( )
A． B． C． D．
4．如图，在中，，以为直径的圆与相切，与边交于点D，则的长为（ ）．

A． B． C． D．
5．如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
6．如图，在中，，经过点C且与边相切的动圆与分别相交于点E，F，则线段长度的最小值是（ ）
A． B．4.75 C．5 D．4.8
7．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是△ABC中线和高线，则（　　）
A．D点是△ABC的内心 B．D点是△ABC的外心
C．E点是△ABC的内心 D．E点是△ABC的外心
8．已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为，，则直线和的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
9．在中，，，．若以点为圆心，画一个半径为的圆，则点与的位置关系为（ ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断
10．如图，与相切于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ）
A． B． C． D．
12．平面上与直线，，，的位置关系如图.如果的半径为，且点到其中一直线的距离为，那么此直线为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，的半径为，是延长线上一点，，切于点，那么的切线的长为 ．

14．若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
15．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为

16．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 ．
17．如图，中，，以为直径的交于E点，直线于F，则直线与的位置关系是 ．
三、解答题
18．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝，∠D＝30°．
(1)求证AD是⊙O的切线；
(2)若AC＝6，求AD的长．
19．如图，AB是的弦，直线BC与相切于点B，，垂足为D，连接．
(1)求证：AB平分；
(2)点E是上一动点，且不与点A、B重合，连接，若，求的度数．
20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
21．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC
(1)求证：DE是⊙O的切线：
(2)若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．
22．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
　　　图1
(2)如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是⊙O的切线；
　　　图2
(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．
　　　图3
23．如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，是⊙O上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长（结果保留根号）.
24．探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ ．
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．
《3.6直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D A B D B A B A
题号 11 12
答案 B B
1．B
【详解】连接OB，则OB⊥AB，
在Rt△AOB中，AO=6，AB=4，
∴OB=.
故选B.
2．B
【详解】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,
∵∠BAC=150,
∴∠DAB=30°,
∴BD==1,
即B到直线AC的距离等于⊙B的半径,
∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切,
故选B.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用, 过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,求出BD和⊙B的半径比较即可,主要考查学生的推理能力.
3．D
【分析】先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵点M的坐标是（4，3），
∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，
∴r的取值范围是3＜r＜4，
故选D．
【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
4．A
【分析】此题主要考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理的应用，
先推出，再利用勾股定理求出，最后利用面积法求解即可
【详解】解：∵以为直径的圆与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，解得．
故选A．
5．B
【分析】先根据切线的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算出的度数即可．
【详解】解：∵是的切线，是的直径，，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了切线的性质和直角三角形的性质．注意：圆的切线垂直于经过切点的半径．正解理解和应用切线的性质是解题的关键．
6．D
【分析】设EF的中点为O，⊙O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB，由勾股定理逆定理知，是直角三角形，OC+OD=EF，而 OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．
【详解】解：设EF的中点为O，⊙O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，
∵，
∴AC2+BC2=AB2，
∴是直角三角形，∠ACB=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OC+OD=EF，
∵⊙O与边AB相切，
∴OD⊥AB，
∵OC+OD≥CD，
即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上时，OC+OD=EF有最小值，
此时最小值为CD的长，
∵CD=，
∴EF的最小值为4.8．
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理逆定理，直角三角形的面积公式，圆周角定理等知识．解题的关键是得到OC+OD≥CD．
7．B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是△ABC的外心，据此即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC中线，
∴D点是△ABC的外心．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
8．A
【分析】可判断圆心到直线l的距离小于半径，从而得出结果．
【详解】解：∵点A到圆心O的距离为，
∴圆O到直线的距离，
∴，
∴直线l和的位置是相交，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
9．B
【分析】根据题意可求得Rt△ABC的斜边BC的长，与半径CA比较大小即可得到点B与 的位置关系．
【详解】如图所示：
∵，AB=3，AC=4，
∴在Rt△ABC中,
BC=>4，
∴点在外.
故选B.
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.通过勾股定理计算出BC的长是解题的关键.
10．A
【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选A．

【点睛】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
11．B
【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得．
【详解】如下图，连接，
∵切于点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键．
12．B
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r，则直线和圆相切；当dr，则直线和圆相离，进行分析判断．
【详解】因为所求直线到圆心O点的距离为14cm<半径20 cm，所以此直线为圆O的割线,即为直线.故选B.
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解题的关键是掌握直线和圆的位置关系求法.
13．
【分析】可证， 由，即可求解．
【详解】解：切于点，
，，
在中，
，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，掌握性质是解题的关键．
14．相离
【分析】由题意得出d＞r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【详解】∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm，
∴5＞4，
即d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为相离．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．
15．/40度
【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
16．4．
【详解】试题分析：∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，∴△=16﹣4m=0，
解得，m=4．
故答案是4．
考点：1.直线与圆的位置关系2.根的判别式．
17．相切
【分析】连接，，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得为直角，利用垂直的定义可得垂直于，又，根据三线合一得到为的中点，又为直径的中点，可得为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行与第三边可得与平行，同时由与垂直，得到为直角，根据两直线平行内错角相等可得为直角，可得为圆的切线，得证．
【详解】证明：连接，，
为圆的直径，
，
，又，
为的中点，又为直径的中点，
为的中位线，
，
，
又，，
，
则为圆的切线．
故答案为：相切．
【点睛】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，以及切线的判定定理，切线的判定定理是经过直径的外端点，且与直径垂直的直线为圆的切线，熟练掌握此定理是证明的关键．
18．(1) 证明见解析； (2) ．
【详解】试题分析：（1）要证明AD是⊙O的切线，只要证明∠OAD=90°即可；
（2）根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=6，则可以利用勾股定理求得AD的长．
解：(1) 如图所示，连接OA．∵sin B＝，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切线．　
(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形．∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝．
19．(1)证明见解析
(2)的度数为或．
【分析】（1）根据，可以得到，再根据平行线的性质可以得到，然后即可得到结论成立；
（2）根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵直线BC与相切于点B，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴AB平分；
（2）解：当点E在优弧AB上时，
∵，
∴．
当点E在劣弧AB上时，
．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．
【点睛】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含30°角的直角三角形的特点是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，交OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF=CE=2，FC=DE=4．
由垂径定理可知
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，
即（r-2）2+42=r2，
解得r=5．
即半径为5．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角定理得到∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID=∠DBI，利用等角对等边即可证明BD=DI；
（2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（3）设法证明△HBG∽△CHG，推出，再证明△GFC∽△GBF，推出，据此即可证明GF=GH．
【详解】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=DI；
（2）证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴，
∴OD⊥BC，
∵DEBC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，
∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，
∴∠HCI=∠IHG=90°，
∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，
∴∠I=∠GHC，
∵∠HBG=∠I，
∴∠HBG=∠GHC，
∴△HBG∽△CHG，
∴，
∴，
∵ADFG，
∴∠DAF=∠GFC，
∵∠DAF=∠DBC，
∴∠GFC=∠DBC，
∴△GFC∽△GBF，
∴，
∴，
∴，
∴GF=GH．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得，根据是⊙O的切线，直径所对的圆周角是直角，得，根据相似三角形的判定定理，即可证明．
（2）根据勾股定理，求出，由（1）得，可得，即可求出．
【详解】（1）证明，如图
∵
∴
又∵是直径所对的圆周角
∴
∵是⊙O的切线
∴
∴
∴．
（2）由（1）得，
∴是直角三角形
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质．
24．探究活动一：；探究活动二：﹣1；综合应用：y＝﹣x+9．
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF＝﹣1；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．
【详解】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）
∴kST＝＝
故答案为
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．
∴kDE＝＝﹣2，kDF＝＝，
∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1．
（3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝kPQx+b
∵M（1，2），N（4，5），
∴kMN＝＝1，
∵PQ为⊙M的切线
∴PQ⊥MN
∴kPQ×kMN＝﹣1，
∴kPQ＝﹣1，
∵直线PQ经过点N（4，5），
∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
【点睛】此题主要考查直线与圆的关系，解题的关键是根据已知条件得到斜率的定义与求解方法.
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