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3.8圆内接正多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72° B．60° C．48° D．36°
3．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠AOB的度数是（ ）
A．65° B．70° C．72° D．78°
4．同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（　　）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
8．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（　　）

A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
9．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ）
A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2）
10．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
11．如图为正七边形ABCDEFG，以这个正七边形的顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，所画的三角形中，包含正七边形的中心的三角形个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
12．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
二、填空题
13．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 ．(结果保留根号)
14．正六边形内接于，，则的半径是 ．
15．如图，为的内切圆，的延长线交于点D，，则的半径等于 ．
16．匈牙利著名数学家爱尔特希（P. Erdos，1913-1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是 ．
17．边长为6的正三角形的外接圆半径是 ．
三、解答题
18．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
19．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)求图1中∠APN的度数；
(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
20．已知正六边形ABCDEF的边长为1，QR是正六边形内平行于AB的任意线段，求以QR为底边的内接于正六边形ABCDEF的△PQR的最大面积．
21．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
22．如图， 的半径为，正六边形内接于．求：
(1)圆心O到的距离；
(2)正六边形的面积．
23．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
24．按要求解答
(1)如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4.求正六边形的边长.
(2)如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求证：AB=AC.
《3.8圆内接正多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A B C B D A C
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
2．A
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
3．C
【分析】根据正多边形中心和正多边形中心角的定义计算即可.
【详解】∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴点O为正五边形ABCDE的外接圆圆心，
∴∠AOB为正五边形ABCDE的中心角
∴∠AOB=360°÷5=72°，
故选C．
【点睛】本题考查正多边形的中心和中心角的定义，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；熟练掌握定义是解题关键.
4．A
【分析】
本题主要考查了正多边形和圆的性质，构造直角三角形是解题的关键．经过圆心作圆的内接正变形的一边的垂线，垂足是，连接，再得到答案．
【详解】解：设圆的半径为，
则正三角形的边心距为，
正方形的边心距为，
正六边形的边心距为，
故正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为．
故选A．
5．B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
6．C
【分析】根据正多边形的中心角=计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意=72°，
∴n=5，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=．
7．B
【详解】设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．
故选B．
8．D
【详解】分析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBC=22.5°．
∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．
如图，在⊙O取点D，使点D与点O在AB的同侧．则．

∵∠C与∠D是圆内接四边形的对角，∴∠C=180°﹣∠D =112.5°．故选D．
9．A
【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标
【详解】如图，连接，作于Q，
由正六边形的性质可得．
在中，．
∴．
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴点P的坐标为．
10．C
【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．
【详解】解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，
∵△BCD的面积为4，
∴△BCF的面积为：8．
故选C．
【点睛】此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．
11．B
【详解】分析：由题意可知分别以顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，要包含正七边形的中心，只能与顶点相对应的两个顶点构成.
详解：如图：
故答案：B.
点睛：本题考查了多边形的对角线.
12．A
【详解】试题分析：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
考点：正多边形和圆．
13．1＋/
【分析】把正八边形的四条不相邻的边延长，得到的四边形就是满足条件的正方形，则三角形BDE是等腰直角三角形；正方形的边长等于正八边形的边长1加上DB的2倍，根据三角函数求得DE的长即可求解．
【详解】解：∵△BDE是等腰直角三角形，BE=1．
∴BD=BE =．
∴正方形的边长等于AB+2BD=1+．
故答案为1＋．
【点睛】本题考查了正多边形，以及勾股定理，正确作出满足条件的正方形，理解所作正方形与已知正八边形之间的关系是解题的关键．
14．
【分析】直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案．
【详解】解：连接，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的半径为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了正多边形与圆，正确得出是等边三角形是解题关键．
15．/
【分析】设圆O与的切点为M，与的切点为点N， 如图，连接，，，则，，根据，即可求解．
【详解】解：设圆O与的切点为M，与的切点为点N， 如图，连接，，，
则，，
设圆的半径为r，，
∵，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，解答本题的关键是作出辅助线，，，根据求出半径．
16．18°
【分析】先证明△AOB≌△BOC≌△COD，得出∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，然后求出正五边形每个角的度数为108°，从而可得∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，∠AOB=∠BOC=∠COD=72°，可计算出∠AOD=144°，根据OA=OD，即可求出∠ADO．
【详解】∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
∴根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD，
∴△AOB≌△BOC≌△COD，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵正五边形每个角的度数为：=108°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=（180°-2×54°）=72°，
∴∠AOD=360°-3×72°=144°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=（180°-144°）=18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠AOB=∠BOC=∠COD=72°是解题关键．
17．
【分析】过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．
【详解】解：如图所示，△ABC是正三角形，故O是△ABC的中心，∠CAB=60
∵正三角形的边长为6，
∴AE=×6=3，∠OAE=∠CAB=30°
∴OE=OA，
又
∴
∴
∴AO=2(负值舍去)．
故答案为：．
【点睛】考查了三角形外接圆以及利用勾股定理简单计算的能力．
18．；；
【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积求得答案．
【详解】解：∵正n边形边长为a，，，
∴．
∵边心距为r，
∴正n边形的半径 ，
∴周长，
∴面积．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的知识．理解正多边形面积的求法是解答关键．注意掌握数形结合思想的应用．
19．（1）60°；（2）90°，108°；（3）.
【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【详解】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°；
（2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
20．．
【分析】要使△PQR的面积最大，P点应在DE上；Q，R点应分别在AF、BC上．过P点PH⊥QR于H，连接AE、BD分别交QR、QR于M、N，FC交AE于G，可设PH=x，再用含x的式子表示QR，根据平方的非负性，得出△PQR的最大面积．
【详解】解：过P点PH⊥QR于H，连接AE、BD分别交QR、QR于M、N，FC交AE于G，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴∠EFA=∠FAB=∠ABC=，EF=FA=AB=1，
∵QR∥AB，
∴四边形ABNM、ABDE、MHPE、MNDE都是矩形，∠EFG=∠AFG=60，
∴EA=2EG=2EF sin60°=，
设PH=x，则AM=AE-EM= AE-PH=﹣x，
QM=NR=AM tan30°=1﹣x，
QR=2(1﹣x)+1=3﹣x，
△PQR的面积=(3﹣x)x=﹣(x﹣)2+，
当x=时，△PQR的最大面积为．
【点评】本题考查了正六边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平方的非负性等知识，作出常用辅助线是解题的关键．
21．周长，面积
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长；
连接，过点O作于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
正六边形的面积．
22．(1)
(2)
【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长；
（2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积．
本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）
如图，过点O作于点H，连结、，
则，，
，
在中，
，
，
，
故圆心O到的距离为．
（2），，
是等边三角形，
，
，
∴正六边形的面积为．
23．（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【分析】（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键．
24．(1)4
(2)见解析
【分析】（1）连接OD，先证△OCD是等边三角形可得CD=OC=4，即正六边形的边长为4；
（2）由AD是△ABC的中线，可得BD=CD==5，由勾股定理的逆定理可得AD⊥BC，再由勾股定理求得AC=13，即可得AB=AC.
【详解】（1）解：如图：连接OD，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠O=，
又∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OC=4，即正六边形的边长为4.
（2）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD==5，
∵AB=13，AD=12，
∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，
∴AD⊥BC，
∴AC2= CD2+AD2=52+122=169，
∴AC=13，
∴AB=AC.
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理等知识点，掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理逆定理是解答本题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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