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第三章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
2．已知锐角，如图，
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（ ）
①；②若．则；③；④；⑤；
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
3．下列语句中，正确的是（ ）
A．任何一个圆都只有一个圆内接三角形
B．钝角三角形的外心在三角形内部
C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点
D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点
4．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，在正方形ABCD中，点O是的内心，连接BO并延长交CD于F点，则的度数是（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
6．如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　 　）
A．6 B． C．5 D．
7．已知：⊙O的半径为2cm，圆心到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．1cm或3cm
8．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是（ ）
A．AB＝2CD B． C． D．
10．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　）
A． B． C． D．
11．如图，半圆的直径，为圆心，为的中点，，交于点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，，以AC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线交BC于点E，若DE＝2cm，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．

14．如图，，分别与相切于，两点，点在上，切于，分别交，于点，，已知，的半径为，则的周长是 ．
15．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣3，4）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的取值是 ．
16．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝ ．
17．已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
三、解答题
18．如图 (1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：
(1)△DOE是等边三角形.
(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC， 则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
19．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
20．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断和是否相等，并说明理由．
21．如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．已知⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，求证：．
23．已知：如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB = 10 cm, PA = 4 cm, OP = 5 cm, 求⊙O的半径.
24．如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．

《第三章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C C B D B B C
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB的垂直平分线，首先△ABC的外心满足，再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，AB的垂直平分线相交于两点，分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点，再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可得解．
【详解】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故选C．
2．C
【分析】由作图知，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得．
【详解】由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故①正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正确；
∵所对的圆心角是，所对的圆周角是
∴，故③不正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM=
∴∠MCD=180°-∠COD，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故④正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故⑤错误；
①②④正确
故选C
【点睛】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．D
【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆的性质以及外心的定义分析得出即可．
【详解】A、任何一个圆有无数个圆内接三角形，故本选项不符合题意；
B、钝角三角形的外心在三角形外部，故本选项不符合题意；
C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项不符合题意；
D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外心的定义、确定圆的条件、外心的性质，熟记外心的性质是解题的关键．
4．C
【详解】∵∠BOD=100°，
∴∠A=∠BOD=50°，
∵∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=70°．
故选：C．
5．C
【分析】先由性质求出，再由三角形内心的概念得是的平分线，由角平分线定义即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
∵点是的内心，
∴是的平分线
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心是三角形角平分线的交点是解题的关键．
6．B
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案．
【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，
∵C（0，1）
∴
∴BC=OB+OC=3+1=4
过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×=，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．
7．D
【详解】根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为1cm，可向上或向下平移，使l与⊙O相切，即可得出答案．
解：如图，当l经过点B时，OB=1cm，则AB=1cm；
当l移动到l″时，则BC=3cm；
故选D．
本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握．
8．B
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
9．B
【分析】连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．由已知可得AB∥CD，则OF⊥CD，且∠BOC=90°，E、F分别是AB、CD的中点；易证△BOE≌△OCF，从而BE与CF的关系，即可得AB与CD的关系．
【详解】如图，连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．
∵AD=BC，
∴，
∴∠ACD=∠BAC=45°．
∴AB∥CD．
∵OE⊥AB，
∴AB=BE，OF⊥CD．
∴CD=2CF．
∵∠BAC、∠BOC对着同一弧，
∴∠BOC=2∠BAC=90°．
∴∠EOB+∠COF=90°．
∵∠EOB+∠OBE =90°，
∴∠OBE=∠COF．
∵∠OEB=∠CFO=90°，OB=OC，
∴△BOE≌△OCF．
∴OE=CF．
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°．
∵∠ABC=75°，
∴∠OBE=∠ABC-∠OBC=30°．
∴．
∴．
∵AB=2BE，CD=2CF，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，构造辅助线并证明△BOE≌△OCF是问题的关键．
10．C
【详解】试题分析：如图，
连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的长为 .
故选C．
【考点】弧长的计算．
11．A
【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．D
【分析】连接OD，OE．由题意结合三角形内角和定理可求出，再根据圆周角定理可求出．由等边对等角可得出．根据切线的性质可得出，即可求出，即证明为等边三角形，得出．又由“HL”易证，即得出，从而可求出．由含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理可求出，最后由弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接OD，OE．

∵，，
∴，
∴．
∵OA=OD，
∴．
∵DE为圆O切线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，切线的性质以及弧长公式．正确的作出辅助线是解题关键．
13．/104度
【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：
∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，．
14．24
【分析】利用勾股定理求得切线的长，再根据切线长定理可知，，，进而可求出结果．
【详解】解：连接．
∵，与相切，
∴，，
在中，
由勾股定理可得．
根据切线长定理可得，，，
所以的周长．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了切线长定理，熟练运用切线长定理转化线段是解题的关键．
15．4或5/5或4
【分析】由以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，可得与轴相切或过原点，然后分别分析求解即可求得答案．
【详解】解：以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
与轴相切（如图或过原点（如图，
当与轴相切时，，
当过原点时，．
或5．
故答案为：4或5．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
16．99°
【详解】如图，连接OB，OC，AC，
∵EB、EC是⊙O的两条切线，∠E=46°，∠DCF=32°，
∴∠DAC=∠DCF=32°，∠BAC=（360°-90°-90°-46°）=67°，
∴∠BAD=32°+67°=99°.
故答案为99°．
17．相交
【分析】首先求出方程的根，即可得到半径长度，再比较半径与的大小关系即可判断直线AB与⊙O的位置关系.
【详解】解：∵⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，
解方程x2+6x﹣16＝0，
（x+8）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝2，
∴r＝2，
∵点O到直线AB距离d是，
∴d＜r，
∴直线AB与圆相交．
故答案为：相交．
【点睛】本题考查解一元二次方程，点与圆的位置关系. 点O到直线AB的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离.
18．（1）证明见解析（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立
【分析】(1)、根据等边三角形的性质以及圆的半径可以得出：△OBD和△OEC都为等边三角形，结合∠BOD=∠EOC=60°得出∠DOE=60°，从而得出等边三角形；(2)、连接CD，根据BC为直径得出∠BDC=∠ADC=90°，根据∠A的度数得出∠ACD=30°，然后根据圆周角的性质可得：∠DOE=60°，结合OD=OE得出等边三角形．
【详解】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵OB=OC=OE=OD ，
∴△OBD和△OEC都为等边三角形，
∴∠BOD=∠EOC=60°，
∴∠DOE=60°，
∴△DOE为等边三角形.
(2)
解：当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.
证明：连结CD，∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴∠DOE=2∠ACD=60°，
∵OD=OE ，
∴△DOE为等边三角形.
19．（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；理由见解析；（2）线段AD的长度为5，线段CD的长度为7．
【分析】（1）连接OD．根据角平分线的性质得到∠1=∠3，根据原点半径相等得到OC=OD，根据等边对等角得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠3，即可判定CE∥OD，
又CE⊥AB，则OD⊥AB，根据垂径定理可知点D为半圆AB的中点．
（2）在直角△AOD中，OA=OD=5，根据勾股定理即可求出过点A作CD的垂线，垂足为G，根据圆周角定理得到即可求出在直角△AGD中，即可求出CD的长.
【详解】（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；
理由如下：连接OD．
∵CD平分∠OCE，
∴∠1=∠3，
而OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CE∥OD，
∵CE⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴=,即点D为半圆AB的中点．
（2）∵在直角△AOD中，OA=OD=5，
∴
过点A作CD的垂线，垂足为G，
∵
∴△AGC是等腰直角三角形，
∵AC=6，
∴
在直角△AGD中，
∴
∴线段AD的长度为，线段CD的长度为．
【点睛】考查角平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等，对学生综合解决问题能力要求较高.
20．，理由见试题解析
【分析】由AB=AE，得出∠B=∠AEB，根据平行四边形的性质可得∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，从而得到∠GAF=∠FAE，再由弧、弦的关系定理得出 ．
【详解】，理由：连接AE．
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
∴．
21．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据平分，可得∠ABD=∠OBD，再由OB=OD，可得∠OBD=∠ODB，从而得到∠ABD=∠ODB，进而得到OD∥AB，即可求证；
（2）过点O作OF⊥BE于点F，则BF=EF，可得四边形ADOF是矩形，从而得到OF=AD=4，AF=OD=OB=5，再由勾股定理可得BF=3，从而得到AB= 8，BE=6，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴∠ABD=∠OBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴OD∥AB，
∵，
∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，
∵OD为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，则BF=EF，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO=∠A=∠AFO=90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OF=AD=4，AF=OD=OB=5，
在中，由勾股定理得：
，
∴AB=BF+AF=8，BE=6，
∴AE=AB-BE=2．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
22．见解析.
【分析】连接AC，BD，由圆周角定理得：∠AOD=2∠ABD，∠BOC=2∠CDB，然后利用垂直的定义求得∠ABD+∠BDC=90°，从而得证．
【详解】连接AC，BD，
由圆周角定理得：∠AOD=2∠ABD，∠BOC=2∠CDB，∠CAB=∠CDB，
∵弦AB⊥弦CD，
∴∠BED=90°，
∴∠ABD+∠BDC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=2∠ABD+2∠BDC=2（∠ABD+∠CDB）=2×90°=180°.
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造同弧所对的圆心角和圆周角．
23．7 cm.
【分析】连接OA、作OE⊥AB于E，先根据垂径定理求出AE的长，继而求得PE=1cm，在Rt△PEO中，利用勾股定理求出OE2，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理定理求出OA长即可得答案.
【详解】如图，连接OA、作OE⊥AB于E，则∠AEO=90°，
∵O为圆心，
∴AE=AB=×10=5cm，
∵PE=AE-AP，AP=4cm，
∴PE=1cm，
在Rt△PEO中，OE2=OP2-PE2=52-12=24，
在Rt△AOE中，OA==7cm，
即⊙O的半径为7cm.
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，正确添加辅助线，求出OE2是解题的关键.
24．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．连结，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连结，

∵边为的直径，
∴．
，
∵点E是的中点，
∴．
∴，
，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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