资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台1.1锐角三角函数学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.如图,点A、B、C均在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长均为1,则的值为( ) A. B. C. D.2.2cos 30°的值等于( )A.1 B. C. D.23.在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值是( )A. B.3 C. D.24.如图,在中,,于点D,下列结论正确的是( )A. B. C. D.5.如图,在网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若的顶点均是格点,则的值是( )A. B. C. D.6.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,tanB=2,那么AC为( )A.3 B.4 C.5 D.67.在Rt△ABC中,若∠C=90°,cosA=, 则sinA的值为( )A. B. C. D.8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,则sinA的值为( )A. B. C. D.9.在中,,,则( )A. B. C. D.10.如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为a,那么滑梯长m为( )A. B. C. D.h﹣sinα11.在菱形ABCD中,过点A作AE与边BC垂直于点E,将△ABE沿直线AE折叠,若点B恰好落在线段EC上(不与E,C重合),则∠B的度数可以是( )A.36° B.60° C.75° D.100°12.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于( )A. B. C. D.二、填空题13.如图,在正方形和中,,连结、,则 .14.如图,中,,是上一点,连接,将沿翻折,点落在边的点处,连接.若,,则长 .15.如图,网格中的每一个正方形的边长都是1,△ABC的每一个顶点都在网格的交点处,则sinC= .16.已知在中,,,,那么的值是 .17.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比是一个 .三、解答题18.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(﹣3,4),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象相交于A,P两点.(1)求a,b的值与点A的坐标;(2)求证:△CPD∽△AEO;(3)求sin∠CDB的值.19.如图所示是某公园“六一”前新增设的一台滑梯.该滑梯的高度AC=2 m,滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m.(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m);(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全,请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求.20.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D为CA上一点,∠DBC=30°,DA=3,AB=,试求cosA与tanA的值.21.在中,,CD是中线,,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转,使角的两边分别与AC、BC的延长线相交,交点分别为点E、F,DF与AE交于点M,DE与BC交于点N.(1)如图1,若,求证:;(2)如图2,在绕点D旋转的过程中,试证明恒成立;(3)若,,求DN的长.22.在中,,,求、的正切值.23.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.24.计算:(1).(2).《1.1锐角三角函数》参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C D C C D A C A A题号 11 12答案 C B1.B【分析】连接,利用勾股定理得到,进而得到是直角三角形,从而求解.【详解】解:连接,如图所示, 由勾股定理可得:,∴∴是直角三角形,即∴故选:B.【点睛】本题主要考查了求角的余弦值,勾股定理和勾股定理的逆定理,熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长,同时判断三角形形状是解题的关键.2.C【详解】分析:根据30°角的三角函数值代入计算即可.详解:2cos30°=2×=.故选C.点睛:此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用,熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.3.D【分析】先求出AC,再根据正切的定义求解即可.【详解】设BC=x,则AB=3x,由勾股定理得,AC=,tanB===,故选:D.4.C【分析】根据垂直定义可得,然后在中,利用锐角三角函数的定义即可判断A,B,再在中,利用锐角三角函数的定义即可判断C,最后利用同角的余角相等可得,从而在中,利用锐角三角函数的定义即可求出,即可判断D.【详解】解:∵,∴,在中,故A、B不符合题意;在中,,故C符合题意;∵,,∴,在中,,∴,故D不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查了解直角三角形,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.5.C【分析】过点C作AB的垂线,构造直角三角形,利用勾股定理求解即可.【详解】解:过点C作AB的垂线交AB于一点D,如图所示,∵每个小正方形的边长为1,∴,设,则,在中,,在中,,∴,解得,∴,故选:C.【点睛】本题考查了解直角三角形,勾股定理等知识,解题的关键是能构造出直角三角形.6.D【分析】根据正切函数的定义tanB=,即可求得AC的长.【详解】∵tanB==2,∴AC=2BC=2×3=6.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握正切函数的定义.7.A【分析】根据正弦、余弦定义解答即可.【详解】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠A是锐角.∵cosA== ,∴设AB=25x,则AC=7x,由勾股定理得:BC=24x,∴sinA=.故选A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,根据定义解答问题.8.C【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可.【详解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,∴sinA=,故选:C.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的正弦,余弦,正切是解题的关键.9.A【分析】本题主要考查三角函数,熟练掌握三角函数是解题的关键;因此此题可根据三角函数进行求解.【详解】解:如图,∵,,∴,∴;故选A.10.A【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】∵,∴故选A.【点睛】本题考查了三角函数的定义,理解定义是关键.11.C【分析】在Rt△ABE中,得BE=AB cosB,则2BE=2AB cosB,根据点B恰好落在线段EC上,则有cosB<,可得60°<∠B<90°.【详解】解:如图:当∠B为锐角时,在Rt△ABE中,BE=AB cosB,∴2BE=2AB cosB,∵点B恰好落在线段EC上,∴2BE<BC,即2AB cosB<BC,∴cosB<,∴∠B>60°,∴60°<∠B<90°,当∠B为钝角时,折叠后B'不可能落在线段EC上,故选:C.【点睛】本题主要考查了菱形的性质、翻折的性质、以及三角函数的知识,证明出cosB<是解题的关键.12.B【详解】解:连接BD.∵E、F分别是AB、AD的中点.∴BD=2EF=4∵BC=5,CD=3∴△BCD是直角三角形.∴tanC==故选B.13./0.5【分析】根据正方形的性质可得,根据题意求得,即可求解.【详解】连接,如图,正方形和中,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查了正方形的性质,求角的正切,证明是解题的关键.14.【分析】先利用正弦值、勾股定理求出,再根据翻折的性质、勾股定理求出AD、CD、BD的长,然后根据等面积法求出OC的长,由此即可得出答案.【详解】如图,设BD与的交点为点O,在中,,,,,即,解得,,由翻折的性质得:,,设,则,在中,,即,解得,,在中,,又,是的垂直平分线,,,即,解得,,故答案为:.【点睛】本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点,熟练掌握翻折的性质和等面积法是解题关键.15.【分析】过A作AD垂直于BC,利用勾股定理求出AC的长,在直角三角形ACD中,利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可.【详解】解:过A作AD垂直于BC于D,则AD=2,AC=,∴sinC=.故答案为.【点睛】本题考查了锐角三角函数定义,牢记锐角三角函数定义是解本题的关键.16.【分析】画出图形,直接利用正弦函数值的定义进行求解即可.【详解】在中,,,∴.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数值的定义,解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义.正弦函数值等于对边比斜边.17.固定值【详解】试题解析:在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比是一个固定值.故答案为固定值.18.(1)a=﹣,b=﹣9,点A的坐标为(3,﹣4)(2)见解析(3)sin∠CDB=【分析】(1)将点P(﹣3,4)代入y=ax,计算出a,将点P(﹣3,4)代入y=计算出b,最后根据函数的对称性求出点A即可;(2)先根据菱形的性质证明∠DCP=∠OAE,再证明∠AEO=∠CPD=90°即可证得△CPD∽△AEO;(3)先计算出AO的长度,再根据△CPD△AEO得到∠CDP=∠AOE,计算出sin∠AOE即可得到答案.【详解】(1)解:将点P(﹣3,4)代入y=ax,得:4=﹣3a,解得:a=﹣,∴正比例函数解析式为y=﹣x;将点P(﹣3,4)代入y=,得:﹣12=b﹣3,解得:b=﹣9,∴反比例函数解析式为y=﹣.∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称,∴点A的坐标为(3,﹣4).(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,ABCD,∴∠DCP=∠BAP,即∠DCP=∠OAE.∵AB⊥x轴,∴∠AEO=∠CPD=90°,∴△CPD△AEO.(3)解:∵点A的坐标为(3,﹣4),∴AE=4,OE=3,.∵△CPD∽△AEO,∴∠CDP=∠AOE,∴sin∠CDB=sin∠AOE=.【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质,解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识.19.(1)约4.5 m.(2)这架滑梯的倾斜角符合要求.【分析】(1)Rt△ABC中,已知了两条直角边AC,BC的长,根据勾股定理,可得出AB的长.(2)根据Rt△ABC中已知的两条直角边,可以通过三角函数来求出角度的大小,从而进行判断.【详解】解:(1)滑梯长AB= = ≈4.5(m).(2)∵tan ∠ABC== ,∴∠ABC≈27°,27°<45°,∴这架滑梯的倾斜角符合要求.【点睛】本题考查把实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可把条件和问题放到直角三角形中,进行解决.20..【分析】根据在直角三角形中,正弦、余弦和正切的定义题目中各角的关系进行求值,求 即求∠CAB的正切值.【详解】解:在Rt△DBC中,∠C=90°,∠DBC=30°,∴.∴可设DC=k,BC=k(k>0).在Rt△ABC中,由勾股定理知:.∴.整理得.∴k=1.∴BC=,CA=4.∴.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,掌握对所求值进行转化为对应角的正切值是解决此题的关键.21.(1)详见解析;(2)详见解析;(3)【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,于是得到∠DCE=∠DCF=135°,根据全等三角形的性质即可的结论;(2)证得△CDF∽△CED,根据相似三角形的性质得到,即CD2=CE CF;(3)如图,过D作DG⊥BC于G,于是得到∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG,当CD=2,时,求得,再推出△CEN∽△GDN,根据相似三角形的性质得到,求出GN,再根据勾股定理即可得到结论.【详解】(1)证明:∵,,CD是中线,∴,,∴.在与中,,∴.∴; (2)证明:∵,∴∵,∴.∴.∴,即.(3)如图,过D作于点G,则,.当,时,由,得.在中,.∵,,∴.∴,∴.∴. 【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.22.,【分析】设a=3k b=5k利用正切定义求解【详解】解:,设a=3k ,b=5k,故答案为,【点睛】本题考查了角的正切值,熟练掌握正切的概念是解题的关键.23.图(1),,,,,;图(2),,,,,【分析】根据勾股定理,可得直角三角形的另一边,根据正弦函数是对边比斜边,余弦函数是邻边比斜边,正切函数是对边比邻边,可得答案 .【详解】解:(1) 图1由勾股定理得:,,,,,,;(2)图2 由勾股定理得:,,,,,,.【点睛】本题考查了锐角三角函数, 利用锐角三角函数的定义是解题关键 .24.(1)(2)【分析】(1)根据计算解题,注意负号的作用;(2)先通分,再将分式的除法转化为乘法计算.【详解】(1)解:(2).【点睛】本题考查零指数幂与负整指数幂、正切、化简绝对值、分式的加减乘除运算等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览