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2.3确定二次函数的表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（　　）
A．1 B．9 C．16 D．24
2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　）
A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31
C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43
3．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①b2－4ac＝0；②2a＋b＝0；③若(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④a－b＋c＜0.其中正确的是(　　)
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②④
6．已知二次函数（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则（ ）
A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0
B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0
C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0
D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0
8．如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　
A． B． C． D．
12．如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，一块铁片边缘是由抛物线和线段AB组成，测得AB=20cm，抛物线的顶点到AB边的距离为25cm．现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮，从下往上依次是第一块，第二块…如图所示．已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是第 块．
14．一个二次函数，当自变量x＝－1时，函数值y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2.那么这个二次函数的表达式为 ．
15．已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式 ．
16．二次函数图象的顶点坐标是 ．
17．若二次函数的图象经过点，则a的值为 ．
三、解答题
18．已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为和1，且经过点，求这个二次函数的表达式．
19．抛物线过点，顶点为M点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90 ．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标；
（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK＝90 ，说明理由．
20．在平面直角坐标系中抛物线（）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，为等腰直角三角形．
(1)写出抛物线的对称轴为直线______；
(2)求出抛物线的解析式；
(3)垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点（，），（，），其中，直线L与函数（）的图象交于点（，），若，求的取值范围．
21．一个二次函数的图象经过三点．求这个二次函数的解析式．
22．如图，二次函数图象的顶点为（﹣1，1），且与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）
（1）求二次函数与反比例函数的解析式；
（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；
（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x的取值范围．
23．抛物线的顶点为，且过点，求抛物线的解析式.
24．（1）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求该函数的解析式．
（2）抛物线过点、，且对称轴为直线，求其解析式．
《2.3确定二次函数的表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D A A D D C B
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可．
【详解】如图，
由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
2．D
【分析】利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．
【详解】解：设抛物线解析式为：y=a（x-13）2+59.9，
将（30，31）代入得：
31=a（30-13）2+59.9，
解得：a=-0.1，
故：y=-0.1（x-13）2+59.9=-0.1x2+2.6x+43．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出是解题关键．
3．C
【分析】将分别代入抛物线中，转化为解关于n、b的二元一次方程组，由代入消元法解题即可．
【详解】将代入中得，
把①代入②，解得，
把代入①得
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线解析式的求法，其中涉及二元一次方程组的解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）
故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8
故选D．
【点睛】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
5．A
【详解】试题解析：①∵二次函数与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，故①错误；
②∵二次函数的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1，
∴-=1，
∴2a+b=0，故②正确；
③若（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，无法确定y1与y2的大小，故③错误；
④观察图象，当x=-1时，函数值y=a-b+c＜0，故④正确．
故选A．
【点睛】解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
6．A
【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．
【详解】依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，
故b＞0，且b=2﹣a，
a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2=﹣1，0，1，
故a=，1，，
b=，1，，
∴ab=或1，故选A．
【点睛】根据开口和对称轴可以得到b的范围．按照左同右异规则．当对称轴在y轴的左侧，则a,b符号相同，在右侧则a,b符号相反．
7．D
【详解】试题分析：抛物线开口向下，则a<0，与y轴交点在y轴负半轴则c<0,与x轴有两个交点所以b2－4ac＞0；所以a＜0，c＜0，b2－4ac＞0，故选D.
点睛：本题主要考查二次函数图像与函数性质之间的关系，以及考生对二次函数性质的理解和灵活运用.根据函数图像开口方向判断二次函数二次项系数正负，根据图像与y轴交点判断常数项正负，根据函数图像与x轴交点个数判断 的取值范围等都是二次函数重要性质，为易考点.
8．D
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点进行解答即可．
【详解】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将二次函数的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为，即．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴的对称点的坐标特点是解答此题的关键．
9．C
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x h）2＋k，由条件可以得出a＝ ，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．
【详解】设抛物线的解析式为y＝a（x h）2＋k，
∵该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝ x2相同，
∴a＝ ，
∴y＝ （x h）2＋k，
∵抛物线的顶点为(－5，0)，
∴y＝ （x＋5）2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出a的值是关键．
10．B
【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向不变，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(-2，1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．
【详解】∵，
∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(-2， 1)，此时抛物线的开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为，
化简后为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．
11．B
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】对称轴在y轴的右侧，
，
由图象可知：，
，故不正确，不符合题意；
当时，，
，故正确，符合题意；
由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意；
，
，
，
，
，故不正确，不符合题意；
当时，y的值最大此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，符合题意，
故正确，
故选B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
12．B
【分析】由题意可得：，即为抛物线的顶点，设，作轴，求得点的坐标，代入解析式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，即为抛物线的顶点，设，
作轴，如下图：
在正方形中，，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，，解得，即，
将点代入得，
解得，
即抛物线解析式为，
故选：B
【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，涉及了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质进行求解．
13．6
【分析】根据已知条件建立坐标系，得出此抛物线的顶点坐标以及图象与x轴的交点坐标，求出二次函数解析式，再根据M点的横坐标，求出纵坐标，即可解决问题；
【详解】如图，建立平面直角坐标系．
∵AB=20cm，抛物线的顶点到AB边的距离为25cm，
∴此抛物线的顶点坐标为：（10，25），图象与x轴的交点坐标为：（0，0），（20，0），
∴抛物线的解析式为： ，
∵点A（0，0）在抛物线上，
∴0=100a+25，解得 ,
∴抛物线的解析式为: ,
现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮，
∴截得的铁皮中有一块是正方形时，正方形边长一定是4cm．
∴当四边形DEFM是正方形时，DE=EF=MF=DM=4cm，
∴M点的横坐标为AN-MK=10-2=8，
即x=8，代入,得y=24，
∴KN=24，24÷4=6，
∴这块正方形铁皮是第六块.
故答案是6.
14．y＝x2－2x－1
【分析】设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把当x＝－1时， y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2分别代入求出a、b、c即可.
【详解】设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把当x＝－1时， y＝2；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝－2分别代入代入得
解得，
∴解析式为y＝x2－2x－1.
【点睛】此题主要考查二次函数的解析式，待定系数法是解题的关键.
15．y＝－x2－2x＋
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为x＝＝－2，∴抛物线的顶点为P，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P，设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把A(－5，0)，B(1，0)，P代入，得解得
∴y＝－x2－2x＋.
16．（1,2）
【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可
【详解】二次函数顶点式为，顶点坐标为（h，k），所以顶点为（1,2）；
故答案为（1,2）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
17．
【分析】直接把点（1，0）代入到二次函数解析式中进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基础知识是关键．
18．
【分析】根据题目已知，把二次函数设为交点式，再把点代入即可求出，从而得出二次函数表达式．
【详解】有题可知，设二次函数表达式为，
二次函数经过点，
把代入得：，
解得：，
．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，根据已知条件确定二次函数是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）存在，理由见解析.
【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出抛物线解析式；
（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90 ．设（a，a2-4a），过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；
（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90 ．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．
【详解】（1）根据题意，得
解得
∴ 抛物线的解析式为．
（2）抛物线上存在一点P，使∠POM＝90 ．
.
∴ 顶点M的坐标为．
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为．
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则 ∠POE＋∠MOF＝90 ，∠POE＋∠EPO＝90 ．
∴ ∠EPO＝∠FOM．
∵ ∠OEP＝∠MFO＝90 ，
∴ Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴ OE∶MF=EP∶OF．
即．
解，得（舍去），．
∴ P点的坐标为．
（3）
过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则 ∠FMN＋∠OMF＝90 ．
∵ ∠MOF＋∠OMF＝90 ，
∴ ∠MOF＝∠FMN．
又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90 ，
∴ △OFM∽△MFN．
∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1．
∴ 点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为．
解，得直线的解析式为．
∴把①代入②，得．
．
∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
∴ 抛物线上必存在一点K，使∠OMK＝90 ．
【点睛】解答本题的关键关键是通过已知三点求抛物线解析式，根据垂直关系证明三角形相似，得出线段长及点的坐标，利用直线解析式及抛物线解析式求满足条件的点的坐标．
20．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据对称轴公式，即可求解；
（2）将解析式配方成顶点式得到其顶点A坐标，及对称轴与x轴交点B的坐标，由为等腰直角三角形即，可得，即可求解；
（3）先根据抛物线的对称性可知且，由直线L与双曲线交于点R知，即，由此可得，再根据可知点R一定位于对称轴上或右侧，即从而得出答案．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：，
故答案为：；
（2）解：，
顶点A的坐标为
由（1）可知对称轴为，
点B的坐标为 ，
为等腰直角三角形，
，即，
解得，
故抛物线的解析式为：；
（3）解：垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点（，），（，），
且，
又直线L与函数（）的图象交于点（，），
，即，
，
，
点R一定位于对称轴上或右侧，即，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的性质及待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性等知识点．
21．y＝4x2＋5x
【分析】根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可．
【详解】解：设这个二次函数的解析式为，
分别把（0，0），（－1，－1），（1，9）代入，
得
解得a＝4， b＝5，c＝0，
所以这个二次函数的解析式为y＝4x2＋5x．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
22．（1）y＝﹣（x+1）2+1，；（2）原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．
【分析】（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y＝，把A点的坐标代入，关键待定系数法即可求得；
（2）把x＝0代入求得的二次函数的解析式即可判断；
（3）由两函数的图象直接写出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，
∵经过点A（﹣3，﹣3）
∴﹣3＝4a+1，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，
设反比例函数的解析式为y＝，
∵二次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）
∴k＝﹣3×（﹣3）＝9，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）把x＝0代入y＝﹣（x+1）2+1，得y＝﹣1+1＝0，
∴原点（0，0）是在二次函数的图象上；
（3）由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为A（﹣3，﹣3），
当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．
【点睛】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．
23．.
【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可.
【详解】由抛物线的顶点为，且过点，
可设抛物线为：，
把（1，2）代入得：2=a+4，解得：a=-2，
所以抛物线为：，
即.
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式及顶点坐标公式.
24．（1）；（2）
【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，然后代入，根据待定系数法求得即可；
（2）先利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，则可设交点式，然后把代入求出即可．
【详解】解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为．
设二次函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
这个函数的解析式为；
（2）二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
即．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
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