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1.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．如：，所以8和16都是“幸福数”．下列数是“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．508 D．520
2．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．有下列运算：①；②；③．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知，则的值是（ ）
A．12 B．19 C．18 D．11
5．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A． B．
C． D．
6．为了美化校园环境，学校将边长为的正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．下列不能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列式子，不能利用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列多项式属于完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形．可以用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
二、填空题
13．定义新运算“”，对于任意实数都有．例如：．若，则 ．
14．填空题：
（1） ；
（2） ；
（3）( )( )．
15．若是一个关于的完全平方式，则 ．
16．计算： ．
17．已知：且，则 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2) （用乘法公式计算）．
19．计算：．
20．运用平方差公式计算：
（1）；（2）．
21．用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
22．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
23．分解因式：
(1)；
(2)．
24．运用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
《1.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C C A C A D C
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】本题考查了新定义运算，含有乘方的有理数的混合运算，理解“幸福数”的计算，找出“幸福数”的计算方法是解题的关键．
根据题意可得，若是“幸福数”，则，是的整数，由此验证各选项即可求解．
【详解】解：一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，
∴若是“幸福数”，则，是的整数，
∴，
A、，不是整数，不符合题意；
B、，不是整数，不符合题意；
C、，不是整数，不符合题意；
D、，
∴，
∴，符合题意；
故选：D ．
2．D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式逐一进行计算判断即可．
【详解】解：，故①错误；
，故②错误；
，故③错误；
故选A．
4．C
【分析】本题主要考查了代数式求值、平方差公式、多项式乘以多项式等知识，熟练运用相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则，易得，再计算并将代入，然后利用平方差公式变形求解即可．
【详解】解：∵
，
∴，
∴
．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查平方差公式的应用，用代数式表示长方形花坛的长和宽，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：长方形花坛的长和宽分别为，
则长方形花坛的面积为，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式计算，根据可以用完全平方公式计算的式子必须是两个数的和（差）的平方的形式即可得出答案．
【详解】解：．能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
．能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
．不能用完全平方公式计算，故该选项符合题意；
． 能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查添括号，完全平方公式、平方差公式，掌握去括号与添括号法则以及完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．根据添括号法则以及平方差公式、完全平方公式进行判断即可．
【详解】解：A、B．，因此选项A符合题意，选项B不符合题意；
C．，因此选项C不符合题意；
D．，因此选项D不符合题意．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．根据完全平方公式，把各选项中等式左侧展开，再与等式右侧相比较即可选出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可．
【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，不符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，不符合题意；
C、，不可以用平方差公式计算，符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，不符合题意；
故选：C．
11．B
【分析】本题是完全平方公式的应用，根据两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式判断即可．
【详解】解：．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意；
．，属于完全平方式，故该选项符合题意；
．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意；
．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意；
故选：B．
12．B
【分析】本题考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解题的关键．根据题意依次表示出阴影部分的面积、正方形的面积、长方形的面积，结合图形即可得出结论．
【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，
阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个长方形的面积，
．
故选：B．
13．5
【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于x的等式．根据新运算的定义列出等式，然后再形求解即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
．
故答案为：5．
14． 2 4
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（1）根据平方差公式计算即可
（2）根据平方差公式的结构特征求解即可；
（3）根据平方差公式的结构特征求解即可．
【详解】解：（1）
故答案为：；
（2），
故答案为：2；4
（3）
故答案为：；．
15．13或
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：∵是一个关于的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案为：13或．
16．
【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】解：原式，
，
故答案为：
17．
【分析】首先用平方差公式分解因式，再代入数据求解即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，用整体代入法是解题的关键．
18．(1)8
(2)9
【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算求解即可；
（2）把变形为，再根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．
【分析】本题考查了整式的乘法，运用平方差公式是解题的关键．运用乘法的平方差公式即可求解．
【详解】解：原式
．
20．（1）；（2）
【分析】直接利用平方公式计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．
21．(1)1002001
(2)1
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用．
（1）利用完全平方公式解答即可；
（2）利用平方差公式化简运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据完全平方公式求解即可。
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）；
（6）．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查的是因式分解，熟记利用完全平方公式分解因式是解本题的关键；
（1）直接利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可；
【详解】（1）解：
．
（2）
．
24．(1)3969
(2)9604
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式简化计算，注意公式的特点，避免出错．
（1）把63写成，再利用完全平方公式计算即可；
（2）把98写成，再利用完全平方公式计算即可；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
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