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2.1两条直线的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线与相交于点O，过O点作射线，下列选项中两个角是对顶角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．如图，点C、O、B在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若一个角的余角的倍比这个角的补角多，则这个角的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如果，且，那么与的关系是（ ）．
A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定
5．如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．已知直线的垂线只有一条
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．下列图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若，则n的倒数是，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．下列语句中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．三个锐角的和一定大于直角
C．过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
D．如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么一定有∠2＝∠3
10．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，将一副三角尺的直角顶点O重合在一起．若∠COB与∠DOA的比是2：7，OP平分∠DOA，则∠POC＝ 度．
14．如图，直线相交于点．若，则的度数为 ．
15．如图，已知直线、都经过O点，为射线，若，，则与的位置关系是 ．
16．如图，三条直线，相交于一点，则 ．
17．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有 个．
三、解答题
18．如图，分别过点作直线的垂线．
19．综合与探究
[问题情境]
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且．
求证：
小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质，
所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出，
小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程．
[实践探究]
（2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于．
①求证：；
②求证：．
20．若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分．
(1)若，求和的度数？
(2)若是任意角，求的度数？
(3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？
21．光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
22．如图，直线，相交于点，平分，＝，求的度数
23．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
(1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
(2)【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数．
24．如图，直线交于点O，平分，，求的度数．
《2.1两条直线的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A D B C B D C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】本题考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义：两条直线相交所成的四个角中，如果两个角有一个公共顶点，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置的两个角叫做对顶角．
根据对顶角的定义，结合各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、与不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、与不是对顶角，故此选项不符合题意；
C、与不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、与是对顶角，故此选项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了余角的性质，解题关键是明确同角的余角相等．根据角度关系一一判断即可．
【详解】解：点在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，即
∴
与不一定相等，
与也不一定相等，
∴①②④正确，共3个．
故选：C．
3．B
【分析】设这个角的度数为，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个角的度数为，
由题意得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，余角和补角．若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．本题运用了方程的思想．根据题意列出方程是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查等角的补角相等，根据题意，得到，，由即可得到，熟记等角的补角相等是解决问题的关键．
【详解】解：，
，，
，
，即，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键．
【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：．
6．B
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【详解】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，；
此时OM最短，
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
7．C
【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键．根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可．
【详解】解： A．和的两边不是互为反向延长线，没有公共顶点，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故A不符合题意；
B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意；
C．和符合对顶角的定义，是对顶角，故C符合题意；
D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意；．
故选：C．
8．B
【分析】根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90°m°，
∴点E位于点O的北偏西90°m°；故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90°36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF=，
∴，
∴，
∴n的倒数是，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断．
9．D
【分析】根据角、对顶角、余角的定义，垂线的性质分析得出答案．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、三个锐角的和不一定大于直角，如三个锐角分别是10°、20°、30°，它们的和就不大于直角，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么一定有∠2＝∠3，根据是同角的余角相等，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查角、对顶角、余角的定义，解题的关键是熟知相关定义的辨析．
10．C
【分析】本题主要考查折叠的性质，长方形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据长方形的性质得到，即可求出，由折叠可知，，即可求出答案．
【详解】解：长方形，
，
，
，
把一张长方形的纸沿对角线折叠，
，
．
故选C．
11．C
【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断，
本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义．
【详解】解：用直尺分别作，，，，的延长线，
其中只有的延长线不与相交，
故选：．
12．B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．
根据得到，再由平角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
13．20
【分析】根据条件可知，并且，再根据与的比是，可求，再根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解．
【详解】解：，
又与的比是，
，
平分，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角与补角，角平分线的定义，正确认识 这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记．
14．/130度
【分析】本题考查垂直的定义，角的和差计算，对顶角的定义．由可得，进而求出，再根据对顶角相等，可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了角度的运算，垂直的定义，解题的关键是掌握夹角等于90度的两条直线互相垂直．
先求出的度数，再根据垂直的定义，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
故答案为：．
16．/180度
【分析】本题考查对顶角，几何图形中角的计算，根据对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：如图，
由图可知：，
∴；
故答案为：．
17．4
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键．根据余角的性质即可判断①；根据即可判断②；根据，，得出，即可判断③；根据角平分线定义得出，，求出，即可判断④．
【详解】解：∵和都是直角，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
若，则：，
∴，故③正确；
若平分，平分，
则：，，
∴；故④正确；
综上分析可知，正确的有4个．
故答案为：4．
18．见解析
【分析】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力，掌握以上知识是解答本题的关键．
用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可；
用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可；
用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可．
【详解】解：如图所示：
19．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解；
（2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证．
【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点，
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴；
小丽∶延长至，使，连接，
∵，
∴，
∵平分
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过作交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
20．(1)；
(2)
(3)的度数不变，值为
【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，对顶角，熟练计算角度是解题的关键．
（1）由对顶角的性质，得到，再由角平分线的定义即可求解；
（2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，，，从而求出的度数；
（3）由角平分线的定义推出，即可得到答案．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
（2）解：平分，
，
，
，
，
平分，
，
；
（3）解：的度数不变，
平分，平分，
，，
，
．
21．平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
22．140
【分析】根据题意由角平分线的定义可得＝，再根据＝，以及平角等于可得、的度数，进而可得的度数．
【详解】解：∵平分，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵
∵＝，
∴＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴＝＝．
【点睛】本题主要考查了角平分线定义以及对顶角和邻补角的定义，掌握角平分线的性质是解题关键．
23．(1)见解析
(2)100°
【分析】（1）先证明△AOE和△COD是对顶三角形，得到∠OAE+∠OEA=∠C+∠D，再由∠EAO=∠C，∠D=2∠B，推出∠OEA=2∠B，即可利用三角形外角的性质证明∠B=∠BAE；
（2）由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC，则∠BDO-∠OEC=20°，证明∠A+∠DOE=180°，如图所示，连接AO，推出∠ADO+∠AEO=180°，进而证明∠BDO=∠AEO，推出∠BDO+∠OEC=180°，即可求出∠BDO=100°．
【详解】（1）证：∵△AOB和△COD是对顶三角形，
∴∠AOB=∠COD，
∴△AOE和△COD是对顶三角形，
∴∠OAE+∠OEA=∠C+∠D，
∵∠EAO=∠C，
∴∠D=∠OEA，
∵∠D=2∠B，
∴∠OEA=2∠B，
又∵∠OEA=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE；
（2）解：由题意得：∠ECD-∠BDE=20°，
由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC，
∴∠BDO-∠OEC=∠ECD-∠DBE=20°，
∵∠BOD=∠A，∠BOD+∠DOE=180°，
∴∠A+∠DOE=180°，
如图所示，连接AO，
∴∠ADO+∠AOD+∠DAO=180°，∠AOE+∠AEO+∠EAO=180°，
∴∠A+∠DOE+∠ADO+∠AEO=360°，
∴∠ADO+∠AEO=180°，
∵∠AEO+∠OEC=∠BDO+∠ADO=180°，
∴∠BDO=∠AEO，
∴∠BDO+∠OEC=180°，
∵∠BDO-∠OEC=20°，
∴∠BDO=100°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确理解题意掌握三角形内角和定理是解题的关键．
24．
【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的定义，根据对顶角相等得到的度数，再由角平分线的定义即可得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
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