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3.3等可能事件的概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．将四张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有数字1、2、3、4，随机抽出一张，下列事件中发生可能性最大的是（ ）
A．所抽卡片上的数字大于2 B．所抽卡片上的数字小于2
C．所抽卡片上的数字大于3 D．所抽卡片上的数字小于4
4．中华优秀传统文化源远流长、博大精深，是中华文明的智慧结晶，是我们文化自信的源泉．川剧由昆腔、高腔、胡琴、弹戏、灯调五种声腔组成，其中，除灯调系源于本土外，其余均由外地传入．如果小曦要选择其中一种声腔来学习，那么选中外地传入的声腔的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
5．一个不透明的袋中，装有4个黄球、3个红球和3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出1个球，是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．我校团委将评选年度“优秀少先队干部”，某班决定从候选人小李、小张、小赵三人中选出两名同学报送学校，则小李、小张同时入选的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
8．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ）

A． B． C． D．
10．随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法中，错误的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件
B．在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近
C．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球
D．在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是
12．篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球 个．
14．在九张质地都相同的卡片上分别写有，，，，0，1，2，3，4．从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上的数的绝对值不大于2的概率是 ．
15．有两个不透明的盒子，第一个盒子中装有3个红球和4个白球，第二个盒子中装有4个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，分别从盒子中摸出1个球，从第 个盒子中摸到白球的可能性大．
16．某校九年级六班打算从语文、数学、英语、物理、化学五个课代表中随机抽取两人，参加学校组织的座谈会，则恰好抽到语文和数学两个课代表的概率为 ．
17．某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为 ．
三、解答题
18．将一副扑克牌除大、小王外（共52张）充分洗匀，从中任意抽一张，试求下列事件的概率．
(1)抽到的牌是红心8；
(2)抽到的牌不是红心8．
19．某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝__________，b＝__________，c＝__________，m＝__________，n__________；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．
20．（1）如图①，将两个相同的正方形重叠摆放．若在图形中随机取点（不包括边线），则点取在阴影部分的概率是__________；
（2）如图②，将三个相同的正方形重叠摆放．若在图形中随机取点（不包括边线），则点取在阴影部分的概率是__________；
（3）若按照图①、图②的规律排下去，第5个图形中，点取在阴影部分的概率是多少？第n个图形中，点取在阴影部分的概率是多少？
21．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形．
(1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______；
(2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字：
掷的次数 50 80 100 150 250 500
掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124
掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248
小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______；
(3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率．
22．国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类7项组成，供学生自主选择完成．A类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：：一道（类）题的解法研究，：读数学类书籍的心得分享；：魔术与数学；：某个数学知识的探究．B类：创作手抄报，内容可以从以下3个方面选择：：绘制七年级上章节思维导图；：数学家的故事；：数学知识发展史．
同学们可以从以上7项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题：
(1)小明准备随机选择一项去完成，则他选择：魔术与数学的概率为 ；
(2)小丽准备从A、B两类中分别随机选择一项完成，求小丽最终选择完成和两项作业的概率．
23．在本节课的“石头、剪刀、布”游戏中，小凡没有参与活动，有“任人宰割”的感觉，于是他们修改游戏规则如下：三人同时做“石头、剪刀、布”游戏，如果三人的手势都相同或三人的手势互不相同，那么三人不分胜负；如果有两个人的手势相同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定胜负（有可能有两个胜者）这个游戏对三人公平吗？先算一算，再做一做．
24．如图，是小华制作的一个可自由转动的转盘，其中标有数字“1”、“2”和“3”的两个扇形圆心角均为90°．转动转盘，当转盘的指针停止后，指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
(1)求小华转动一次转盘后，得到数字2的概率；
(2)小华想利用自己设计的转盘，和同学小刚进行一场游戏，游戏规则为：他们两人各转动转盘一次，若两次所得数字之和为偶数，则小华胜；若两次所得数字之和为奇数，则小刚胜，请你用列表或画树状图的方法判断，这个游戏是否公平．
《3.3等可能事件的概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D C B B A B B
题号 11 12
答案 D A
1．A
【分析】本题考查了概率的计算，根据题意正确列式计算是解题的关键．
根据题意得到男生有名，则女生有名，即可得到第一批次确定的人员中女生的人数为名．
【详解】解：根据题意得到男生有名，
女生有名，
第一批次确定的人员中女生的人数为名，
故选：A．
2．B
【分析】由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：如图：
根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，
使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题的关键是注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．
3．D
【分析】本题主要考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
分别求出四个选项的概率，然后判断即可．
【详解】解：正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片，
从这四张卡片中随机抽取一张，抽到一张分别是数字1，2，3，4的概率是，
抽到数字大于2的卡片的概率是，
抽到数字小于2的卡片的概率是，
抽到数字大于3的卡片的概率是，
抽到数字小于4的卡片是．
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，川剧一共有昆腔、高腔、胡琴、弹戏、灯调五种声腔组成，其中昆腔、高腔、胡琴、弹戏4种属于外地传入的声腔，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：川剧一共有昆腔、高腔、胡琴、弹戏、灯调五种声腔组成，其中昆腔、高腔、胡琴、弹戏4种属于外地传入的声腔，
则选中外地传入的声腔的概率为：，
故选：D
5．C
【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据一个不透明的袋中，装有4个黄球、3个红球和3个白球，求出从袋中任意摸出1个球，是红球的概率即可．
【详解】解：P（摸出1个球是红球）．
故选：C．
6．B
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出小李、小张在一起的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中小李、小张同时入选的有2种，
所以小李和小张同时入选的概率=，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
7．B
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有
解得：，
即不规则图案的面积为．
故选：B．
8．A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
9．B
【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：整个图形面积，
阴影部分面积，
∴小球停在阴影区域的概率，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
10．B
【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解．
【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，
共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，
∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为，
故选：B
【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键．
11．D
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、三角形的内角和定理、随机事件及列表法与树状图法等知识，利用事件性质的判断、利用频率估计概率、概率的求法等知识分别判断后即可确定正确的选项．解题的关键是了解概率的相关知识，难度不大．
【详解】解：A、“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，正确，不符合题意；
B、在做抛硬币试验时，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率将稳定在附近，正确，不符合题意；
C、从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为，已知袋中的红球有15个，则袋中共有75个球，正确，符合题意；
D、在一次考试中，嘉嘉遇到两道单项选择题不会做，于是从A、B、C、D四个选项中随机地选择答案，则嘉嘉恰好答对这两道题的概率是，故原命题错误，符合题意．
故选：D．
12．A
【分析】本题考查随机事件的概率，解题的关键在于掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可．
【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币一次，可能出现两种可能的结果，正面朝上，反面朝上，
正在朝上的概率为：
故选：A．
13．12
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案．
【详解】解：设红球有x个，由题意可得，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
故答案为：12．
14．
【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：任意抽取一张卡片，共有9种等可能的结果，其中绝对值不大于2的有，，0，1，2，共5种情况，
∴；
故答案为：．
15．一
【分析】该题考查了概率计算，先分别求出第一个盒子摸出白球的概率和第二个盒子摸出白球的概率，比较即可．
【详解】解：∵第一个盒子里装有 3 个红球和 4 个白球，
∴摸出白球的概率是，
∵第二个盒子里装有 4 个红球和 3 个白球，
∴摸出白球的概率是，
∵，
∴从第一个袋子里摸出白球的可能性大．
故答案为：一．
16．/0.1
【分析】画出表格或树状图，然后分析得出满足题意的可能性结果，由概率公式列式计算即可．
【详解】解：分别用A、B、C、D、E代表语文、数学、英语、物理、化学五个课代表，列表如下：
由列表知，共有20种结果，等可能性相同，其中恰好抽到语文和数学两个课代表的情况有2种，所以
故答案为：
【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率，画出满足题意的列表或树状图，并灵活应用概率公式求解是解题的关键．
17．
【分析】设鱼塘养了x条草鱼，由题意易得，然后可得鱼塘总共鱼的条数，进而根据概率公式可求解．
【详解】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴捞到鲤鱼的概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解数量的问题是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．
（1）由一副扑克中红心8的张数除以扑克牌张数52即可求解；
（2）由一副扑克中不是红心8的张数除以扑克牌张数52即可求解．
【详解】（1）解：抽到红心8的概率是；
（2）解：抽到的牌不是红心8的概率是．
19．（1），，，，，二年级，见解析；（2）1000人；（3）
【分析】（1）首先整理数据，根据中位数，众数，平均数，优秀率的意义求解即可求出a,b,c,m,n；再根据两个年级的优秀率即可判断哪个年级掌握党史知识较好；
（2）先求出样本的合格率，由样本的合格率估计总体的合格率，用合格率乘以总人数即可估计出总体的合格人数，即可得出结论；
（3）首先确定一年级满分人数和二年级满分人数，按照题目要求用列举出所有可能，即可求出概率．
【详解】解：（1）将大一年级20名同学成绩整理如下表：
成绩 25 30 37 39 43 49 50
人数 1 2 4 2 5 4 2
平均数 ，
众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43，
中位数：排序后，第10和第11个数据为42和43，故中位数为；
大一年级的优秀率为：，
大二年级的优秀率为：，
所以，，，，
从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，
所以估计二年级学生的优秀率高，
所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好；
（2）∵样本合格率为：，
∴估计总体的合格率大约为，
∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：人
∴估计超过了1000人；
（3）一年级满分有2人，设为A，B，二年级满分有3人，设为1，2，3
则从这5人中选取2人的所有情况为：
，，，，，，，12，13，23，
共有10种等可能情况，两人在同一年级的情况有4种，
∴可求得两人在同一年级的概率为：．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义、由样本估计总体、列举法求概率，掌握中位数、平均数、众数、由样本估计总体、列举法求概率的计算方法是解题关键．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了图形变化规律、简单概率计算等知识，确定图形变化规律，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键．
（1）首先确定图形中阴影部分的面积占总面积的比，再根据简单概率计算公式，即可获得答案；
（2）首先确定图形中阴影部分的面积占总面积的比，再根据简单概率计算公式，即可获得答案；
（3）按照图①、②的变化规律，即可获得答案．
【详解】解：（1）∵图形中阴影部分的面积占总面积的比是，
∴点取在阴影部分的概率是；
（2）∵图形中阴影部分的面积占总面积的比是，
∴点取在阴影部分的概率是；
（3）按照题图①、题图②的规律排下去，
第5个图形中，点取在阴影部分的概率是，
第个图形中，点取在阴影部分的概率是．
21．(1)
(2)0.25
(3)
【分析】本题考查了列表法或树状图法：
（1）根据概率公式求解；
（2）根据频率的定义求解；
（3）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为；
故答案为：
（2）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是；
故答案为：0.25
（3）解：列表如下．
第二次第一次 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种，
两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据树状图法求概率即可．
【详解】（1）解：寒假实践作业两类共7项，
他选择：魔术与数学的概率为，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中最终选择完成和两项作业的结果有1种，
∴选择完成和两项作业的概率为．
【点睛】此题考查了概率公式求概率，树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．公平
【分析】先画出表格展示所有27种等可能的结果数，再找出三个人赢的结果数，然后计算他们获胜的概率，再通过比较概率的大小判断游戏是否公平．
【详解】列表如下：
第一人 第二人 第三人 所有可能出现的结果
石头 石头 石头 （石头，石头，石头）
剪刀 （石头，石头，剪刀）
布 （石头，石头，布）
剪刀 石头 （石头，剪刀，石头）
剪刀 （石头，剪刀，剪刀）
布 （石头，剪刀，布）
布 石头 （石头，布，石头）
剪刀 （石头，布，剪刀）
布 （石头，布，布）
剪刀 石头 石头 （剪刀，石头，石头）
剪刀 （剪刀，石头，剪刀
布 （剪刀，石头，布）
剪刀 石头 （剪刀，剪刀，石头
剪刀 （剪刀，剪刀，剪刀）
布 （剪刀，剪刀，布）
布 石头 （剪刀，布，石头）
剪刀 （剪刀，布，剪刀）
布 （剪刀，布，布）
布 石头 石头 （布，石头，石头）
剪刀 （布，石头，剪刀）
布 （布，石头，布）
剪刀 石头 （布，剪刀，石头）
剪刀 （布，剪刀，剪刀）
布 （布，剪刀，布）
布 石头 （布，布，石头）
剪刀 （布，布，剪刀）
布 （布，布，布）
共有27种等可能的结果，其中第一人获胜的结果有9种，所以第一人获胜的概率为，第二人和第三人获胜的结果也都有9种，所以第二人和第三人获胜的概率也都是，所以这个游戏对三人是公平的．
【点睛】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
24．(1)得到数字2的概率为；
(2)这个游戏不公平．
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）将标有数字的扇形两等分可知转动转盘一次共有4种等可能结果，其中转出的数字是2的有1种结果，根据概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，再利用概率公式求解，比较即可求解．
【详解】（1）解：标有数字3、2的扇形的圆心角均为，
将标有数字1的扇形两等分，
可知转动转盘一次共有4种等可能结果，
故小华转动转盘一次，得到数字的概率为：；
（2）解：这个游戏不公平，
将标有数字1的扇形两等分，画树状图如下：
，
一共有16种等可能结果，两次转出数字之和为偶数的有10种，两次转出数字之和为偶数的有6种，
小华胜的概率为：；小刚胜的概率为：；
，
故这个游戏不公平．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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