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4.1认识三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点B，C，E在同一直线上，且，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
3．将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　）
A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定
5．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的边上的中线
C．是的边上的高 D．是的角平分线
6．如图，在中，于点D，则是（　　）
A．边上的高 B．边上的高 C．边上的高 D．以上都不对
7．如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．7 B．12 C．9 D．9或12
9．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．3，5，8 B．1，3，6 C．3，4，5 D．4，4，9
10．如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，中，，，，垂足为Q，延长MN至G，取，若的周长为12，，则周长是（ ）
A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m
12．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
二、填空题
13．直角的主要性质是：若，则
（1）两锐角之间的关系： ．
（2）三边之间的关系： ．
14．由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ．由它还可推出：三角形两边的差 ．
15．如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 ．
16．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是 ．
17．在中，，则边上的中线的取值范围是 ．
三、解答题
18．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
(1)画出；
(2)画出的高；
(3)连接、，那么与的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ．
(4)在AB的右侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有 个．
19．如图，是的角平分线，，交于点．是的角平分线吗？请说明理由．
20．已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与B、C重合），连接，

(1)在图1中，当点D在边上时，求证：；
(2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想、、之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出、、之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系．
21．综合与探究
【问题情境】小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道题目：“已知的三边长分别为a，b，c（），且满足，求c的取值范围．”
【思路分析】小明说：“把看作一个整体，我能求出a的值．”
小红说：“我求不出c的取值范围，但我能用含c的代数式表示b．”
小明和小红一起去请教李老师，李老师说：“根据你们二人的思路求解，再结合三角形的三边关系，即可得到c的取值范围．”
【问题解决】
(1)你知道小明是如何计算a的值的吗？请你写出求解的过程．
(2)请你用含c的代数式表示b，________．
(3)请你根据李老师的提示，求c的取值范围．
22．（1）问题背景：已知，点的位置如图所示，连接，，试探究与，之间的数量关系，以下是小明的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空：
解：如图，过点作．
（已知），
（__________________）．
，（__________________）．
（等式的性质），
即，，之间的数量关系是______．
（2）类比探究：如图，已知，线段与相交于点，点在点的右侧．若，，则的度数为______．
（3）拓展延伸：如图，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：____________．
23．如图，是中边上的高线，若，，求的度数．
24．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以为边的三角形有_________；
（3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角；
（4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角．
《4.1认识三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A C B C B C A
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐个判断即可．
【详解】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
同理∠1=∠E，
∵∠D=90°，
∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴，
∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以不一定成立故选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
2．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件．分两种情况解答即可求解．
【详解】解：若腰长为6，等腰三角形的三边长为：，
，能构成三角形，此时该等腰三角形的周长是；
若腰长为3，等腰三角形的三边长为：，
，不能构成三角形，
综上所述，该等腰三角形的周长是15．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三个点首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解．
【详解】解：以为边的三角形有，
所以有3个，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查三角形角平分线，作出图形，根据三角形角平分线的性质即可解答．
【详解】解：如图，
三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部．
故选：A
5．C
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
【详解】解：A、根据三角形的角平分线的概念，∵，∴是的角平分线，是的角平分线，故原说法不正确；
B、根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故原说法不正确；
C、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故原说法正确；
D、根据三角形的角平分线和高的概念，知是的高线，故原说法不正确．
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形高的画法，是解题的关键．根据三角形高的定义进行判断即可．
【详解】解：是中边上的高，故B正确．
故选：B．
7．C
【分析】根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．
【详解】根据三角形的高的定义，在△ABC中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，
从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．
8．B
【分析】先求出a和b的值，再利用三角形的三边关系判断出该等腰三角形的三条边长，它们的和即为周长．
【详解】解：∵，
∴，,
则以a、b为边长的等腰三角形的三边长分别为2，5，5或2，2，5；
由三角形任意两边之和大于第三边，
∴该等腰三角形的三边长分别为2，5，5；
∴周长为2+5+5=12；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方和绝对值的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等内容，解决本题的关键是求出a和b的值，能根据三边关系判定三角形的三条边长等，本题较典型，考查了学生对基础知识的理解与运用．
9．C
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为3，5，8的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴长为1，3，6的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴长为3，4，5的三条线段能构成三角形，符合题意；
D、∵，
∴长为4，4，9的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：是的角平分线，，
，
是的角平分线，
．
故选：A．
11．C
【分析】根据题意，判定△PMN是等边三角形，∠QMN=∠G=30°，QN=NC=，得到QM=QG，计算周长即可．
【详解】∵，，
∴△PMN是等边三角形，
∵，
∴QN=PQ=，∠QMN=30°，∠QNM=60°，
∵，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NC=，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵的周长为12，，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴周长是QM+QG+MN+NG=6+2m，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和三线合一性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三线合一性质是解题的关键．
12．C
【分析】根据三角形三边关系定理，可知即可求解．
【详解】解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
13．
【分析】直接根据直角三角形的性质及勾股定理解答即可；
【详解】解：（1）根据直角三角形的两锐角互余，由可知：；
（2）根据直角三角形的勾股定理，由可知：；
故答案为：（1）；（2）
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
14． 三角形两边的和大于第三边 小于第三边
【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质三角形两边的和大于第三边．由它还可推出：三角形两边的差小于第三边．
故答案为：角形两边的和大于第三边；小于第三边．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟记三角形三边的关系．
15．16
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可．
【详解】解：（1）当2为腰长时，三边分别为2、2、7，因为2+2=4＜7，根据三角形三边关系得，此三边不能组成三角形．
（2）当7为腰长时，三边分别为2、7、7，根据三角形三边关系得，此三边能组成三角形．所以三角形的周长=7+7+2=16；
综上，此三角形的周长为16．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，解题的关键是先分类讨论确定腰长，再根据三角形任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，最后算出周长即可．
16．15
【分析】根据三角形的三边关系得出第三边的取值即可解答．
【详解】解：设三角形的第三边为x，则4＜x＜10，
又第三边x为整数，
则x可以取5，6，7，8，9，
所以三角形的周长最小值为3+7+5=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．
17．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系；延长至E，使，连接，证明，再由三角形三边不等关系即可求解．倍长中线是关键．
【详解】解：延长至E，使，连接．
在和中，
，
∴，
∴．
在中，，
即，
故．
故答案为：．

18．(1)
(2)见解析
(3)，，10
(4)8
【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）作关于的对称点，利用等高模型解决问题即可．
【详解】（1）如图，即为所求作．
（2）如图，线段即为所求作．
（3），，
线段扫过的图形的面积为．
故答案为：，，10
（4）满足条件的点有8个，
故答案为：8．
19．是的角平分线，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义可知，再根据“两直线平行，内错角相等”可知，易得，即可证明结论．
【详解】解：是的角平分线，理由如下：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
20．(1)见解析
(2)不成立，，理由见解析
(3)；
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
（1）如图1中，证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）如图2，由（1）同理证明，再利用全等三角形的性质可得答案；
（3）先补全图形如下：由（1）同理可得，，再利用全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，

∵，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）不成立，存在的数量关系为．
理由：如图2，由（1）同理可得，

在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，结论：．理由如下：
补全图形如下：

由（1）同理可得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及非负数的性质、一元一次不等式的应用等知识，根据三角形三边关系得出不等式是解题关键．
(1)利用偶次方以及绝对值的性质化简求出即可；
(2)利用进而求出即可；
(3)利用三角形三边关系分别得出即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得．
（2）解：，
．
（3）解：由三角形的三边关系，得，
．
，
解得．
又，
，即．
解得．
．
22．（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，；
（2）；
（3）
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系．
过点作，根据两直线平行内错角相等，可得：，，因为，所以可得；
根据两直线平行，内错角相等可得：，根据三角形内角和定理可得：，根据邻补角定义可得：，把，代入计算即可；
由可知，根据角平分线的定义可知，由可知，所以可得：．
【详解】解：如图，过点作，
（已知），
（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
，（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
，，之间的数量关系是；
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 ，，，；
解：，
，
在中，，
又，
，
故答案为：；
由可知，
又、分别是和的平分线，
，，
，
由可知，
，
故答案为：．
23．．
【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余，求得，进一步计算求解．
【详解】解：因为，，
所以．
因为，
所以．
24．（1）6，，，，，，
（2），，
（3），，
（4），，；，
【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可．
【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个；
（2）以为边的三角形有，，；
（3）分别是，，中，，边的对角；
（4）是，，的内角，是，的内角．
故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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